电与磁对偶性原理

课程研究报告（课程设计）

电与磁的对偶性

姓名

学号

课程名称

专业

同组同学

得分

电与磁的对偶性

摘要：电荷及电流产生的电磁场和磁荷及磁流产生的电磁场之间存在着对应关系。只要将其结果表示式中各个对应参量用对偶原理的关系置换以后，所获得的表示式即可代表具有相同分布特性的磁荷与磁流

产生的电磁场。

关键词：电荷、磁荷、对偶、电磁场 题目内容：

假设自然界存在磁荷和磁流，磁荷产生磁场与电荷产生电场满足相同的规律，磁流产生电场与电流产生磁场满足相同的规律，导出在这一前提下电磁场的Maxwell 方程组表达式，证明电荷、电流激发的电磁场满足的方程与磁荷和磁流激发电磁场满足的方程互为对偶方程。

1、 无源区麦克斯韦方程组：

如果把其中的两个按如下方式写成一组：

0E H E t μ

⎧∇=⎪⎨∂∇⨯=-⎪∂⎩

0H E H t ε

⎧∇=⎪⎨∂∇⨯=⎪∂⎩

（1）

得到两组完全相同的方程组，它们关于E 和H

（除了有一负号）是对称的。这种对称性使得对其中一组作E H → 、H E →-

、

εμ→、με→代换，得到另外一组方程。

0E H E t μ⎧∇=⎪⎨∂∇⨯=-⎪∂⎩ →,,E H H E εμμε⎡⎤→→-⎢⎥→→⎣⎦ 0H E H t ε⎧∇=⎪⎨∂∇⨯=⎪∂⎩

(2) 它们仍然是麦克斯韦方程组，并与原方程相同。数学上成这种具有相同形式的两组方程为对偶方程容易证明两组对偶的互为对偶的方程，其解也具有对偶性。 2、 广义麦克斯韦方程（有源区）

在有源区，麦克斯韦方程组不是对称的，其原因是自然界还没有发现类似于电荷的磁荷，也没有发现类似于“电流”的“磁流”，其激发的电磁场与电荷荷电流激发的电磁场相互对偶，则推

广后所得到的麦克斯韦方程就具有对偶性。

设理想的磁荷密度为m ρ、磁流密度为m J

，并满足守恒定律，

即

()(),,0m

m

r t r t t

J ρ∂

∇+=∂

进一步假设磁荷在激发磁场方面与电荷在激发电场相一致，磁流几番电场与电流激发磁场一致。根据这一假设，推广的麦克斯韦方程组和边界条件是：

, ,e m

m e

H E E J t E

H H J t ρμερεμ⎧∂∇=∇⨯=--⎪∂⎪

⎨∂⎪∇=∇⨯=+⎪∂⎩

（3） ()()

2122

121,1 ,n es n ms

n ms n es e D D e E E J e B B e H H J ρρ⎧⎡⎤-=⨯-=-⎣⎦⎪

⎨⎡⎤-=⨯-=-⎪⎣⎦⎩

(4) 式中下表ms 表示表示“磁量源”，下表es 表示“电量源”，

ms J 是磁流密度，其量纲为V/2m ；m ρ是磁荷密度，其量纲为

Wb/3m 。等式右边用负号，表示磁流与电场之间是左手螺旋关系。

式（3）为广义麦克斯韦方程组。当然遐想的“磁荷”和“磁流”不可能是随意的，必须建立在合理的理论基础之上。 3、 广义麦克斯韦方程的对偶性

广义麦克斯韦方程组仍然是线性方程，满足叠加定理。因此，总场是电荷、电流、磁荷、磁流各自独立所产生场的叠加，如果用下表e 和m 分别为来自电荷、电流和磁荷、磁流的贡献，总场

为,e m m e E E E H H H =+=+

。它们分别满足的方程和边界条件是：

,0,e e

e e e

e e e H E E t E H H J t ρμεε⎧∂∇=∇⨯=-⎪⎪∂⎨

∂⎪∇=∇⨯=+⎪∂⎩

（5a ）

()()

21211212

,,n e e es n ms ms es n e n e e e e D D e B B e E E J e H H J ρρ⎧-=-=⎪

⎨⎡⎤⎡⎤⨯-=-⨯-=-⎪⎣⎦⎣⎦⎩

（5b ） 0,,e

m m m

m m

m m

H E E J t E H H t μρεμ⎧∂∇=∇⨯=-⎪∂⎪

⎨∂⎪∇=∇⨯=⎪∂⎩

（6a ）

()()

21211212

,,0n m m es n m m ms ms n m n m m m e D D e B B e E E J e H H ρρ⎧-=-=⎪

⎨⎡⎤⎡⎤⨯-=-⨯-=⎪⎣⎦⎣⎦⎩

（6b ） 比较方程（5）和（6），可以获得如下对应关系：

e m

e m H E E E ⎧→-⎪⎨→⎪⎩

εμμε→⎧⎨→⎩ m

m

J J ρρ⎧→⎪⎨⎪→⎩

根据对偶方程的解也具有对偶的性质得到如下结论：设空间

存在方程（5）描述的电磁场问题，其解为e E ，e H

；那么在同一空间中方程方程（6）描述的电磁场问题，其解m E ，m H

也存在，且与e E ，e H 对偶。因此 m E ，m H

不必直接求解而可以通

过对偶变换

e m e m

H E E E ⎧→-⎪⎨→⎪⎩

εμ

με→⎧⎨→⎩ m m

J J ρρ⎧→⎪

⎨

⎪→⎩

获得，反之亦然。 [例题]：根据对偶原理，利用电偶极子激发的场求出磁偶极子激

发的场。

解：在静电场中，位于坐标原点的电偶极子z e p e QL =

激发的静电