勾股定理及其验证
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勾股定理及其验证
C A
a2+b2=c2
B
下图是2002年在北京召开的国际数 学家大会会徽
勾股定理
学习目标：
1、经历探索及验证勾股定理的过程， 体会数形结合的思想。 2、注重勾股定理证明的多样性，培养学生的发 散思维能力。
3、理解勾股定理，并用勾股定理解决有关的实际 问题。
探究一
数学家毕达哥拉斯的故事
目前，世界上共有500多种证明“勾股定理”的方 法。
例1 某工人拿一个2.5m的长 的梯子，一头放在离墙1.5m 处，另一头靠墙，以便去修 理梯子另一头的有线电视分 线盒（如图）．这个分线盒 离地多高？
分析 图中△ABC是直角三角形 且AC=1.5,AB=2.5 ∴ 根据勾股定理可求出BC的长．
解： 在Rt△ABC中，∵ AB2=AC2+BC2
C
图2 图1
4
9
9
25
13
34
C A
A、B、 C面积 关系
sA+sB=sC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
B
图2
直角三 角形三 边关系
Aa
C c b B
正方形A中含有 9 个方 格，即A的面积是 9 个ห้องสมุดไป่ตู้单位面积；
正方形B中含有16 个小方 格，即B的面积是16 个单 位面积；
a2+b2=c2
正方形C中含有 25 个小 方格，即C的面积 25个单 位面积；
∟
½(a + b)(b + a) = ½c2 + 2(½ab)
b
c
½a2 + ab+ ½b2 = ½c2 + ab a2 + b2= c2
a
∟
c b
依据科学理论的证实：三 b
a c (a + b)2=c2 + 4(½ab) a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab a2 + b2 = c2
思维拓展
∴ 2.52 =1.52+BC2 由 BC>0 即BC=2 答：分线盒离地面2m高． ．
例2 如图19.2.9，为了求出湖两岸的A、B两点之间的 距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角 三角形.通过测量，得到AC长160米，BC长128米.问从点 A穿过湖到点B有多远？
解 在直角三角形ABC中，
谢谢！
伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了 简洁的证明方法．1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上 发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任 总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明， 就称这一证法称为“总统”证法。
a
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，那么
a2+b2=c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
a
勾
c 弦
股 b
依据科学理论的证实：一
3世纪我国汉代的赵爽指出：四个全等的直角三 角形如下拼成一个中空的正方形，由大正方形的面积 等于小正方形的面积与4个三角形的面积和得： 两直 角边的平方和等于斜边的平方
B
正方形C中含有 18 个小 方格，即C的面积是 18 个单位面积；
A的面积+ B的面积= C的面积
返回
对于等腰直角三角形有这样的性质：
两直边的平方和等于斜边的平方
对于任意直角三角形都有这样的性质吗？ 看下面的图形：
探究二：你会求出下图中三角形的面积吗？
B
A 图1 A的面 积(单位 长度) B的面 积(单位 长度) C的面 积(单位 长度)
c
c2 = (a b)2 + 4(½ab) = a2 2ab + b2 + 2ab
c2 = a2 + b 2
赵爽弦图
“赵爽弦图”表现了我国古代 人对数学的钻研精神和聪明才智，它 是我国数学的骄傲。 中国古代的数 学家们不仅很早就发现并应用勾股定 理，而且很早就尝试对勾股定理作理 论的证明。最早对勾股定理进行证明 的，是三国时期吴国的数学家赵爽。 正因为此，这个图案被选为2002年在 北京召开的国际数学家大会会徽。
依据科学理论的证实：二
在1876年一个周末的傍晚,美国华盛顿的郊外,有一位中 年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和 党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上, 有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小 声探讨.由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞 清楚两个小孩到底在干什么,只见一个小男孩正俯着身子，用 树枝在地上画一个直角三角形，于是伽菲尔德便问，你们在 干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果 直角三角形的两条直角边分别是３和4，那么斜边长为多少 呢？”伽菲尔德答到：“是５呀。”小男孩又问道：“如果 两条直角边分别为５和７，那么这个直角三角形的斜边长又 是多少呢？”伽菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方， 一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生， 你能说出其中的道理吗？……”伽菲尔德一时语塞，无法解 释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家， 潜心探讨小男孩给他留下的难题。
（3）阴影部分是半圆 。。
（1）
（2）
（3）
想一想
小结：
１、本节课我们经历了怎样的过程？
经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理， 再到探索定理，最后学会验证定理的过程。 ２、本节课我们学到了什么？
通过本节课的学习我们不但知道了 著名的勾股定理，还知道从特殊到一 般的探索方法及借助于图形的面积来 探索、验证数学结论的数形结合思想。
相传2005 年前，毕达哥拉斯有一次在朋 友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中 反映了直角三角形三边的某中数量关系。 A、B、C的面积有什么关系？ 我们去探究一下 SA+SB=SC C 直角三角形三边有什么关系？ 继续探究 两直边的平方和等于斜边的平方
A
B
（1）观察左图：
C A
正方形A中含有 9 个小 方格，即A的面积是 9 个单位面积； 正方形B中含有 9 个小 方格，即B的面积是 9 个单位面积；
AC＝160，BC＝128，
根据勾股定理可得
图 19.2.9
AB
AC 2 BC 2
160 2 128 2 = 96（米）
答：从点A穿过湖到点B有96米.
一分耕耘,一分收获!
1、已知△ABC中，∠B＝90゜，AC＝13cm,BC=5cm，则AB＝___.
2、求下列阴影部分的面积： （1）阴影部分是正方形； （2）阴影部分是长方形；
C A
a2+b2=c2
B
下图是2002年在北京召开的国际数 学家大会会徽
勾股定理
学习目标：
1、经历探索及验证勾股定理的过程， 体会数形结合的思想。 2、注重勾股定理证明的多样性，培养学生的发 散思维能力。
3、理解勾股定理，并用勾股定理解决有关的实际 问题。
探究一
数学家毕达哥拉斯的故事
目前，世界上共有500多种证明“勾股定理”的方 法。
例1 某工人拿一个2.5m的长 的梯子，一头放在离墙1.5m 处，另一头靠墙，以便去修 理梯子另一头的有线电视分 线盒（如图）．这个分线盒 离地多高？
分析 图中△ABC是直角三角形 且AC=1.5,AB=2.5 ∴ 根据勾股定理可求出BC的长．
解： 在Rt△ABC中，∵ AB2=AC2+BC2
C
图2 图1
4
9
9
25
13
34
C A
A、B、 C面积 关系
sA+sB=sC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
B
图2
直角三 角形三 边关系
Aa
C c b B
正方形A中含有 9 个方 格，即A的面积是 9 个ห้องสมุดไป่ตู้单位面积；
正方形B中含有16 个小方 格，即B的面积是16 个单 位面积；
a2+b2=c2
正方形C中含有 25 个小 方格，即C的面积 25个单 位面积；
∟
½(a + b)(b + a) = ½c2 + 2(½ab)
b
c
½a2 + ab+ ½b2 = ½c2 + ab a2 + b2= c2
a
∟
c b
依据科学理论的证实：三 b
a c (a + b)2=c2 + 4(½ab) a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab a2 + b2 = c2
思维拓展
∴ 2.52 =1.52+BC2 由 BC>0 即BC=2 答：分线盒离地面2m高． ．
例2 如图19.2.9，为了求出湖两岸的A、B两点之间的 距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角 三角形.通过测量，得到AC长160米，BC长128米.问从点 A穿过湖到点B有多远？
解 在直角三角形ABC中，
谢谢！
伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了 简洁的证明方法．1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上 发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任 总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明， 就称这一证法称为“总统”证法。
a
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，那么
a2+b2=c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
a
勾
c 弦
股 b
依据科学理论的证实：一
3世纪我国汉代的赵爽指出：四个全等的直角三 角形如下拼成一个中空的正方形，由大正方形的面积 等于小正方形的面积与4个三角形的面积和得： 两直 角边的平方和等于斜边的平方
B
正方形C中含有 18 个小 方格，即C的面积是 18 个单位面积；
A的面积+ B的面积= C的面积
返回
对于等腰直角三角形有这样的性质：
两直边的平方和等于斜边的平方
对于任意直角三角形都有这样的性质吗？ 看下面的图形：
探究二：你会求出下图中三角形的面积吗？
B
A 图1 A的面 积(单位 长度) B的面 积(单位 长度) C的面 积(单位 长度)
c
c2 = (a b)2 + 4(½ab) = a2 2ab + b2 + 2ab
c2 = a2 + b 2
赵爽弦图
“赵爽弦图”表现了我国古代 人对数学的钻研精神和聪明才智，它 是我国数学的骄傲。 中国古代的数 学家们不仅很早就发现并应用勾股定 理，而且很早就尝试对勾股定理作理 论的证明。最早对勾股定理进行证明 的，是三国时期吴国的数学家赵爽。 正因为此，这个图案被选为2002年在 北京召开的国际数学家大会会徽。
依据科学理论的证实：二
在1876年一个周末的傍晚,美国华盛顿的郊外,有一位中 年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和 党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上, 有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小 声探讨.由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞 清楚两个小孩到底在干什么,只见一个小男孩正俯着身子，用 树枝在地上画一个直角三角形，于是伽菲尔德便问，你们在 干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果 直角三角形的两条直角边分别是３和4，那么斜边长为多少 呢？”伽菲尔德答到：“是５呀。”小男孩又问道：“如果 两条直角边分别为５和７，那么这个直角三角形的斜边长又 是多少呢？”伽菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方， 一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生， 你能说出其中的道理吗？……”伽菲尔德一时语塞，无法解 释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家， 潜心探讨小男孩给他留下的难题。
（3）阴影部分是半圆 。。
（1）
（2）
（3）
想一想
小结：
１、本节课我们经历了怎样的过程？
经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理， 再到探索定理，最后学会验证定理的过程。 ２、本节课我们学到了什么？
通过本节课的学习我们不但知道了 著名的勾股定理，还知道从特殊到一 般的探索方法及借助于图形的面积来 探索、验证数学结论的数形结合思想。
相传2005 年前，毕达哥拉斯有一次在朋 友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中 反映了直角三角形三边的某中数量关系。 A、B、C的面积有什么关系？ 我们去探究一下 SA+SB=SC C 直角三角形三边有什么关系？ 继续探究 两直边的平方和等于斜边的平方
A
B
（1）观察左图：
C A
正方形A中含有 9 个小 方格，即A的面积是 9 个单位面积； 正方形B中含有 9 个小 方格，即B的面积是 9 个单位面积；
AC＝160，BC＝128，
根据勾股定理可得
图 19.2.9
AB
AC 2 BC 2
160 2 128 2 = 96（米）
答：从点A穿过湖到点B有96米.
一分耕耘,一分收获!
1、已知△ABC中，∠B＝90゜，AC＝13cm,BC=5cm，则AB＝___.
2、求下列阴影部分的面积： （1）阴影部分是正方形； （2）阴影部分是长方形；