第7章非线性控制系统分析优秀课件
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自动控制原理课件 第7章 非线性控制系统
描述函数法是基于频率域的等效线性化方法。该法不受系统 阶次的限制，但系统必须满足一定的假设条件，且只能提供系 统稳定性和自激振荡的信息。 3. 波波夫法
波波夫法是一个关于系统渐近稳定充分条件的频率域判据。 它可以应用于高阶系统，并且是一个准确判定稳定性的方法。
2020年11月17日
EXIT
第7章第16页
4．可以用频率特性的概念来研究和分析线性系统的固 有特性。不能用频率特性、传递函数等线性系统常用的 方法来研究非线性系统。
2020年11月17日
EXIT
第7章第15页
7.1.4 非线性系统的分析和设计方法
1. 相平面法 相平面法是求解一阶或二阶非线性系统的图解法。这种方法
既能提供的稳定性信息，又能提供时间响应信息。其缺点是只 限于一阶和二阶系统。 2. 描述函数法
齿轮传动的齿隙特性，液压传动的的油隙特性等均属于 这类特性。
当系统中有间隙特性存在时，将使系统输出信号在相位 上产生滞后，从而使系统的稳定裕度减少，动态特性变坏。
间隙的存在常常是系统产生自持振荡的主要原因。
2020年11月17日
EXIT
第7章第9页
4.继电器特性
0 y(t) b0sgn e(t)
在控制系统中若存在饱和特性，将使系统在大信号
作用下的等效放大倍数降低，从而引起瞬态过程时间 的延长和稳态误差的增加。对于条件稳定系统，甚至 可能出现小信号时稳定，而大信号时不稳定的情况。
2020年11月17日
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第7章第7页
2.死区（不灵敏区）特性
y (t )
0
k
e(t)
a sgn
e(t)
e(t) a e(t) a
2. 线性系统的稳定性与输入响应的性质只由系统本身的 结构及参量决定，而与系统的初始状态无关。而非线性 系统的稳定性及零输入响应的性质不仅取决于系统本身 的结构和参量，而且还与系统的初始状态有关。
波波夫法是一个关于系统渐近稳定充分条件的频率域判据。 它可以应用于高阶系统，并且是一个准确判定稳定性的方法。
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4．可以用频率特性的概念来研究和分析线性系统的固 有特性。不能用频率特性、传递函数等线性系统常用的 方法来研究非线性系统。
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第7章第15页
7.1.4 非线性系统的分析和设计方法
1. 相平面法 相平面法是求解一阶或二阶非线性系统的图解法。这种方法
既能提供的稳定性信息，又能提供时间响应信息。其缺点是只 限于一阶和二阶系统。 2. 描述函数法
齿轮传动的齿隙特性，液压传动的的油隙特性等均属于 这类特性。
当系统中有间隙特性存在时，将使系统输出信号在相位 上产生滞后，从而使系统的稳定裕度减少，动态特性变坏。
间隙的存在常常是系统产生自持振荡的主要原因。
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第7章第9页
4.继电器特性
0 y(t) b0sgn e(t)
在控制系统中若存在饱和特性，将使系统在大信号
作用下的等效放大倍数降低，从而引起瞬态过程时间 的延长和稳态误差的增加。对于条件稳定系统，甚至 可能出现小信号时稳定，而大信号时不稳定的情况。
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第7章第7页
2.死区（不灵敏区）特性
y (t )
0
k
e(t)
a sgn
e(t)
e(t) a e(t) a
2. 线性系统的稳定性与输入响应的性质只由系统本身的 结构及参量决定，而与系统的初始状态无关。而非线性 系统的稳定性及零输入响应的性质不仅取决于系统本身 的结构和参量，而且还与系统的初始状态有关。
非线性控制系统分析课件
特点
非线性系统的行为复杂，难以用线性 系统的理论和方法进行分析和设计。
分类与比较
分类
根据非线性的性质，非线性控制系统可以分为连续时间非线性控制系统和离散时间非线性控制系统。
比较
连续时间非线性控制系统和离散时间非线性控制系统在分析和设计上有较大的差异。
常见非线性控制系统示例
描述：以下是一些常见的非线性控制系 统示例，包括电气系统、机械系统、化 工系统等。
非线性控制系统设
04
计
控制器设计
线性化设计方法
将非线性系统在平衡点附近线性 化，然后利用线性系统的设计方 法进行控制器设计。
反馈线性化设计方
法
通过引入适当的非线性反馈，将 非线性系统转化为线性系统，然 后进行控制器设计。
滑模控制设计方法
利用滑模面的设计，使得系统状 态在滑模面上滑动，并利用滑模 面的性质进行控制器设计。
相平面法
总结词
一种通过绘制相平面图来分析非线性系统动态特性的方法。
详细描述
相平面法通过将系统的状态变量绘制在二维平面上，直观地展示系统的动态行为，如极限环、分岔等。这种方法 适用于具有两个状态变量的系统。
平均法
总结词
一种通过将非线性系统的动态特性平均 化来简化分析的方法。
VS
详细描述
平均法通过在一定时间范围内对非线性系 统的动态特性进行平均，将非线性系统简 化为一个平均化的线性系统。这种方法适 用于具有周期性激励的非线性系统。
线性系统稳定性分析方法
通过求解特征方程或使用劳斯-赫尔维茨判 据等方法，可以判定线性系统的稳定性。
非线性系统稳定性分析
要点一
非线性系统的特性
非线性系统不具有叠加性和时不变性，其响应会受到初始 状态和输入信号的影响。
非线性系统的行为复杂，难以用线性 系统的理论和方法进行分析和设计。
分类与比较
分类
根据非线性的性质，非线性控制系统可以分为连续时间非线性控制系统和离散时间非线性控制系统。
比较
连续时间非线性控制系统和离散时间非线性控制系统在分析和设计上有较大的差异。
常见非线性控制系统示例
描述：以下是一些常见的非线性控制系 统示例，包括电气系统、机械系统、化 工系统等。
非线性控制系统设
04
计
控制器设计
线性化设计方法
将非线性系统在平衡点附近线性 化，然后利用线性系统的设计方 法进行控制器设计。
反馈线性化设计方
法
通过引入适当的非线性反馈，将 非线性系统转化为线性系统，然 后进行控制器设计。
滑模控制设计方法
利用滑模面的设计，使得系统状 态在滑模面上滑动，并利用滑模 面的性质进行控制器设计。
相平面法
总结词
一种通过绘制相平面图来分析非线性系统动态特性的方法。
详细描述
相平面法通过将系统的状态变量绘制在二维平面上，直观地展示系统的动态行为，如极限环、分岔等。这种方法 适用于具有两个状态变量的系统。
平均法
总结词
一种通过将非线性系统的动态特性平均 化来简化分析的方法。
VS
详细描述
平均法通过在一定时间范围内对非线性系 统的动态特性进行平均，将非线性系统简 化为一个平均化的线性系统。这种方法适 用于具有周期性激励的非线性系统。
线性系统稳定性分析方法
通过求解特征方程或使用劳斯-赫尔维茨判 据等方法，可以判定线性系统的稳定性。
非线性系统稳定性分析
要点一
非线性系统的特性
非线性系统不具有叠加性和时不变性，其响应会受到初始 状态和输入信号的影响。
自动控制原理课件 第七章 非线性系统
2
从（2）式看出：线性化以后的系
统其特性与线性系统的特性一样，
可是（1）式表示的非线性系统的
将上式写成二个一阶方程组：
x1 (t ) x2 (t )
平衡点为：
x2 (t ) x1 (t ) 2 1 x12 (t ) x2 (t )
（1） 特性为：
当参量
x2 0, x1 0
一、相平面、相轨迹和平衡点 x f ( x , x)
将二阶系统常微分方程写成两个一阶微分方程表示如下：
..
.
x1 (t ) f1 t , x1 (t ), x2 (t ) x2 (t ) f 2 t , x1 (t ), x2 (t )
1、相平面：以横坐标表示X，以纵坐标 x 构成一个直角坐标 系，则该
则：
2 x2 n x1 2n x2
dx1 x2 2 dx2 n x1 2n x2
从二阶线性系统的特征方程中解出
1 , 2 n n 2 1
（1）当 0时
方程为：
1，2为虚根
x1 x2
2 x2 n x1
dx1 x2 2 dx2 n x1 x (
2 1
n
x2
)2 R 2
表示系统的相轨迹是一族同心的椭圆
当不同的
，我们得到不同的相轨迹如下图：
根与相轨迹
j λ 2 λ1 0 j 0 λ λ 1 2
稳定节点
j
不稳定节点
j 0
0
稳定焦点
j 0
不稳定焦点
j λ1 0 λ2
中心
鞍点
三、二阶非线性系统的特征
解析法：
（1）
从（2）式看出：线性化以后的系
统其特性与线性系统的特性一样，
可是（1）式表示的非线性系统的
将上式写成二个一阶方程组：
x1 (t ) x2 (t )
平衡点为：
x2 (t ) x1 (t ) 2 1 x12 (t ) x2 (t )
（1） 特性为：
当参量
x2 0, x1 0
一、相平面、相轨迹和平衡点 x f ( x , x)
将二阶系统常微分方程写成两个一阶微分方程表示如下：
..
.
x1 (t ) f1 t , x1 (t ), x2 (t ) x2 (t ) f 2 t , x1 (t ), x2 (t )
1、相平面：以横坐标表示X，以纵坐标 x 构成一个直角坐标 系，则该
则：
2 x2 n x1 2n x2
dx1 x2 2 dx2 n x1 2n x2
从二阶线性系统的特征方程中解出
1 , 2 n n 2 1
（1）当 0时
方程为：
1，2为虚根
x1 x2
2 x2 n x1
dx1 x2 2 dx2 n x1 x (
2 1
n
x2
)2 R 2
表示系统的相轨迹是一族同心的椭圆
当不同的
，我们得到不同的相轨迹如下图：
根与相轨迹
j λ 2 λ1 0 j 0 λ λ 1 2
稳定节点
j
不稳定节点
j 0
0
稳定焦点
j 0
不稳定焦点
j λ1 0 λ2
中心
鞍点
三、二阶非线性系统的特征
解析法：
（1）
自动控制原理课件 第7章 非线性控制系统
伺服电机的死区电压（启动电压），测量元件的不灵敏 区等都属于死区非线性特性。
由于有死区特性存在，将使系统产生静态误差，特别是 测量元件的不灵敏区影响最为突出。
2020年11月17日
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第7章第8页
3. 间隙特性
k e(t)
y(t)
k
e(t
)
b sgn e(t)
e(t) 0 e(t) 0 e(t) 0
2020年11月17日
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第7章第11页
5.变放大系数特性
y
(t
)
k1e(t
)
k2e(t )
e(t) a e(t) a
变放大系数特性使系统在大误差信号时具有较大的 放大系数，系统响应迅速。而在小误差信号时具有较 小的放大系数，使系统响应既缓且稳。
具有这种特性的系统，其动态品质较好。
2020年11月17日
fv
dy t
dt
k
y
y t
F
式中：fv——粘性摩擦系数
k(y)——弹性系数，是 y(t)的函数
2020年11月17日
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第7章第4页
描述大多数非线性物理系统的数学模型是n阶非线性 微分方程
d
ny dt
t
n
h
t,
y
t
,
dy t
dt
,
,
d
n1
dt
y
n1
t
,
u
t
式中，u(t)为输入函数， y(t)为输出函数
描述函数法是基于频率域的等效线性化方法。该法不受系统 阶次的限制，但系统必须满足一定的假设条件，且只能提供系 统稳定性和自激振荡的信息。 3. 波波夫法
中职教育-《自动控制原理》课件：第7章 非线性控制系统分析(4)电子工业出版.ppt
➢ 非线性系统的稳定性与系统输入信号及初始状态有关。 因此，对非线性系统不能笼统地说稳定与不稳定，而 必须指明稳定的范围。
➢ 相平面法是一种图解方法，仅适用于二阶或一阶系统。 相平面分析法研究非线性系统的基本思想是：对于二 阶非线性系统，先用图解方法作出其相轨迹曲线，然 后通过相轨迹来研究系统的运动。如：分析极限环邻 近相轨迹的运动特点，将极限环分为稳定、不稳定、 半稳定极限环。
由此可知，系统产生自持振荡时的振荡频 率和幅
值X分别为：1.01和1.557。
本章小结
➢ 非线性系统瞬态响应曲线的形状却与输 入信号大小、初始条件有密切的关系。非 线性系统的稳定性，除了和系统结构、参 数有关外，还与初始状态及输入信号大小 有密切关系。在非线性系统中，除了稳定 和不稳定运动形式外，还有一个重要特征 就是系统有可能发生自持振荡。因此，非 线性系统的性能在整个过程中是时变的， 这使得在研究上与线性系统有着本质差别。 本章主要介绍了非线性系统的特点和分析
7-4 基于Simulink的非线性系统分析
在一般非线性系统分析中，常需要在平衡点 处求利用MATLAB/Simulink提供的函数，不仅可对 非线性系统进行线性化处理，而且也可直接对非 线性系统进行分析。
7.4.1 利用MATLAB求解非线性系统的线性化模型
图7-55 系统的相轨迹
7.4.3 基于MATLAB的描述函数法分析非线性系统
例7-11 已知非线性系统如图7-56所示。
图7-56 非线性系统
试利用MATLAB采用描述函数法分析非线性系统
在K=1和2时的稳定性。其中k=1，h=1。
(a) K=1时的曲线
(b) K=2时的曲线
X= 1.5570
➢ 描述函数分析法是等效线性化方法的一种，它是频域 法在非线性系统上的延伸。描述函数法只能研究系统 的稳定性和是否存在极限环，使用时不受系统阶次的 限制。
第7章 非线性控制系统分析(《自动控制原理》课件)
•
• • •
••
•
得等倾线方程为: 令 d x/ dx = α , 得等倾线方程为 x = − x /(1 + α ) (15 ) • 若令 α = 1, x = − x / 2 , 则等倾线如下图所示 如 α = − 2 则等倾线如下图所示. • • x 则 x = x 等倾线如图中蓝线 等倾线如图中蓝线. α =1 依此类推, 依此类推 取不同的α 值, 由 x 式(15)画出足够密的一簇等倾 画出足够密的一簇等倾 0 线, 然后按各条等倾线所表示 的相轨迹在该条等倾线上的斜率将各点连 成一条光滑的曲线, 如左上图所示. 成一条光滑的曲线 如左上图所示 α = −2
•
•
设下图为式(1)在初始条件 设下图为式 在初始条件 x = x0 , x = x0 情况下的 x (t ) 与 x (t ) 的关系曲线. 平面上的点随时间的增大, 的关系曲线 当 t ∈ [ 0, ∞ ) 时, 平面上的点随时间的增大 • • 将沿曲线移动 当初始条件确定后 x A( x0 , x0 ) 将沿曲线移动. 当初始条件确定后, 曲线也确定, 曲线也确定 则曲线上任何一点的 • x 坐标也确定 当 x, x 的值确定后 由 的值确定后, 坐标也确定. 0 式(1)可知 x = f ( x , x ) 的值也唯一确 可知 从而系统的整个运动状态也完全确定. 定, 从而系统的整个运动状态也完全确定 整条曲线就清楚地描述了系统在某一初始条件下的运动 性质. 上图中的平面叫相平面, 性质 上图中的平面叫相平面 曲线叫系统在某一初始 条件下的相轨迹. 由于系统的初始条件可有无穷多个, 条件下的相轨迹 由于系统的初始条件可有无穷多个 因此相应的相轨迹也有无穷多条, 因此相应的相轨迹也有无穷多条 这无穷多条相轨迹构 成的相轨迹簇叫相平面图. 成的相轨迹簇叫相平面图 因为
• • •
••
•
得等倾线方程为: 令 d x/ dx = α , 得等倾线方程为 x = − x /(1 + α ) (15 ) • 若令 α = 1, x = − x / 2 , 则等倾线如下图所示 如 α = − 2 则等倾线如下图所示. • • x 则 x = x 等倾线如图中蓝线 等倾线如图中蓝线. α =1 依此类推, 依此类推 取不同的α 值, 由 x 式(15)画出足够密的一簇等倾 画出足够密的一簇等倾 0 线, 然后按各条等倾线所表示 的相轨迹在该条等倾线上的斜率将各点连 成一条光滑的曲线, 如左上图所示. 成一条光滑的曲线 如左上图所示 α = −2
•
•
设下图为式(1)在初始条件 设下图为式 在初始条件 x = x0 , x = x0 情况下的 x (t ) 与 x (t ) 的关系曲线. 平面上的点随时间的增大, 的关系曲线 当 t ∈ [ 0, ∞ ) 时, 平面上的点随时间的增大 • • 将沿曲线移动 当初始条件确定后 x A( x0 , x0 ) 将沿曲线移动. 当初始条件确定后, 曲线也确定, 曲线也确定 则曲线上任何一点的 • x 坐标也确定 当 x, x 的值确定后 由 的值确定后, 坐标也确定. 0 式(1)可知 x = f ( x , x ) 的值也唯一确 可知 从而系统的整个运动状态也完全确定. 定, 从而系统的整个运动状态也完全确定 整条曲线就清楚地描述了系统在某一初始条件下的运动 性质. 上图中的平面叫相平面, 性质 上图中的平面叫相平面 曲线叫系统在某一初始 条件下的相轨迹. 由于系统的初始条件可有无穷多个, 条件下的相轨迹 由于系统的初始条件可有无穷多个 因此相应的相轨迹也有无穷多条, 因此相应的相轨迹也有无穷多条 这无穷多条相轨迹构 成的相轨迹簇叫相平面图. 成的相轨迹簇叫相平面图 因为
7第七章非线性系统的分析
第七章 非线性系统的分析
5、 ( 1)
jω
××
λ1 λ2
x
x
系统的运动是非周期发散运动。相轨迹是由原点出发的发散 型抛物线。原点处的奇点称为不稳定节点。
第七章 非线性系统的分析
6、
, 为一正一负两实根
12
jω
×
λ1
0
×
λ2
x
x
系统的自由运动是发散运动，原点处的奇点称为鞍点。 以上6种奇点，类似的奇点在非线性系统中也常见到。
复平面中，根据二者的相对位置可分析非线性系统的稳定
性。
一、非线性系统稳定
Im
1 不被G(j)包围
N(X)
x a
1 N(X)
0
Re
G( j)
第七章 非线性系统的分析
二、非线性系统不稳定 1 被G( j)包围
N(X)
三、非线性系统产生自持振荡
1 与G(j)相交
N(X)
图示系统在a点产生稳定的自 持振荡。由交点可确定自持 振荡的频率和幅值。
Im
0
Re
x a
G( j) 1
N(X)
Im
1 N(X)
a0
Re
x b a
G( j)
非线性系统即使无外界作用，也可能会发生某一 固定振幅和频率的振荡，称为自持振荡。
３、频率响应畸变 非线性系统在输入为正弦函数时，输出为包含一定数
量的高次谐波的非正弦周期函数。
第七章 非线性系统的分析
线性系统分析可用叠加原理，在典型输入信号下系 统分析的结果也适用于其它情况。
非线性系统不能应用叠加原理，没有一种通用的方 法来处理各种非线性问题。
非线性控制系统分析教学课件
航天器控制系统
航天器控制系统是一个高度复杂的非线性控制系统，它涉及到轨道控制、姿态控制和推进系 统控制等多个方面。
航天器控制系统需要处理各种动态特性和非线性特性，如气动力、引力扰动和热效应等，以 确保航天器能够精确地完成预定任务。
航天器控制系统的设计需要运用非线性控制理论和方法，如自适应控制、鲁棒控制等，以提 高航天器的稳定性和精度。
非线性控制系统分析 教学课件
contents
目录
• 非线性控制系统概述 • 非线性控制系统的基本理论 • 非线性控制系统的分析与设计 • 非线性控制系统的应用实例 • 非线性控制系统的发展趋势与挑战
CHAPTER 01
非线性控制系统概述ห้องสมุดไป่ตู้
非线性控制系统的定义与特点
总结词
非线性、动态、输入与输出关系复杂
详细描述
反馈线性化方法是一种通过引入适当的反馈控制律，将非线性系统转化为线性系统的设 计方法。它通过调整系统的输入和输出，使得系统的动态行为变得线性化，从而可以利
用线性控制理论进行设计和分析。
滑模控制方法
总结词
一种用于处理非线性控制系统不确定性 的方法
VS
详细描述
滑模控制方法是一种通过设计滑模面和滑 模控制器，使得系统状态在滑模面上滑动 并达到期望目标的方法。它利用滑模面的 设计，使得系统对不确定性具有鲁棒性， 能够有效地处理非线性系统中的不确定性 和干扰。
非线性控制系统的基本理论
状态空间模型
状态空间模型是描述非线性控制系统动态特性的数学模型，由状态方程和输出方程 组成。
状态变量是描述系统内部状态的变量，输出变量是描述系统外部输出的变量。
建立状态空间模型需要考虑系统的非线性特性，包括死区、饱和、非线性函数等。
《非线性系统分析》PPT课件
0
M
x h2 h2 x h1
x h1
(7 4a)
.
当x 0:
M
y
0
M
x h1 h1 x h2
x h2
(7 4b)
19
图（b）所示继电特性的数学描述由 读者自行导出。
20
4、间隙特性
传动机构的间隙也是控制系统中常见的非线性 特性，齿轮传动是典型的间隙特性，图7-4（a） 表示齿轮传动原理，图7-4（b）表示主动轮位移 与从动轮位移的关系。设主动轮与从动轮间的最 大间隙为2b，那么当主动轮改变方向时，主动轮 最大要运动2b从动轮才能跟随运动。间隙特性类 似于线性系统的滞后环节，但不完全等价，它对 控制系统的动态、稳态特性都不利。设齿轮传动 速比为，则图7-4间隙特性的数学描述为：
22相平面法是庞加莱poincare1885年首先提出的本来它是一种求解二元一阶非线性微分方程组的图解法两个变量构成的直角坐标系称为相平面方程组的解在相平面上的图象称为相轨这里是将相平面法用于分析一阶尤其是二阶非线性控制系统并形成了一种特定的相平面法它对弄清非线性系统的稳定性稳定域等基本属性解释极限环等特殊现象起到了直观形象的作23因为绘制两维以上的相轨迹是十分困难的所以相平面法对于二阶以上的系统几乎无能为力
一点在 x x平面上绘出的曲线，表征了系统的
运动过程，这个曲线就是相轨迹。我们用一个二 阶线性时不变系统来体验一下相平面和相轨迹。
26
例7-1 考虑二阶系统：
..
x ax 0 , a 0, x(t0 ) x0 ,
将它写成微分方程组：
dx
.
x
dt.
d x ax
dt
两式相除得到：
.
dx dx
第7章-非线性系统PPT课件
重合的，因此沿着该点的切线画一小段，这段也近似为相轨
迹上的一小段，得到新的状态变量值后，重复以上步骤就可
绘出系统的相轨迹了。
xoBox分析软件包含了用上述方法编制的绘制相轨迹子程序
，下面举一个例子来说明相轨迹的绘制方法及xoBox软件绘
制相轨迹子程序的使用方法。
-
11
xoBox
例7-1 非线性系统如图7－7所示，绘制相轨迹。 解 系统线性部分的微分方程为
要更复杂些，也可能是各种典型特性的组合，改变上述五种
非线性特性的特征参数可以得到几十种不同形状的非线性特
性，但利用典型特性作为例子来分析讨论非线性系统的问题
是比较方便而又不失一般性。
三、非线性系统的工作特点
描述非线性系统运动过程的数学模型是非线性微分方程，它
不能使用叠加原理，因而设有一个通用的方法来处理所有非
究非线性系统的重要内容之一。-
7
xoBox
(4)线性系统在正弦输入下的输出是同频率的正弦函数。而
非线性系统在正弦输入下的输出是比较复杂的，它可以包含
高次谐波，系统可能产生除与输入频率相同的振荡外，还会
产生其它频率的振荡。当输入频率由小到大变化时，其幅频
的数值可能会发生跳跃式的突变，出现所谓跳跃谐振和多值
响应。非线性系统还有许多其它奇特现象，在此不再一一列
举。
本章首先讨论非线性系统的相平面法的基本思想、特点和应
用情况。然后介绍非线性系统的描述函数法及其在分析非线
性系统稳定性问题中的应用，最后结合xoBox软件对各典型
非线性环节进行分析。
§7－2 相平面法
二阶非线性系统解的轨迹能用平面上的曲线表示，因此非线
5．变增益特性 变增益特性的输入输出 关系如图7－5所示。这种特性表明，在 输入信号不同范围时，元件或系统的增益 也不同，小信号时增益低，大信号时增益 高(当然也可以相反)。
相关主题
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(1) 饱和特性
ke(t ) x(t) kasigne(t )
e(t) a e(t) a
式中 a-线性区宽度
k-线性区特性的斜率
signe(t
)
1 1
（2）死区特性
e(t) 0 e(t) 0
x(t) k 0e(t)asigne(t)
e(t)a e(t)a
式中 a 死区宽度
（3）在非线性系统中，除了从平衡状态发散或收敛于平衡状态两 种运动形式外，往往即使无外作用存在，系统也可能产生具有一定 振幅和频率的稳定的等幅振荡。
自持振荡：无外作用时非线性系统内部产生的稳定的等幅振荡称 为自持振荡，简称自振荡。
改变非线性系统的结构和参数，可以改变自持振荡的振幅和频率， 或消除自持振荡。
a -切换点
特点：使系统在大误差信号时具有较大的增益，从而使系统响应迅 速；而在小误差信号时具有较小的增益，从而提高系统的相对稳定 性。同时抑制高频低振幅噪声，提高系统响应控制信号的准确度。
本质非线性：不能应用小偏差线性化概念将其线性化 非本质非线性：可以进行小偏差线性化的非线性特性
二．非线性控制系统的特性
dx dx
dx dt
2
wn
x
wn2
x
0
则
dx 2 wn x wn2 x
dx
x
上式代表描述二阶系统自由运动的相轨迹各点处的斜率，在 x 0及 x 0，即坐标原点（0，0）处的斜率为 dx dx 00 ，由此我们有奇点的定 义
相轨迹的斜率不能由该点的坐标值单值地确定的点称为奇点。
（1）无阻尼运动形式（ 0）
对线性系统，围绕其平衡状态只有发散和收敛两种运动形式，其 中不可能产生稳定的自持振荡。
（4）在线性系统中，输入为正弦函数时，其输出的稳态分量也是 同频率的正弦函数，输入和稳态输出之间仅在振幅和相位上有所 不同，因此可以用频率响应来描述系统的固有特性。而非线性系 统输出的稳态分量在一般情况下并不具有与输入相同的函数形式。
轨迹，这种方法称为解析法。解析法分为 a.消去参变量 t
由 x f (x, x) 直接解出 x(t) ，通过求导得到 x(t) 。在这两个解中消 去作为参变量的 t ，就得到 x x 的关系。
例 设描述系统的微分方程为 x M 0 其中 M 为常量，已知初始条件 x(0) 0, x(0) x 。求其相轨迹。
解： x M ， 积分有
x Mt
再积分一次有
x
x
1 2
Mt2
由(1),(2)式消去 t 有
x2 2M (x x )
(1) (2)
M = 1 M = - 1
b.直接积分法
x
dx dt
x(t)
0 a e(t) ma,e(t) 0
bsigne(t )
e(t) a
b
e(t) ma,e(t) 0
b
e(t) ma,e(t) 0
功能：改善系统性能的切换元件
(5)变增益特性
x(t )
k1e(t k2e(t
) )
e(t) a e(t) a式中Biblioteka k1, k2 -变增益特性斜率
k -线性输出的斜率
（3）间隙特性
k e(t)
x(t
)
k
e(t
)
bsigne(t )
x(t) 0 x(t) 0 x(t) 0
式中 2 间隙宽度 k 间隙特性斜率
危害：使系统输出信号在相位上产生滞后，从而降低系统的相对 稳定性，使系统产生自持振荡。
（4）继电器特性
0 ma e(t) a,e(t) 0
第7章非线性控制系 统分析
$1 引言
非线性：指元件或环节的静特性不是按线性规律变化。 非线性系统：如果一个控制系统，包含一个或一个以上具有非 线性静特性的元件或环节，则称这类系统为非线性系统，其特 性不能用线性微分方程来描述。
一．控制系统中的典型非线性特性
下面介绍的这些特性中，一些是组成控制系统的元件所 固有的，如饱和特性，死区特性和滞环特性等，这些特性一 般来说对控制系统的性能是不利的；另一些特性则是为了改 善系统的性能而人为加入的，如继电器特性，变增益特性， 在控制系统中加入这类特性，一般来说能使系统具有比线性 系统更为优良的动态特性。
三．非线性系统的研究方法
现在尚无一般的通用方法来分析和设计非线性控制系统。
对非本质非线性系统 基于小偏差线性化概念来处理
对本质非线性系统 二阶系统：相平面法 高阶系统：描述函数法
$2 相平面法
相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准确方法。
一．基本概念
设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述
dx dx n2 x x
积分有
xdx wn2 xdx
x2
x2 wn2
A2
（2）欠阻尼运动形式(0 1)
（3）过阻尼运动形式（ 1）
（4）负阻尼运动形式（ 1 0 ）
（5） 1 （6）
三.相轨迹的绘制
（1）解析法 绘制相轨迹的关键在于找出 x 和 x 的关系 用求解微分方程的办法找出 x, x 的关系，从而可在相平面上绘制相
（1）对于线性系统，描述其运动状态的数学模型是线性微分方程， 它的根本标志就在于能使用叠加原理。而非线性系统，其数学模型 为非线性微分方程，不能使用叠加原理。
对非线性系统，一般并不需要求解其输出响应过程。通常是把讨论 问题的重点放在系统是否稳定，系统是否产生自持振荡，计算自持 振荡的振幅和频率，消除自持振荡等有关稳定性的分析上。 （2）在线性系统中，系统的稳定性只与其结构和参数有关，而与 初始条件无关。对于线性定常系统，稳定性仅取决于特征根在s平 面的分布。但非线性系统的稳定性除和系统的结构形式及参数有关 外，还和初始条件有关。在不同的初始条件下，运动的最终状态可 能完全不同。如有的系统初始值处于较小区域内时是稳定的，而当 初始值处于较大区域内时则变为不稳定。反之，也可能初始值大时 系统稳定，而初始值小则不稳定。甚至还会出现更为复杂的情况。
x f (x, x)
（1）
如果以 x 和 x 作为变量，则可有
dx dt
x
dx
dt
f (x, x)
（2）
用第一个方程除第二个方程有
dx f ( x, x)
dx
x
（3）
二．线性系统的相轨迹
设描述系统运动的微分方程为
x
2
wn
x
w
2 n
x
0
分 别 取 x 和 x 为 相 平 面 的 横 坐 标 和 纵 坐 标 ， 上 述 方 程 为 ：