韦达定理与牛顿等幂和公式

( x xn ) x n 1 x n1 2 x n2
(1)n n
那么 f ( xi ) 0 ， x k n f ( xi ) 0 ，
x
i 1
n
nk i
f ( xi ) 0 即证
n k i
对于 2 k n ，先计算 Sk j ， Sk j
Sk 1Sk 1 2 Sk 2 Sk 1Sk 1 2 Sk 2
证明：当 k n ，构造
(1)k k k 0 (1)n Sk n n 0
( k n) ( k n)
f ( x) ( x x1 )( x x2 )
x1 x2 2a3 27c 9ab ，求 的最大值 3 2
在学习了 2,3 次方程的韦达定理后一个自然的问题是对于 n 次方程，有没有韦达定理，答案 是有，在介绍一般的韦达定理之前，我们先介绍轮换对称多项式： 轮换对称多项式可以理解成
( x x ) 展开后的多项式 f
i 1 i n 1 i 0

(xik x 1 i2
xi j xi1 xik2
为简便，我们记前一个求和号为 (k ,1,1,
j个
,1) ，后一个求和号为 (k 1,1,1,
j 1个
,1)
当 k 1 ， S1 j ( j 1)
1i0 i1 i2 i j n

xi0 xi1 xi2 xi1 xi2
韦达定理与牛顿等幂和公式
1、韦达（Vieta）定理 韦达定理十分常用，我们先从最简单的二次方程的韦达定理开始： 二次方程 ax bx c 0 若有两根 x1 , x2 ，那么必然可以写成 a( x x1 )( x x2 ) 0
2
比较各项系数有： x1 x2
2
b c 注意：就算 x1 , x2 是复数，这两个等式仍成立。 , x1 x2 a a
i 1 i 1 i 1
n
n
n
n k 个 x ，剩下的都是 xi （ k 个不同的）再把这些东西乘起来，求和，不妨假设每次取的
都是 xi1 , xi2 ,
, xik ，其中 1 i1 i2
ik n ，那么 k
1i1 i2 ik n

xi1 xi2
xik
xi j xi2j )

1i1 i2 i j n

(xi2 x 1 i2
xi j xi1 xi2 2
xi j
类似，我们记前一个求和号为 ( j 1)(1,1,
j 1个
,1) ，后一个求和号为 (2,1,1,
j 1个
,1)
注意到这个记号和每个和式唯一地对应，所以
Sk (k ); Sk 11 (k ) (k 1,1); Sk 2 2 (k 1,1) (k 2,1,1)n

xi1 xi2
xi j

1i0 i1 i2 i j n

( xik0 xi1 xi2
xi j xi0 xik x 1 i2 xi j
xi j xi1 xi2
xi0 xi1 xi2 xikj )
xikj )
1i1 i2 i j n
除了计算上的应用，Newton 等幂和公式也能用来解决不等式，数论中的一些等幂和问题。 例 实数 a, b, c 满足 a 0 ，证明： 6(a ) (a )
3 2 2 2 3
证明：由前所述， S3 3 3 ，即证 54(abc) (a ) 代入 c (a b) 有
(C )
i 0
n
i 2 n
n C2 n
练习 6 ax ax
n
n 1
c2 xn2
cn2 x 2 n 2bx b 0 恰有 n 个正根，证明：这些根必然
都相等。
除此之外，还有很多问题不是直接考查韦达定理的，但是往往使用韦达定理能出奇制胜。 例 已知 a, b, c R 满足 a b c 0, ab bc ca 0, abc 0 证明： a, b, c R
注：在证明韦达定理的过程中我们大量使用一个事实，如果一个多项式被表达成多种形式， 无论这些形式有多大的差别，各项的系数一定相等，这个原理在代数，数论，组合中都有广 泛应用，这里给出一例。 练习 5 回忆 Newton 二项式展开 (a b)
n
C a b
i 0 i n
n
i n i
，证明：
n
x n n i xi 的各项系数定
i 0
n 1
义为轮换多项式，那么有 练习 3 写出 1 , n
( x xi ) xn ni xi
i 1
n
例 k 的性质 我们有
( x xi ) xn i xni ，考虑 k ，生成它的时候，我们从 ( x xi ) 取出了
2 3 2 2
54a2b2 (a b)2 (a 2 b2 (a b)2 )3 （不妨假设 a, b 0 ）那么由均值不等式有
(a 2 b2 (a b)2 )3 (3 3 (a 2 b2 ) ( a b) 4 3 ) 27(a b) 4 (a 2 b) 2 再由均值不等式得证 4
从这个求和式可见，若把 k 视为 ( x1 , x2 ,
, xn ) 的多元多项式函数，那么它是对称函数
练习 4 证明： n 次方程的韦达定理：多项式
a x
i 0 i
n
i
若有根 x1 , x2 ,
, xn ，那么它的系数合
于 (1)
i
an i i , (i 1, 2, an
, n)
S1 k 1 (2,1,1, ,1) k (1,1,
k个
,1) ; k (1,1,
k个
,1)
k 2个
代入 Sk 1Sk 1 2 Sk 2 例 若 a b c 0 ，则
(1)k k k 中即得 Newton 等幂和公式
a 7 a3 a5 7 3 5
2、Newton 等幂和公式 Newton 等幂和形式略复杂，但是在很多特殊情形下十分好用。 对于和
x
i 1
n
k i
，其中 k 是正整数，称为（关于 x1 , x2 ,
2 3
, xn 的） k 次等幂和，记做 S k
其实 S1 1 , S2 1 2 2 , S3 1 3 21 3 ，这说明也许用 n 能计算 S k 其实 Newton 等幂和公式就揭示了等幂和与轮换对称和的代数关系：
3 2
( x1 3)3 ( x2 3)3 ( x3 3)3 0 ，求 a
思考（2002 年高中数学联赛）设 a, b, c R, Z 使得 f ( x) x ax bx c 有三个实根
3 2
x1 , x2 , x3 且满足 x2 x1 ; x3
6 2 3 6
练习 10 实数 a, b, c 满足 a 0 ，求最佳常数 c1 , c2 满足不等式 c1a (a ) c2a 恒成 立
证明： 设 S , 是关于 a, b, c 的等幂和， 轮换对称多项式 S1 1 0; S2 1S1 2 2 2 2 类似计算可得 S3 3 3 ; S4 2 2 ; S5 5 2 3 ; S7 7 2 3 ，于是代入即证
2 2
注：除此之外还能得到
S S2 S3 S5 S4 S3 ; 7 2 3 5 2 3 7
2 3 4
练习 8 实数 a, b, c 满足 a 1, a 2, a 3 ，计算 abc, a
x y z 3 2 2 2 思考（变式）求解方程组： x y z 3 x5 y 5 z 5 3 5 7 5 练习 9 计算 cos cos5 cos5 9 9 9
3 2
证明：我们构造多项式 f ( x) ( x a)( x b)( x c) x ax abx abc ， 那么 f (0) abc 0 ，只需证明 f 没有负数根，假设 x0 0 合于 f ( x0 ) 0 ，那么
3 2 f ( x0 ) x0 ax0 abx0 abc 0 这是一个矛盾。
3 2
那么必然可以写成 a( x x1 )( x x2 )( x x3 ) 0 ，比较各项系数有：
b c d x1 x2 x3 , x1 x2 x2 x3 x3 x1 , x1 x2 x3 a a a
练习 2 假设方程 x 6 x ax a 0 的三个根 x1 , x2 , x3 满足
练习 1 方程 2 x (k 1) x k 3 0 的两实根差小于等于 1，求 k 的取值范围
注：二次方程的韦达定理在初中的二次函数，高中解析几何里面都很常用 接下来介绍三次方程的韦达定理，完全类似与刚才的方法有： 三次方程 ax bx cx d 0 若有三根 x1 , x2 , x3 ，
在例题中，本来复杂而无联系的条件借助多项式的根、韦达定理巧妙地联系在了一起，避免 了分类讨论来求解的复杂。 练习 7 求 cos 40 cos80 cos160
注：如果直接逐项计算会很麻烦 思考 对于 a, b, c, d R ， 证明：

ab ac ad bc bd cd 3 abc bcd cda dab 6 4