大学物理,功和能及功能原理4.2 保守力及其功剖析
合集下载
大学物理第04章_功和能
Ek
1 2
mv2
单位：（J）
设质点m在力的作用下沿 曲线从a点移动到b点
dr
b
元功：
F
dW F dr F cosds a
F cos
ma
m dv dt
dW
F
cosds m
dv ds dt
mvdv
总功：
W
dW
v2 v1
mvdv
1 2
m(v22
v12 )
质点的动能定理：
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
对系统内所有质点求和
i
n
n
n
n
Wi内 Wi外 Ek2i Ek1i
fi
i 1
i 1
i 1
i 1
W内 W外 Ek 2 Ek1
质点系的动能定理：
质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和 内力作功之代数和。
值得注意：
内力做功可以改变系统 的总动能。
例3 如图所示，用质量为M的铁锤把质量为m 的钉子 敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深 度成正比。在铁锤敲打第一次时，能够把钉子敲入 1cm深，若铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完 全相同，问第二次能把钉子敲入多深？
dxi dyj dzk
bx ax
Fxdx
by ay
Fydy
bz az
Fzdz
在自然坐标系中
F F e Fnen dr dse
W
b
F dr
a
b
a F e
Fnen
dse
s1 s0
F
ds
附:功率的定义：
功率是反映作功快慢程度的物理量。
功率： 单位时间内所作的功。
浅谈保守力
一、力的分类1.保守力。
所做功只与物体的相对起始和终点所在之处相关联，而与其物体的过程轨迹无关的力，即为保守力[1]。
假若一力学体系里，所有的作用力都是保守力，则称此系统为保守系统。
若场力的积分，则W ABC=W ADC，由此W ABCDA= W ABC+W CDA=W ABC-W ADC=0。
从其定义已经了解到对象的相对起始和终点所在之处决定了保守力做功的多少，假若在此力的作用下，物体的运动在一个封闭的路径绕行一个周期后回到起始位置，则作功是零。
假若空间中存在某一质点，质点不论在其周围任何位置，其所受到的力f与向量同向或反向，即受到吸引力或排斥力，力的大小是标量的单值函数，我们称这样的力为有心力。
所有的有心力都是保守力，如万有引力（重力）。
如果在一个孤立的系统中，所有的作用力都是保守力，则为机械能守恒的系统。
2.非保守力。
力所做的功与其运动轨迹有关的作用力即为非保守力。
通常由于能量守恒原理，非保守力做功的能量损耗被转移到其他地方。
例如，物体间摩擦力做功会使机械能转变为热能，有时候也伴随着声能等。
游船在水中移动时，水对船身的阻力将船所具有的机械能转变，如热能、声能和波能等。
从热力学第二定律可推断出，非保守力的能量损耗不可逆。
3.耗散力。
作用力对质点体系做功为负，从此导致整个系统的机械能总体减少的力即为耗散力。
耗散力做功与力使物体运动所经过的轨迹有关[2-4]。
力的划分根据力做功与运动轨迹是否相关而区分为保守力与非保守力；耗散力、非耗散力是非保守力的两个组成部分。
我们在力学体系内了解的非保守力基本上都为耗散型力，因而长久以来耗散力就几乎等同于非保守力的代替词。
然而非保守力并不都是耗散力，这二者是有区别的，例如，一根绳子跨过一个上端固定的轻质滑轮，此绳两端分别连接有两个重量不相等的重物，在放开物体令其自由运动后，绳子的拉力对下降的物体做功为负，对上升的物体做功为正。
但是根据能量守恒定律，在整个过程中机械能并无损失，而是转变为相应内能等，所以此拉力既不是属于保守力之列，也不是属于耗散力之列，即为非耗散力。
《大学物理》第四章功和能
地球的半径为6.37 106 m，地球绕太阳公转的速度 为 29.8 km / s ，试求Ｖ１、Ｖ２、Ｖ３。
v
29.8km / s
S
S
E
r0 ~ 109 m
v 29.8km / s
S
E
r0 ~ 109 m
解：(1)
G0
mM E RE 2
m v12 RE
v1 gRE 7.9103 m / s
（２）
开始在距地面 R 处自由下落。
求：它到达地球表面时的速度。 A m
解： E pA = E pB =
GMm 2R
GMm R
BR
地球 R
M
由机械能守恒定律：
GMm 2R
+
0
=
GMm R
+
1 2
mv
2
v=
GM R
例7：航天器绕地球表面运动所需的速度称为第一宇宙 速度Ｖ１，脱离地球所需的最小速度称为第二宇宙速度 Ｖ２，脱离太阳系所需的速度称为第三宇宙速度Ｖ３，设
zk
b b
W
F dr
a
a
Fxi Fy j Fzk
dxi dyj dzk
b
a Fxdx Fydy Fzdz
4
功的基本性质：
合力对质点所作的功等于每个分力对质点作功之代数
和。
W
b a
b
a F1
F
dr
dr
b a
b
a F2
F1 F2 Fn
ra
r
dr
r dr
b
F
G0
Mm r2
er
W
G rb
ra
0
v
29.8km / s
S
S
E
r0 ~ 109 m
v 29.8km / s
S
E
r0 ~ 109 m
解：(1)
G0
mM E RE 2
m v12 RE
v1 gRE 7.9103 m / s
（２）
开始在距地面 R 处自由下落。
求：它到达地球表面时的速度。 A m
解： E pA = E pB =
GMm 2R
GMm R
BR
地球 R
M
由机械能守恒定律：
GMm 2R
+
0
=
GMm R
+
1 2
mv
2
v=
GM R
例7：航天器绕地球表面运动所需的速度称为第一宇宙 速度Ｖ１，脱离地球所需的最小速度称为第二宇宙速度 Ｖ２，脱离太阳系所需的速度称为第三宇宙速度Ｖ３，设
zk
b b
W
F dr
a
a
Fxi Fy j Fzk
dxi dyj dzk
b
a Fxdx Fydy Fzdz
4
功的基本性质：
合力对质点所作的功等于每个分力对质点作功之代数
和。
W
b a
b
a F1
F
dr
dr
b a
b
a F2
F1 F2 Fn
ra
r
dr
r dr
b
F
G0
Mm r2
er
W
G rb
ra
0
大学物理功-动能定理-保守力的功
解： 抛体在重力场中运动，
m g 是一恒量，
y
但m 的轨迹是一抛物线， 取一元位移d r
dr b
a
m g 与位移的夹角θ时时在变 在这一元段内写出元功
mg
x
dA Fdrmgdr
m gdscosmgdy
b
b
b
A
Fdr
a
Fcosds mg
a
a
dy
m g(ybya) 9
解：(1)建坐标系如图
l-a O
fμ m(lg x)/l l l μmg
A f afdra l (lx)dx μm(g lx)2l μm(g la)2
a x
2l
a 2l
注意：摩擦力作负功！ 21
(2)对链条应用动能定理：
l-x O
A＝ AP＋ Af 1 2m2v 1 2m0 2v
x
v0
0AP＋ Af
1m2v 2
x
A Pa lp d r a lm l x gd m x(l2 2 g l a 2 )
前已得出： Af
μm (gl a)2
2l
m(lg 2a2)μ m(lg a)21m2v
2l
2l
2
得 v
g l
1
(l2 a 2)μ (l a )22
13
3） A为合外力作功的代数和，不是合外力中某 一个力的功。动能定理中的速度必须相对同一 个惯性系。
4）通过作功，质点与外界进行能量交换。 如果 外力对物体做正功，质点动能增加； 如果 外力对物体做负功，质点的动能减少，
即物体克服外力作功，是以减少自身的动能为 代价。
所以，动能是物体因运动而具有的作功的本领。
大学物理 第四章
b
b a
质点动能定理：
5
§4.2 动能定理
质点系动能定理
F1
b
f1 = − f 2
r11
m
m
r2
2
F2
O 外力做功A外 内力做功A内
a
A内 + A外 = E k 2 − E k 1
质点系动能定理
质点系总动能
6
§4.2 动能定理
例4.2：已知一质量为m的质点做平面曲线运动，其运动方程为 试求在t=0到t=π/2ω时间内质点所受合外力的功。
解：（利用动能定理）
t=0 t=π/2ω
7
A = F • r = Fr cosθ
重力做功：
§4.3 保守力做功、势能
dA = − mg cos αds = − mgdy
重力做功只与 质点始末位置 有关，与质点 经过路径无关
8
§4.3 保守力做功、势能
弹簧弹性力做功：
弹簧弹性力做功只与质 点始末位置有关，与质 点经过路径无关
第四章 功和能
做功是物体能量改变的原因之一，是物 体机械能改变的唯一原因。
主要内容： 一个定理：动能定理 一个原理：功能原理 一个定律：机械能守恒定律 三个概念：功、动能、势能
§4.1 力的空间累积效应
功的定义：
A = F • r = Fr cos θ
元功的定义：
θ
r
θ
dA = F cos θdr = F • dr
解：
平衡方程为：
力F做功：
4
§4.2 动能定理
b Aab = ∫a F • dr = ∫a F cos αdr
b
力F对质点m沿曲 线从a到b做的功：
b a
质点动能定理：
5
§4.2 动能定理
质点系动能定理
F1
b
f1 = − f 2
r11
m
m
r2
2
F2
O 外力做功A外 内力做功A内
a
A内 + A外 = E k 2 − E k 1
质点系动能定理
质点系总动能
6
§4.2 动能定理
例4.2：已知一质量为m的质点做平面曲线运动，其运动方程为 试求在t=0到t=π/2ω时间内质点所受合外力的功。
解：（利用动能定理）
t=0 t=π/2ω
7
A = F • r = Fr cosθ
重力做功：
§4.3 保守力做功、势能
dA = − mg cos αds = − mgdy
重力做功只与 质点始末位置 有关，与质点 经过路径无关
8
§4.3 保守力做功、势能
弹簧弹性力做功：
弹簧弹性力做功只与质 点始末位置有关，与质 点经过路径无关
第四章 功和能
做功是物体能量改变的原因之一，是物 体机械能改变的唯一原因。
主要内容： 一个定理：动能定理 一个原理：功能原理 一个定律：机械能守恒定律 三个概念：功、动能、势能
§4.1 力的空间累积效应
功的定义：
A = F • r = Fr cos θ
元功的定义：
θ
r
θ
dA = F cos θdr = F • dr
解：
平衡方程为：
力F做功：
4
§4.2 动能定理
b Aab = ∫a F • dr = ∫a F cos αdr
b
力F对质点m沿曲 线从a到b做的功：
浅议物理学中的保守力和势能
浅议物理学中的保守力和势能【摘要】保守力和势能在物理学中扮演着重要的角色。
保守力是指不依赖路径的力，其所做的功与路径无关。
势能则是对保守力的一种描述，是可用于确定力学系统状态的函数。
保守力和势能之间存在着密切的关系，一般通过势能函数来确定。
根据保守力和势能的关系，我们可以推导出机械能守恒定律，即在只受保守力的情况下，力学系统的机械能保持不变。
保守力和非保守力的区别在于是否可以用势能来描述。
保守力和势能的重要性体现在它们对力学系统的描述和分析中起到了关键作用，而在物理学中也有着广泛的应用。
为了更深入地理解和探索保守力和势能，未来的研究方向可能会集中在更复杂系统下的运用和拓展。
【关键词】保守力、势能、物理学、性质、关系、确定、守恒定律、区别、重要性、应用、未来研究方向。
1. 引言1.1 保守力的基本概念保守力是物理学中一个非常重要的概念，它在描述物体运动和相互作用过程中起着至关重要的作用。
保守力是一种在物体运动中所做的功与路径无关的力，即对于沿着任意闭合路径作功的保守力，总是零。
这意味着保守力对物体的位移所做的功只依赖于起点和终点，而与具体路径无关。
保守力的基本概念包括以下几个要点：1. 保守力与势能的关系：保守力可以用势能来描述和计算。
势能是对物体在某个力场中位置所储存的能量，而保守力则是通过势能的梯度来定义和推导的。
具体来说，对于一个保守力F，其对应的势能函数为U，满足F = -∇U。
这里的负号表示力是势能的负梯度方向，即力的方向指向势能减小的方向。
2. 势能的引入：为了便于描述和计算保守力对物体的作用，我们引入了势能这一概念。
势能可以是位置的函数，也可以是速度和其他物理量的函数。
通过引入势能，我们可以将关于保守力的问题转化为寻找势能函数和利用势能函数进行计算的问题。
保守力的基本概念包括了与势能的关系和势能的引入。
这些概念在物理学中有着广泛的应用和重要性，对于解决各种运动和相互作用问题都起着至关重要的作用。
大学物理《功和能》课件
A
L A L B
L
L
B
L
B
A
B f dr f dr 0
L
A
§4.3 保守力与势能
2.势能
A引 Gm 1 m 2 rB Gm 1 m 2 rA
A弹 1 2 ks
2 A
1 2
ks B
2
A引
Gm 1 m 2 r B r rA
B f dr k (r
A
r k ( r r0 ) A r 1 1 2 2 k ( r A r0 ) k ( rB r0 ) 2 2
O rA r r0 ) d r r r d r k ( r r0 ) d r r
第4章 功 和 能
Work and Energy
第4章
功和能
质点受力的作用时，如果持续一段时间，质点的动量会 改变；如果质点由空间位置的变化，则力对位移的累积（功） 会使质点的能量（动能和势能）发生变化。对功和能的研究， 是经典力学中重要的组成部分。 与机械运动相联系的能量守恒定律（机械能守恒定律）， 是普遍的能量守恒定律的一种特殊形式。
一般引力势能的零点取质点相距无穷远，E
r
一般弹性势能的零点取弹簧无伸缩状态，Ep
0 ， 0 C
s 0
A点势能可表为 E p ( A )
Ep 0 A
f保 dr
§4.4 引力势能与弹性势能
2.势能曲线
Ep
Ep
Gm1m2 r
Gm1m2 r0
引力势能曲线
引力势能是空间变量
动量动量角动量角动量能量能量守恒量对称性时空性质空间平移空间平移空间转动空间转动时间平移时间平移空间均匀性空间均匀性空间各向同性空间各向同性时间均匀性时间均匀性守称守恒守恒空间反演对称性空间反演对称性安保是指为了达到安全的目的而进行的对人或物的保护活动安保工作是指为集体或个人的安全而进行保卫的各种活动
L A L B
L
L
B
L
B
A
B f dr f dr 0
L
A
§4.3 保守力与势能
2.势能
A引 Gm 1 m 2 rB Gm 1 m 2 rA
A弹 1 2 ks
2 A
1 2
ks B
2
A引
Gm 1 m 2 r B r rA
B f dr k (r
A
r k ( r r0 ) A r 1 1 2 2 k ( r A r0 ) k ( rB r0 ) 2 2
O rA r r0 ) d r r r d r k ( r r0 ) d r r
第4章 功 和 能
Work and Energy
第4章
功和能
质点受力的作用时，如果持续一段时间，质点的动量会 改变；如果质点由空间位置的变化，则力对位移的累积（功） 会使质点的能量（动能和势能）发生变化。对功和能的研究， 是经典力学中重要的组成部分。 与机械运动相联系的能量守恒定律（机械能守恒定律）， 是普遍的能量守恒定律的一种特殊形式。
一般引力势能的零点取质点相距无穷远，E
r
一般弹性势能的零点取弹簧无伸缩状态，Ep
0 ， 0 C
s 0
A点势能可表为 E p ( A )
Ep 0 A
f保 dr
§4.4 引力势能与弹性势能
2.势能曲线
Ep
Ep
Gm1m2 r
Gm1m2 r0
引力势能曲线
引力势能是空间变量
动量动量角动量角动量能量能量守恒量对称性时空性质空间平移空间平移空间转动空间转动时间平移时间平移空间均匀性空间均匀性空间各向同性空间各向同性时间均匀性时间均匀性守称守恒守恒空间反演对称性空间反演对称性安保是指为了达到安全的目的而进行的对人或物的保护活动安保工作是指为集体或个人的安全而进行保卫的各种活动
大学物理-第4章功与能
由于保守力的功只由路径的始、末位置确定，这就说明一定存在状态
重 大
函数，使得保守力的功可用状态函数的变化表示。
数
理 学
势能 potential energy
院
势能（势能函数）是由物体的相对位置决定的函数，与保守力做功
赵 有关，是状态函数。
承
均 1.势能差
物体在保守力场中 a, b 两点的势能 Ep ra , Ep rb 之差等于质点由
重
大
数 非保守力 non-conservative force
理
学
院
做功不仅与物体的始末位置有关，且与做功路径有关，称为非保守力。
赵 承 均
物体沿闭合路径绕行一周，保守力力所做的功恒为零。非保守力则无 此特性。
保守力
重力 弹力 万有引力 静电力
非保守力
摩擦力 ......
…… 爆炸力
第一篇 力学
二、势能
一、功 work
第一篇 力学
§4.1 功、功率
物体在外力作用下，在力的方向上发生了一段位移，则外力对物体作
重 功。功表征了力对空间的累计效应。
大
数 理
1.恒力做功 work done by uniform force
学
院
在恒力 F 作用下质点沿直线发生了一段位移 r ，则在此过程中，
力对质点所做的功按以下计算：
第一篇 力学
解：物体受万有引力，物体以初速度 v 发射，脱离地球引力至少在无穷 远处的速度为 0，
重
大 数 理 学
初态动能：
Eko
1 2
mv2
院
赵 末态动能： r , v 0, Ek 0
承 均
大学物理功 动能定理 保守力的功
二
保守力和非保守力
dr2
2
这一对相互作用力作功之和为： O z dA f12 dr1 f 21 dr2 f12 d (r1 r2 )
x
dr12 为m1相对于m2的位移。
f12 dr12
令：1 r2 r12 r
15
dA f12 dr12
0
7
例题 质量为2kg的质点在力 F＝12ti (SI) 的
作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。 求前三秒内该力所作的功。
解：（一维运动可以用标量）
dx A＝ F dr Fdx F dt F vdt dt t t 12 t t F 2 v v0 adt 0 dt dt 3t 0 0 2 0 m
O
注意：摩擦力作负功！ 21
(2)对链条应用动能定理： 1 1 2 2 A＝AP＋A f 2 mv 2 mv 0
l-x x
O
1 v 0 0 AP＋A f mv 2 x 2 l l mg mg( l 2 a 2 ) AP p dr xdx a a l 2l 2 μmg( l a ) 前已得出：A f 2l 2 2 2 mg( l a ) μmg( l a ) 1 2 mv 2l 2l 2 1 g 2 2 2 2 得v ( l a ) μ( l a ) l 22
θ
a
dr
4
2）功是过程量，与路径有关。 3）合力的功 = 分力的功的代数和 b b A F dr ( F1 F2 ) dr
a
b
a
4保守力势能功能原理
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
④.势能的绝对值没有意义，只关心势能 的相对值。 如果一块石头放在地面你对它并不关心。
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你 就不会不关心它，你可能要离它远些， 因为它对你的生命安全造成威胁。
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
dv f mg cos m dt 摩擦力的功 W阻 fdr
A
R
f N
n
d
o
B
解2：动能定理 由质点动能定理： W Ek Ek 0 Ek 受力分析：只有重力和摩擦力作功，
W重 W阻 Ek Ek 0 A A点物体动能 Ek 0 0 mg cos dr W阻 Ek 1 90 2 W阻 mv 0 mg cos Rd 2 1 2 mv mgR 2
初态机械能： 1 2 E A mvA mgh 2 h AC sin 36.9
36.9º
f
vA
h
末态机械能：
n
1 2 EC k( BC ) 2
n i 1 i 1
由功能原理： Wi外 Wi内非 E
§4.保守力、势能、功能原理 / 五、方法应用举例
i 1
Wi外 0,
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
三、功能原理 利用质点系的动能定理：
i 1
Wi外 Wi内 Ek Ek 0 Ek
i 1 n i 1
n
n
其中内力作功的代数和项 Wi内 可分为 系统内部保守力的功和内部非保守力的功，
i 1 n n n
Wi内 Wi内保 Wi内非
④.势能的绝对值没有意义，只关心势能 的相对值。 如果一块石头放在地面你对它并不关心。
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你 就不会不关心它，你可能要离它远些， 因为它对你的生命安全造成威胁。
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
dv f mg cos m dt 摩擦力的功 W阻 fdr
A
R
f N
n
d
o
B
解2：动能定理 由质点动能定理： W Ek Ek 0 Ek 受力分析：只有重力和摩擦力作功，
W重 W阻 Ek Ek 0 A A点物体动能 Ek 0 0 mg cos dr W阻 Ek 1 90 2 W阻 mv 0 mg cos Rd 2 1 2 mv mgR 2
初态机械能： 1 2 E A mvA mgh 2 h AC sin 36.9
36.9º
f
vA
h
末态机械能：
n
1 2 EC k( BC ) 2
n i 1 i 1
由功能原理： Wi外 Wi内非 E
§4.保守力、势能、功能原理 / 五、方法应用举例
i 1
Wi外 0,
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
三、功能原理 利用质点系的动能定理：
i 1
Wi外 Wi内 Ek Ek 0 Ek
i 1 n i 1
n
n
其中内力作功的代数和项 Wi内 可分为 系统内部保守力的功和内部非保守力的功，
i 1 n n n
Wi内 Wi内保 Wi内非
5功、动能定理、保守力
L v0
s x L L s m A = ∫ F d x = ∫ fr d x = ∫ gx d x ∫ mg d x 0 L L L L = mg ( + s L) = mg ( s ) 2 2 L 1 2 再由动能定理 mg(s ) = 0 mv0 2 2
9
O
§2-4 保守力 成对力的功
14
A = ∫ dA = ∫ f 2 dr21
一对内力作功之和与参照系选择无关, 一对内力作功之和与参照系选择无关,只决定于两质点 与参照系选择无关 的相对位移 m v 一对摩擦力做功. 例:一对摩擦力做功 f s 力的功 物体所受摩擦力做功 地面所受摩擦力做功 一对力的功 地面参考系 物体参考系 0
dv m = F = kt dt
2.25 107
7
三,动能定理
根据功的积分形式 b b b Aab = ∫ F dr = ∫ F ds = ∫ maτ d s = τ
a
a
1 Ek = m 2 v 定义质点的动能为: 定义质点的动能为: 2 动能定理:合外力对质点所做的功等于质点动能的增量. 动能定理:合外力对质点所做的功等于质点动能的增量.
作功与路径无关
11
2,万有引力 ,
A = ∫ F dr
a
b
Mm 0 F = G 2 r r
b a
b
b
= GMm ∫
= GMm
1 0 r dr 2 r
dr 2 r
r
2
r : 沿位置矢量
的单位矢量
0
∫
r 0 d r cos θ
rb
a
r (t + dt )
dr θ
= GMm ∫
rb
s x L L s m A = ∫ F d x = ∫ fr d x = ∫ gx d x ∫ mg d x 0 L L L L = mg ( + s L) = mg ( s ) 2 2 L 1 2 再由动能定理 mg(s ) = 0 mv0 2 2
9
O
§2-4 保守力 成对力的功
14
A = ∫ dA = ∫ f 2 dr21
一对内力作功之和与参照系选择无关, 一对内力作功之和与参照系选择无关,只决定于两质点 与参照系选择无关 的相对位移 m v 一对摩擦力做功. 例:一对摩擦力做功 f s 力的功 物体所受摩擦力做功 地面所受摩擦力做功 一对力的功 地面参考系 物体参考系 0
dv m = F = kt dt
2.25 107
7
三,动能定理
根据功的积分形式 b b b Aab = ∫ F dr = ∫ F ds = ∫ maτ d s = τ
a
a
1 Ek = m 2 v 定义质点的动能为: 定义质点的动能为: 2 动能定理:合外力对质点所做的功等于质点动能的增量. 动能定理:合外力对质点所做的功等于质点动能的增量.
作功与路径无关
11
2,万有引力 ,
A = ∫ F dr
a
b
Mm 0 F = G 2 r r
b a
b
b
= GMm ∫
= GMm
1 0 r dr 2 r
dr 2 r
r
2
r : 沿位置矢量
的单位矢量
0
∫
r 0 d r cos θ
rb
a
r (t + dt )
dr θ
= GMm ∫
rb
4.2 保守力及其功
3
4.2 保守力及其功
三、 万有引力的功 为原点， 以 M 为原点， m 的位置矢量为 M 对 m 的万有引力为： 的万有引力为：
第4章 功和能 功能原理
v m a r。 v
M
r (t)
v dr
v m 由 a 点移动到 b 点时 F 作功为： 作功为： v v B Mm v v A = ∫ F ⋅ dr = ∫ − G 3 r ⋅ dr A r
v Mm v F = −G 3 r r
v r (t + dt)
O
b
v v v r ⋅ dr = r dr cos φ = rdr
Mm A = ∫ − G 2 dr ra r
rb
v r (t )
v dr
v r (t + dt ) ϕ
4
4.2 保守力及其功 rb Mm A = ∫ − G 2 dr ra r
2
4.2 保守力及其功
二、弹性力的功
Hale Waihona Puke 第4章 功和能 功能原理xb
A = ∫ F dx = ∫ − kx dx
xa xa
xb
v v F = −kxi
1 2 1 2 A = −( kx b − kx a ) 2 2
v F
o xA xB
x
A = ∫ − kxdx = 0
结论： ） 弹性力的功只与始、末位置有关， 结论： 1） 弹性力的功只与始、末位置有关， 与质点所经过的路径无 而与质点所经过的路径无关。 2） 弹簧的变形减小时，弹性力作正功； ） 弹簧的变形减小时，弹性力作正功； 弹簧的变形增大时，弹性力作负功。 弹簧的变形增大时，弹性力作负功。
4.2 保守力及其功
第4章 功和能 功能原理
质点力学第5讲——功与动能定理、保守力与势能、功能原理与机械能守恒定律
解：F F 2 0 , 1
dP F i dt 0 ; i ) dt 0 ; dL (r i F i )dt (r 2 r 1 F 2 i d ( ) 0. dE F i dr i F 2 r 2 r 1 F 2 dr 21
一对作用力和反作用力大小相等方向相反，但 这对力作功的总和不一定为0。
例如：子弹穿过木块 过程子弹对木块的作 用力为f，木块对子弹 的反作用力为f ´，木 块的位移为s，子弹的 位移为（s+l）。 f 对木块作功： fs 0 f ´ 对子弹作功: f ' ( s l) 0 合功为： fs f ' ( s l ) f ' l
例1： 一力学系统由两个质点组成，它们之间只有
引力作用。若两质点所受外力矢量和为零，则此系 统（ C ）。 (A) 动量、机械能及对一轴的角动量守恒 (B) 动量、机械能守恒，不能断定角动量是否守恒 (C) 动量守恒、不能断定机械能和角动量是否守恒 (D) 动量和角动量守恒，不能断定机械能是否守恒
即
Ep
A保内 > 0 A保内 < 0
Ek
保守内力作功是系统势能与动能 相互转化的手段和度量。
能量守恒定律
孤立系统：与外界没有能量交换的系统 能量既不能消灭，也不能创造，只能从一 种形式转变成另一种形式。一个孤立系统经历 任何变化时，该系统内各种形式的能量可以相 互转化，但能量的总和保持不变。 机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械 运动范围内的体现。
sa sb
与具体路径有关
若
f const.
则 Aab f
sb
sa
大学物理 第四讲 动能定理 功能原理
的作用下作直线运动，如果物体从静止开始运动， 求前两秒此力所作的功。
4.1.2 动能定理
一. 质点的动能定理 设合力为 F ，由牛II， 2 2 A12 F d r Ft d r
1 1
2
2
m
2 dv 1 m at d r m vdt 1 1 dt v2 1 1 2 2 m vd v mv 2 mv1 E K 2 E K 1 2 2 v1
1 1 1 2 2 2 f r l MV mv mv0 2 2 2
将V代入， 可得
m V (v 0 v ) M
1 1 1 m2 2 2 2 v0 v f r m v0 v l 2 2 M
讨论：1. 量纲对 2. 特例对（当 M 0时）
mg d y mg ( ya yb )
ya
b
a o
mg
x
a yb
a
例2. 一人从10m深的井中提水，起始 时桶和水共重10kg，由于水桶漏水， 每升高1m要漏去0.2kg的水。求将水 桶匀速地从井中提到井口，人所作的 功。
蚂蚁在作功
附1. 一质量为2kg的物体，在变力 F 6ti
4.1 动能定理
4.1.1 功和功率
功: 力和它所作用的质元（质点）的位移的点积。 对微小过程，可当成恒力、直线运动
Aab d A
a
b
b
a
F dr
a
r
F
b
× b F
(L)
dr 称为“力沿路径 L 的线积分” L m
(1)功是过程量； (2)功是标量（有正负）；
4.1.2 动能定理
一. 质点的动能定理 设合力为 F ，由牛II， 2 2 A12 F d r Ft d r
1 1
2
2
m
2 dv 1 m at d r m vdt 1 1 dt v2 1 1 2 2 m vd v mv 2 mv1 E K 2 E K 1 2 2 v1
1 1 1 2 2 2 f r l MV mv mv0 2 2 2
将V代入， 可得
m V (v 0 v ) M
1 1 1 m2 2 2 2 v0 v f r m v0 v l 2 2 M
讨论：1. 量纲对 2. 特例对（当 M 0时）
mg d y mg ( ya yb )
ya
b
a o
mg
x
a yb
a
例2. 一人从10m深的井中提水，起始 时桶和水共重10kg，由于水桶漏水， 每升高1m要漏去0.2kg的水。求将水 桶匀速地从井中提到井口，人所作的 功。
蚂蚁在作功
附1. 一质量为2kg的物体，在变力 F 6ti
4.1 动能定理
4.1.1 功和功率
功: 力和它所作用的质元（质点）的位移的点积。 对微小过程，可当成恒力、直线运动
Aab d A
a
b
b
a
F dr
a
r
F
b
× b F
(L)
dr 称为“力沿路径 L 的线积分” L m
(1)功是过程量； (2)功是标量（有正负）；
2.4.1 保守力及保守力的功.
1 2
k
x1
2
m1 g x1
x2
把 x1和x2代入上式，化简可得
F 2 m1g m2 g2
所以 F m1 m2 g
因为F m1 m2 g不是压力，故舍去.
所得结果具有对称性，因此 m1和m2交换 位置结果是不会改变的.
2.如图所示，质量为m 的物块从离平板 高为h 的位置下落，落在质量为m 的平板上. 已知轻质弹簧的弹性系数为k ，物块与平板 的碰撞为完全非弹性碰撞，求碰撞后弹簧的 最大压缩量.
2.4.6 例题分析
1.如图所示，用一弹簧把质量分别为 m1和 m2 的两块木板连接在一起，放在地面上，弹 簧的质量可忽略不计，且 m2 m1. 问： （以1便）在对力上F面突的然木撤板去必而须上施面加的多木大板的跳正起压来力时F，， 恰好使下面的木板提离地面？
（2）如果m1和m2交换位置，结果如何？
0
解之可得
mg x2 k
mg 2 mg h k k
因为要求 x2 0 ，所以舍去负根，则碰 撞后弹簧的最大压缩量为
xmax
x1
x2
2mg k
mg
2
mg
h
k k
3.如图是打桩的示意图. 设锤和桩的质 量分别为m1和m2，锤的下落高度为h ，假定 地基的阻力恒定不变，落锤一次，木桩打进 土中的深度为d ，求地基的阻力f 等于多大？
面的木板时，弹 簧压缩量 x2 F m1g k ，
突然撤去外力 F 后，上面的木板由这一位置 从静止开始向上运动，因为系统（两块木板、
弹簧、地球）只有重力、弹性力做功，所以
大学物理 功和能汇总
0 1
2 动能定理： A 1 2 mv 0
2A v 4 m s m
[思考] 在 x =0 至 x =1m 过程中， F 的冲量？
10
§4.3 质点系的动能定理
Theorem of Kinetic Energy for a system of Particle
对第 i 质点 求和
O 张力不做功，重力做功： 用动能变化定理解：
l
m
T
A mg dl mg dl cos
mgl cos d mgl sin 0 1 2 mgl sin mv 2
ˆn e
v
mg
ˆt e
比直接解牛顿方程简单，但仍作积分运算。
13
§4.4 *柯尼希定理
i
14
一对力 的功
内力总是成对出现 dr1 两质点间的内力 f ij 和 f ji ,
B1
B2
dr2
f 12
称为一对力 f ij f ji
m1
r21
f 21
m2
A1
A2
一对力做的功之和
dA = f12 dr1 + f21 dr2
f 21 dr2 dr1 f 21 dr21
mi ac dri
m i ac
z
y
mi
= ac mi dri
ri
ac
C 质心 O
12
= ac d mi ri = 0 A i
B
x
=
0
【例】柔软细绳长为l，小球质量为m，求摆下至 角时小球的速度和绳的张力。
2 动能定理： A 1 2 mv 0
2A v 4 m s m
[思考] 在 x =0 至 x =1m 过程中， F 的冲量？
10
§4.3 质点系的动能定理
Theorem of Kinetic Energy for a system of Particle
对第 i 质点 求和
O 张力不做功，重力做功： 用动能变化定理解：
l
m
T
A mg dl mg dl cos
mgl cos d mgl sin 0 1 2 mgl sin mv 2
ˆn e
v
mg
ˆt e
比直接解牛顿方程简单，但仍作积分运算。
13
§4.4 *柯尼希定理
i
14
一对力 的功
内力总是成对出现 dr1 两质点间的内力 f ij 和 f ji ,
B1
B2
dr2
f 12
称为一对力 f ij f ji
m1
r21
f 21
m2
A1
A2
一对力做的功之和
dA = f12 dr1 + f21 dr2
f 21 dr2 dr1 f 21 dr21
mi ac dri
m i ac
z
y
mi
= ac mi dri
ri
ac
C 质心 O
12
= ac d mi ri = 0 A i
B
x
=
0
【例】柔软细绳长为l，小球质量为m，求摆下至 角时小球的速度和绳的张力。
大学物理第4章 功和能
f d r 0 （此式也可作为
L
(1 ) ( 1 ) f d r ( 2 ) f d r L1 L2
(2)
L1
L2
保守力的定义） 20
二. 几种保守力 1.万有引力
(2) ×
d r er d r
W 12 对 ( 1 )
(2)
13
本质区别：动能和物体的运动状态相联系，任 一运动状态对应一定的动能，是状态量；而功 是与物体在力作用下的具体运动过程相联系， 它一般是路径的函数，因而功是过程量。 密切关系：过程便意味着状态变化。合外力对 质点做功，质点的动能便发生变化。做功是使 质点动能改变的手段，动能的变化又是用功来 量度的，故二者具有相同的单位。 动能是质 点因运动而具有的做功本领。
——质点的动能定理
“合外力对质点所做的功等于质点动能的增量”
12
2. 分析说明： ①动能定理本质上是牛顿第二定律的推论，它 从一个侧面反映了质点在力学过程（空间积累 过程）中所服从的规律。 ②由动能定理知，力对物体做功，能改变物体 的动能，也只有力对物体做功，物体的动能才 能改变， 功是机械运动能量变化的量度。 ③功和动能的概念不可混淆
14
3. 质点系的动能定理 质点：m1 、 m2
F F 内力： f 1 、f 2 外力： 1 、 2 初速度： 1 a 、 2 a 末速度： 1b 、 2 b
b
v1b
dr b · b·
1 2
v2b
F2
2 2
F1
dr1 m1
m ·
f1 f2
·
m1:
m2:
2 2 2 ( F 1 f 1 ) d r1 1 m 1 1 b 1 m 1 1 a ( 1 ) a 1 2 2 b 2 2 2 ( F 2 f 2 ) d r2 1 m 2 2 b 1 m 2 2 a ( 2 ) a 2 2 2
北京工业大学《大学物理》课件-第四章功和能
E(rB
)
E(rA)
( A)
( A)
( A)
有心力作功与路径无关 ——有心力是保守力！
【思考】为什么摩擦力不是保守力？
§4.3 势能 Potential Energy 保守力的功可用质点相对位置的函数来表征
势能(函数)
1.定义 ——保守力的功等于系统势能的减少： Aab=EpaEpb= Ep 选定势能零点 才能确定势能各点的数值
A
xB
xA
Fdx
xB
xA
kxdx
A
(1 2
kxB2
1 2
kx
2 A
)
＊有心力是保守力
有心力：f f (r) rˆ
B
引力：
f
Gm1m2
rˆ2
4 0 r
2
rˆ
弹性力： f kx x0 xˆ
rB
rA
A
r
WAB
(B)
＝
f dr
(B)
f
(r ) rˆdr
(B)
f
(r)dr
的功的代数和为零。
上述说法中：(A)(1)(2)是正确的.
(B)(2)(3)是正确的.
(C)只有(2)是正确的.
答案：C
(D)只有(3)是正确的.
保守力另外的表述：沿任意闭合的相对路径移动 一周做功为零的力
L2
(1) L=L1+（- L2 ）
(2)
F dr F dr
L1
L2
L1
势能属于产生保守力的整个系统
零点改变, 则各点势能值随之改变
e.g. 改令 Epd=0
简记：Epa(新,d 为零点)=Epa(旧) Epd(旧)
浅议物理学中的保守力和势能
浅议物理学中的保守力和势能【摘要】本文将探讨物理学中的保守力和势能的概念。
在我们将介绍保守力和势能的基本概念。
接着，在我们将解释保守力的定义、势能的概念、保守力和势能之间的关系、不同类型的势能以及保守力和非保守力的区别。
在我们将探讨保守力和势能的重要性，它们在物理学中的应用以及研究它们的意义。
通过本文的阐述，读者将更深入地了解保守力和势能在物理学中的重要性，以及它们对于理解物体运动和相互作用的作用。
【关键词】保守力、势能、物理学、定义、关系、种类、区别、重要性、应用、研究、意义。
1. 引言1.1 物理学中的保守力和势能概念物理学中的保守力和势能概念是指在物体运动过程中存在的一种重要物理现象。
保守力是指只与路径无关的力，即在物体沿着闭合路径作用力时所做的功为零的力。
而势能则是描述物体在受到保守力作用时所具有的能量状态。
保守力和势能之间存在着密切的关系，它们是描述物体运动的重要概念。
保守力和非保守力的区别在于前者所做的功只与初末位置有关，而后者所做的功与路径有关。
保守力和势能在物理学中具有重要的作用，它们能够描述物体的运动规律，并为我们理解自然界提供了重要的依据。
在物理学中，研究保守力和势能的重要性不言而喻。
它们的应用涵盖了多个领域，如力学、热力学等。
对保守力和势能进行深入研究有助于我们更好地理解物理世界，推动科学技术的发展。
保守力和势能的研究具有重要的意义，将为我们带来更多的探索和发现。
2. 正文2.1 保守力的定义保守力是指对物体做功与物体路径无关的力，即沿任意闭合路径对物体作用的保守力所做的功为零。
这意味着保守力是一种和路径无关的力，只与物体的起始位置和终止位置有关。
在物理学中，保守力的定义是指只有静力场才是保守场，即保守力是一种具有势能的力。
势能是指物体由于位置而具有的能量，是力的势能可以表示为能够做功的能量。
保守力的一个重要特征是它可以通过梯度形式的势能函数来描述，即保守力的大小等于势能函数的负梯度。
大学物理第四章 功和能
dA F d r
P F dr F v dt
单位：W或Js-1 量纲：ML2T－3
例1：某质点在力 F 4 5xiˆ 的作用下沿
x轴做直线运动 ， 求在从x=0移到x=10m的 过程中，力 F 所做的功。
解：
b
10
A Fxdx (4 5x)dx 290 (J)
拉力对小环所做的功为 -0.207 J B
提示：
A (E P2 - EP1)
R
(
1 2
k x22
1 2
k x12
)
A
O
c
x2 2R l0 R x1 2R l0 2 1 R
§4 功能原理 机械能守恒定律
1、质点系的功能原理
质点系的动能定理：A外+A内=EkB - EkA
2、机械能守恒定律
如果 A外＝0 A非保内＝0 则EB ＝ EA＝常量
在只有保守内力做功的情况下，质点系的机 械能保持不变。
3、能量守恒定律
一个封闭系统内经历任何变化时，该系统的所有能 量的总和保持不变。这是普遍的能量守恒定律。
4、守恒定律的特点及其应用
特点和优点：不追究过程细节而能对系统的状态下
1）沿圆弧（a—b）；2）沿直径（a—b）
解： Aab
b
fs
drLeabharlann bfs
dr
圆弧 a
a
m fs dr
a
Rb
(b)
fs ds mg R
(a)
Aab fs r mg2R 直径
摩擦力的功与路径有关 一定是负的吗？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4.2 保守力及其功
第4章 功和能 功能原理
摩擦力的功
摩擦力 F在这个过程中所作的功为
A M2 F cos ds M1 L F mg
v
F
M1
M2
摩擦力方向始终与质点速度方向相反。
A mgs
结论： 摩擦力的功，不仅与始、末位置有关， 而且与质点所行经的路径有关 。
6
4.2 保守力及其功
保守力和非保守力
o
x
y
A mgdz 0
结论：1） 重力的功只与始、末位置有关， 而与质点所经过的路径无关。
2） 质点上升时，重力作负功；
质点下降时，重力作正功。
2
4.2 保守力及其功
第4章 功和能 功能原理
二、弹性力的功
A xb Fdx xb kxdx
xa
xa
A
(
1 2
kxb2
1 2
kxa2
)
A kxdx 0
A rb G Mm dr
ra
r2
A
(
G
Mm rb
)
(
G
Mm ra
)
A
G
Mm r2
dr
0
结论：
a
m
r (t)
dr
M
r(t dt)
O
b
1） 万有引力的功，只与始、末位置有关， 而与质点所经过的路径无关。
2） 质点 A 移近质点O 时，万有引力作正功； 质点 A 远离质点O 时，万有引力作负功。 5
4.2 保守力及其功
第4章 功和能 功能原理
4.2 保守力（Conservation Force） 及其功
1
4.2 保守力及其功
第4章 功和能 功能原理
一、重力的功 P mgk
dr dxi dyj dzk
z
za a
A
b P dr
zb mgdz
a
za
zb
mg
b
A (mgzb mgza )
F kxi
F
x
o xA xB
结论： 1） 弹性力的功只与始、末位置有关， 而与质点所经过的路径无关。
2） 弹簧的变形减小时，弹性力作正功； 弹簧的变形增大时，弹性力作负功。
3
4.2 保守力及其功
第4章 功和能 功能原理
三、 万有引力的功 以 M 为原点， m 的位置矢量为
r
。
m
a
M 对 m 的万有引力为：
r (t)
dr
F
G
Mm r3
r
M r(t dt)
O
m 由 a 点移动到 b 点时 F 作功为：
A
F dr
B
G
A
Mm r3
r
dr
b
r (t)
dr
r dr r dr cos φ rdr
A rb G Mm dr
ra
r2
r(t dt)
4
4.2 保守力及其功
第4章 功和能 功a
C
F dr F dr F dr
l
aCb
bDa
D
b
l F dr 0
a
C
D
物体沿闭合路径运动 一周时，
b
保守力对它所作的功等于零。
非保守力: 力所作的功与路径有关。 （例如摩擦力、爆炸力等）
8
第4章 功和能 功能原理
重力功： A (mgzb mgza )
弹力功：
A
(
1 2
kxb2
1 2
kxa2
)
引力功：
A
(G
Mm rb
)
(G
Mm ra
)
保守力：力所作的功与路径无关， a
仅决定于质点的始末位置。
C
F dr F dr
aCb
aDb
D
7b
4.2 保守力及其功
第4章 功和能 功能原理