分块矩阵的概念和运算
§4 矩阵的分块运算
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3. 乘法 设A为m × l矩阵 , B为l × n矩阵 , 分块成 A11 L A1t B11 L B1r A= M M , B = M M , A L A B L B st s1 tr t1 其中 Ai1 , Ai 2 , L , Ait 的列数分别等于 B1 j , B2 j , L , Btj的行数 , 那么
o
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1 3 例1 设 A = 0 0 0
2 5 0 0 0
0 0 0 0 1 2 0 −1 0 0
解 把A进行分块得 1 2 , 其中A1 = 3 5 1 2 3 A2 = 0 − 1 4 . 0 0 1
且A1−1
0 0 3 , 求A−1 . 4 1 1 3 A = 0 0 0
B −1 − B −1 DC −1 . 因此 A −1 = O C −1
O A = O B−1 另外 A−1 O B O
−1
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1 0 例3 设 A = 0 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解
4 3 ; 求 A −1 2 1 1 2 3 利用分块法 A = 0 1 2 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0
B3 = [0 1 1 b].
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一、分块矩阵
总体思想：对于行数和列数较高的矩阵 中 总体思想：对于行数和列数较高的矩阵A中，为了简化 运算，在矩阵A中 用横、竖虚线， 运算，在矩阵 中，用横、竖虚线，将A分成若干 分成若干 小块，视每一块为一元素进行相应的运算， 小块，视每一块为一元素进行相应的运算，然后再 对每一小块进行相应的运算，降阶运算， 对每一小块进行相应的运算，降阶运算，此法称为 矩阵分块法。 矩阵分块法。 具体做法是：将矩阵 用若干条纵 用若干条纵、 具体做法是：将矩阵A用若干条纵、横虚线分成许多个 小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵A的子块， 小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵 的子块，以子块 为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 分块矩阵. 为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 其中C1 = [a 1], 又如 C 2 = [0 0], a 1 0 0 0 a 0 0 C 1 C 2 A= 0 a 0 0 = C C 1 0 b 1 3 4 C 3 = 1 0 , C 4 = b 1 . 0 1 0 1 1 b 1 b
矩阵分块知识点总结
矩阵分块知识点总结一、矩阵分块的基本概念1.1 矩阵分块的定义矩阵分块是一种对矩阵进行分割的方法，将一个大的矩阵分割成若干个较小的子矩阵，这些子矩阵可以是行向量、列向量或者更小的矩阵。
矩阵分块的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
1.2 矩阵分块的表示形式矩阵分块可以采用不同的表示形式，其中包括方括号表示、圆括号表示和其他符号表示。
以方括号表示为例，一个矩阵可以分割成四个子矩阵，如下所示：A = [ A11, A12A21, A22 ]其中A11、A12、A21、A22为子矩阵，分别表示矩阵A的四个子块。
1.3 矩阵分块的基本性质矩阵分块具有很多基本的性质，其中包括可交换性、可加性、可乘性等。
具体而言，如果矩阵A和B可以进行相应的分块操作，则有以下性质：可交换性：A和B的分块顺序可以交换，即A*B = B*A。
可加性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A + B) = A + B。
可乘性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A * B) = A * B。
1.4 矩阵分块的应用矩阵分块在实际中有着广泛的应用，其中包括矩阵的运算、方程组的求解、特征值与特征向量的计算等方面。
矩阵分块能够简化问题的处理过程，提高计算的效率，使得矩阵的性质更加清晰和易于理解，因此在很多领域中得到了广泛的应用。
二、矩阵分块的基本类型2.1 行分块矩阵行分块矩阵是将一个大的矩阵按照行进行分块，将每一行的元素划分成若干个较小的行向量，从而形成一个行分块矩阵。
行分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
2.2 列分块矩阵列分块矩阵是将一个大的矩阵按照列进行分块，将每一列的元素划分成若干个较小的列向量，从而形成一个列分块矩阵。
列分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
分块矩阵的概念和运算
-1 3
例4
-2 3 0 0
求A=
1 0 0
-2 0 0
0 1 2
5 02的逆矩 A-阵 1
- 2 3 0 0
解
A
=
1 0 0
-2 0 0
0 1 2
502=
A11 o
o A22
A1-11 =--12 --23
A-1 22
=-52
-12
A-1
=
A1-11 o
Ao2-12=
-2 -1 0 0
10 1 3 01 2 4 0 0 -1 0 0 0 0 -1
， B=1 20 02 600 31
0 0
，
0 -2 0 1
用分块矩阵计算kA，A+B及AB。
解：将矩阵A，B进行分块：A= I C ，B= D O ，
O -I
FI
7 -1 1 3
则
AB=
IC O -I
D O = D +CF C = 14 4 2 4 。
0 8 5
032=A O O1
O A2 O
O A O3=B O1
O B2
分块对角矩阵的性质
A11
设A
=
A22
是为分块对角矩阵
Arr
则
(1)
A1k1
Ak =
A2k2
其中 k是自然数
Arkr
( 2 ) |A |= |A 1 |• 1 |A 2 |• 2 |A r|r
(3) A可逆的充分必对 要任 条i(意 1件 i是 r)，Aii可逆，
,
B=l2B21
B22
Ast
lt Bt1 Bt2
B1r
分块矩阵及其运算
矩阵及其 运算
1
第二章 矩阵概念及其运算
第三节 分块矩阵(Block matrix) 及其运算
分块矩阵的概念 分块矩阵的运算 问题与思考
2
一、分块矩阵的概念
将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵,每个小 矩阵称为A的一个子块.以这些子块为元素的形式上的矩阵 称为分块矩阵.
例如矩阵:
a11 a12 a13 a14
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
B
1 1
2 0
Байду номын сангаас
0 1 4 1
1 1 2 0
1 1 2 0
1 0 1 0
B
A a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24
a34
记为 A11
A21
其中
A11
a11 a21
a12 a22
a13 a23
;
A12
a14 a24
;
A12
A22
A21 a31 a32 a33 ;
A22 a34
3
注: 任一矩阵A有多种分块方法,较特殊的分块有:
1)将矩阵A视为一个子块的分块矩阵; A
k 1
7
3.分块矩阵的转置
设矩阵A分块如下:
A11
2.13.12.5分块矩阵的定义和运算学习资料
12
1 1
02
1 1
01
2 1
4 , 1
A1
B22
1 1
2 4 1 2
1 3 0 3
3 , 1
1 0 1 0
于是
AB
1 2 1
2 4 1
0 3 3
1 13
.
2.5 分块矩阵 03 几 种 特 殊 分 块 矩 阵 的 行 列 式 和 逆 矩 阵
A1
形如
A
A2
的分块矩阵,
O
称为准对角矩阵（分
O
As
块对角矩阵）.其中 Ai (i 1,2,s) 都是方阵.
5 0 0
0 3 1
0
2
1
3 0 0 0 0 0 3 5 0 0
0
1
2
0
0
0 0 0 3 1
0
0
0
2
1
2.5 分块矩阵 03 几 种 特 殊 分 块 矩 阵 的 行 列 式 和 逆 矩 阵
准对角矩阵除了具有准三角阵的性质以外,还有：
A
As1
kA
kA11
kA1r
.
kAs1 kAsr
A1r
,
k 为一个数
Asr
由于矩阵的加法与数乘比较简单，一般不需用分块计算.
2.5 分块矩阵
02 分 块 矩 阵 的 运 算
(3) 转置
A11
A
As1
A1r
,
Asr
A1T1 则 AT
A1Tr
AsT1 .
A1
O B1
O A1B1
O
A2
O
As
B2
矩阵分块法
A1r Asr
A11 A
As1
A1r
Asr
其运算律与数乘矩阵相同.
λ为数，那末
3.分块矩阵的乘法.
设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
A11 A12
A
Ai1
Ai2
As1
As 2
A1t
B11 B1 j B1r
Ait
§4. 矩阵分块法
一、分块矩阵的定义
把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖 线分成若干小块 , 每一小块都叫做矩阵的子块 , 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
例如：将3×4矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34
分块形式如下：
A22 A12
a11 a12
1
a21
a22
a31 a32
A21 A11
a13 a23
a14 a24
2
a11 a21
a12 a13 a22 a23
a14 a24
a33 a34
a31
a32 a33
a34
A11 A21
A12 A22
A13 A23
3
a11 a21
a12 a22
a13 a23
0 0 1 1
6.分块矩阵的应用
设A为m×n矩阵，将A按行分块，得
1
A
2
m
其中 i (i 1,2, , m) 是A的第 i 行.
将A按列分块,得
A =（ β1， β2，…， βn ）.
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列. 对于线性方程组
分块矩阵
2
O
1 11
2
2 2
M M
m
m
m
m
(2)以对角阵n右乘矩阵Amn时 把A按列分块 有
AAmmnnn n(a(a1,1a, a2,2,,a, an)n)1 12 2mm((1a1a1,1, 2a2a2,2,,, nanan)n)
例4 设ATAO 证明AO
证明 设A(aij)mn 把A用列向量表示为A(a1 a2 an) 则
例5 设4阶矩阵A α, γ2, γ3, γ4 , B β, γ2, γ3, γ4 ,其中
α, β, γ2, γ3, γ4均为4行1列的分块矩阵，已知 A 4, B 1,
则 AB
.
解 A B α, γ2, γ3, γ4 ＋ β,γ2,γ3,γ4 ＝α＋β, 2γ2, 2γ3, 2γ4
AT
A
a1T a2T
anT
(a1,
a2,
an
)
a1T a1 a2T a1
anT a1
a1T a2 a2T a2
anT a2
a1T an a2T an
anT an
因为ATAO 所以
aiT
ai
(ai1,
ai2,
,
ain)
ai1 ai2
ain
ai21 ai22 ai2n 0 (i1 2 n) 从而ai1ai2 ain0(i1 2 n) 即AO
A12 L A22 L
A1s
A
2s
M M M
Ar1 A r2 L Ars
AT
A1T1 A1T2 M
A
T 21
L
A
T 22
L
A
T
2.3 分块矩阵(《线性代数》闫厉 著)
A
7
2
3
3
5
1
求逆矩阵 A 。
解
将矩阵A划分成分块对角矩阵 A diag A1 , A2 , A3 ，其中
8 5
A1
,
3 2
A2 7 ,
2 3
A3
3
5
由公式计算出
2 5
A
,
3 8
T
A22
A2Tt
A1t
A2 t
Ast
AsT1
AsT2
T
Ast
分块矩阵A的转置，不仅要把分块矩阵A的每一行变为同序
号的列，还要把A的每一个子块 Aij 取转置。
五、分块对角矩阵
8 5
3
2
A
7
2
3
3
5
五、分块对角矩阵
设A为n阶矩阵，若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零
E
A1 B22
而
1
A1 B11 B21
1
3
0
2 1 0 1 0
1 1 2 1 1
4 1 0 2 4
2 1 1 1 1
1 2 4 1 3 3
a
31
a12
分块矩阵
引言为了研究行数、列数较高的矩阵，常常对矩阵采用分块的方法。
类似于集合的划分，是把矩阵完全地分成一些互不相交的子矩阵，使得原矩阵的每一个元落到一个分快的子矩阵中。
以这些子块为元素的矩阵就称为分块矩阵。
线形代数以其独特的理论体系和解题技巧而引人入胜。
在线性代数中,分块矩阵是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化.而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.而事实上,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果.而且利用分快矩阵还可以求出某些矩阵的逆矩阵，证明矩阵的秩等。
第一章 矩阵的分块和分块矩阵的定义设A 是数域K 上的m n ⨯矩阵，B 是K 上n k ⨯矩阵，将A 的行分割r 段，每段分别包含12r m m m 个行，又将A 的列分割为s 段，每段包含12s n n n 个列。
A=111212122212s s r r rs A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭于是A 可用小块矩阵表示如下：，其中ij A 是i j m n ⨯矩阵。
对B 做类似的分割，只是要求它的行的分割法和A 的列的分割法一样。
于是B 可以表示为B= 111212122212s s r r rs B B B B B B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭其中ij B 是i j n k ⨯的矩阵。
这种分割法称为矩阵的分块。
二．分块矩阵加法和乘法运算设()ij m n A a ⨯=()ij m n B b ⨯=为同型矩阵（行和列数分别相等）。
若采用相同的分块法。
A=111212122212s s r r rs A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B= 111212122212s s r r rs B B B B B B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭则可以直接相加 乘法:设，则C 有如下分块形式：C=111212122212s s r r rs C C C C C C C C C ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，其中ij C 是i j m k ⨯矩阵，且 1nij ij ij i C A B ==∑定义 称数域K 上的分块形式的n 阶方阵A=12S A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为准对角矩阵，其中为阶方阵（），其余位置全是小块零矩阵。
高二数学矩阵的分块
其 中Ai 1 , Ai 2 , , Ais的 列 数 分 别 等 于 B1 j , B2 j , , Bsj的 行 数 。 那么 C11 C1r
AB C r1
ik
C rs
其 中C ij
A
k 1
t
Bkj
i 1, , s; j 1, , r .
思考题解答
(1) 根据分块矩阵的乘法，得
O A B E A1 B E XYZ 1 C E C D O E A
B A E A1 B 1 O D C B O E A
2 0 A 0 0
0 5 2 0 3 1 0 0 0 3 0 0
0 0 5 2
求 A 1
解:
0 A1 0 3 1 0 0 0 3
0
A2
0
A3
A1 2
5 2 A2 3 1
a 0 A 1 0 1 0 0 B1 a 0 0 B2 , 0 b 1 B 3 1 1 b
即
即
a 0 A 0 0 a 0 A 1 0 a 0 A 1 0
11
b
C2 C4
二、分块矩阵的运算
(1) 分块矩阵的加法 设矩阵 A与 B 的行数相同,列数相同,采用相同的分块 有 A B A B
11 A A s1
ij
11 , B B Asr s1
1r
Bsr
O B11 E B21
分块矩阵的概念
As
i 1,2,L , s.
a1 j
按列分块 A
A1, A2 ,L
, An ，其中
Aj
a2 j M
,
j 1,2,L ,n. anj
一、分块矩阵的运算
1、加法 设 A, B 是两个 m n 矩阵，对它们
用同样的分法分块:
A11 A
As1
A1r
B11
, B
A1t
A2t L
Ast
例1 设
1 0 0 0
A
0 1
1 2
0 1
00 ,
1 1 0 1
求 AB.
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
,
1 1 2 0
解 把A, B分块成
1 0
A
0
1
1 0
0 1
E
E
,
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
1 1 2 0
,
O
Bs
A1 B1
则 A B
A2 B2
O
，
O
O
As
BS
A1B1
AB
A2 B2
O
O
.
O
As BS
(2) 准对角矩阵
A1
A
A2
O O
O
As
可逆
Ai 0，i 1,L , s Ai可逆，i 1,L , s
且
A11
A1
A21
O
O
O
As1
5 0 0
AB
Cs1 Csr
分块矩阵的行列式的计算方法
分块矩阵的行列式的计算方法在这里，可能没办法直接满足这个要求，不过我可以给你一些关于分块矩阵行列式的概念和计算方法的基础信息，看看你是否需要更详细的内容？1. 分块矩阵的基本概念1.1 什么是分块矩阵？分块矩阵就是把一个大矩阵分成几个小块，每块可以单独处理，就像把一块大蛋糕切成好几块小蛋糕，吃起来更方便，对吧？这样做不仅让我们的计算更简单，还能让我们更好地理解矩阵的结构。
1.2 为什么要计算行列式？行列式就像一个矩阵的身份证，它告诉我们这个矩阵是否可逆，或者说，它是否“活得下去”。
如果行列式是零，那这个矩阵就“挂掉”了，反之则是“生龙活虎”。
所以，掌握行列式的计算方法，简直是数理学的基本功！2. 计算分块矩阵的行列式2.1 基础公式分块矩阵的行列式计算其实有个简单的规律。
假设我们有一个分块矩阵 ( A ) ，它的结构是这样的：A = begin{pmatrixB & CD & Eend{pmatrix其中 ( B )、( C )、( D )、( E ) 都是小矩阵。
那么，行列式的计算可以用以下公式：det(A) = det(B) cdot det(E D cdot B^{1 cdot C)。
当然，这个公式看起来有点复杂，但其实可以一步一步来，就像拆解难题，最后总会迎来光明的那一刻。
2.2 使用示例假设我们有个矩阵 ( A )：A = begin{pmatrix1 & 23 & 4end{pmatrix这个矩阵是个 2x2 的矩阵，行列式的计算方法特别简单，直接用行列式公式就行了。
但如果是分块的形式，我们就得考虑上面的公式啦。
举个例子，把这个矩阵分成块，看如何操作会更有趣！3. 细节与应用3.1 实际应用分块矩阵的行列式计算在很多地方都有应用，比如控制理论、信号处理，甚至在一些经济模型中，都是大显身手。
掌握了这些计算技巧，就像多了一个超级技能，能应对各种复杂情况。
3.2 小技巧要计算分块矩阵的行列式，记得不要心急！耐心点，分块之后，每一块都慢慢理清楚关系，这样才能最终拼凑出完整的行列式。
分 块 矩 阵
，
B
3 0
4 1
1 3
B11 B21
1 0 1
B12 B22
．
所以，
AB
A11 A21
A12 B11
A22
B21
B12 B22
A11B11 A21 B11
A12 B21 A22 B21
A11B12 A21 B12
A12 B22 A22 B22
．
1.1 分块矩阵的运算
1 1
2 3
1，| A3 | 5 ，都不为零，均可逆，故 A 可逆。
又因为
A11
1 3
，
A21
3
1
2 1
，
A31
1 5
，则
．
1.1 分块矩阵的运算
5.例题
由于
A1
A2
A2
A1
A2
A12
A22
，
A3
A3
A32
且
A12
9 ，A22
1 1
2
2
3
3
4
8 11
，A32
C
O
时，有
A O
O 1 A1
B
O
O B 1
．
线性代数
A21
A22
As1 As2
A1r
A2r
Asr
B11 B12
B
B21
B22
Bs1 Bs2
B1r
B2r
Bsr
则 ，
A11 B11
A
B
A21
B21
As1 Bs1
A12 B12 A22 B22
As2 Bs2
A1r B1r
分块矩阵的概念及运算
19
2.3.3 分块初等阵
分块单位阵 一次初等变换 分块初等阵
Em
En
(1)
0 Em
En 0
或
0 En
Em 0
换法:
倍法:
(2)
P 0
0 En
或
Em 0
0 P
消法:
(3)
Em K
0 En
或
Em 0
K En
20
对分块矩阵进行一次初等行(列)变换, 相当于给它左(右)乘以一个相应的分 块初等矩阵：
30
例5
1 x1 y1
计算 x2 y1
x1 y2 1 x2 y2
x1 yn x2 yn
解
1 x1 y1 x1 y2 x2 y1 1 x2 y2
xn y1 xn y2
xn y1
xn y2
x1 yn
x1 y1
x2 yn
En
x2
y1
1 xn yn
xn
y1
1 xn yn
x1 y2
x1 yn
1.
3A AB
0 5B
3A 5B
33 A (5)3 B 234 53
2.
0 AB
3A 5B
(1)33
3A 5B
0 AB
(1)33
3A
AB
33 A (1)3 A B 235
14
尤其要注意 AmpBpn 0 时的特殊情况:
*例4
AB A(B1, B2 , , Bn ) A为一子块
(AB1, AB2, , ABn)
A21
A12
A22
a31 a32 a33 a34
特殊 A ——视为一个子块
第四节 分块矩阵
1 0 24 A2 4 = 24 = 6 4 1 2 0 , 4 2
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3 4 4 −3 A= 0 0 0 0
上页 下页 返回 结束
A1n A1 , n 4） 若 A = O O ; 则A = As n As
As −1 A1 , 则 A −1 = N 5） 若 A = N ; A −1 A 1 s
O A B∗
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例6 设
0 0 625 0 0 625 0 0 3 A1 O A4 = 4 , A = 2 0 ., 解 令 A= , 其中 A1 = 4 0−3 0 2 162 0 2 O A2 0 0 64 16 A18 O 8 8 8 8 8 8 16 A = , A = A1 A2 = A1 A2 = 10 O A2 8
0 0 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 3 0 0 2 1 0 0 1 35
A
B
A
0 0 0 1 0 0 3 都是分块对角阵. 都是分块对角 分块对角阵 0 0 1 0 2 2 0
B
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分块对角矩阵具有下述性质: 分块对角矩阵具有下述性质: 1） A = A1 A2 L As ;
第二章 矩阵及其运算
第四节 分块矩阵
zxs
什么是分块矩阵 分块矩阵的运算 基本应用
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分 块 矩 阵
分块矩阵
3. 分块矩阵的乘积
设A为m×s矩阵，B为s×n矩阵，即 AB有意义．在对A，B进行分块时，为使 分块矩阵的乘积AB有意义，要使左乘矩阵 A的列的分法与右乘矩阵B的行的分法相同， 至于A的行的分法与B的列的分法则无任何 要求．即
分块矩阵
【例2-18】
分块矩阵
把A分成具有特殊子块的分块矩阵，并求分块矩阵 A与B的乘积．
分块矩阵
其中E3和E2分别表示3阶和2阶单位矩阵，而 上述矩阵也可以采用另外的分块方法．例如，令
分块矩阵
则有
矩阵的分块方式可以是任意的，但要根据原矩阵的结 构特点和运算内容的需要来选择适当的分块方法，既要使 子块在参与运算时有意义，又要为运算的方便考虑，这才 是矩阵分块的目的．
分块矩阵
二、 分块矩阵的基本运算
分块矩阵
分块矩阵
为使分块乘积AB有意义，把B分块成
分块矩阵分块矩阵4. 分 Nhomakorabea矩阵的转置
求分块矩阵的转置时，不但要把分块矩阵的行与列互换， 同时每一个子块也要做转置．
分块矩阵
分块矩阵
分块矩阵
分块矩阵
上述对角分块矩阵具备下列运算规律： （1）同结构的对角分块矩阵的和、积仍是对角分块矩阵．
分块矩阵
（2）对角分块矩阵的行列式具有下述性质：
分块矩阵
【例2-19】
分块矩阵
谢谢聆听
分块矩阵
分块矩阵
为了计算简便或理论研究的需要，有 时我们需要将一个行数和列数较多的大型矩 阵划分为若干块小矩阵，使大矩阵的运算问 题转化成小矩阵的运算问题，这种做法称为 矩阵分块．它是矩阵运算中的一种简化技巧， 也是处理阶数较高的矩阵的重要方法．
分块矩阵
一、 分块矩阵的概念
分 块 矩 阵
Ar1
Ar2
A1s
A2
s
Ars
2. 分块矩阵的加法
将m×n 矩阵A 与B 按相同的分块法分别分成r×s的分块矩阵
A11 A12
A
A21
A22
Ar1
Ar 2
A1s
B11 B12
A2 s
,
B
B21B22
Ars
Br1
Br 2
B1s
B2s
Brs
则
A11 B11 A12 B12
3 1
4
0
0
1
在利用分块矩阵的乘法讨论AB 时，下面的特殊情形值得注意。 设A 为m ×l 矩阵，B 为l×n 矩阵，将右矩阵B 按列分块:
B= b11 b12 bn
则
AB= Ab11 Ab12 Abn
若AB=O，则 Ab11 Ab12 Abn O (OO O) ，从而
线性代数
分块矩阵
1
2
3
分块矩阵 的概念
分块矩阵 的运算
分块对角矩阵
1.1 分块矩阵的概念
定义1
用若干条横线与若干条纵线将矩阵分成若干小块，每个小块 称为矩阵的子块;以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
a b 0 0
例如
A
c
d
0
0
0 0 p q
0
0
r
s
按下述分法分块
a b 0 0
A
Abj O( j 1,2, n)
即 bj ( j 1, 2, n) 是矩阵方程 Aml Xl1 Om1 的解，也就是说 B 的列是 Aml Xl1 Om1 的解。
4. 分块矩阵的转置
将m×n 矩阵A 分成r×s的分块矩阵
分块矩阵的n次方运算公式
分块矩阵的n次方运算公式在数学和计算机科学领域，矩阵运算一直是研究的重点。
其中，分块矩阵的n次方运算在许多实际应用中具有很高的价值。
本文将详细介绍分块矩阵的n次方运算公式，并通过实例进行演示。
一、分块矩阵的概念及应用场景分块矩阵是指一个矩阵，将其每个元素划分为一个小块，小块之间相互独立。
在实际应用中，分块矩阵广泛应用于信号处理、图像处理、控制系统等领域。
通过分块矩阵的运算，可以降低问题的复杂度，提高计算效率。
二、分块矩阵的n次方运算方法对于一个分块矩阵A，其n次方运算可以采用以下方法：1.将A分为小块矩阵组成的矩阵B，即B = [b1, b2, ..., bk]（k为分块数）。
2.对每个小块矩阵bi进行n次方运算，得到新的小块矩阵ci。
3.将新的小块矩阵ci组成一个新的矩阵C，即C = [c1, c2, ..., ck]。
4.对矩阵C进行合成，得到分块矩阵A的n次方运算结果。
三、分块矩阵n次方运算公式的推导以2×2分块矩阵为例，设A = [a11, a12; a21, a22]，进行n次方运算。
1.将A分为小块矩阵组成的矩阵B，即B = [a11, a12; a21, a22]。
2.对小块矩阵进行n次方运算，得到新的小块矩阵C，即：C11 = a11^nC12 = a12^nC21 = a21^nC22 = a22^n3.将新的小块矩阵C组成一个新的矩阵C，即C = [C11, C12; C21,C22]。
4.对矩阵C进行合成，得到分块矩阵A的n次方运算结果：An = [C11, C12; C21, C22]四、实例演示与应用以下以一个3×3分块矩阵A为例，进行n次方运算：A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]1.将A分为小块矩阵组成的矩阵B，即B = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]。
2.对每个小块矩阵进行n次方运算，得到新的小块矩阵：C11 = 1^n = 1C12 = 2^n = 16C21 = 4^n = 256C22 = 5^n = 31253.将新的小块矩阵C组成一个新的矩阵C，即C = [1, 16; 256, 3125]。