抛物线的焦点弦具有以下性质

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抛物线焦点弦的性质结论归纳与应用

抛物线焦点弦的性质结论归纳与应用抛物线焦点弦的性质结论归纳与应用如下：
首先，抛物线焦弦的性质决定了抛物线的几何特性。

抛物线的焦弦公式是y=4ax，这个式子定义了抛物线的性质，一般在其中，a是抛物线的两个焦点之间的距离，因此可以用这个性质来确定抛物线的几何特性。

其次，抛物线焦弦的性质也可以应用于统计学中。

在统计学中，抛物线焦弦是一种线性回归的拟合方法。

它能推断出两个变量之间的相关性，从而用于市场营销、供应链管理以及其他方面的数据预测和分析研究。

最后，抛物线焦弦的性质也可以用于科学研究中。

以抛物线焦弦为模型，可以表达出粒子动力学中问题的数学解。

例如在分子动力学中，用抛物线焦弦可以解释温度和粒子冲突频率之间的关系，从而为科学研究提供新的指导思想。

抛物线焦弦的性质使抛物线变得更加精妙。

它对于几何的解决、统计的分析以及科学研究的指导都具有重要的意义，为我们探究物理现象提供了新的可能性。

抛物线焦点弦的性质及应用

抛物线焦点弦的性质及应用抛物线是一种具有特殊性质的二次曲线，它的焦点弦性质是指过焦点parabola. 抛物线上任意一点的切线与从焦点引出的该点的法线的交点，这些交点都在焦点所在的直线上。

抛物线焦点弦的性质和应用如下：1. 焦点弦与顶点：抛物线的焦点弦通过抛物线的顶点，且与抛物线的对称轴垂直相交。

2. 焦点弦的长度：焦点弦的长度等于抛物线焦点到对称轴的距离的两倍。

3. 焦点弦的切线方程：焦点弦的切线方程可由抛物线的切线方程推导得到，即通过抛物线上一点（x1，y1）的切线方程为y = mx + (1 - m²) a/4，其中m为切线的斜率，a为焦点到对称轴的距离。

4. 焦点弦的法线方程：焦点弦的法线方程可由切线方程得到，即过抛物线上一点（x1，y1）的法线方程为y = -x/m + (x1/m + y1)。

5. 焦点弦的性质应用：抛物线焦点弦的性质在物理学、工程学和几何学等领域有广泛的应用。

在物理学中，抛物线焦点弦的性质可以用于描述光线的反射和聚焦。

例如，在反射望远镜中，抛物面用于反射并聚焦光线，使观察者能够看到远处的物体。

在工程学中，抛物线焦点弦的性质可以用于设计抛物面反射器、喇叭等产品。

抛物面反射器可以将声音或者电磁波线聚焦在焦点处，以达到提高功率传输效果的目的。

类似地，喇叭的设计也借鉴了抛物线焦点弦的性质，使声音能够更好地聚焦并扩散。

在几何学中，抛物线焦点弦的性质可以用于求解问题。

例如，已知抛物线上一点的坐标和抛物线焦点的坐标，可以通过焦点弦性质来求解该点在抛物线上的位置。

另外，抛物线焦点弦的性质还可以进一步推广到三维空间中的抛物面。

三维空间中的抛物面也具有焦点弦的性质，可以用于描述反射、聚焦和求解问题等。

综上所述，抛物线焦点弦是抛物线特有的性质之一，它的性质和应用在物理学、工程学和几何学等领域有重要的应用。

深入理解和应用这些性质可以帮助我们更好地解决各种问题，并且进一步推广到更高维度的几何形状中。

抛物线的焦点弦的几何特征

抛物线的焦点弦的几何特征（18条）过抛物线的焦点的弦——抛物线的焦点弦：1．抛物线的焦点弦两端点的横坐标之积为定值，纵坐标之积也为定值；2．过抛物线焦点弦两端点的切线互相垂直；3．过抛物线焦点弦两端点的切线的交点在准线上；过抛物线准线上的一点做抛物线的两条切线交抛物线于两点，两交点的连线的线段是焦点弦；4．连接抛物线焦点弦两端点的切线的交点和焦点弦中点的线段平行与抛物线的对称轴且被抛物线平分；5．连接抛物线焦点弦两端点的切线的交点和焦点的线段垂直于焦点弦。

------------------------------------------------------------------------------与抛物线相交与两点a a A x y (,)、b b B x y (,)，AB 中点坐标为d d D x y (,)即a b a b x x y y D ,22++⎛⎫ ⎪⎝⎭，分别过两交点做抛物线的切线a a x x p x x 2()=+、b b x x p x x 2()=+，两切线的交于点c c C x y (,)，连接则CD 交抛物线与点(,)k k K x y ，分别过A B 、两点准线做垂线分别交于G H 、两点，则会得到下列9①a b x x p 2=，a b y y p 24=-；111FA FB FA FB p FA FB ++==，1p =，FA FB FA FB +=； ②AC BC 0=即AC BC ⊥；③c x p =-即点c c C x y (,)在抛物线的准线上；④c d y y =即cd k 0=亦CD 平行于抛物轴y 0=；⑤,2c d c x x K y +⎛⎫ ⎪⎝⎭即点E 为CD 的中点； ⑥CF AB 0=即CF AB ⊥； ⑦以D 为圆心，DA 为半径作圆，则点C 在D 上；AB CD 2=；AD BD CD ==； ⑧以K 为圆心，DK 为半径作圆，则点F 在E 上；2CD KF =；CK DK FK ==； ⑨以C 为圆心，CG 为半径作圆，则点F 在C 上；GH CF 2=。

抛物线焦点弦性质

抛物线焦点弦性质
抛物线焦点弦性质：焦点弦长就是两个焦半径长之和。

焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。

由于焦点弦经过焦点，其方程式可以由其斜率唯一确定，很多问题可以转化为对其斜率范围或取值的讨论。

在抛物线y²=2px中，弦长公式为d=p+x1+x2。

若直线AB的倾斜角为α，则|AB|=2p/sin²α。

y²=2px或y²=-2px时，x1x2=p²/4,y1y2=-p²。

x²=2py或x²=-2py时，y1y2=p²/4,x1x2=-p²。

焦点弦是指椭圆、双曲线或者抛物线上经过一个焦点的弦，是指同一条圆锥曲线或同一个圆上两点连接而成的线段。

焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。

焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。

而由于椭圆或双曲线上的点与焦点之间的距离(即焦半径长)可以用椭圆或双曲线离心率和该点到对应的准线之间的距离来表示。

焦点弦及其性质

焦点弦及其性质1．抛物线焦点弦的定义：过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点这两点间的线段叫做抛物线的焦点弦。

2．抛物线焦点弦的性质：若抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），过抛物线的焦点F（p2，0）的直线交抛物线与A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则①y1y2＝－p2；②x1x2＝p24；③|AB|＝x1＋x2＋p；④|AB|＝2psin2θ（其中θ为直线的倾斜角）；⑤1|AF|＋1|BF|＝2p；⑥过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为A/、B/，F抛物线的焦点，则∠A/FB/＝900；⑦以弦AB为直径的圆与准线相切。

证明：①当直线过焦点且垂直于x轴时，A（p2，p）、B（p2，－p），因此y1y2＝－p2成立；当直线过焦点且不与x轴垂直时，显然直线的斜率k≠0，直线AB的方程为：y＝k（x－p2）；由此的x＝yk＋p2；把x＝yk＋p2代入y2＝2px消去x得：ky2－2py－kp2＝0，∴y1y2＝－p2②∵A（x1，y1）、B（x2，y2）两点都在抛物线y2＝2px（p＞0）上，∴y12＝2px1，y22＝2px2；两式相乘得(y1y2)2＝2px1·2px2∴p4＝4p2x1x2；从而x1x2＝p2 4③过A、B两点作准线x＝－p2的垂线，垂足分别为A/、B/，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA/|＋|BB/|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p④当θ＝900时，显然成立；当θ≠900时，，则直线AB的方程为：y＝k（x－p2）；把y＝k（x－p2）代入y2＝2px消去y得：k2x2－p(k2＋2)x＋k2p24＝0；x1＋x2＝p(k2＋2)k2，x1x2＝p24；|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2(x1＋x2)2－4x1x2＝2p(1＋k2)k2＝2p(1＋tan2θ)tan2θ＝2psin2θ。

⑤∵A（x1，y1）、B（x2，y2）∴1 |AF|＋1|BF|＝1x1＋p2＋1x2＋p2＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2 (x 1＋x 2)＋p 24＝x 1＋x 2＋pp 24＋p 2 (x 1＋x 2)＋p24＝x1＋x2＋pp 2(x1＋x2＋p)＝2p⑥过A、B两点分别作准线的线，垂足分别为A/、B/，由于点A、B是抛物线上的点，F是抛物线的焦点，根据抛物线的定义可知，|AF|＝|AA/|，|BF|＝|BB/|∴∠B/BF＝1800－2∠B/FB，∠A/AF＝1800－2∠A/FA由∵AA/∥BB/∴∠B/BF＋∠A/AF＝1800即：1800－2∠B/FB＋180⑥题图－2∠A/FA＝1800∴∠B/FB＋∠A/FA＝900（7）N为线段AB的中点，过A、B、N分别作准线的垂线，垂足分别为A/、B/、N/，∵N为线段AB的中点，则|NN/|＝|AA/|＋|BB/|2＝|AF|＋|BF|2＝|AB|2∴以AB为直径的圆与准线相切。

抛物线的焦点弦的性质全

1 cos
1 cos
FA FB p
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),
思考：若直线AB与x轴的夹角为，焦点∆AOB的面积如何用表示
结论（4）
SAOB
p2
2sin
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2), 思考：以线段AB为直径的圆与准线有怎样的位置关系？思考：以线段AF为直径的圆与y轴有怎样的位置关系？
抛物线焦点弦有关的结论
y
B
F
O
x
A
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2), 思考：A,B两点的横坐标之间有怎样的关系？纵坐标呢？
结论：(1)x1x2=p2/4; y1y2= -p2;
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2), 思考：如何求弦长|AB|，其最小值是多少？
2.已知抛物线C: y2=2px（p>0）的焦点为F，过F的直线与该抛物线交于P,Q两个不同的点，P,Q两点在抛物线的准线上的射影分别为M，N，若|MF|=4, |NF|=4, 则p=（）
3.过抛物线C: y2=4x的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点，若 |AF|=2 |BF|,则|AB|等于 ( )
结论：(2)|AB|=x1+x2+p 通径长为2 p 过焦点的所有弦中，通径最短
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),

抛物线焦点弦性质2

2
y A F B x
联想 : 在同样的条件下，注意到 y1 y2 p 2 , 那么x1 x2 ________?
O 2 变题1 : 过抛物线y 2 px( p 0)焦点 F的直线，交抛物线于点A( x1 , y1 )、
p B( x2 , y2 ), 则有x1 x2 . 4
顶点
焦半径
（0,0）
p x0 2
（0,0）
p x0 2
（0,0）
p y0 2
（0,0）
p y0 2
p ( y1 y2 )
焦点弦的长度
p x1 x2
p ( x1 x2 )
p y1 y2
二、抛物线的焦点弦：
如图所示，弦AB过抛物线y 2 px( p 0)的焦点F，
y12 2 px1 y1 y2 2 px1 2 px 2 px ∴ y ∴ y y1 y1 y2 y1 y2 y1 y2 y1 y2
2 px 4 p2 ∵ y12 2 px1 , y1 y2 4 p2 ∴ y y1 y2 y1 y2 2p ∴ y ( x 2 p) ∴ AB 过定点（2p,0）. y1 y2
p2 A、 4
B、 p 2
p2 C、－ 4
D、 p 2
思考题: 3、、B 是抛物线 y 2 2 px( p 0) 上的两点,满足 A OA OB ( O 为坐标原点). 求证:⑴ A 、B 两点的横坐标之积,纵坐标之积分别为定值; ⑵直线 AB 经过一个定点.
设 A（x1,y1），B（x2,y2），中点 P（x0,y0） y y ⑴ kOA 1 , kOB 2 ∵ OA⊥OB ∴ kOAkOB=-1∴ x1x2+y1y2=0 x1 x2

抛物线焦点弦性质及推导过程

抛物线焦点弦性质及推导过程抛物线是一种二次函数图像，其标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。

抛物线具有很多特性，其中之一就是焦点弦性质。

现在来介绍抛物线焦点弦性质及其推导过程。

首先，我们需要明确焦点和焦点弦的概念。

焦点：抛物线上的所有点到定点F的距离与相应的焦准线上的所有点到定直线l的距离之比保持不变，这个定点F称为抛物线的焦点。

焦点弦：焦点的直角坐标系中的述焦线称为焦点弦。

接下来，我们通过几何推导来证明焦点弦性质。

假设抛物线的焦点为F，焦准线为l。

取抛物线上的任意一点P，并以焦点F为中心，做半径为FP的圆，交抛物线于点A，焦准线上一点为B。

根据焦点定义，有AP/PF=AB/BF。

根据圆的性质，AF是正切段，即∠FAP=90°。

考虑三角形ABP，根据直角三角形性质，我们有∠FAB=∠BAP。

将这个角度关系应用于三角形ABF，我们可以得出∠ABF=∠BFA。

因此，△ABF是一个等腰三角形。

由等腰三角形的性质，我们得到AB=AF。

而且，根据直角三角形性质，∠FBA=∠BAF。

因此，折线APB是一个等角三角形。

结合等腰三角形的性质，我们可以得出∠AFP=∠PFA=∠FAP。

根据角度对应定理，∠AFP=∠PFA=∠FAP=∠ABF。

而∠AFP+∠PFA+∠FAP+∠ABF=360°，因此∠AFP=360°/4=90°。

综上所述，我们可以得出结论：焦点弦AP是一个垂直于抛物线的直线。

因此，我们成功地证明了抛物线焦点弦性质的推导过程。

焦点弦性质的重要性在于我们可以利用该性质来确定一些几何问题中的未知量。

另外，在物理学和工程领域，焦点弦性质也有广泛的应用。

抛物线焦点弦的几条性质

抛物线焦点弦的几条性质
裴金楼
【期刊名称】《数理天地：高中版》
【年(卷),期】2007(000)010
【摘要】平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫抛物线,其中,点 F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线.经过焦点 F 的直线与抛物线相交于两点 A、B,线段AB 叫抛物线的焦点弦.由于焦点弦的特殊性(过焦点),因此它有许多有趣的性质,归纳如下:设抛物线 y~2=2px(p>0)的焦点为 F,准线为 l,过焦点 F 的直线交抛物线于 A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)(x_1>x_2)两点,M 为 AB 的中点,过【总页数】1页(P)
【作者】裴金楼
【作者单位】河北省任丘市第一中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.利用直角梯形性质解抛物线焦点弦性质的有关问题
2.抛物线焦点弦的性质结论归纳与应用
3.由两道例题引出抛物线焦点弦的一系列相关性质
4.抛物线焦点弦的性质结论归纳与应用
5.巧设问题驱动激发深度学习
——以"抛物线焦点弦性质探究"为例
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抛物线“焦点弦的性质”及解题策略

注意抛物线开口方向的影响，正确处理各种情况下的计算过程。
03
解题策略
利用焦点弦性质解题
焦点弦性质
对于抛物线上的任意一点P，其到焦点F的距离等于到准线的距离。利用这一性质，可以快速找到与焦点弦相关的点P的坐标。
解题方法
利用焦点弦性质，可以求出点P的坐标，进而求出与焦点弦相关的其他量，如弦长、面积等。
在抛物线中，焦点弦的倾斜角可以通过轴线的倾斜角和该弦与轴线的夹角的补角之和（或差）来计算。这个补角等于该弦与轴线的夹角的两倍。当焦点弦与轴线垂直时，其倾斜角等于轴线的倾斜角。
焦点弦的倾斜角
解题策略
根据题目给出的条件，选择适当的方法计算焦点弦的长度、中点坐标或倾斜角。
熟悉抛物线的定义和性质，理解焦点弦的意义和特点。
02
焦点弦的性质
焦点弦的长度
总结词
焦点弦的长度等于通径的长度，等于焦准距的平方根。
详细描述
在抛物线中，焦点弦是指通过焦点的弦，其长度可以通过通径的长度来计算。通径是过焦点的最短的弦，其长度等于焦准距的平方根。当焦点弦与抛物线的轴线不垂直时，其长度还会受到其他因素的影响。
焦点弦的中点坐标
总结词
焦点弦的中点坐标等于焦点坐标加上弦中点与轴线的垂直距离。
详细描述
在抛物线中，焦点弦的中点坐标可以通过焦点坐标和弦中点与轴线的垂直距离之和来计算。这个垂直距离等于弦的长度的一半乘以该弦与轴线的夹角的正切值。
焦点弦的倾斜角
总结词
焦点弦的倾斜角等于轴线的倾斜角加上或减去该弦与轴线的夹角的补角。
详细描述
解题方法
利用代数方法，可以建立方程组、不等式组等，进而求解与抛物线相关的问题。在解题过程中，需要注意方程组的解法、不等式的性质等。

抛物线焦点弦性质总结30条

抛物线焦点弦性质总结30条
抛物线焦点弦性质总结
本文总结了抛物线焦点弦的30条性质，其中包括基础回顾和性质深究两部分。

基础回顾：
1.以AB为直径的圆与准线L相切；
2.x1/x2 = 4p/(p2 + (y1-y2)2)；
3.y1/y2 = -(p/(p2 + (x1-x2)2))；
4.∠AC'B = 90；
5.∠A'FB' = 90；
6.AB = x1+x2+p = 2(x3+p/2)；
7.p2 = 2sin2α/1+2sinα；
8.A、O、B三点共线；
9.B、O、A三点共线；
10.S△AOB = p；
11.AB2 = 4p(AA'+BB')/22；
性质深究：
一)焦点弦与切线
1.过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在准线上；
2.切线交点与弦中点连线平行于对称轴；
3.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点；
4.过准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦最短时，即为通径；
5.当弦AB是抛物线y=2px（p＞0）的焦点弦，且Q为AB的中点，l是抛物线的准线，AA'⊥l，BB'⊥l，过A，B的切线相交于P，PQ与抛物线交于点M，则有PA⊥PB，
PF⊥AB，M平分PQ，PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA，FA·FB=PF2.
二)非焦点弦与切线
当弦AB不过焦点，切线交于P点时，有以下类似的结论：
= y2/(y1+y2)；
2.y1/y2 = (x1-x2)/(2p-x1+x2)；。

有关抛物线焦点弦的十条性质[1]

有关抛物线焦点弦的十条性质—————从一道高考题的八种证法谈起本文对2009年湖北省高考数学理科第20题第（Ⅰ）问给出八种解法，同时总结有关抛物线焦点弦的十条性质。

一、原题再现过抛物线22(0)y px p =>对称轴上一点(,0)A a(0)a >的直线与抛物线相交于M 、N 两点，自M 、N分别向直线:l x a =-作垂线，垂足分别为1M 、1N .（Ⅰ）当2pa =时，求证：11AM AN ⊥.二、一题多证证法１：设11(,)M x y 、22(,)N x y ，则11(,)2p M y -、12(,)2pN y -，则11(,)AM p y =-12(,)AN p y =-．显然直线ＭＮ的斜率不为０，故可设直线ＭＮ的方程为：2p x ty =+．由222p x ty y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2220y pty p --=, 因为1y 、2y 是方程2220y pty p --=的两根，由韦达定理得212y y p =-，从而可证得2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即证得11AM AN ⊥．证法２：设211(,)2y M y p 、222(,)2y N y p ，因为M 、A 、N 三点共线，所以//AM AN，所以221221()()02222y y p p y y p p ---=，得212y y p =-，从而可证得2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即证得11AM AN ⊥．证法3：由抛物线定义可得：11MN MA AN MM NN =+=+，设211(,)2y M y p 、222(,)2y N y p，则11(,)2p M y -、12(,)2p N y -，将MN MA AN =+222122y y p p p++，化简得：2212()0y y p +=，所以212y y p =-，从而可证得2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即证得11AM AN ⊥．证法4：设A 点内分MN 的比为λ，221212221201y y p p p y yλλλλ⎧+⎪⎪=⎨+⎪+⎪=+⎩，消去λ得：212y y p =-，从而可证得2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即证得11AM AN ⊥．证法5：设211(,)2y M y p 、222(,)2y N y p ，则11(,)2P M y -，12(,)2P N y -∴211(,)2y OM y p= ，12(,)2P ON y =- ,由21122111()2222y y y P Py y y y p p --=+，由性质1 212y y p =-，可得2121()022y P y y p --=，所以M 、O 、1N 三点共线,可求出，221p y y =-，即可得212y y p =-，从而可证得2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即证得11AM AN ⊥．证法6：设抛物线的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数），于是可设211(2,2)M pt pt ，222(2,2)N pt pt ，因为M 、N 为两个不同点，则12t t ≠，由M 、A 、N 三点共线，所以//AM AN，可得方程221212()(4)0t t p t t p -+=，所以221240p t t p +=，得1214t t =-，所以22121212224y y pt pt p t t p =⋅==-，从而可证得2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即证得11AM AN ⊥．证法7:以抛物线焦点为极点则其极坐标方程为1c o spρθ=-,则(,)M ρθ、(,)N ρπθ+，所以212sin (sin )1cos 1cos p py y p θθθθ=⋅-=--+，从而可证得2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即证得11AM AN ⊥．证法8：由抛物线定义得：1MM MA =、1NN NA =，所以11MM A MAM ∠=∠、11NN A NAN ∠=∠，因为11//MM NN ，所以11M MA N NA π∠+∠=，即11(2)()MAM NAN πππ-∠+-∠=，可得112MAM NAN π∠+∠=，所以112M AN π∠=，即证得11AM AN ⊥．四、引出性质性质1：已知抛物线y 2=2px(p ＞0)焦点弦AB 的坐标分别为(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),则y 1y 2=-p 2，4221p x x =.性质2：以抛物线y 2=2px(p ＞0)焦点弦AB 端点向准线作垂线，垂足分别为M 、N ，则FM ⊥FN.(其中F 为焦点).性质3：以抛物线焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点。

抛物线焦点弦的性质

求证 :直线 A B 经过一个定点 .
yA
O x
B
例题讲解
解 :如图 ,设 O A 的方程是 ykxk0,则因 OAOB,
故可设 OB的方程为 y=-1x. k
yA
由 yy2k2 xpx得 A的坐标 2 kp 2,2kp
由y1kx得B的坐标2pk2,2pk
探求新知
B
C
D
过点A、B作准线的
垂线，垂足分别为
C、D，A、O、D
y
三点共线吗？
O
x
F
A
单击此处输入你的正文
证明 kOAkOD
探求新知
8、若直线AO交准线于D，DB与X轴平行吗？
yA
OF
D
B
x
证明 yDyB
探求新知
9、设点M为抛物线准线与x轴的交点，
则∠AMF与∠BMF的大小关系如何？
A1
yA
O B
x
y2 2px
y2p 由两点式 ,得 AB的方程为 : k
x2 kp 2
2pk2p k
2pk22 kp 2
整理 ,得 A B 的方程为 :y 2 k p 1 k k2 x 2 kp 2
例题讲解 A B 的方程为 :y2 kp1 kk2xk1 2 p k2
3、A、B两点的坐标是否存在相关
关系？若存在，其坐标之间的关系
如何？
yA
OFx B
y1y2
= -p2,x1x2
=
p2 4
探求新知
4、利用焦半径公式，|AF|,|BF|可作哪些变形？|AF|与|BF|之间存在什么内在联系？ y A

抛物线焦点弦经典性质

抛物线10条
焦点弦
通过焦点的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦。
y
A (x1, y1)
F
O
x
B (x2, y2)
过抛物线 y2 2 px (p>0)的焦点 F 作一条直线 L 和此抛物线相交于 A (x1, y1) 、B (x2 , y2 ) 两点
性质3：过焦点的弦中通径长最小
y
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜
C
B
＝｜AD｜＋｜BC｜ =2｜EH｜
H
E
OF
x
D
A
所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且
EH⊥l，因而圆E和准线l相切．
2
2
2 2 sin 2
2 s in
S2 OAB
P3
AB 8
性质6：以焦点弦AB为直径的圆和抛物线的准线相切．
分析：运用抛物线的定义和平面几何知识
y
C
B
来证比较简捷．
H
E
OF
x
D
A
证明：如图，设AB的中点为E，过A，E，B分别向准
线l引垂线AD，EH，BC，垂足分别为D，H，C，
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
证明：sin 2 1 2 p 2 p sin 2
AB 的最小值为 2 p ,即过焦点的弦长中通径长最短.
性质 4：
S2 OAB
p3 (定值)
AB 8
S OAB
S OBF
S0AF
1 2
OFBFsin源自1 2OFAF
sin
1 OF AF BF sin 1 OF AB sin 1 p 2 p sin p 2

抛物线焦点弦经典性质

y1 x1
y1 y12
2p y1 , koB1
y2 p
2y2 p
，而 y1 y2
p2
2p
2
所以 koA
2p p2
2y2 p
koB1 所以三点共线。同理可证（2）
y2
（3）证：直线OA : y y1 x 2 p x
x1
y1
令x p 2
，
yB1
p2 y1
X 轴，同理可证（4）
2
设直线 L 的方程为： y k(x p ) 即 x y p
2
k2
代入抛物线方程得 y2 2 p y p2 0 k
由韦达定理
y1 y2
p2, y1
y2
2p k
,
y1
y2
2p
1 1 k2
由弦长公式得 AB
1
1 k2
y1 y2
2
p(1
1 tan2
)
2p
sin2
性质3：过焦点的弦中通径长最小
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜
y
C
B
＝｜AD｜＋｜BC｜ =2｜EH｜
H
E
OF
x
DA 所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且
EH⊥l，因而圆E和准线l相切．
性质 7：连接 A1F、B1 F 则 A1F B1F
证明： AA1 AF,AA1F AFA1
AA1 / /OF AA1F A1FO A1FO A1FA
性质 9： 1 1 2 FA FB p
证明：过 A 点作 AR 垂直 X 轴于点 R，过 B 点作 BS 垂直 X 轴于点 S，

抛物线过焦点的弦的性质

(其中为直线AB与对称轴的夹角）
⒈过抛物线 y 2 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1 , y1 )， B( x2 , y2 ) 两点．若 x1 x2 6 ，则|AB|= ___________ 8 ⒉过抛物线 y 24 为________ ；一条焦点弦长为16，则弦所在的直线倾斜 2 角为 _________ 或．
3 3
2
3 12 x 的焦点作倾斜角为的弦，则此弦长 4
焦点弦长| AB | x1 x2 p
2p 焦点弦长 | AB | (其中为直线AB与对称轴的夹角） 2 sin 2 y ⒊过抛物线 2 px ( p 0) 的对称轴上有一点M (p, 0)，
作一条直线与抛物线交于 A、B两点，若A点纵坐标为 p ，则B点纵坐标为 ________ 4p 2
p 1. 若A、B的横坐标为 x1、x2，则x1 x2 4
2
若A、B的纵坐标为 y1、y2，则 y1 y2 p
2
2
2. 若直线与抛物线 y 2 px ( p 0)的两个交点的纵坐标y1、y2，满足 y1 y2 p ，
2
则该直线是否经过焦点F ？
y
B
p 焦半径 | AF | x A 2
2
下记AB为焦点弦， H1 H 2为通径
1. 若H1、H 2的纵坐标为 y1、y2，则 y1 y2 p 2
2. 若A、B的纵坐标为 y1、y2，则 y1 y2 p ？
2
y
B F
O
x
A
二、抛物线 y 2 px ( p 0) 的焦点弦性质
2
下记AB为焦点弦， H1 H 2为通径
性质，希望同学们课后完成。

抛物线焦点弦性质及推导过程

抛物线焦点弦性质及推导过程抛物线是一个非常常见的二次曲线，其方程可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数，a不等于0。

抛物线的焦点是一个特殊的点，它在抛物线的对称轴上，距离抛物线顶点的距离与到抛物线焦点的距离相等。

在本文中，我们将研究抛物线焦点的弦性质及其推导过程。

首先，我们来定义抛物线的焦点和顶点，并给出抛物线方程的标准形式。

我们可以通过完成平方的方式将一般形式的抛物线方程转化为标准形式的方程。

标准形式的抛物线方程为：y=a(x-h)^2+k其中(h,k)是抛物线的顶点，a决定了抛物线的开口方向和形状。

焦点的坐标为：F(h,k+p)其中p是焦距，p=1/(4a)。

现在，我们来研究抛物线焦点的弦性质。

假设抛物线上有两个不同的点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，我们要证明直线PQ的中垂线经过焦点F。

首先，我们计算点P和点Q到焦点F的距离。

根据平面几何的距离公式，点P和点Q到焦点F的距离分别为：d1=√((x1-h)^2+(y1-k+p)^2)d2=√((x2-h)^2+(y2-k+p)^2)根据抛物线的定义，点P和点Q到抛物线的顶点的距离应该相等。

所以我们有：d1=√((x1-h)^2+(y1-k+p)^2)=√((x1-h)^2+(y1-k-p)^2)d2=√((x2-h)^2+(y2-k+p)^2)=√((x2-h)^2+(y2-k-p)^2)将这两个等式相减，我们得到：(d1)^2-(d2)^2=[(x1-h)^2+(y1-k+p)^2]-[(x2-h)^2+(y2-k-p)^2]=(x1-h)^2+(y1-k+p)^2-(x2-h)^2-(y2-k-p)^2=(x1^2-2x1h+h^2)+(y1^2-2y1k+2y1p+p^2)-(x2^2-2x2h+h^2)-(y2^2-2y2k-2y2p+p^2)=x1^2-2x1h+h^2+y1^2-2y1k+2y1p+p^2-(x2^2-2x2h+h^2)-(y2^2-2y2k-2y2p+p^2)=x1^2-2x1h+y1^2-2y1k+2y1p+p^2-x2^2+2x2h+y2^2-2y2k-2y2p+p^2 =x1^2-2x1h+x2^2-2x2h+y1^2-2y1k-2y2k+2y1p-2y2p=(x1^2+x2^2-2x1h-2x2h)+(y1^2-2y1k-2y2k+2y1p-2y2p)=x1^2+x2^2-2(x1+x2)h+(y1-y2)^2+2(y1p-y2p)=(x1^2+x2^2-2(x1+x2)h+(y1-y2)^2)+2(y1p-y2p)我们知道，抛物线都满足方程y=a(x-h)^2+k。