数学分析数列极限分析解析
数列的极限例题及详解
数列的极限例题及详解
极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了某种函数在某点附近的行为趋势，同时提供了有效的技术来解决数列的极限问题。
我们本文将讨论数列的极限问题，包括定义和几个例子。
一.定义
极限是一个抽象的概念，它指的是一个数列中的每一项都趋近一定的值，这个值称为数列的极限。
另外，数列的极限也称为极限点或极限值。
当然，数学家们对极限的定义更加严格，但这些都不重要，我们只需要理解数列的极限概念即可。
二.例题
1.设a_n=(-1)^n/n，求a_n的极限。
解：
首先，由于(-1)^n为一个交替变化的算子，它的值在n变大时无论n的奇偶性如何，(-1)^n的值都保持不变，因此极限就是
(-1)^n/n的值。
考虑n变大时，(-1)^n/n的值接近于0，所以a_n
的极限就是0.
2.设a_n=(1+1/n)^n，求a_n的极限。
解：
这个例题比较特殊，因为算子(1+1/n)^n这里n和指数相关，考虑当n变大时，(1+1/n)^n的值就接近于e，所以a_n的极限就是e.
3.设a_n=1/n，求a_n的极限。
解：
由于1/n的值是从1开始逐渐减小，当n变大时，1/n的值就逐渐接近于0，所以a_n的极限就是0.
三.总结
本文讨论了数列的极限问题，先介绍了数列极限的定义，然后举例说明了3种数列的极限问题，这其中包含了数列算子计算中比较常见的概念，如交替系数，和指数极限等。
希望本文对读者有所帮助。
数学分析讲义 - CH02(数列极限)
第二章 数列极限 §1 数列极限概念一、数列极限的定义()函数:,f N n f +→R n 称为数列。
()f n 通常记作12,,,,n a a a或简单地记作，其中称为该数列的通项。
}{n a n a 例如：11{}:1,,,,2n a n ，通项1n a n=。
如何描述一个数列“随着的无限增大，无限地接近某一常数”。
下面给出数列极限的精确定义。
n n a 定义1 设为数列，a 为定数．若对任给的正数}{n a ε，总存在正整数，使得当时，有N n N >n a a ε-<则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作}{n a a a }{n a a a n n =∞→lim ，或)(∞→→n a a n读作“当n 趋于无穷大时，{}n a 的极限等于或趋于”． a n a a 若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列． }{n a }{n a }{n a 【注】该定义通常称为数列极限的“N ε-定义”。
例1 设（常数），证明n a c =lim n n a c →∞=.证 对0ε∀>，因为0n a c c c ε-=-=<恒成立，因此，只要取，当n 时，便有1N =N >n a c ε-<这就证得li .m n c c →∞=例2 1lim0n n→∞=(0)α>. 证 对0ε∀>，要110n nε-=< 只要1n ε>只要取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当时，便有N n >110n nε-=< 这就证得1lim0n n→∞=。
例3 lim 11n nn →∞=+.证 因为11111n n n n-=<++ 对0ε∀>，取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当时，便有N n >11111n n n nε-=<<++ 这就证得lim 11n nn →∞=+。
关于数列极限的“N ε-定义”，作以下几点说明： 【1】定义中不一定取正整数，可换成某个正实数。
第一讲-数列极限(数学分析)
第一讲 数列极限一、上、下确界 1、定义：1）设S R ⊂，若:,M R x S x M ∃∈∀∈≤，则称M 是数集S 的一个上界，这时称S 上有界；若:,L R x S x L ∃∈∀∈≥，则称L 是数集S 的一个下界，这时称S 下有界；当S 既有上界又有下界时就称S为有界数集。
2）设S R ⊂，若:,M R x S x M ∃∈∀∈≤，且0,:x S x M εε∀>∃∈>-，则称M 是数集S 的上确界，记sup M S =；若:,L R x S x L ∃∈∀∈≥，且0,:x S x L εε∀>∃∈<+，则称L 是数集S 的下确界，记inf L S =。
2、性质： 1）（确界原理）设S R ⊂，S ≠∅，若S 有上界，则S 有上确界；若S 有下界，则S 有下确界。
2）当S 无上界时，记sup S =+∞；当S 无下界时，记inf S =-∞。
3）sup()max{sup ,sup };inf()min{inf ,inf }AB A B A B A B ==。
4）sup inf();inf sup()S S S S =--=--。
5）sup()sup sup ;inf()inf inf A B A B A B A B +=++=+。
6）sup()sup inf A B A B -=-。
（武大93） 7）设(),()f x g x 是D 上的有界函数，则inf ()inf ()inf{()()}sup ()inf ()sup{()()}sup ()sup ()x Dx Df Dg D f x g x f D g D f x g x f D g D ∈∈+≤+≤+≤+≤+3、应用研究1）设{}n x 为一个正无穷大数列，E 为{}n x 的一切项组成的数集，试证必存在自然数p ，使得inf p x E =。
（武大94） 二、数列极限 1、定义：1）lim 0,():,||n n n a a N N n N a a εεε→∞=⇔∀>∃=>-<，称{}n a 为收敛数列；2）lim 0,:,n n n a M N n N a M →∞=+∞⇔∀>∃>>，称{}n a 为+∞数列；3）lim 0,:,n n n a M N n N a M →∞=-∞⇔∀>∃><-，称{}n a 为-∞数列；4）lim 0,:,||n n n a M N n N a M →∞=∞⇔∀>∃>>，称{}n a 为∞数列；5）lim 0n n a →∞=，称{}n a 为无穷小数列；2、性质1）唯一性：若lim ,lim n n n n a a a b a b →∞→∞==⇒=。
数学分析中极限问题的浅析 (1)
《数学分析》中极限问题的浅析极限理论是数学分析这门学科的基础，极限方法是数学分析的基本方法，通过极限思想、借助极限工具使数学分析内容更加严谨，可以说，极限贯穿整个数学分析的始末，学好极限十分重要。
完整的极限理论的建立，依赖于实数的基本性质，即实数系的所谓连续性，我们已经熟悉的单调有界原理，就是连续性的一个等价命题。
极限问题类型很多，变化复杂，解决极限问题在数学分析中更显得尤为重要。
这里举一些比较典型的实例，希望从中归纳出解决极限问题的方法。
下面举例说明求解极限问题的若干方法，其主要是根据极限的定义、运算法则和性质、定理，以及数学上的其他知识和技巧。
一 求数列极限（一） 利用迫敛性定理求极限首先说明迫敛性定理[1]求极限，这是一种简单而常用的方法。
例1、证明 （1） (a > 0)（2） 证明： （1）当a = 1时，等式显然成立。
当a >1时，令则：a = (1 + h n )n = 1 + nh n + 故0 < h n <h n = 0即： (1 + h n ) = 1 当 0 < a < 1时：lim ∞→n 1=n a lim ∞→n 1=n n n n h a +=1 (h n > 0)n nn n nh h h n n >++- 22)1(na由迫敛性定理lim∞→n lim ∞→n =n a lim∞→n lim ∞→n =n a lim ∞→n =na 11 1 lim ∞→n n a1= 1（2） 设n = (1 + h n )n = 1 + nh n +>由迫敛性定理得 h n = 0从而：例：求极限即：e n由迫敛性定理可得：从而：由连续函数定义知：极限定义是判定极限是某个数的充要条件，因此有时要用到它的否定形式[2]，现叙述如下：（二）单调有界原理求极限单调有界原理是判定极限存在的重要法则，虽然它不能判定极限是什么nn h n +=1其中h n > 0 则2≥n nn n h h n n ++- 22)1(22)1(nh n n -即： 0 < h n <)2(12≥-n n lim∞→n lim ∞→n =n n lim ∞→n (1 + h n ) = 1lim+→0λ⎪⎪⎭⎫+++ ⎝⎛λλλn e e e n 21时：解：当0>λλλλλnnn ne e e e ≤++< 1n n e n e e λλλλ≤ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫++≤ 1令 +→0λlim +→0n n n e e e e =⎪⎪⎭⎫+++ ⎝⎛λλλλ21lim+→0n λn ee n n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++λλ 1⋅λ{}，，，对任意自然数，若存在设数列01000N N N a n >∃>ε{}为极限。
高中数学数列极限的性质与计算方法详解
高中数学数列极限的性质与计算方法详解数列是高中数学中的重要概念，而数列的极限更是数学分析的基础。
在高中数学中，数列极限的性质和计算方法是一个重要的考点。
本文将详细解析数列极限的性质和计算方法，并通过具体题目进行举例，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。
一、数列极限的性质1. 有界性：如果数列{an}存在有界的上界和下界，那么该数列必定收敛。
例如，考虑数列{an} = (-1)^n，该数列的值在-1和1之间，因此数列{an}是有界的，且极限为0。
2. 单调性：如果数列{an}单调递增且有上界，或者单调递减且有下界，那么该数列必定收敛。
例如，考虑数列{an} = 1/n，该数列单调递减且有下界0，因此数列{an}是收敛的，且极限为0。
3. 夹逼定理：如果数列{an}满足an≤bn≤cn，并且lim an = lim cn = L，那么数列{bn}也收敛，并且极限为L。
例如，考虑数列{an} = 1/n，{bn} = (1 + 1/n)^n，{cn}= (1 + 1/n)^(n+1)，显然有an≤bn≤cn，并且lim an = lim cn = 0，因此数列{bn}也收敛，且极限为0。
二、数列极限的计算方法1. 基本四则运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，那么数列{an + bn}的极限为A + B，数列{an - bn}的极限为A - B，数列{an * bn}的极限为A * B，数列{an / bn}的极限为A / B（其中B ≠ 0）。
2. 极限的乘法法则：如果数列{an}的极限为A，数列{bn}的极限为B，那么数列{an * bn}的极限为A * B。
例如，考虑数列{an} = 1/n，{bn} = n，显然lim an = 0，lim bn = ∞，但是lim (an * bn) = 1。
3. 极限的倒数法则：如果数列{an}的极限为A（A ≠ 0），那么数列{1/an}的极限为1/A。
高中数学数列极限的概念及相关题目解析
高中数学数列极限的概念及相关题目解析数列是高中数学中的重要概念之一，而数列的极限更是数学学科中的基础知识。
在高中数学的学习中，理解和掌握数列极限的概念及相关题目的解析方法是非常重要的。
本文将从数列极限的定义、性质以及常见的数列极限题目出发，详细解析数列极限的相关知识。
一、数列极限的定义和性质数列极限是指当数列的项无限接近某个确定的值时，这个确定的值就是数列的极限。
数列极限的定义可以用数学符号表示为：对于数列{an}，当n趋于无穷大时，如果存在一个常数a，使得对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N 时，有|an-a|<ε成立，则称数列{an}的极限为a。
数列极限具有以下性质：1. 数列极限的唯一性：如果数列{an}的极限存在，那么它是唯一的。
2. 有界性：如果数列{an}的极限存在，那么它是有界的，即存在正数M，使得对于所有的n，都有|an|≤M成立。
3. 夹逼准则：如果对于数列{an}、{bn}和{cn}，满足an≤bn≤cn，并且lim(an)=lim(cn)=a，那么lim(bn)=a。
二、数列极限的题目解析1. 求数列极限的方法：题目：已知数列{an}的通项公式为an=1/n，求lim(an)。
解析：对于这道题目，我们可以通过直接代入数值的方法来求解。
当n取不同的值时，计算出对应的an的值，然后观察an的变化规律。
当n趋于无穷大时，我们可以发现an的值趋近于0。
因此，根据数列极限的定义，lim(an)=0。
2. 判断数列极限是否存在：题目：已知数列{an}的通项公式为an=(-1)^n/n，判断lim(an)是否存在。
解析：对于这道题目，我们可以通过分析数列的变化规律来判断其极限是否存在。
当n取不同的奇数时，an的值为正数，而当n取不同的偶数时，an的值为负数。
因此，数列{an}的值在正数和负数之间不断变化，没有趋于一个确定的值，所以lim(an)不存在。
3. 利用夹逼准则求数列极限：题目：已知数列{an}的通项公式为an=√(n^2+1)-n，求lim(an)。
数学分析 2-1数列极限的概念
0
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三、数列极限的定义
先观察几个数列：
xn
1
1
an
1 n
O
102 103 104
105 106 107
108
109 1010 1011
n
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xn
1
2
an
1
1 n
O
102 103 104
105 106 107
n 108 109 1010 1011
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xn
3 an n
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（一）极限的直观定义 结论： 当 n “无限增大”时 ,数列的变化趋势有三种情形：
1、an“无限增大”；
2、an“变化Байду номын сангаас势不定”；
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观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
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观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
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观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
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观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
他计算到正3072 6 29边形，得：
3927 3.1416
1250
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Archimedes' calculation of
In the third century B.C., Archimedes calculated the value of pi to an accuracy of one accuracy of one part in a thousand. His technique was based on inscribing and circumscribing polygons in a circle, and is very much akin to the method of lower and upper sums used to define the Riemann integral. His approach is presented in the following sequence of slides.
数学分析中数列极限概念的教学
数学分析中数列极限概念的教学数学分析中，数列极限概念是非常重要的概念，它为深入研究数学分析提供了重要支持，也是数学分析中最具有挑战性的概念之一。
因此，数列极限概念的教学对于数学分析的学习、教学和研究来说，至关重要。
一般来说，数列极限概念的教学包括以下几个方面：（1）定义数列：数列是按照一定的规律排列的有穷多个数，数列可以是有理数、实数、复数、函数和向量等。
（2）数列的极限：数列的极限是指当数列的元素趋近无穷时，它的值所取的上限或者下限，用符号lim表示数列的极限。
（3）数列极限的几何意义：当数列中的每一项和它后面元素的差值变得越来越小时，数列极限就代表数列元素趋于某一数值，这个数值就是数列极限。
（4）数列极限的证明：为了证明数列极限存在，可以使用定义型极限法、准则型极限法、收敛极限法等。
（5）极限的应用：数列极限的应用已经超出了数列的范畴，它可以用来解决复杂的数学问题，如求解微分方程和积分等。
在数列极限概念的教学中，讲师应注意以下几点：（1）在教学中，讲师一定要明白数列极限概念，要能够清楚地讲解，让学生们更好地理解数列极限的含义。
（2）讲师在教学中要能够充分体现数列极限的几何意义，要能够用图形、案例或者具体的实例来帮助学生理解数列极限概念。
（3）讲师要能够用不同的方法来证明数列极限的存在，使学生们熟悉极限的定义和极限的证明。
（4）讲师要能够用实际例子和案例，将数列极限概念运用到日常生活中，让学生们更加了解数列极限概念在实际中的应用价值。
以上是数学分析中数列极限概念的教学，数列极限概念的教学不仅具有重要的理论意义，而且具有重要的应用价值，是数学分析教学中一个重要的环节。
讲师在教学数列极限概念时，一定要认真负责，要能够调动学生的学习兴趣，使学生能够更好、更深入地理解数列极限概念，为学生构建数学分析的理论基础打下良好的基础。
数学分析求极限的方法
数学分析求极限的方法数学分析是一门重要的数学分支，它涵盖了微积分和极限概念。
在解决各种数学问题时，求极限是一种常用且有效的方法。
本文将介绍数学分析中求极限的方法。
一、极限定义在数学分析中，极限的定义是基础和核心。
以数列极限为例，设f(n)是一个数列，即f(n) = {a1, a2, a3, ...}，当n趋向于无穷大时，数列f(n)也可能趋向于一些常数L。
这时，我们说数列f(n)的极限是L，记作lim(f(n)) = L。
具体定义如下：对于给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，满足，f(n)-L，<ε，即该数列的值与极限L之间的差值可以无限地小。
此外，还存在函数极限、无穷级数极限等，极限的定义类似。
二、通用的求极限方法1.代入法：适用于能直接代入的值，如函数在其中一点的值的极限。
例如，求f(x)=x²在x=2处的极限，可以直接代入得到f(2)=42. 四则运算法则：对于已知函数的四则运算，可以根据这些运算法则推导其极限。
例如，已知lim(f(x)) = L，lim(g(x)) = M，那么lim(f(x) + g(x)) = L + M，lim(f(x) * g(x)) = L * M。
3. 夹逼准则：适用于无法直接计算的极限。
当存在两个函数f(x)和g(x)，满足f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，且lim(f(x)) = L = lim(h(x))，那么lim(g(x))也是L。
这个方法可以通过缩小函数的范围，确定函数极限的值。
4.分数的处理：对于含有分数的极限，可以通过有理化等方法，消除分母并进行化简，进而进行求解。
5. 变量代换法：通过变量代换，将复杂的函数转化为简单形式，便于求极限。
常用的变量代换包括：令u=x-a，令u=1/x，令u=sin(x)等。
三、特殊函数的求极限方法1.三角函数极限：- lim(sin(x)/x) = 1，由拉'Hôpital法则可得- lim(x->0)(1-cos(x))/x² = 1/2，根据泰勒展开式进行推导- lim(x->∞)(1+1/x)^x = e，通过无穷次幂次根进行进一步求解2.指数函数和对数函数极限：- lim((1+1/n)^n) = e，通过无穷次幂次根进行推导- lim(x->0)((1+x)^a-1)/x = a，使用拉'Hôpital法则- lim(x->∞)(ln(x))/x = 0，通过对数的性质进行简化3.高阶无穷小量极限：- 当x趋近于0时，lim(x->0)sin(x)/x = 1，这是因为sin(x)/x是一个无穷小量，其极限值为1四、拉'Hôpital法则拉'Hôpital法则是求解函数的极限的重要工具，它适用于函数的计算结果为无穷大/无穷大，0/0，无穷大*0等特殊形式的极限。
数列极限各类解法探究
数列极限各类解法探究目录一、数列极限的基本概念与性质 (2)1. 数列极限的定义 (3)2. 极限的性质 (4)3. 极限的存在性定理 (4)二、数列极限的常见求解方法 (5)1. 直接法 (6)2.1 逐项相加或相乘 (7)2.2 单调有界准则 (8)2. 间接法 (10)2.1 等价无穷小替换 (11)2.2 导数与微分 (12)2.3 函数连续性的利用 (13)3. 定积分定义法 (14)4. 夹逼准则 (15)5. 单调有界定理 (16)6. 柯西收敛准则 (18)7. 实数的完备性 (19)三、特殊数列的极限求解 (20)1. 无穷数列 (21)3.1 单调有界数列 (23)3.2 发散数列 (23)2. 振荡数列 (23)3. 交错级数 (24)4. 幂级数 (26)四、数列极限的应用 (27)1. 求极限值 (28)2. 证明不等式 (29)3. 求解常微分方程 (30)五、数列极限的计算机求解方法 (31)1. 计算机模拟 (31)2. 数值分析软件 (33)3. 算法设计与实现 (34)六、数列极限的讨论与展望 (36)1. 数列极限理论的局限性 (37)2. 新的求解方法的探索 (38)3. 数列极限与其他数学领域的联系 (40)一、数列极限的基本概念与性质数列极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了数列在无限接近某个值时的趋势和行为。
数列极限的基本概念包括：极限的定义：对于一个数列{a_n}，如果存在一个实数 L，使得当 n 趋于无穷大时，a_n 趋于 L，即 lim(n) a_n L，则称 L 为数列{a_n}的极限。
有界性：如果数列{a_n}的极限存在且为 L，那么 L 必须同时属于数列{a_n}的所有项的范围。
柯西收敛准则：对于任意给定的正数0，存在正整数 N，使得当n, m N 时，a_n a_m 。
单调有界原理：如果数列{a_n}单调递增（或递减）且有上界（或下界），则该数列必有极限。
数学分析讲解数列极限
例7 设数列{xn}对常数A和0 < q <1满足条件
| xn1 A | q | xn A | (n N)
证明
lim
n
xn
A.
例8
设
x1
1,
xn1
1 1 xn
,
(n
N).求
lim
n
xn
三、收敛数列的性质
定理1 （唯一性）若数列{xn}存在极限，则其极限值必唯一. 即
若lim n
xn
A, 又 lim n
推论1 若
lim
n
an
a , 则有
lim a1 a2 L
n
n
an a
推论2
若an
>
0,
且
lim
n
an
a
,
则有
lim n
n
a1 a2 L
an
a
推论3
若an
>
0,
且lim n
an an1
a , 则有
lim n
n
an
a
例14
求极限
12 lim
22
n
2 32 3 3L n2 n n n3
lim (
n
xn
yn )
A
B
lim
n
xn
lim
n
yn ;
lim (
n
xn
yn )
A
B
lim
n
xn
lim n
yn ;
(lim n
xnm
Am ,
m N)
(lnim(cxn
)
cA
c
lim
数学分析数列极限分析解析
第二章 数列极限§1 数列极限概念教学目的与要求：使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。
教学重点，难点：数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。
教学内容： 一、课题引入1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。
2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰，日取其半，万古不竭。
”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，321，……，n 21，…… 或简记作数列：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21分析：1°、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0；2二、数列极限定义1°将上述实例一般化可得：对数列{}na ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，n 能无限接近常数a 该数为收敛数列，a 为它的极限。
例如：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1， a=0；⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(3， a=3; {}2n ， a 不存在，数列不收敛；{}n)1(-， a 不存在，数列不收敛；2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(()3以3为极限，对ε=1013)1(3--+=-na a nn =1011n只需取N=10，即可3°“抽象化”得“数列极限”的定义定义：设{}na 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有aa n -＜ε则称数列{}na 收敛于a ，a 为它的极限。
记作a a n n =∞→lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明（1）若数列{}na 没有极限，则称该数列为发散数列。
数学分析中求极限的方法总结
数学分析中求极限的方法总结一、数列极限：1.利用通项公式或递推公式求出数列的表达式，进而通过数学运算和性质进行极限求解；2.利用引理，例如夹逼定理、单调有界定理等，根据已知的性质以及所要求的极限关系，确定一个与之相关的已知极限，然后运用引理求解未知极限。
二、函数极限：1.利用函数的性质，例如连续性、导数性质等，结合极限的定义进行计算；2.利用夹逼定理、单调有界准则等物理建模方法，将复杂的函数极限问题转化为更简单的函数极限问题，然后求解；3.利用泰勒展开、极坐标变换、特殊函数性质等数学分析工具进行极限计算。
三、级数极限：1.根据级数极限的定义，利用极限计算原理进行求解；2.利用级数的收敛判别法，例如比较判别法、积分判别法、根值判别法等，确定级数的收敛性质，进而求解其极限。
在具体的求极限中，还可以运用以下方法和技巧：1. 运用数列极限的性质，例如子数列性质、Cauchy准则等，进行极限求解；2.将复杂的极限问题化为较为简单的形式，例如利用变量替换或函数分解等方法；3.利用数列和函数的收敛性质，例如极限的保序、保号、保比、保和等运算规则；4. 运用Stolz定理、L'Hopital法则等特殊的求极限方法；5.利用正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数等特殊函数的性质，进行计算。
最后，对于一些复杂的极限问题，如果经过常规方法无法求解，可以尝试使用数值逼近法，例如牛顿法、二分法等，来逼近极限值。
综上所述，数学分析中求极限的方法主要包括数列极限、函数极限和级数极限等多个方面。
除了利用极限的定义和性质进行计算外，还可以利用引理、准则、工具和技巧等进行解题。
在实际的极限求解中，还需要根据具体问题选择最合适的方法，灵活运用，提高解题效率。
数列的极限与无穷级数详细解析与归纳
数列的极限与无穷级数详细解析与归纳数列（Sequences）是数学中非常重要的一个概念，它在各个数学分支如微积分、线性代数和实分析等中都扮演了重要的角色。
数列的极限以及与之相关的无穷级数（Infinite Series）也是数学学习过程中不可或缺的内容。
本文将详细解析数列的极限和无穷级数，并进行归纳总结。
一、数列的极限数列的极限是指随着项数的增加，数列中的数值逐渐接近于某个固定的值。
数列的极限可以分为有界数列的极限和无界数列的极限两种情况。
1. 有界数列的极限对于有界数列，存在一个实数M，使得数列中的所有项都小于等于M。
有界数列的极限可以通过一些基本的定理判断。
（1）夹逼定理（Squeeze Theorem）对于数列{an}、{bn}和{cn}，如果对于所有的n，有an ≤ bn ≤ cn，且lim(an) = lim(cn) = L，那么lim(bn) = L。
（2）单调有界数列的极限单调有界数列指的是数列满足单调性并且有界。
如果一个数列既是递增的又是有上界的，或者既是递减的又是有下界的，那么它一定有极限。
2. 无界数列的极限对于无界数列，其项数随着增大而无限增大或无限减小。
无界数列的极限可以通过数列的增长趋势来判断。
（1）正无穷大和负无穷大的极限当数列中的项数趋向于无穷大时，如果数列的值无限增大，我们称之为正无穷大，记作lim(an) = +∞；如果数列的值无限减小，我们称之为负无穷大，记作lim(an) = -∞。
（2）无界变号数列的极限当数列中的项数趋向于无穷大时，如果数列的值在正值和负值之间变换，且无限接近于无穷大或无穷小的极限，我们称之为无界变号数列，并且它没有极限。
二、无穷级数无穷级数是指数列的所有项之和，而不是有限项之和。
无穷级数可以表示为S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中an为数列的第n项。
对于无穷级数，有以下几个重要的概念和定理：1. 部分和（Partial Sum）无穷级数的部分和指的是前n项的和，记作Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an。
数学分析-数列极限2-1
数列极限的概念数列极限是整个数学分析最重要的基础之一, 它不仅与函数极限密切相关，而且为今后学习级数理论提供了极为丰富的准备知识.一、数列的定义二、一个经典的例子三、收敛数列的定义四、按定义验证极限五、再论“ -N ”说法六、一些例子为数列.因为N +的所有元素可以从小到大排列出来, 12,,,,,n a a a 则称若函数f 的定义域为全体正整数的集合+N ,++:N R (),N f f n n 或→∈或简记为{a n }. 这里a n 所以我们也将数列写成称为数列{a n } 的通项.O 121n -n1a 2a n a1n a -..... 一、数列的定义二、几个经典的例子样的过程可以无限制地进行下去.我们把每天截下部分(或剩下部分)的长度列出：第一天截下,21第二天截下21,,2 第n 天截下1,.2n 这样就得到一个数列:古代哲学家庄周所著的《庄子· 天下篇》引用了一句话: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”. 它的意思是: 一根长为一尺的木棒, 每天截下一半, 这例21111,,,,,.2222n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或容易看出: 数列1122n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项随着n 的无限增大而无限趋于0.R 正六边形的面积1A 正十二边形的面积2A 正形的面积126-⨯n nA,,,,,321n A A A A S “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽例割圆术：三、收敛数列的定义下面给出严格的数学定义.定义1{}n a 设为一个数列, a 为一个常数, 若对于任意的正数,总存在正整数N , 使当n >N 时,0ε>,||ε<-a a n 则称数列收敛于a ,又称a 为数列的极限,{}n a {}n a 一般地说,对于数列,若当n 充分变大时, a n {}n a 能无限地接近某个常数a , 则称收敛于a .{}n a记作lim n n a a→∞=(,).n a a n →→∞或若不收敛, 则称为发散数列.{}n a {}n a xa 1+N a 1a 2a ε-a ε+a ()na 注定义1 这种陈述方式，俗称为“ε-N ”说法.四、按定义验证极限以说明, 希望大家对“ε-N ”说法能有正确的认识.例1用定义验证:1lim 0.n n →∞=分析对于任意正数,ε要使10,n -<ε只要.1ε>n 证对于任意的正数ε,1,N ⎡⎤=⎢⎥ε⎣⎦取,n N >当时10,nε-<所以1lim 0.n n →∞=为了加深对数列收敛定义的了解, 下面结合例题加lim 0(0||1).nn q q →∞=<<例2用定义验证分析对于任意的正数ε, 要使|0|,n q ε-<只要log .log ||n q ε>这就证明了lim 0.n n q →∞=|0|.nq ε-<证0(01),εε不妨设∀><<,n N 当时有>log ,log ||N q ε取⎡⎤=⎢⎥⎣⎦22217,337337n n n n n n +-=----（）7,n ≥当时,27n n ≤+22237322,n n n n n --≥-≥只要即可. 13n ε>221lim .337n n n n →∞=--例3用定义验证0, ε任给由>分析故要使2272133376n n n n n nε（）+≤=<--成立,证对于任意的正数ε, 取1max 7,,3N ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭, n N >当时有221,337n n n ε-<--即得221lim .337n n n n →∞=--注意解这个不等式是在的条件下进行的.7n ≥11.n n a α=-设因为(),11n nn n a αα+≥+=所以例4,1lim =∞→nn a 0.a >其中用定义验证1.n a ε-<因此证得.1lim =∞→nn a 证这里只验证的情形（时自证）.1>a 01a <<.110na a n n -≤-=α<故对于任意正数1,,,a N n N εε取当时-⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦五、再论“ε-N ”说法从定义及上面的例题我们可以看出:此外，又因ε是任意正数, 所以等,2,3,2εεε1.ε的任意性:定义中的ε用来刻画数列{a n } 的通项与定数a 的接近程度. 显然正数ε愈小,表示a n 与a 接近的程度愈高；ε是任意的, 这就表示a n 与a 可以任意接近.要注意，ε一旦给出，在接下来计算N 的过程中，它暂时看作是确定不变的.ε<-||a a n 可以用εK a a n <-||( K 为某一正常数) 来代替. 定义1, 那么对ε≥1自然也可以验证成立.均可看作任意正数, 故定义1 中的不等式2.N 的相对性:从定义1 中又可看出,随着ε的取值不同, N 当然也会不同. 但这并不意味着N 是由再有, 我们还可以限定ε小于某一个正数( 比如ε< 1 ). 事实上, 对0 < ε< 1 若能验证{ a n } 满足,||ε<-a a n 则当n > N 1 = 2N 时, 对于同样的ε, 更应有ε惟一确定. 例如, 当n >N 时, 有求N 的“最佳性”..||ε<-a a n 也就是说, 在这里只是强调N 的存在性, 而不追3.极限的几何意义示当n >N 时,.lim ,);(a a a U a n n n =∈∞→即ε从几何上看,,实际上就是时有N n >“”||ε<-a a n 所有下标大于N 的a n 全都落在邻域之内，);(εa U 而在之外, { a n } 至多只有有限项( N 项).);(εa U 反过来, 如果对于任意正数ε, 落在之外至);(εa U 多只有有限项, 设这些项的最大下标为N , 这就表x1x 2x 2+N x 1+N x 3x ε2ε-a ε+a a{ a n } 的有限多项, 则称数列{ a n } 收敛于a . 这样,{ a n } 不以a 为极限的定义也可陈述为:存在,00>ε之外含有{ a n } 中的无限多00()a a εε使得在，-+不以任何实数a 为极限.以上是定义1 的等价说法, 写成定义就是:定义1'任给, 若在之外至多只有0>ε);(εa U 项.注{ a n }无极限（即发散）的等价定义为: { a n }2定义lim 0,{}.n n n a a →∞=若则为无穷小数列称{}21!.1n n n q q n n 例和是无穷小数列当时,如⎧⎫⎧⎫<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭{}2.1}{n n a a a a 数列收敛于的充要条件是:定理-以下定理显然成立,请读者自证.4.无穷小数列和无穷大数列是无穷小数列.是无穷小数列.,大数列记作lim .n n a →∞=∞,穷大数列负无穷大数列或分别记作lim lim .n n n n a a →∞→∞=+∞=-∞或3定义{}0,n a G 设是一数列,若对任意总存在正>,,,{}n n N n N a G a 整数使无则称穷得任意是>>,,{}n n n n a G a G a G a 若改为或则称正无是>><-六、一些例子为了更好地理解定义, 再举一些例题.”“N -ε例5证明发散.})1({n -又因a 是任意的, 所以发散.a 为极限.}{n a 证对于任意实数a , 取,210=ε:})1({}{满足n n a -=之外有无限多)21,21(,)0(0+-≥≤a a a a 在时当所以由定义1',不以}{n a 个偶数项（奇数项）..0!lim =∞→n a nn 例6证明,0,1||>∀>ε 时a +⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦1||1,k a N ε取当N n >时，--=⋅⋅+||||||||0!12(1)k n k n a a a a a n k k n ≤⋅<||||.k a a n ε从而.0!lim =∞→n a n n 时，，取时，当 1 N n N a >=≤<ε1||0,1!ε<≤nn a n+≤<+∈ ||1,k a k k N 令，解证我们用两种方法来证明.例7证明.01sin lim =∞→nn 1) 任给正数,ε1, N n N ε=>取当时，.101sin ε<≤-nn 有项都能使不等式成立即可.ε<-||a a n 注这里我们将N 取为正数, 而非正整数. 实际上N 只是表示某个时刻, 保证从这一时刻以后的所没有定义.2) 任给正数, 限制由ε.1<ε,)arcsin (sin 1sin 01sin εε=<=-n n .arcsin 1即可ε=N 可知只需取注这里假定0 < ε< 1 是必要的, 否则arcsin ε便内容小结不以任何实数a 为极限.2. 等价定义若在之外至多只有);(εa U { a n }3. 不收敛4. 无穷小、无穷大数列lim 0(0||1).n n q q →∞=<<,1lim =∞→n n a 0.a >其中.0!lim =∞→n a nn 5. 几个常用数列极限作业P28 1，2，4，6, 7。
数列极限的定义与性质分析
数列极限的定义与性质分析数列极限是数学中重要的概念之一，它在微积分、实分析等领域中有着广泛的应用。
本文将对数列极限的定义与性质进行分析，并从理论和实际角度探讨其重要性。
首先，我们来介绍数列极限的定义。
给定一个数列{an}，如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，数列中的每一项an到a 的距离都小于ε，那么我们称数列的极限为a，记作lim(an)=a。
从定义可以看出，数列极限是关于数列中的数值与某一特定值的趋近性的刻画。
当数列的极限存在时，我们可以说这个数列是收敛的，反之，如果不存在极限或者极限为无穷大或无穷小，那么这个数列是发散的。
接下来，我们来分析数列极限的性质。
数列极限具有一些重要性质，包括唯一性、局部有界性和保序性。
首先，数列极限的唯一性是指一个数列只能有一个极限。
这个性质可以通过反证法证明。
假设数列{an}的两个极限分别为a和b，且a≠b。
那么对于任意给定的ε，使用定义，我们可以找到两个正整数N1和N2，当n>N1时，|an-a|<ε，当n>N2时，|an-b|<ε。
取N=max(N1,N2)，则当n>N时，同时满足|an-a|<ε和|an-b|<ε，但是这与a≠b矛盾，因此假设不成立，数列的极限是唯一的。
其次，数列极限的局部有界性是指一个收敛的数列在极限附近的有限区间内是有界的。
也就是说，对于有界数列{an}，如果lim(an)=a，那么对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，数列的每一项an位于(a-ε,a+ε)之间。
这个性质可以通过定义和三角不等式进行推导。
最后，数列极限的保序性是指如果{an}和{bn}是两个数列，并且对于所有的n，都有an≤bn，那么如果lim(an)=a和lim(bn)=b，则有a≤b。
这个性质是显然的，可以通过使用定义和数学分析中的基本不等式进行证明。
数列极限在实际问题中有着广泛的应用。
数列与数列的极限与收敛
数列与数列的极限与收敛在数学中，数列是由一列按特定规律排列的数所组成的。
数列的极限和收敛是数学分析中的重要概念，它们对于理解数学中的变化趋势和数值计算都有着重要的作用。
本文将从数列的定义开始，逐步介绍数列的极限和收敛以及它们在数学中的应用。
一、数列的定义数列是由一系列有序数按照一定规律排列而成的集合。
数列可以用一般形式表示为：{a₁, a₂, a₃, ... , aₙ}，其中 a₁、a₂、a₃等为数列的项，n为项的序号。
每个数列都有一个递增的自然数集合作为序号集。
二、数列的极限数列的极限是数列中项的值逐渐趋近于某个确定的值的过程。
如果存在一个实数L，对于任意给定的正数ε，总能找到自然数N，使得当n大于N时，数列的第n项与L的差的绝对值小于ε，那么我们称数列的极限为L。
三、数列的收敛数列的收敛是指数列中的项逐渐趋近于某个值的过程。
如果一个数列存在极限，那么我们称该数列是收敛的。
反之，如果一个数列不存在极限，或者极限不是一个实数，那么我们称该数列是发散的。
四、数列极限的性质1. 数列的极限唯一性：对于一个数列来说，它的极限是唯一的。
2. 收敛数列有界性：如果一个数列是收敛的，那么它是有界的。
3. 收敛数列的性质：如果一个数列是收敛的，并且它的极限是L，那么数列中的所有项都会无限接近于L。
五、数列极限的计算方法1. 常数列的极限：对于一个常数c来说，它自身就是一个数列的极限，即lim(c) = c。
2. 递推数列的极限：对于一个递推数列来说，可以通过借助极限的性质和运算法则来计算极限。
3. 收敛数列的运算法则：对于两个收敛数列{aₙ}和{bₙ}来说，它们的和差、积、商仍然是收敛数列，并且满足相应的运算法则。
六、数列极限的应用1. 数学建模：在数学建模中，数列的极限和收敛是重要的工具。
通过研究数列的极限和收敛，可以推断出一些复杂问题中的规律和趋势。
2. 数值计算：在数值计算中，数列的极限和收敛可以用来进行数值逼近和数值解的计算，从而提高计算的精度和效率。
数学分析课件之第二章数列极限
02
数列极限的运算性质
数列极限的四则运算性质
01
02
03
04
加法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n + y_n) =
a + b$。
减法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n - y_n) =
a - b$。
数列极限的性质
总结词
数列极限具有一些重要的性质，如唯一性、收敛性、保序性等。
详细描述
数列极限具有一些重要的性质。首先，极限具有唯一性，即一个数列只有一个极限值。其次，极限具有收敛性， 即当项数趋于无穷时，数列的项逐渐接近极限值。此外，极限还具有保序性，即如果一个数列的项小于另一个数 列的项，那么它们的极限也满足这个关系。
指数性质
若$lim x_n = a$且$0 < |a| < 1$ ，则$lim a^{x_n} = 1$。
幂运算性质
若$lim x_n = a$，则$lim x_n^k = a^k$（其中$k$为正整数）。
数列极限的运算性质在数学中的应用
解决极限问题
利用数列极限的运算性质，可以 推导和证明一系列数学定理和公 式，如泰勒级数、洛必达法则等
无穷小量是指在某个变化过程中，其 值无限趋近于0的变量。
性质
无穷小量具有可加性、可减性、可乘 性和可除性，但不可约性。
无穷大量的定义与性质
定义
无穷大量是指在某个变化过程中，其值无限增大的变量。
性质
无穷大量具有可加性、可减性、可乘性和可除性，但不可约性。
无穷小量与无穷大量的关系
1 2
无穷量是无穷大量的极限状态
数列的极限与数列收敛性分析
数列的极限与数列收敛性分析在数学中，数列的极限与数列收敛性是重要的概念，它们在数学分析和实际问题求解中具有广泛的应用。
本文将介绍数列的极限与数列收敛性的概念、性质以及相关的定理和证明。
一、数列的极限概念数列是按照一定规律排列的一系列数字，其中每一个数字称为数列的项。
数列的极限是指当数列的项无限接近某个常数时，这个常数就是数列的极限。
用数学符号表示，即存在一个实数L，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，有|an-L|<ε。
二、数列收敛性的判定对于给定的数列，我们可以通过以下几种方法来判断其是否收敛：1. 根据数列的递推关系式进行归纳分析，若递推关系式在n趋于无穷时存在唯一的有限极限，则数列收敛。
2. 利用比较判别法，将待求的数列与已知的数列进行比较，若已知数列收敛且极限为L，而待求数列不超过L且逐渐逼近L，则它也收敛且极限为L。
3. 利用数列的单调性，若数列既有上界又有下界，并且数列单调递增（递减），则数列收敛。
若数列单调递增（递减）有上（下）界，则数列极限即为它的上（下）确界。
4. 利用夹逼定理，即若数列an≤bn≤cn，且lim(an)=lim(cn)=L，则lim(bn)=L。
三、数列收敛的性质数列的收敛性具有以下几个基本性质：1. 数列的极限唯一性：如果数列an收敛，那么它的极限L是唯一确定的。
2. 收敛数列的有界性：如果数列an收敛，那么它是有界的，即存在正数M，对所有的n成立|an|≤M。
3. 数列极限的保号性：如果数列an收敛且极限L>0，则存在正整数N，使得当n>N时，有an>0。
4. 收敛数列的有限项运算：如果数列an和数列bn收敛，且lim(an)=A，lim(bn)=B，则它们的和差、常数倍和乘积的极限分别是lim(an±bn)=A±B，lim(c·an)=c·A，lim(an·bn)=A·B（其中c为常数）。
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第二章 数列极限§1 数列极限概念教学目的与要求：使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。
教学重点，难点：数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。
教学内容： 一、课题引入1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。
2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰，日取其半，万古不竭。
”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，321，……，n 21，…… 或简记作数列：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21分析：1°、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0；2二、数列极限定义1°将上述实例一般化可得：对数列{}na ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，n 能无限接近常数a 该数为收敛数列，a 为它的极限。
例如：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1， a=0；⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(3， a=3; {}2n ， a 不存在，数列不收敛；{}n)1(-， a 不存在，数列不收敛；2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(()3以3为极限，对ε=1013)1(3--+=-na a nn =1011n只需取N=10，即可3°“抽象化”得“数列极限”的定义定义：设{}na 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有aa n -＜ε则称数列{}na 收敛于a ，a 为它的极限。
记作a a n n =∞→lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明（1）若数列{}na 没有极限，则称该数列为发散数列。
（2）数列极限定义的“符号化”记法：a a n n =∞→lim ⇔ε∀＞0，∃N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．．的，由“任意性”可知，不等式aan-＜ε，可用an-替 “＜”号也可用“≤”号来代替（为什么？）（4）上述定义中N 的双重性：N 是仅依赖．．于ε的自然数，有时记作N=N （ε）（这并非说明N 是ε的函数，是即：N 是对应确定．．．．的！但N 又不是唯一．．．．的，只要存在一个N ，就会存在无穷多个N（5）如何用肯定的语气叙述a a n n ≠∞→lim ： 0ε∃＞0，∀N ，∃n 。
尽管n 。
＞N ，但aaon-（6）如何用肯定的语气叙述，数列{}na 发散：Ra ∈∀ ，)(a O Oεε=∃＞0，∀N ，∃n o,尽管n o ＞N ，但aaon -≥εo 。
（7）a a n n =∞→lim即a {}n a 中,所有下标大于N 的a n ,都落在a 的ε邻城内。
.的例题 例1.证明01lim =∞→kn n （K 为正实数）证：由于kk n n 101=- 所以∀ε＞0，取N=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡k 11ε,当n ＞N 时,便有ε〈-01k n注：或写作：∀ε＞0，取N=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡k 11ε，当n ＞N 时，有ε〈=-KK n n 101，∴01lim=∞→kn n例2. 证明343lim22=-∞→n n n 分析，要使ε〈≤-=--n n n n 12412343222（为简化，限定n 3≥ 只要n ε12〉之外，则{}n a 一定不以a 为极限。
例5 证明{}2n 和{}n )1(-都是发散数列。
分析 利用定义1' 证例6 设a y x n n n n ==∞→∞→lim lim ，作数列﹛z n ﹜如下：﹛z n ﹜：x 1，y 1，x 2，y 2，…，x n ，y n ，…。
证明 a z n n =∞→lim 。
分析 利用定义1' 证例7 设{}n a 为给定的数列，{}n b 为对{}n a 增加、减少或改变有限项之后得到的数列。
证明：数列{}n b 与{}n a 同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。
分析 利用定义1'证 设{}n a 为收敛数列，且n n a ∞→lim =a 。
按定义1'，……。
现设{}n a 发散，倘若{}n b 收敛，则因{}n a 可看成是对{}n b 增加、减少或改变有限项之后得到的数列，故由刚才所证，{}n a 收敛，矛盾。
所以当{}n a 发散时{}n b 也发散。
在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：定义2 若0lim =∞→n n a ，则称{}n a 为无穷小数列。
前面例1、2、4中的数列都是无穷小数列。
由无穷小数列的定义，读者不难证明如下命题：定理2. 1 数列{}n a 收敛于α的充要条件是：{}α-n a 为无穷小数列。
五、小结：(可以师生共同总结，或教师引导学生小结，然后教师再条理一下)本节课重点在于“数列极限的概念”，而“用极限定义证明极限”的例题学习也是为了巩固极限概念。
为此，同学们要注意：°极限概念的“ε-N ”叙述要熟练掌握，并注意理科ε，N 的双重性。
°用极限定义证明极限时，关键是由任给的ε＞0通过反解不等式｜a n -a ｜＜ε求N ，其中的若干技巧在于化简不等式。
特别注意不等式的“放大”要适度；即要尽可能化简，又不要过度，N 的表达式一定仅依赖于ε，当然N 是否是自然数，倒是无关紧要的。
3°同学们在学习这部分知识的同时要反复体验其中渗透看的重要数学思维方法，如：抽象化法，数形结合法，符合化法等，这对于大家体验数学的本着特点及培养数学思维能力是十分有益的。
关于这一点希望同学们在课下复习时反复体会一下，并结合以前学过的知识中的类似方法对照思考。
复习思考题、作业题：数列收敛发散的定义是什么？收敛发散的概念是不是相反的？1（1），2，3，4，6§§2 收敛数列的性质教学目的与要求：掌握收敛数列的性质如唯一性，有界性，四则运算等及应用。
教学重点，难点：收敛数列的性质应用，数列子列的定义及数列子列收敛与数列收敛之间的关系。
教学内容：收敛数列主要有唯一性、有界性、保号性、保序性、迫敛性、四则运算性、子列性等重要性质，通过这些性质的学习，可使学生掌握数列极限的定义与应用定义证明有关命题。
1、唯一性定理2.2 若数列{}n a收敛，则它只有一个极限。
分析使用几何定义——定义1'证注1：本性质证明使用几何定义。
为让学生学会取特殊的ε，可讲解反证法ε”定义。
证明。
这样更可体现极限的“N-注2：一个收敛数列一般含有无穷多个数，而它的极限只是一个数。
体现了无限与有限之间的转化关系，这样由这一个数就能精确地估计出几乎全体项的大小，以下收敛数列的一些性质，大都基于这一事实。
2、有界性定理2.3 若数列{}n a收敛，则{}n a为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n有≤。
aMn分析证注1：ε的取法注2：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，例如数列{}n)1(-有界，但它并不收敛（见§1例6）。
3、保号性定理2.4若0lim a ＞a n n =∞→或＜0，则对任何∈'a （0，a ）(或)0,('a a ∈)，存在正数N ，使得当n ＞N 时有a n ＞'a （或a n ＜'a ）。
分析 证注1：ε的取法注2： 在应用保号性时，经常取2'aa =。
4、保序性定理2.5 设{}n a 与{}n b 均为收敛数列，若存在正数N 0，使得当n ＞N 0时有a n ≤b n ，则n n n n b a ∞→∞→≤lim lim 。
分析 定义与第一章§1例2 证注1：N 的取法思考：如果把定理2.5中的条件a n ≤b n ，换成严格不等式a n ＜b n ，那么能否把结论换成n n n n b ＜a ∞→∞→lim lim ？例1 设an ≥0（n=1，2，…）。
证明：若a a n n =∞→lim ，则a a n n =∞→lim 。
分析 定理2.5、定义与分类讨论 证4、迫敛性定理2.6 设收敛数列{}n a ，{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数N 0，当n ＞N 0时有n n n b c a ≤≤ （4） 则数列{}n c 收敛，且a c n n =∞→lim 。
例2 求数列{}nn 的极限。
分析解5、四则运算法则定理2.7 若{}n a 与{}n b 为收敛数列，则{}n n b a +，{}n n b a -，{}n n b a ⋅也都是收敛数列，且有,lim lim )(lim n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→±=±n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→⋅=⋅lim lim )(lim 。
特别当b n ，为常数c 时有n n n n n n n n a c ca c a c a ∞→∞→∞→∞→=+=+lim lim ,lim )(lim 。
若再假设b n ≠0及0lim ≠∞→n n b ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 也是收敛数列，且有n n n n nnn b a b a ∞→∞→∞→=lim /lim lim。
分析 只须用定义证明关于和、积与倒数运算的结论 证 例3 求1110111limb n b n b n b a n a n a n a k k k k m m m m n ++++++++----∞→ , 其中m ≤k ，a m ≠0，b k ≠0。
分析 四则运算法则例4 求1lim +∞→n nn a a ，其中1-≠a 。
分析 分类讨论与四则运算法则 解例5 求)1(lim n n n n -+∞→。
6、子列定理定义1 设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集N+的无限子集，且n 1＜n 2＜…＜n k＜…，则数列,,,,21k n n n a a a称为数列{}n a 的一个子列，简记为{}kna 。
注1 由定义1可见，{}n a 的子列{}k n a 的各项都选自{}n a ，且保持这些项在{}n a 中的先后次序。
{}kna 中的第k 项是{}na 中的第n k项，故总有k nk≥。
实际上{}k n 本身也是正整数列{}n 的子列。
例 数列{}n a 的子列{}k a 2、{}12-k a 、{}n a 。
注2 数列{}n a 本身以及{}n a 去掉有限项后得到的子列，称为{}n a 的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为{}n a 的非平凡子列。