抛物线的焦点弦具有以下性质

抛物线的焦点弦具有以下性质:

性质1：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则y 1y 2=-p 2

. 4

2

21p x x =

例：设坐标原点为O ，抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则 OA ∙OB ＝ .

A 、

43 B 、-4

3 C 、3 D 、-3

解析：设弦的两个端点为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），x 1 x 2=4

2

P ， 221P y y -=，∴OA ∙OB ＝2121y y x x + ＝

4

2P -2

p ＝43432-=-p ，故答案选B 。 性质2：抛物线焦点弦的长度： )(21x x p AB ++==

2p

sin 2θ

. 证明：如图所示，分别做1AA 、1BB 垂直于准线l ，由抛物线定义有

=+=BF AF AB p x x p

x p x ++=+++

21212

2. 且有p AF AA AF +∙==αcos 1,αcos 1∙-==BF p BB BF ,

于是可得αcos 1-=

p AF , α

cos 1+=p

BF .

∴=+=BF AF AB αcos 1-p +αcos 1+p =α2cos 1-p =α

2

sin p

.故命题成立. 例已知圆M ：x 2+y 2-4x=0及一条抛物线，抛物线顶点在O(0,0),焦点是圆M 的圆心F ，过F 作倾斜角为α的

直线l ,l 与抛物线及圆由上而下顺次交于A 、B 、C 、D 四点，若sin α= 5

5

,求|AB|+|CD|.

解：如图，方程x 2+y 2

-4x=0,表示的图的圆心为(2，0)即为抛物线的焦点，

∴抛物线的方程是y 2=8x(其中p=4),|AD|=2p sin 2α=8

1

5

=40,但圆的直径

|BC|=4， ∴|AB|+|CD|=|AD|-|BC|=40-4=36.

性质3：三角形OAB 的面积公式：θ

sin 22p S OAB

=∆ 证法一：当直线倾斜角θ为直角时，公式显然成立。

当直线倾斜角θ不是直角时，设焦点弦所在直线方程：)2

(p x k y -

= 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p

x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪

⎩⎪⎨⎧

-==+⇒221212p

y y k p y y ||221||22121y p y p S OAB ⋅-⋅=∆||421y y p

-=212214)(4y y y y p -+=2224tan 44p p p +=θ

θsin 22

p = 性质4：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.

性质5：以抛物线y 2=2px(p ＞0),焦点弦PQ 端点向准线作垂线，垂足分别为M 、N ，则FM ⊥FN.(其中F 为焦点).

性质6：设抛物线y 2=2px(p ＞0),焦点为F ，焦点弦PQ ，则1|FP|+1|FQ|=2

p

(定值).

证法一：由P 、Q 向准线作垂线，垂足分别为M 、N ，作QA ⊥Ox 于A ，FB ⊥PM 于B ，准线与Ox 交于E ，

(如图5)由△AFQ ∽△BPF ，则|AF||QF|＝|BP||FP|,即|EF|-|NQ||QF|=

|PM|-|EF|

|PF|

,

但由定义知|NQ|=|FQ|,|PM|=|PF|, ∴|EF|-|FQ||FQ|=|PF|-|EF||FP|,有|EF||FQ|﹣1=1﹣|EF||FP|即|EF||QF|+|EF||PF|

=2,

而|EF|=p,代入后即得1|FP|+1|FQ|=2

p

.

例：过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与QF 的长分别是p,q ，则

q

p 1

1+等于（ ） （A ）2a （B ）

a 21 （C ）4a （D ）a

4 性质7：以抛物线焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点。

证明：如图，设),2(),,2(2111y p B y p A --

， 则)2,2(211y y p M +-， 又p y y p p y y K FM 2222212

11

+-=--+=， 212

2

21212121222y y p

p

y p y y y x x y y K AB +=--=--=， ∴11-=∙FM AB K K ，即AB FM ⊥.

性质8：如图，A 、O 、B 1和B 、O 、A 1三点分别共线。

证明：因为1

2

111

122y p p

y y x y K OA ===，

p y p y K OB 2222

1-=-=，而2

21p y y -=，

所以1

22

2

22OB OA K p y y p p K =-=-=，

所以A 、O 、B 1三点共线。

同理可证，B 、O 、A 1三点分别共线.