数学分析数列极限分析解析

第二章 数列极限

§1 数列极限概念

教学目的与要求：

使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。 教学重点，难点：

数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。 教学内容： 一、课题引入

1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。

2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰，

日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，32

1，……，n 21

，…… 或简记作数列：⎭

⎬⎫⎩⎨⎧n 21

分析：1°、⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0；

2

二、数列极限定义

1°将上述实例一般化可得：

对数列{}n

a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，n 能无限接近常数a 该数为收敛数列，a 为它的极限。

例如：⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧n 1， a=0；

⎭⎬⎫

⎩

⎨⎧-+n n )1(3， a=3; {}2

n ， a 不存在，数列不收敛；

{}n

)1(-， a 不存在，数列不收敛；

2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对⎭⎬⎫

⎩

⎨⎧-+n n )1(()3以3

为极限，对ε=10

1

3)1(3--+

=-n

a a n

n =10

11

n

只需取N=10，即可

3°“抽象化”得“数列极限”的定义

定义：设{}n

a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在

某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有

a

a n -＜ε

则称数列{}n

a 收敛于a ，a 为它的极限。记作

a a n n =∞

→lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明

（1）若数列{}n

a 没有极限，则称该数列为发散数列。

（2）数列极限定义的“符号化”记法：a a n n =∞

→lim ⇔

ε

∀＞0，∃N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．．的，由“任意性”可知，不等式a

a

n

-＜ε，可用a

n

-替 “＜”号也可用“≤”号来代替（为什么？）（4）上述定义中N 的双重性：N 是仅依赖．．于ε的自然数，有时记作N=N （ε）（这并非说明N 是ε的函数，是即：N 是对应确定．．．．的！但N 又不是唯一．．．．

的，只要存在一个N ，就会存在无穷多

个N

（5）如何用肯定的语气叙述a a n n ≠∞

→lim ： 0ε∃＞0，

∀N ，∃n 。尽管n 。＞N ，但a

a

o

n

-（6）如何用肯定的语气叙述，数列{}n

a 发散：

R

a ∈∀ ，)(a O O

εε

=∃＞0，∀N ，∃n o,尽管

n o ＞N ，但a

a

o

n -≥εo 。

（7）a a n n =∞

→lim

即a {}n a 中,所有下标大于N 的a n ,都落在a 的ε邻城内。

.的例题 例1.证明01

lim =∞

→k

n n （K 为正实数）

证：由于

k

k n n 1

01=- 所以∀ε＞0，取N=⎥⎥⎦

⎤

⎢

⎢

⎣⎡k 11ε,当n ＞N 时,便有

ε〈-01

k n

注：或写作：∀ε＞0，取

N=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡k 1

1ε

，当n ＞N 时，有

ε〈=-K

K n n 101，∴01

lim

=∞

→k

n n

例2. 证明34

3lim

22

=-∞

→n n n 分析，要使ε〈≤-=--n n n n 12

41234322

2（为简化，限定n 3≥ 只要n ε

12

〉

之外，则{}n a 一定不以a 为极限。 例5 证明{}2n 和{}n )1(-都是发散数列。 分析 利用定义1' 证

例6 设a y x n n n n ==∞

→∞

→lim lim ，作数列﹛z n ﹜如下：

﹛z n ﹜：x 1，y 1，x 2，y 2，…，x n ，y n ，…。

证明 a z n n =∞

→lim 。

分析 利用定义1' 证

例7 设{}n a 为给定的数列，{}n b 为对{}n a 增加、减少或改变有限项之后得到的数列。证明：数列{}n b 与{}n a 同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。

分析 利用定义1'

证 设{}n a 为收敛数列，且n n a ∞

→lim =a 。按定义1'，……。

现设{}n a 发散，倘若{}n b 收敛，则因{}n a 可看成是对{}n b 增加、减少或改变有限项之后得到的数列，故由刚才所证，{}n a 收敛，矛盾。所以当{}n a 发散时{}n b 也发散。

在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：

定义2 若0lim =∞

→n n a ，则称{}n a 为无穷小数列。

前面例1、2、4中的数列都是无穷小数列。由无穷小数列的定义，读者不难证明如下命题：

定理2. 1 数列{}n a 收敛于α的充要条件是：{}α-n a 为无穷小数列。 五、小结：(可以师生共同总结，或教师引导学生小结，然后教师再条理一下)

本节课重点在于“数列极限的概念”，而“用极限定义证明极限”的例

题学习也是为了巩固

极限概念。为此，同学们要注意：

°极限概念的“ε-N ”叙述要熟练掌握，并注意理科ε，N 的双重性。

°用极限定义证明极限时，关键是由任给的ε＞0通过反解不等式｜

a n -a ｜＜ε求N ，其中的若干技巧在于化简不等式。特别注意不等式的

“放大”要适度；即要尽可能化简，又不要过度，N 的表达式一定仅依赖于ε，当然N 是否是自然数，倒是无关紧要的。