蒙特卡罗方法简介
[自然科学]蒙特卡洛方法
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热辐射传输中的蒙特卡洛方法航空航天热物理所2007 年9 月21日1 蒙特卡洛方法概述1 蒙特卡洛方法概述蒙特卡洛方法是一种随机模拟方法。
将其用于辐射传热计算时，其基本思想：将辐射能量看成由大量独立的光束（光子）组成将复杂的辐射传递问题分解为发射、反射、吸收、散射等独立过程。
每一光束在系统内的传递过程，由一系列随机数确定跟踪一定量的光束，可得较为稳定的统计结果1.1 辐射传递因子辐射传递因子RDij的定义为：在一个换热系统中，由单元i辐射出去的能量被单元j 吸收的份额。
比较角系数Xij的定义：在一个换热系统中，由单元i辐射出去的能量到达单元j的份额。
===+∑∑4414144N a i i a j j jij M k k k kik V T V T RD F T RD σκσκσε辐射传递因子用于能量方程由N 个介质单元、M 个表面单元组成的热辐射系统中，介质单元i 的能量方程为辐射传递因子用于能量方程壁面单元i 的能量方程为===+∑∑441414N i i i a j j jij M k k k kik F T V T RD F T RD εσσκσε,,x y zR R R ,R R θφ如何求辐射传递因子（蒙特卡洛M-C法）首先确定光子的发射点。
需要3个参数再确定2个方向参数已知发射点和2 个方向，就能确定空间的一条直线。
在一个封闭系统内，确定光子与某一个面相交即为求直线与平面相交的空间解析几何问题。
再确定1 个吸收、反射参数，判断光子被壁面Rρ吸收或反射。
如果光子被壁面吸收，则停止跟踪，在该壁面上存入一个光子。
再进行下一个光子的模拟。
若光子被壁面反射，则再确定2个方向参数再确定空间的一条直线…，即重复上述过程。
,R R θφ如果壁面1 发射10000个光子，则当所有模拟结束后，统计每个壁面上吸收的光子数。
若壁面5 吸收了4300个光子，则4300/10000=0.43，即辐射传递因子RD15 =0.43蒙特卡洛法求辐射传递因子通常灰体表面和灰体介质的辐射特性参数随温度变化很小，即辐射传递因子与温度无关。
蒙特卡洛方法
蒙特卡洛方法1、蒙特卡洛方法的由来蒙特卡罗分析法（Monte Carlo method），又称为统计模拟法，是一种采用随机抽样（Random Sampling）统计来估算结果的计算方法。
由于计算结果的精确度很大程度上取决于抽取样本的数量，一般需要大量的样本数据，因此在没有计算机的时代并没有受到重视。
第二次世界大战时期，美国曼哈顿原子弹计划的主要科学家之一，匈牙利美藉数学家约翰·冯·诺伊曼（现代电子计算机创始人之一）在研究物质裂变时中子扩散的实验中采用了随机抽样统计的手法，因为当时随机数的想法来自掷色子及轮盘等赌博用具，因此他采用摩洛哥著名赌城蒙特卡罗来命名这种计算方法，为这种算法增加了一层神秘色彩。
蒙特卡罗方法提出的初衷是用于物理数值模拟问题, 后来随着计算机的快速发展, 这一方法很快在函数值极小化、计算几何、组合计数等方面得到应用, 于是它作为一种独立的方法被提出来, 并发展成为一门新兴的计算科学, 属于计算数学的一个分支。
如今MC 方法已是求解科学、工程和科学技术领域大量应用问题的常用数值方法。
2、蒙特卡洛方法的核心—随机数蒙特卡洛方法的基本理论就是通过对大量的随机数样本进行统计分析，从而得到我们所需要的变量。
因此蒙特卡洛方法的核心就是随机数，只有样本中的随机数具有随机性，所得到的变量值才具有可信性和科学性。
在连续型随机变量的分布中, 最基本的分布是[0, 1]区间上的均匀分布, 也称单位均匀分布。
由该分布抽取的简单子样ξ1，ξ2ξ3 ……称为随机数序列, 其中每一个体称为随机数, 有时称为标准随机数或真随机数, 独立性和均匀性是其必备的两个特点。
真随机数是数学上的抽象, 真随机数序列是不可预计的, 因而也不可能重复产生两个相同的真随机数序列。
真随机数只能用某些随机物理过程来产生, 如放射性衰变、电子设备的热噪音、宇宙射线的触发时间等。
实际使用的随机数通常都是采用某些数学公式产生的，称为伪随机数。
蒙特卡洛方法简介
1.蒙特卡洛方法的定义 2.蒙特卡洛方法的原理 3.蒙特卡洛方法应用举例
1.蒙特卡洛方法的定义
蒙特· 卡罗方法，是指将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用 电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，也称为统 计模拟方法或计算机随机模拟方法。为象征性地表明这一方法的概 率统计特征，故借用赌城蒙特卡洛命名。
3.蒙特卡洛方法应用举例
3.蒙特卡洛方法应用举例
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当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期 望值时，可以通过蒙特卡洛方法，以这种事件出现的频率估计这一随 机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为 立概率统计模型 收集模型中风险变量的数据，确定风险因数的分布函数 根据分布函数，产生随机数 将随机数代入建立的数学模型，得到一个样本值 重复N次 得到N个样本值 统计分析估计均值，标准差
斯坦纳迭代蒙特卡洛方法(hamiltonian monte carlo,hmc)结果解释
斯坦纳迭代蒙特卡洛方法（hamiltonian monte carlo，hmc）结果解释摘要：1.斯坦纳迭代蒙特卡洛方法简介2. Hamiltonian Monte Carlo（HMC）原理3.HMC结果解释4.HMC在实际应用中的优势和局限5.结论与展望正文：斯坦纳迭代蒙特卡洛方法（Hamiltonian Monte Carlo，HMC）是一种高效的马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）算法，广泛应用于统计推断、机器学习等领域。
HMC通过模拟粒子在势能面上的运动，有效地采样自变量的后验分布。
以下将对HMC的原理、结果解释、优势和局限进行详细阐述。
一、Hamiltonian Monte Carlo（HMC）原理HMC的核心思想是将自变量的更新过程分为两个步骤：生成提议分布和接受或拒绝提议。
在生成提议分布时，HMC利用雅可比矩阵来描述粒子在势能面上的运动，从而得到提议分布的参数。
在接受或拒绝提议时，HMC根据Metropolis-Hastings准则来决定是否接受提议。
通过迭代这个过程，HMC 能够在较短时间内收敛到目标分布。
二、HMC结果解释HMC的结果解释主要包括以下几个方面：1.收敛性：HMC的收敛性与迭代次数、粒子数、势能函数有关。
在合适的参数设置下，HMC能够较快地收敛到目标分布。
2.采样效率：HMC的采样效率高于传统的MCMC方法，如Gibbs采样和Metropolis-Hastings采样。
这是因为在HMC中，粒子沿着势能谷移动，从而减少了无效搜索。
3.采样质量：HMC能够产生高质量的样本，因为其在每次迭代中都利用了系统的动态信息。
这使得HMC在处理高维问题时具有优势。
三、HMC在实际应用中的优势和局限1.优势：- 高效：HMC的采样速度较快，能够在较短时间内获得大量高质量样本。
- 通用：HMC适用于多种统计推断和机器学习任务，如参数估计、模型选择等。
- 适应性强：HMC可以调整参数以适应不同问题，提高采样效果。
蒙特卡洛模型方法
蒙特卡洛模型方法蒙特卡罗方法（Monte Carlo method）蒙特卡罗方法概述蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。
为象征性地表明这一方法的概率统计特征，故借用赌城蒙特卡罗命名。
蒙特卡罗方法的提出蒙特卡罗方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S．M．乌拉姆和J．冯·诺伊曼首先提出。
数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。
在这之前，蒙特卡罗方法就已经存在。
1777年，法国Buffon提出用投针实验的方样调查来确定可能的优胜者。
其基本思想是一样的。
科技计算中的问题比这要复杂得多。
比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。
对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”（Curse of Dimensionality），传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。
Monte Carlo 方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。
以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量。
为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。
另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论基础不同的方法—“拟蒙特卡罗方法”（Quasi －Monte Carlo方法）—近年来也获得迅速发展。
我国数学家华罗庚、王元提出的“华—王”方法即是其中的一例。
这种方法的基本思想是“用确定性的超均匀分布序列（数学上称为Low Discrepancy Sequences）代替Monte Carlo方法中的随机数序列。
MonteCarlo(蒙特卡洛法)简介
一个例子 --
n=1000000; m=0; t=1; for i=1:n x=1; for k=1:7 ang=pi*rand; x=x+cos(ang); if x<0 l=0; t=0; end end if x>5 & t==1 l=1; else l=0; end m=m+l; t=1; end m/n
方差削减技术
对偶变量技术(适用正态分布函数） 取一组随机数Z_i，可得模拟值C_i ,i=1,2,..n 估计值为期平均C^ 再取Z_i 的对偶Z’_i=-Z_i,再生成估计值C’^ 然后去新的平均值C*=（C^+C’^)/2 则 varC*=1/2varC^+1/2cov(C^,C’^)< 1/2varC^+ 该技术使计算更稳定
随机数的取得
如果你对随机数有更高的要求，需要自己
编辑“随机数生成器” 最简单、最基本、最重要的一个概率分布 是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布） 例如在Matlab中，命令“rand()”将产生一 个(0,1)中均匀分布的随机数 你可以根据需要给随机数一个“种子”， 以求不同的数
基本思想和原理
基本思想：当所要求解的问题是某种事件出现
的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它 们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事 件出现的频率，或者这个随机变数的平均值， 并用它们作为问题的解。 原理：抓住事物运动的几何数量和几何特征， 利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模 拟实验。 它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所 描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题 的近似解。。
实现从已知概率分布抽样
蒙特卡洛类方法
蒙特卡洛类方法
蒙特卡洛方法是一类随机化的计算方法，主要应用于求出高维度空间中的定积分或概率分布的特性。
该方法以随机样本为基础，通过大量生成且符合某种分布律的随机数，从中抽取样本，利用样本的统计性质来计算近似解。
常见的蒙特卡洛方法包括：
1.随机模拟法
在数学建模、广告投放、经济预测等领域，随机模拟（也称蒙特卡罗方法）已经成为了一个重要的工具。
其基本思想是，系统表现出的某些规律和性质可以用随机过程进行模拟和预测。
2.随机游走算法
随机游走是一种基于随机过程的数值计算算法，通过简单的偏随机移动来解决复杂问题，被广泛应用于物理、化学、生物学、金融等领域。
随机游走算法的核心思想是通过随机漫步遍历所有可能的状态，找到最终解。
3.马尔可夫链蒙特卡罗方法
马尔可夫链蒙特卡罗方法（MCMC）是一种近似随机模拟算法，用于计算高维空间中的积分和概率分布。
这种方法通过构造一个马尔可夫链来模拟复杂的概率
分布，并通过观察链的过程来获得所求的统计量。
4.重要性采样
重要性采样是一种通过迭代抽样来估算积分值或概率分布的方法。
它的基本思想是利用不同的概率分布来采样目标分布中的样本，从而增加目标分布中采样到重要样本的概率，从而提高采样的效率。
总之，蒙特卡洛方法在物理学、统计学、金融学、计算机科学、生物科学等众多领域都有广泛的应用，是一种很实用的工具。
蒙特卡洛方法
蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种基于概率和统计的数值计算方法，常用于解决复杂的数学和物理问题。
它的原理是通过随机抽样来估计数学模型中的未知量，从而得到近似解。
该方法非常灵活，可以应用于各种领域，例如金融学、物理学、计算机科学等。
蒙特卡洛方法的命名源于摩纳哥的蒙特卡洛赌场，因为这种方法采用了赌场中使用的随机抽样技术。
20世纪40年代，由于原子弹的研制需求，蒙特卡洛方法开始应用于物理学领域。
当时，美国科学家在洛斯阿拉莫斯国家实验室利用蒙特卡洛方法模拟了中子输运过程，为原子弹的研发提供了重要支持。
蒙特卡洛方法最简单的例子是估算圆周率π的值。
我们可以在一个正方形内随机投放一些点，然后统计落入圆内的点的比例。
根据概率理论，圆的面积与正方形的面积之比等于落入圆内的点的数量与总点数之比。
通过这种方法，可以得到一个逼近π的值，随着投放点数的增加，逼近结果将越来越精确。
除了估算圆周率，蒙特卡洛方法还可以用于解决更为复杂的问题。
例如，在金融学中，蒙特卡洛方法常用于计算期权的价格。
期权是一种金融衍生品，它的价格与未来股票价格的波动性有关。
利用蒙特卡洛方法，可以通过随机模拟股票价格的变化来估计期权的价值。
在物理学中，蒙特卡洛方法可以用于模拟复杂的粒子系统。
例如，科学家可以通过模拟蒙特卡洛抽样来研究原子、分子的运动方式，从而揭示它们的行为规律。
这对于理解材料的性质、开发新的药物等具有重要意义。
在计算机科学领域，蒙特卡洛方法也有着广泛的应用。
例如，在人工智能中，蒙特卡洛树搜索算法常用于决策过程的优化。
通过模拟随机抽样，可以得到各种决策结果的估计值，并选择给出最佳决策的路径。
尽管蒙特卡洛方法有着广泛的应用，但它并不是解决所有问题的万能方法。
在实际应用中，蒙特卡洛方法往往需要耗费大量的计算资源和时间。
此外，它也依赖于随机抽样过程，因此可能会引入一定的误差。
因此，在使用蒙特卡洛方法时，需要在效率和精确性之间做出权衡。
总之，蒙特卡洛方法是一种基于概率和统计的数值计算方法，通过随机抽样来估计数学模型中的未知量。
蒙特卡洛方法
蒙特卡罗法也称统计模拟法、统计试验法。
是把概率现象作为研究对象的数值模拟方法。
是按抽样调查法求取统计值来推定未知特性量的计算方法。
蒙特卡罗是摩纳哥的著名赌城，该法为表明其随机抽样的本质而命名。
故适用于对离散系统进行计算仿真试验。
在计算仿真中，通过构造一个和系统性能相近似的概率模型，并在数字计算机上进行随机试验，可以模拟系统的随机特性。
概念蒙特卡罗法(又称统计试验法)是描述装备运用过程中各种随机现象的基本方法，而且它特别适用于一些解析法难以求解甚至不可能求解的问题，因而在装备效能评估中具有重要地位。
用蒙特卡罗法来描述装备运用过程是1950年美国人约翰逊首先提出的。
这种方法能充分体现随机因素对装备运用过程的影响和作用。
更确切地反映运用活动的动态过程。
在装备效能评估中，常用蒙特卡罗法来确定含有随机因素的效率指标，如发现概率、命中概率、平均毁伤目标数等；模拟随机服务系统中的随机现象并计算其数字特征；对一些复杂的装备运用行动，通过合理的分解，将其简化成一系列前后相连的事件，再对每一事件用随机抽样方法进行模拟，最后达到模拟装备运用活动或运用过程的目的。
基本思路蒙特卡罗法的基本思想是：为了求解问题，首先建立一个概率模型或随机过程，使它的参数或数字特征等于问题的解：然后通过对模型或过程的观察或抽样试验来计算这些参数或数字特征，最后给出所求解的近似值。
解的精确度用估计值的标准误差来表示。
蒙特卡罗法的主要理论基础是概率统计理论，主要手段是随机抽样、统计试验。
用蒙特卡罗法求解实际问题的基本步骤为：(1)根据实际问题的特点．构造简单而又便于实现的概率统计模型．使所求的解恰好是所求问题的概率分布或数学期望；(2)给出模型中各种不同分布随机变量的抽样方法；(3)统计处理模拟结果，给出问题解的统计估计值和精度估计值。
优缺点蒙特卡罗法的最大优点是:1.方法的误差与问题的维数无关。
2.对于具有统计性质问题可以直接进行解决。
3.对于连续性的问题不必进行离散化处理蒙特卡罗法的缺点则是:1.对于确定性问题需要转化成随机性问题。
蒙特卡洛方法
蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的数值计算方法，广泛应用于科学、工程、金融等领域。
它的核心思想是通过随机抽样来近似求解问题，是一种统计模拟方法。
蒙特卡洛方法的应用领域非常广泛，包括但不限于求解数学积分、模拟随机系统、优化问题、风险评估等。
蒙特卡洛方法的基本原理是利用随机数来模拟实际问题，通过大量的随机抽样来近似计算问题的解。
其核心思想是利用随机性来解决确定性问题，通过大量的随机抽样来逼近问题的解。
蒙特卡洛方法的优势在于能够处理复杂的多维积分、高维优化等问题，同时能够提供结果的置信区间，对于随机性较强的问题具有很好的适用性。
在实际应用中，蒙特卡洛方法通常包括以下几个步骤，首先，确定需要求解的问题，建立数学模型；其次，生成符合特定分布的随机数，进行大量的随机抽样；然后，利用抽样结果进行数值计算，得到问题的近似解；最后，对结果进行分析和验证，评估计算的准确性和置信度。
蒙特卡洛方法的应用非常广泛，其中一个典型的应用是求解数学积分。
对于复杂的多维积分，传统的数值积分方法往往难以求解，而蒙特卡洛方法可以通过随机抽样来逼近积分值，具有很好的适用性。
此外，蒙特卡洛方法还可以用于模拟随机系统，如粒子物理实验、金融市场波动等，通过大量的随机抽样来模拟系统的行为，得到系统的统计特性。
除此之外，蒙特卡洛方法还可以用于优化问题的求解。
对于复杂的高维优化问题，传统的优化算法往往难以找到全局最优解，而蒙特卡洛方法可以通过随机抽样来搜索解空间，有可能得到更好的优化结果。
此外，蒙特卡洛方法还可以用于风险评估，通过大量的随机模拟来评估风险的大小和分布，对于金融、保险等领域具有重要意义。
总的来说，蒙特卡洛方法是一种非常重要的数值计算方法，具有广泛的应用前景。
它的核心思想是利用随机抽样来近似求解问题，能够处理复杂的多维积分、高维优化等问题，同时能够提供结果的置信区间，对于随机性较强的问题具有很好的适用性。
在未来的发展中，蒙特卡洛方法将继续发挥重要作用，为科学、工程、金融等领域的问题求解提供强大的工具支持。
蒙特卡洛方法
蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的计算方法，可以用于解决众多复杂的数学问题，涉及到概率统计、数值计算、优化问题等多个领域。
蒙特卡洛方法的核心思想是通过随机抽样来近似计算问题的解，其优点在于适用范围广，对于复杂的问题能够给出较为准确的结果。
本文将介绍蒙特卡洛方法的基本原理、应用领域以及优缺点。
蒙特卡洛方法的基本原理是利用随机抽样来估计问题的解。
通过生成服从特定分布的随机数，然后根据这些随机数来近似计算问题的解。
蒙特卡洛方法的核心思想是“用随机数来代替确定性数”，通过大量的随机抽样来逼近问题的解，从而得到较为准确的结果。
蒙特卡洛方法的随机性使得其能够处理复杂的问题，尤其在概率统计领域和数值计算领域有着广泛的应用。
蒙特卡洛方法的应用领域非常广泛，其中包括但不限于，概率统计、金融工程、物理学、生物学、计算机图形学等。
在概率统计领域，蒙特卡洛方法可以用来估计各种概率分布的参数，进行模拟抽样，计算统计量等。
在金融工程领域，蒙特卡洛方法可以用来进行期权定价、风险管理、投资组合优化等。
在物理学领域，蒙特卡洛方法可以用来模拟粒子的行为、计算物理系统的性质等。
在生物学领域，蒙特卡洛方法可以用来模拟生物分子的构象、预测蛋白质的结构等。
在计算机图形学领域，蒙特卡洛方法可以用来进行光线追踪、图像渲染等。
蒙特卡洛方法的优点在于适用范围广，能够处理各种复杂的问题，且能够给出较为准确的结果。
蒙特卡洛方法的缺点在于计算量大，需要进行大量的随机抽样才能得到较为准确的结果，且随机抽样的过程可能会引入误差。
因此，在实际应用中需要权衡计算成本和精度要求，选择合适的抽样方法和样本量。
总之，蒙特卡洛方法是一种重要的计算方法，具有广泛的应用价值。
通过随机抽样来近似计算问题的解，能够处理各种复杂的问题，且能够给出较为准确的结果。
在实际应用中，需要根据具体问题的特点和要求来选择合适的抽样方法和样本量，以平衡计算成本和精度要求。
希望本文能够帮助读者更好地理解蒙特卡洛方法的基本原理、应用领域以及优缺点，为实际问题的解决提供一些参考和启发。
蒙特卡罗方法简介
蒙特卡罗方法简介蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。
是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
20世纪40年代，在John von Neumann，Stanislaw Ulam和Nicholas Metropolis在洛斯阿拉莫斯国家实验室为核武器计划工作时，发明了蒙特卡罗方法。
因为Ulam的叔叔经常在蒙特卡罗赌场输钱得名，而蒙特卡罗方法正是以概率为基础的方法。
与它对应的是确定性算法。
蒙特卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，生物医学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛。
蒙特卡罗方法的基本思想通常蒙特卡罗方法可以粗略地分成两类：一类是所求解的问题本身具有内在的随机性，借助计算机的运算能力可以直接模拟这种随机的过程。
例如在核物理研究中，分析中子在反应堆中的传输过程。
中子与原子核作用受到量子力学规律的制约，人们只能知道它们相互作用发生的概率，却无法准确获得中子与原子核作用时的位置以及裂变产生的新中子的行进速率和方向。
科学家依据其概率进行随机抽样得到裂变位置、速度和方向，这样模拟大量中子的行为后，经过统计就能获得中子传输的范围，作为反应堆设计的依据。
另一种类型是所求解问题可以转化为某种随机分布的特征数，比如随机事件出现的概率，或者随机变量的期望值。
通过随机抽样的方法，以随机事件出现的频率估计其概率，或者以抽样的数字特征估算随机变量的数字特征，并将其作为问题的解。
这种方法多用于求解复杂的多维积分问题。
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程度是成正比的。
蒙特卡罗方法基于这样的思想：假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。
蒙特卡洛方法
第七章蒙特卡洛方法1蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法(M-C)又称之为随机取样法,统计模拟法,是利用随机数的统计规律来进行计算和模拟的方法.它可用于数值计算,也可用于数值仿真。
例计算园周率。
单位圆的面积是π,它在第一象限的面积为π/4,因此有π=41dx11dx2θ(1−x21−x22)其中θ是单位阶跃函数。
计算时，生成二维的等几率分布的随机数(x,y)，统计所有满足x2+y2<1的点数，计算它们与总点数之比，就是所求。
用M-C计算这个二维积分的指令是p=4/1000000*length(find(sum(rand(2,1000000).^2)<1))这里取N=106。
例氢原子电子云的模拟。
氢原子的基态（n=1,l=0,m=0）的电子分布几率密度函数是D=4r2 a31e−2r/a1,a1=5.29×10−2nm,D的最大值D max=1.1,r0=0.25nm是D的收敛点。
模拟是用点的密度来表示电子的几率分布密度。
模拟时先产生一个随机的电子轨道半径r=r0rand(1),显然有0≤r≤r0,由r计算出D(r)。
再产生一个随机的概率判据D0=D max rand(1),显然有0≤D0≤D max,然后进行判断，如果D(r)<D0,则舍弃它，反之就计算一个随机的角度值，θ=2πrand(1),最后得到的点的坐标是x=r cosθ,y=r sinθ。
在程序中使用矢量化编程以提高计算速度。
clear allN=600000;r0=25;a=0.529;r=r0*rand(1,N);Dr=4/a^3*r.^2.*exp(-2/a*r);D0=1.1*rand(1,N);DD=Dr-D0;r=r(find(DD>0));n=length(r);Q=2*pi*rand(1,n);[X,Y]=pol2cart(Q,r);plot(X,Y,’r.’,’marker’,’.’,’markersize’,1)r=0:0.01:20;Dr=4/a^3*r.^2.*exp(-2/a*r);figureplot(r,Dr)2等几率随机数的生成生成等一维几率随机数的指令是rand,可以用指令hist来检验它所生成的数。
蒙特卡洛介绍
蒙特卡洛简介
蒙特卡洛（Monte Carlo）方法是一种统计技术，主要用于估算复杂系统的各种数值解。
其基本思想是通过随机抽样来模拟或估算一个过程，从而得到期望的统计结果。
以下是对蒙特卡洛方法的简要介绍：
历史背景：
蒙特卡洛方法得名于摩纳哥的蒙特卡洛赌场。
这个方法是在二战期间，由于需要解决核反应的随机扩散问题，由科学家们（如尤里·乌兰贝克、尼古拉·梅特罗波洛斯和约翰·冯·诺伊曼）在洛斯阿拉莫斯实验室中首次提出并使用的。
工作原理：
1. 随机抽样：根据某个分布（通常是均匀分布）生成大量随机样本。
2. 评估函数：对每个随机样本评估一个函数或模型。
3. 分析结果：基于评估的结果，计算所需的统计量（如均值、方差等）。
应用领域：
1. 金融：用于估算金融衍生品的价格和风险。
2. 物理：模拟复杂的物理过程，如核反应。
3. 工程：进行可靠性分析和风险评估。
4. 计算生物学：模拟生物分子的动力学。
5. 优化：搜索复杂的解空间以找到最优解。
优点：
1. 灵活性：可以应用于各种复杂的数学问题和模型。
2. 并行性：由于每个样本的评估是独立的，所以蒙特卡洛模拟非常适合并行计算。
缺点：
1. 收敛速度：需要大量的样本才能得到精确的估计。
2. 计算成本：可能需要大量的计算资源。
结论：
蒙特卡洛方法是一种强大而灵活的工具，它为解决许多复杂的数学和工程问题提供了手段。
尽管它有一些局限性，但在很多情况下，它都是最好的或唯一可行的解决方案。
计算材料学概述 之 蒙特卡洛方法.详解
随机数产生的办法
关于随机数的几点注意
注1 由于均匀分布的随机数的产生总是采用某个确定 的模型进行的，从理论上讲，总会有周期现象出现的。 初值确定后，所有随机数也随之确定，并不满足真正 随机数的要求。因此通常把由数学方法产生的随机数 成为伪随机数。 但其周期又相当长，在实际应用中几乎不可能出 现。因此，这种由计算机产生的伪随机数可以当作真 正的随机数来处理。 注2 应对所产生的伪随机数作各种统计检验，如独 立性检验，分布检验，功率谱检验等等。
考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规 则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机 地”投掷N个点，若有M个点落于“图形”内，则该“图形” 的面积近似为M/N。
用该方法计算π的基本思路是： 1 、根据圆面积的公式： s=πR^2 ,当R=1时，
11
面积的计算
辛普逊方法
蒙特-卡洛方法
在长方形中均匀投N0组(x,y) 如 y<f(x), 则 N=N+1
I = ΣSn
f (x)
Hale Waihona Puke I =(N/N0)×S0f (x)
S0
S
x x
MC 的优点 MC与传统数学方法相比，具有直观性强，简便易行的优点，该方
法能处理一些其他方法无法解决的负责问题，并且容易在计算机 上实现，在很大程度上可以代替许多大型、难以实现的复杂实验 和社会行为。无污染、无危险、能摆脱实验误差。
Monte Carlo方法之随机数的产生
许多计算机系统都有随机数生成函数 F90: call random_seed
call random_number(a) 2、ISEED=RTC()
蒙特卡洛方法
蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种通过随机抽样和统计模拟来求解各种数学问题的数值计算方法。
它的名称来自于蒙特卡洛赌场，因为该方法的思想与赌博有一定的相似性。
蒙特卡洛方法在各个领域有广泛的应用，如金融、物理、统计等等。
本文将从蒙特卡洛方法的原理、应用和优缺点等方面进行阐述。
首先，我们来了解一下蒙特卡洛方法的基本思想。
蒙特卡洛方法通过进行大量的随机抽样，模拟概率过程，从而得出数值解。
其核心原理是“大数定律”，即当随机抽样的次数趋于无穷大时，所得到的数值解会趋近于准确解。
蒙特卡洛方法的优势在于可以解决一些复杂或者难以找到解析解的问题，而不需要依赖具体的分析方法。
蒙特卡洛方法的应用十分广泛。
在金融领域，蒙特卡洛方法可以用来进行期权定价、风险度量等。
在物理领域，蒙特卡洛方法能够模拟粒子的扩散、能量传输等过程。
在统计学中，蒙特卡洛方法可以用来估计统计量、进行抽样推断等。
此外，蒙特卡洛方法还可以用于优化问题、图像处理、计算机模拟等多个领域。
然而，蒙特卡洛方法也存在一些缺点。
首先，该方法的计算速度较慢，特别是在涉及大规模计算的问题上。
其次，该方法的精确性取决于随机抽样的次数，因此需要进行大量的抽样才能得到准确的结果。
此外，蒙特卡洛方法不适合用于求解确定性的、求解时间敏感的问题。
为了提高蒙特卡洛方法的效率和精确性，研究人员提出了一些改进方法。
例如，重要性抽样法可以通过改变抽样分布来提高采样效率。
拉丁超立方抽样和蒙特卡洛格点法则则可以提高采样的均匀性和覆盖性。
此外，还有一些基于变异抽样和控制变量法的改进方法。
总的来说，蒙特卡洛方法是一种重要的数值计算方法，它通过随机抽样和统计模拟来求解各种数学问题。
蒙特卡洛方法的核心原理是大数定律，其应用范围非常广泛。
然而，蒙特卡洛方法也存在一些缺点，需要进行大量的抽样才能得到准确的结果，并且不适合求解确定性的、时间敏感的问题。
为了提高该方法的效率和精确性，研究人员还提出了一些改进方法。
哈密顿蒙特卡洛算法
哈密顿蒙特卡洛算法（Hamiltonian Monte Carlo, HMC）是一种用于统计推断的强大马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法。
它在许多复杂的统计模型，特别是贝叶斯统计中，表现出了卓越的性能。
HMC结合了物理学中的哈密顿动力学与蒙特卡洛采样技术，有效地解决了传统MCMC方法在处理高维分布时面临的困难。
首先，我们来了解一下蒙特卡洛方法。
蒙特卡洛方法是一类通过随机数（或更一般地，伪随机数）进行数值计算的方法。
在统计物理、粒子输运、真空技术、激光技术、生物医学等多个领域都有广泛应用。
蒙特卡洛方法的基本思想是通过大量随机抽样来估计某个难以直接计算的量。
例如，我们可以用蒙特卡洛方法估算圆周率π的值，或者求解复杂的定积分问题。
然而，传统的蒙特卡洛方法在处理高维分布时效率较低。
为了克服这一问题，哈密顿蒙特卡洛算法应运而生。
HMC算法利用了物理学中的哈密顿动力学原理。
在哈密顿系统中，系统的状态由位置变量和动量变量共同描述，而系统的演化则遵循哈密顿方程。
HMC算法将这些物理概念引入到统计采样中，通过模拟哈密顿动力系统的演化过程来生成样本。
具体来说，HMC算法从一个给定的初始状态开始，然后在每一步中，根据哈密顿方程更新位置和动量。
这个过程相当于在目标分布上进行一次“模拟”的物理运动。
经过一段时间后，系统达到一个新的状态，这个状态被接受作为样本的一部分。
通过重复这个过程，HMC算法可以生成一系列样本，这些样本渐进地服从目标分布。
HMC算法的关键在于如何选择合适的哈密顿函数以及如何模拟哈密顿动力系统的演化。
一般来说，我们需要根据目标分布的特点来构造哈密顿函数，以确保生成的样本能够准确地反映目标分布的特性。
同时，我们还需要选择合适的数值积分方法来模拟哈密顿方程的演化过程，以保证算法的精度和效率。
相比于传统的蒙特卡洛方法，HMC算法具有更高的采样效率和更好的样本质量。
它能够有效地探索高维空间中的复杂分布，并生成与目标分布更为接近的样本。
蒙特卡洛方法
蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的统计模拟方法，被广泛应用于金融、科学工程、计算机图形学等领域。
它的核心思想是通过随机抽样来估计数学问题的解，是一种以概率统计理论为基础的数值计算方法。
蒙特卡洛方法最早由美国科学家冯·诺伊曼在20世纪40年代提出，得名于摩纳哥蒙特卡洛赌场。
它的基本思想是通过大量的随机抽样来近似计算数学问题的解，从而避免了传统数值计算方法中复杂的数学推导和积分计算。
蒙特卡洛方法的优势在于能够处理复杂的多维积分、微分方程、概率分布等问题，同时也能够处理非线性、高维度、高复杂度的数学模型。
蒙特卡洛方法的应用非常广泛，其中最为著名的就是在金融领域的期权定价问题。
在期权定价中，蒙特卡洛方法通过模拟股票价格的随机演化，来估计期权合约的价格。
相比于传统的解析方法，蒙特卡洛方法能够更加灵活地处理各种复杂的期权合约，同时也能够更好地适应市场的波动性和随机性。
除了金融领域，蒙特卡洛方法还被广泛应用于科学工程领域。
在物理学中，蒙特卡洛方法被用来模拟粒子的运动轨迹、核反应、辐射传输等问题；在生物学中，蒙特卡洛方法被用来模拟分子的构象、蛋白质的折叠、生物分子的相互作用等问题；在工程学中，蒙特卡洛方法被用来进行可靠性分析、风险评估、系统优化等问题。
在计算机图形学领域，蒙特卡洛方法被广泛应用于光线追踪、全局光照、体积渲染等问题。
通过蒙特卡洛方法，可以模拟光线在场景中的传播和反射，从而实现逼真的图像渲染效果。
总的来说，蒙特卡洛方法是一种强大的数值计算方法，它通过随机抽样来近似计算数学问题的解，能够处理各种复杂的数学模型，被广泛应用于金融、科学工程、计算机图形学等领域。
随着计算机计算能力的不断提高，蒙特卡洛方法将会在更多领域发挥重要作用，成为解决复杂问题的重要工具之一。
蒙洛卡特算法
蒙洛卡特算法蒙洛卡特算法是一种基于随机抽样技术的数值计算方法，广泛应用于风险评估、金融衍生品定价、物理模拟等众多领域。
本文将对蒙洛卡特算法的原理、应用以及优势进行介绍。
一、蒙洛卡特算法原理蒙特卡洛算法是一种随机化算法，基于随机抽样的方法获取样本来求解问题。
直接蒙特卡洛算法是一种非常原始的方法，将问题转化为一个期望值，使用随机抽样的方法进行估计。
而蒙洛卡特算法则是通过改进直接蒙特卡洛算法，使得随机抽样的效率更高。
具体来说，蒙洛卡特算法首先通过随机抽样的方法生成多个独立的随机数序列，这些序列称为样本。
然后，将这些样本输入到函数中进行计算，最后对计算结果进行统计分析得到估计值。
蒙洛卡特算法有以下几个特点：1. 独立性。
样本之间应该是相互独立的，这意味着每个样本都是完全独立于其他样本的，并且可以多次使用。
2. 随机性。
随机抽样的过程应该是完全随机的，这意味着每个样本的值应该是随机的，并且应该具有相同的概率分布。
3. 代表性。
样本应该是代表性的，这意味着样本的数量应该足够大，以及样本应该来自于整个概率分布的区域。
4. 收敛性。
当样本数量足够大时，蒙洛卡特算法会收敛于真值。
二、蒙洛卡特算法应用1. 风险评估。
用蒙洛卡特算法进行风险评估，可以帮助投资者更加准确地评估投资的风险。
2. 金融衍生产品定价。
蒙洛卡特算法可以帮助金融衍生产品的定价，例如期权、期货等。
3. 物理模拟。
使用蒙洛卡特算法可以模拟物理系统，例如量子场论、蒙特卡洛模拟等。
4. 优化模型。
蒙洛卡特算法可以用于优化模型，例如寻找一个函数的最小值或最大值。
三、蒙洛卡特算法优势1. 可分布计算。
蒙洛卡特算法允许在分布式计算环境下运行，这使得它能够利用并行计算的优势来提高计算效率。
2. 适应高维数据。
相比于其他的数值计算方法，蒙洛卡特算法在处理高维数据时表现更加优秀。
3. 不要求导数。
相比较于一些需要求导数的数值计算方法，例如最优化算法和差分方程算法，蒙洛卡特算法不需要对函数进行求导。
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第三章蒙特卡罗方法简介3.1 Monte Carlo方法简介Monte Carlo方法是诺斯阿拉莫斯实验室在总结其二战期间工作（曼哈顿计划）的基础上提出来的。
Monte Carlo的发明，主要归功于Enrico Fermi、Von Neumann和Stanislaw Ulam等。
自二战以来，Monte Carlo方法由于其在解决粒子输运问题上特有的优势而得到了迅速发展，并在核物理、辐射物理、数学、电子学等方面得到了广泛的应用。
Monte Carlo的基本思想就是基于随机数选择的统计抽样，这和赌博中掷色子很类似，故取名Monte Carlo。
Monte Carlo方法非常适于解决复杂的三维问题，对于不能用确定性方法解决的问题尤其有用，可以用来模拟核子与物质的相互作用。
在粒子输运中，Monte Carlo技术就是跟踪来自源的每个粒子，从粒子产生开始，直到其消亡（吸收或逃逸等）。
在跟踪过程中，利用有关传输数据经随机抽样来决定粒子每一步的结果[6]。
3.2 Monte Carlo发展历程MCNP程序全名为Monte Carlo Neutron and Photon Transport Code (蒙特卡罗中子-光子输运程序)。
Monte Carlo模拟程序是在1940年美国实施“发展核武器计划”时，由洛斯阿拉莫斯实验室（LANL）提出的，为其所投入的研究、发展、程序编写及参数制作超过了500人年。
1950年Monte Carlo方法的机器语言出现, 1963年通用性的Monte Carlo方法语言推出，在此基础上，20世纪70年代中期由中子程序和光子程序合并,形成了最初的MCNP程序。
自那时起，每2—3年MCNP更新一次, 版本不断发展，功能不断增加，适应面也越来越广。
已知的MCNP程序研制版本的更新时间表如下：MCNP-3：1983年写成，为标准的FORTRAN-77版本，截面采用ENDF /B2III。
MCNP-3A：1986年写成，加进了多种标准源，截面采用ENDF /B2I V[20]。
MCNP-3B:：1988年写成具有阵列几何处理能力(即重复结构描述)，多群截面和计数输出的图形化功能，截面采用ENDF /B2I V和ENDL2 851。
MCNP-4:：1990年7月由LANL写成，截面采用ENDF /B2V。
MCNP-4.2：1991年3月由ORNL的RSIC写成，程序有较大改进，增加了基于Sandia国家实验室的ITS( Integrated Tiger Series)-连续能量电子输运包，将其编入MCNP程序，专用于UNIX系统，从此MCNP程序成为中子/光子/电子耦合输运程序。
MCNP-4A：1993年诞生，仍为UNIX系统，开始引入PVM并行，适合共享存储并行计算机，截面为ENDF/B2 V。
MCNP-4B：1997年3月正式推出，有PC版(需要LAHEY编译系统支持) ，UNIX版，采用ENDF/B2VI截面库和彩色图形系统，仍采用PVM并行编程。
MCNP-4B2：为MCNP-4B的升级版，其支持FORTRAN-90系统。
MCNP-4C：2000正式推出，在MCNP-4B基础上增加共振自屏、瞬发α本征值、微扰和多群伴随中子输运计算等处理，采用F90编译器，工作站版本支持PVM和SMPP并行。
MCNP-5：2003年推出。
在这个版本中，完成了从FORTRAN-77到 FORTRAN-90的重新组织，支持以前的MCNP-4C2 /4C3全部功能，同时在提高图形显示，易安装性以及更好的在线文档方面有较大改善。
另外，在MCNP系列版本中，出现MCNPX版本，该版本程序仍为该实验室研制，并由其负责维护和更新。
MCNPX开始于1994年，作为MCNP-4B和LAHET-2 . 8的代码整合项目，并第1次在1999年对外发布，版本为2 .1 .5。
2002年, MCNPX升级为MCNP- 4C，其变化包括支持FORTRAN-90系统，加强了12种新特性，并作为2.4.0版本对外发布。
自从2002年开始，MCNPX测试组向全球300个机构中的1400多名用户进行公开测试，在加入了数10个新特性后作为2.5.0版对外发布。
MCNPX现在已经成为世界上使用最为广泛的粒子输运程序之一[7]。
3.3 MCNP-3B/PC的输入文件表3.1 MCNP输入数据物理量的单位物理量单位 物理量 单位 长度cm 能量 MeV 时间刹（810 ） 温度 MeV 原子密度2410个原子/3cm 质量密度 g/3cm 截面 巴（bar ） 3.3.1 初始运行的输入文件这一文件用于建立一个蒙特卡罗计算问题，对问题的几何结构、材料、计数要求等等给以描述，如果需要，便可直接运行。
该文件按书写顺序包括如下内容： 信息块卡 该项是选择性的；可有可无。
（空行分隔）标题卡栅元描述卡（空行分隔）曲面描述卡（空行分隔）数据卡（空行分隔）其它卡 选择项其中的标题卡不可省去，它限于一行，且占用 1－80 列，它作为 MCNP 各部分输出表的标题使用。
数据卡后面不管有没有空行分隔符， MCNP 都能运行， 不同的是如果数据卡后向有至行分隔符，则MCNP 将不再读后面的附加行（附加行存在） 。
附加行一般为这个问题的说明或者是与这个输入文件本身有关的信息。
那么，该空行分隔行能防止读入这些附加信息。
3.3.2 卡片书写格式INP 文件中的每一行（我们称之为一张卡片） ，都限于使用 1-80 列并构成卡片映象。
大部分输入卡片按行填写；然而，数据卡片也允许按列填写。
“＄”符号为它所在行数据的结束符号。
在“＄”符号后面的内容为注释内容，注释内容可从“＄”符号后的任一列开始。
标题卡例外，它只限于一行，整行都可填入用户的信息，即使全部空白也可（在输入文件的其余部分，空白卡则作分界符或终止符使用）。
标题卡通常给出特定计算问题的信息。
输入文件中，在标题卡之后及最后的空白结束卡之前，任何地方都可插入注释卡。
注释卡的第一列必须标有字母“c”，且后面跟 4 个空格，第 6-80 列供用户填入任何注释内容。
注释卡仅在输入文件内容的原型输出部分印出，输出文件的其它任何部分不再出现。
FCn卡也是作为注释用的，但它将作为记数类型 n 的表头文字印出，比如可作为记数的标题出现。
SCn 卡也是作为注释用的，但它将作为源概率分布 n 的表头文字印出。
l．行输入格式栅元卡、曲面卡及数据卡的书写格式是相同的。
第 l-5 列填写这些卡片相应的名字（或序号），而且可以写在 1-5 列的任何地方。
如果 1-5 列为空白，则表示它是前一张卡片的继续卡。
（完全的空白卡则作为两组卡片的分界符使用）。
带有粒子标识符的卡可需要 5 列以上，但冒号必须写在第 6 列以前（包含第 6 列）。
6-80 列是用自由格式填写 1-5 列卡片有关的数据项。
填入的数据项之间均以空格（一个或多个）作为分隔。
一般讲，填入的数据可以是任何类型，定点数、浮点数及八进制数等等，MCNP会根据所送入的变量类型进行适当转换。
需要整数输入的地方必须填写整数。
一个数据项必须在一张卡片上写完，不得跨到下一张卡片上。
2．列输入格式列输入格式对于栅元参数和源分布是特别有用的。
按行排列的栅元重要性或体积可读性差，并且当用户增加或删除栅元参数时容易出错。
用列输入格式，一个栅元的所有栅元参数是放在标有这个栅元名字的那行上。
如果要删除某个栅元参数，用户只需删除栅元参数这一行，而不需在每一个栅元参数卡上寻找属于该栅元的数据项。
对源描述，相应 SI、SP及 SB的数据逐个放在每一行上。
3.3.3 栅元描述的一般卡片格式格式： j m d geom paramsj：栅元的题目序号，写在第 1-5 列，1≦j≦99999。
“题目序号”是指由用户按任意所希望的次序选定的序号，在一个文件中，可以不连续。
然而 MCNP 将按照读入的顺序对栅元进行编号，从 1 开始按增量为 1 单调上升。
我们将此称之为栅元的“程序编号”。
必须明白题目编号与程序编号的区别，因为后面叙述的一些卡片将会引用到这种或那种编号。
不过多数情况下，用户给出的序号往往与程序编号一致，这也是避免混乱，减少错误的最可靠方法。
m：栅元的材料号，它是材料卡（Mm）中相应材料的序号。
真空栅元，m=0。
d：栅元材料的密度。
填入正值时，表示是原子密度（单位为 1024个原子/cm3）；填入负值时，则是质量密度（单位为 gm/cm3）。
对于真空栅元，该项不填，直接列出下一项内容。
geom：栅元的几何描述。
它列出界定该栅元的所有曲面号（带有数将，表示坐向），及描述这些曲面所定义的曲面之间关系的布尔算符，布尔算将包括交（Intersection），用一个空格表示；联（Union），用“：”号表示；余（Complement），用“#”表示。
这里所说的曲面号及栅元号都指的是题目编号。
如果定义该栅元要用到一个虚设曲面，则它必须作为界定该概元的一个曲面列出（同样带有坐向数符）。
param：任选的栅元参数说明，其形式为：关键词=数值。
3.3.4 源的描述卡对每一个 MCNP 问题都有四个源中的一个。
四个源包括：①通用源（SDEF 卡）；②曲面源（SSR 卡）；③临界源（KCODE 卡）；④用户提供的源。
除了临界源之外，其它源都能使用源分布函数，分布函数分别由 SIn、SPn、SBn 和 DSn 卡指定。
下列卡片用于指定源的信息：助记名（1-5列）卡片内容助记名（1-5列）卡片内容SDEF 通用源SCn 源注释SIn 源信息SSW 写曲面源SPn 源概率SSR 读曲面源SBn 源偏倚KCODE 迭代源DSn 相关源KSRC 源的一些特点在一些情况下，MODE 卡也作为源描述部分来说明从源出发粒子的隐含类型。
对源粒子的描述应包括如下信息：i）几何位置（xxx，yyy，zzz）；ii）飞行方向（uuu，vvv，www）iii）能量（ERG）；iv）开始时间（TME）；v）粒子类型（IPT）；vi）粒子统计权重（WGT）；vii）粒子开始栅元（ICL）；viii）粒子开始曲面（JSU），如果开始点不在曲面上该值为0。
如果对点探测器或者 DXTRAN球的问题还必须定义另外一些变量。
源粒子的类型（中子或光子）则自动由 MODE 卡指定了。
上述变量的任何一个都可能有一个概率分布。
源粒子若出生在重要性为“0”的栅元，则是一个致命性错误。
3.3.5 FSn分段记数卡（记数类型 1,2,4,6,7）格式： FSn S1 S2 … Skn：记数号；Si：带数符的分段曲面的题目编号。
此卡不用于探测器。
可以要求 Sdn 卡。
该卡允许用户把一个栅元或曲面分成若干段来记数，其优点在于不必专为记数设置额外的栅元。