模拟美丽的花朵的数学方程

模拟美丽的花朵的数学方程

数学家们很早就已经注意到某些植物的叶、花形状与一些封闭曲线非常相似。十七世纪法国数学家迪卡尔由于发明坐标法使他得到了富有诗意和数学美感的。

我们可以利用上述一些方程去描述花的外部轮廓，这些曲线称为“玫瑰形线”，在极坐标系下方程，其中a和k为给定的正的常数。k的取值不同时，得到花瓣数不一样；a的大小确定花瓣的长短。

“莱莉花瓣”——笛卡尔曲线，其方程是：x3+y3=3axy。

三叶草：ρ=4(1+cos3φ+3sin23φ)

方程式：ρ= 8 *

t，θ=360 * t * 4，φ= -360 * t * 8

向日葵线：θ=t*360，r=30+10*sin(θ*30)，z=0

蝴蝶函数：

ρ=0.2sin(3θ)+sin(4θ)+2sin(5θ)+1.9sin(7θ)-0.2sin(9θ)+sin( 11θ)

花函数：ρ=3sin(3θ)+3.5cos(10θ)cos(8θ)

洛伦兹吸引子方程：dx/dt=10(-x+y)，dy/dt=28x-y+xz，

dz/dt=xy-8z/3

对数螺线是1638年经笛卡尔引进的，后来瑞士数学家雅各·伯努利曾详细研究过它，发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线，极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线，

等等。伯努利对这些有趣的性质惊叹不止，竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上，并附词“纵使改变，依然故我”。可惜雕刻师误将阿基米德螺线刻了上去。

对数螺线是一根无止尽的螺线，它永远向着极绕，越绕越靠近极，但又永远不能到达极。据说，使用最精密的仪器也看不到一根完全的对数螺线，这种图形只存在科学家的假想中。

螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达：ρ=αe(kφ)

其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828……，是一个无限不循环小数。

对数螺线在自然界中最为普遍存在，其它螺线也与对数螺线

有一定的关系，不过目前我们仍未找到螺线的通式。

在复平面上定义一个复数

z = a + bi，其中a, b ≠ 0，那么连结z、z,2、z3……

的曲线就是一条对数螺线。若L 是复平面中的一条直线且不平行于实数或虚数轴，那么指数函数ez 会将这些直线映像到以0 为中心的对数螺线。