大学物理-磁场 安培环路定律

Φ BS cos BS
s
一般情况 Φ s BdS
dS2
B
S 2
dS1
1
B1
dΦ1 B1 dS1 0
dΦ2 B2 dS2 0
B2
SB cosdS 0
磁场高斯定理
S B d S 0
物理意义：通过任意闭合曲面的磁通
量必等于零（故磁场是无源的）.
B B1 B2 B3
Bdl
l
0(I2 I3)
推广：
➢ 安培环路定理
n
B dl 0 Ii
i 1
n
安培环路定理
B dl 0 Ii
i 1
在真空的恒定磁场中，磁感强度 B沿任
一闭合路径的积分的值，等于 0乘以该闭合
路径所穿过的各电流的代数和.
注意
电流 I 正负的规定： I 与 L 成右螺旋
而与环路外电流无关。
3. B为环路上一点的磁感应强度，它与环路内外电流
都有关。
若
B
dl
0
并不一定说明环路上各点的 B 都为 0。
若 B dl 0 环路内并不一定无电流。
4.环路定理只适用于闭合电流或无限电流，
应用 安培环路定理的应用举例
例1
求载流螺绕环内的磁场
解 （1）对称性分析：环内B 线为同心
B dl B 2r 0 I
B 0 I 1 2r r
I
r LR
r L
分布曲线
B
0 I 2R B r
B 1 r
o
R
r
例4 无限大均匀带电(线密度为i)平面的磁场
解 如图，作安培环路
abcda，应用安培环路 定理
b
l B d l 2a B dl
2Bab 0iab B 0i
2
a
i
b
d c
B 0i
2
0i B
2
or
a
i
b
d c
四、选取环路原则
利用安培环路定理计算磁场 B ,要求磁场 具有高度的对称性 ;
目的是将:
L B d l 0 I
写成
L Bdl cos B dl 0 I
B 0 I
dl
要求环路上各点 B 大小相等，B 的方向
与环路方向一致， B // dl , cos 1
b
d
Bdl ,
cos 0
d
Bd l 0
c 螺线管外B =0；
b
Bdl Bdl
a
...............
a
bB
B外 0 dc
作闭合环路 abcda,环路 内的电流代数和为：
I n abI
B ab 0 I 0n abI B 0nI
例3：一环形载流 螺线管，匝数为
N ，内径为 R1 ， 外径为 R2 ，通有 电流 I ，求管内磁 感应强度。
时，I 为正；反之为负.
L B dl
0 (I1 I2 )
（0 I1
I
）
2
讨论：
（1）B 是否与回路L
外电流有关？
I1
I2 I3
I1
L
I1
（2）若 LB dl 0 ，是否回路L 上各处
B 0 ？是否回路 L 内无电流穿过？
1. I 为环路内的电流代数和。
2.环流 B dl 只与环路内的电流有关，
一 安培环路定理
无限长载流长直导线的磁场
B 0I
2πr
I B
I XB
电流与磁感强度成右手螺旋关系
B 0I
2π R
l
B
dl
0I dl
2π R
B dl
l
0I
I
B
dl
oR
l
设闭合回路 l 为圆形回路, l 与
I 成右螺旋
若回路绕向为逆时针
l B
dl
0I
2π
2π
0
d
0I
对任意形状的回路
B dl
B B
的方向； 的大小.
I
I
I
I
S
I
S
N
N
三 磁通量 磁场的高斯定理
S B
B ΔN ΔS
磁通场过中的某磁点感处 线垂 数直 目等B矢于量该的点单B的位数面值积.上
B
磁通量：通过
en
某曲面的磁感线数
s
s
B
B dS
B
匀强磁场中，通 过面曲 面 S的 磁 通量：
Φ B S B enS
解：在管内作环路
半径为 r ，
o R1
环路内电流代数和为
r R2
I NI
L B d l 0 I
B 2r 0NI B 0NI 2r
当 r >> ( R2 – R1) 时
o R1 r R2
N n 为沿轴向线圈密度；
2r
B 0nI 与直螺管的结论类似。
二、 磁感线
切线方向—— 疏密程度——
求管内一点的 B 。(用无
ab
限长螺线管近似。)
解：理想密绕螺线管，管
内的磁场是均匀的，管外 的磁场为 0 ；由安培环路
d
c
定律：
L B dl 0 I
r
选择如图所示的环路
b c d a
B dl ( )B dl
a
b
c
d
其中
c a
B dl B dl 0,
0I
rd
0I
d
2π r
2π
B dl l
0I
I
B
dl
oR
l d B
dl
Ir
l
I
d
B1
r1
dl1
B2 dl2
r2
l
电流在回路之外
B1
0I
2π r1
，
B2
0I
2π r2
B1
dl1
B2
dl2
0I
2π
d
B1 dl1 B2 dl2 0
l B d l 0
多电流情况
I1
I2
I3
l
B 2r 0I
B 0I
r
2r
L
将上式用于有限长直导线则得出错误结
果，算出B与无限长直电流磁感应强度
相同 ，矛盾，故安培环路定律对有限电
流不适用。
例3：圆柱形载流导体 半径为 R ，通过的电 流为 I ，电流在导体横 截面上均匀分布，求 圆柱体内、外的磁感 应强度的分布。
解：1.圆柱体内部
r < R 区域
圆，环外 B 为零.
d
R
（2）选回路
l B dl 2π RB 0NI
B 0NI
2π R
令 L 2πR
B 0 NI L
d
L
R
当 2R d 时，螺绕环内可视为均匀场 .
例2：利用安培环路定律计算载流无限长 直导线外一点的磁感应强度。
解：以电流为轴，做半径为 r 的环路
B dl B dl 0I
或 Bdl , cos 0
环路要经过所研究的场点。
五、解题方法
1.场对称性分析； 2.选取环路； 3.确定环路内电流的代数和 I ； 4.应用环路定理列方程求解。
应用环路定理求 B 要比毕萨定律简单， 但只适用于具有高度对称的场。
例5：密绕载流螺线管通 有电流为 I，线圈密度为 n，
...............B
I R
选取半径 为 r 的环路，
B dl Bdl cos
由于环路上各点 B 大小相等，方向
B // dl
0
B dl
B 2r 0r 2 I
R2
环路内电流代数和为：
I
I
R
2r 2
r2 R2
I
B
0 I 2R 2rຫໍສະໝຸດ rIR r L
2.圆柱体外一点 r > R 区域
在圆柱体外作一环路，
B dl Bdl cos