卷积及其性质ppt课件
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计算卷积的方法ppt课件
f(t)
h1 (t ) y1(t)
f2 (t) h2 (t)
y(t)
解:1当 . 输入f(t) (t)时,子系统h1(t)的输出为
cost
y 1 ( t ) f ( t ) h 1 ( t ) ( t ) u ( t ) u ( t )
由图,子 可系 知 h2(统 t)的输入 f2 (t)为 y 1 (t)cto csto ( u t)s
故复合系统的冲激响应 为
h f 2 ( ( t ) h 2 t ( t ) ) [t c ( t ) u [ u o ( ] t 1 ) s u ( t 2 )] t [cosd][(t 1)(t 2)]
[sintu(t)][(t 1)(t 2)]
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22
sint(1)u(t 1)sint(2)u(t 2)
3
＋
2
－ i(t)
1
0 1 23
t
图b
图 a
解 :求系统的冲激响应
R(it)1 t i()d(t)
di(t)i(t)2'(t)
c
dt
2‘(t)2(t)
2(t)
i(t)＝ 2(t)2etu(t)
2u(t)
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24
激励电 :e(t压 )(1化 t1)u(简 t)1t为 u (t2)
2
2
计算 :i(t) 积 0 te()h 分 (t)d
16
f h
0 2t-6
f h= 2
16-2t 0
关键：
t<5 5<t<6 6<t<7 7<t<8
t>8
5 6 78 t
1.卷积结果各分段时限的确定.
04第四章：卷积的计算.ppt
当t > 0时, ∫ e
0 ∞ 2(t − τ )
u (τ − t )dτ = ∫ e
t
∞
2(t − τ )
1 dτ = 2
2(t − τ )
当t < 0时， e ∫
0
∞
2(t − τ )
u (τ − t )dτ = ∫ e
0
∞
1 2t dτ = e 2
得 所以
∫
∞
e
2(t − τ )
0
1 2t 1 u (τ − t )dτ = e u (−t ) + u (t ) 2 2
4.2卷积的性质 4.2卷积的性质
6.卷积的时移性质 6.卷积的时移性质
若 f 1 (t ) ∗ f 2 (t ) = f (t ) ，则
f1 (t − t1 ) ∗ f 2 (t − t 2 ) = f (t − t1 − t 2 )
利用卷积的时移性可以使时移信号的卷积计算变得大为简单。 利用卷积的时移性可以使时移信号的卷积计算变得大为简单。 4.2例 4.2-5 计算 tu (t ) ∗ u (t − 2) 。 解 由于
f (t ) = f1 (t ) * f 2 (t ) =
∫ f (τ ) f (t − τ )dτ
1 −∞ 2
∞
给定 t 值， f 2 (−τ ) 沿 τ 正轴平移 t ， 的波形， 4.1- （ ； （ 3） 将 得到 f 2 (t − τ ) 的波形， 如图 4.1-2 d） 相乘， （4）将 f1 (τ ) 和 f 2 (t − τ ) 相乘，得到 f1 (τ ) f 2 (t − τ ) ；
f (t ) = tu (t ) ∗ u (t ) =
1 2 t u (t ) ，则 2
0 ∞ 2(t − τ )
u (τ − t )dτ = ∫ e
t
∞
2(t − τ )
1 dτ = 2
2(t − τ )
当t < 0时， e ∫
0
∞
2(t − τ )
u (τ − t )dτ = ∫ e
0
∞
1 2t dτ = e 2
得 所以
∫
∞
e
2(t − τ )
0
1 2t 1 u (τ − t )dτ = e u (−t ) + u (t ) 2 2
4.2卷积的性质 4.2卷积的性质
6.卷积的时移性质 6.卷积的时移性质
若 f 1 (t ) ∗ f 2 (t ) = f (t ) ，则
f1 (t − t1 ) ∗ f 2 (t − t 2 ) = f (t − t1 − t 2 )
利用卷积的时移性可以使时移信号的卷积计算变得大为简单。 利用卷积的时移性可以使时移信号的卷积计算变得大为简单。 4.2例 4.2-5 计算 tu (t ) ∗ u (t − 2) 。 解 由于
f (t ) = f1 (t ) * f 2 (t ) =
∫ f (τ ) f (t − τ )dτ
1 −∞ 2
∞
给定 t 值， f 2 (−τ ) 沿 τ 正轴平移 t ， 的波形， 4.1- （ ； （ 3） 将 得到 f 2 (t − τ ) 的波形， 如图 4.1-2 d） 相乘， （4）将 f1 (τ ) 和 f 2 (t − τ ) 相乘，得到 f1 (τ ) f 2 (t − τ ) ；
f (t ) = tu (t ) ∗ u (t ) =
1 2 t u (t ) ，则 2
卷积和相关 ppt课件
参与卷积的两个函数发生平移，卷积的结果也仅仅 发生平移，卷积结果的幅值和形式不变。
平移量等于两者的平移量之和。
ppt课件
12
8、函数 f (x, y) 与 d 函数的卷积
根据 1. d-函数是偶函数, 2. d-函数的筛选性质,
有:
f (x) d (x) f ( )d (x )d f (x)
ppt课件
16
六.卷积运算举例(难点)
例1：设有二函数，分别为:
f
x
xstep x, h x
rect
x 1 2
求: g x f xhx
图1-3-3 例1中的二函数图形
ppt课件
17
图1-3-4 例1 一维卷积过程
ppt课件
18
分段计算结果：
(1)x≤0，
gx f xhx 0
(图a,b)
rect(t) 1
rect(t) 1
1.用哑元t画出 二个 rect(t)
t
-1/2 0 1/2
-1/2 0 1/2
2.将rect(t)折叠后不变;
1 rect(t)
3.将一个rect(-t)移位至给定的
x0, rect[-(t -x0)]= rect(x0 - t);
4.二者相乘;乘积曲线下
-1/2 0 1/2
f
x,
y
h
x,
y
f
,
h
x
,
y
d
d
h , f x , y d ppt课件 d h x, y f x, y 10
5、卷积符合结合律
f (x, y)h1(x, y)h2(x, y) f (x, y)h1(x, y)h2(x, y)
平移量等于两者的平移量之和。
ppt课件
12
8、函数 f (x, y) 与 d 函数的卷积
根据 1. d-函数是偶函数, 2. d-函数的筛选性质,
有:
f (x) d (x) f ( )d (x )d f (x)
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16
六.卷积运算举例(难点)
例1：设有二函数，分别为:
f
x
xstep x, h x
rect
x 1 2
求: g x f xhx
图1-3-3 例1中的二函数图形
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17
图1-3-4 例1 一维卷积过程
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18
分段计算结果：
(1)x≤0，
gx f xhx 0
(图a,b)
rect(t) 1
rect(t) 1
1.用哑元t画出 二个 rect(t)
t
-1/2 0 1/2
-1/2 0 1/2
2.将rect(t)折叠后不变;
1 rect(t)
3.将一个rect(-t)移位至给定的
x0, rect[-(t -x0)]= rect(x0 - t);
4.二者相乘;乘积曲线下
-1/2 0 1/2
f
x,
y
h
x,
y
f
,
h
x
,
y
d
d
h , f x , y d ppt课件 d h x, y f x, y 10
5、卷积符合结合律
f (x, y)h1(x, y)h2(x, y) f (x, y)h1(x, y)h2(x, y)
卷积PPT课件
• 卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶 变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中 的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。
•
F(g(x)*f(x)) = F(g(x))F(f(x))
• 其中F表示的是傅里叶变换。
• 这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变 换、Mellin变换和Hartley变换等各种傅里叶变换的 变体同样成立。
16
• 傅氏变换用算符F表示、含自变量x的复变函数g(x)的傅氏
变换由下式定义
F[g(x)] g(x) exp 2iuxdx
• 由此定义的变换G(u)本身也是自变量u的复变函数。如x有 空间坐标含义，u一般称为空间频率。相仿地，函数G(u)的 逆傅氏变换可用F-1[G(u)]表示
4
• 如果卷积的变量是函数x(t)和h(t)，则卷积的计
算变为
yt
x
pht
pdp
xt
ht
• 其中p是积分变量，积分也是求和，t是使函数 h(-p)位移的量，星号*表示卷积。
5
• 性质
• 各种卷积算子都满足下列性质： • 交换律 结合律 分配律 数乘结合律
6
卷积定理
外一个或两个条件。例如，经常用函数表示一个理想的物点
。它有一个无穷大的间断点，不满足条件（3）。又如，
g(x)=1和g(x)＝cos(2ux)都不满足条件（1）。但对于那些
不严格满足存在条件的函数，往往也能够发现它们有一个有意 义的变换式，只有这些函数可以定义为由可变换函数所组成的 级数的极限。
卷积的变量是序列x(n)和h(n)，则卷积的结果
卷积定理和相关定理.ppt
|
f
(t)
|2dt
ii)能量信号E ，例 f (t) EG (t)
②功率与功率信号
i)功率P lim 1
T T
T
2 T
2
f (t) 2 dt
ii) 功率信号 P ，例f (t) sin t, f (t) sin tu(t)
③既非功率又非能量：例如 f (t) et2
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
3．利用频域卷积定理求傅立叶变换
[例1]：f
(t
)
G2
(t)
cos(
2
t)的傅立叶变换
解：ℱ[
f
(t)]
1
2
ℱ[cos
2
t]
ℱ[G2
(t)]
1 [ ( ) ( )] 2Sa()
2
2
2
sa( ) sa( )
2
2
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统—signals and systems
R21( ) f1(t ) f2 (t)dt f1(t) f2 (t )dt
iii) 性质：R12 ( ) R21( ), R12 ( ) R21( )
iv) 若 f1(t) f2 (t) f (t) 定义自相关函数：
f1(t) f2 (t)
f1
(
)
f
2
(t
)d
e
jt
dt
f1
(
)
f
2
(t
)e
jt
dt
d
时移特性
Байду номын сангаас
f1( )F2 ()e j d
F2 ()
f1( )e j d
卷积和和卷积积分.ppt
一个任意的输入信号可以分解为：指数函数、冲激 函数、阶跃函数等等。这里讨论将信号分解为冲激 函数之和的情况。
矩形信号：
x(t) u(t t1) u(t tn )
分为一系列宽度相等 的窄矩形脉冲之和
x(t) 1
0 t1
x(t) 1
tn t
x(t) u(t t1) u(t t2) u(t tn1) u(t tn )
1
特解yp(t) 常数A
eat a i
eat
a i
i为
重根
i
L
Ckt k
k 0
Aeat
i
Ajt jeat
j0 L
Ajt j
j0
t tp
cos(t )
A0+A1t A0+A1t+A2t2+……APtp
B1 cos(t ) B2 sin(t )
❖系统的零输入响应与零状态响应
一个线性系统可以将系统的响应分解为零输入响应和零 状态响应。即：
y(t) yx (t) y f (t)
➢零输入响应 ➢零状态响应
yx (t) T[(y(t0)，{0}]
y f (t) T0，x(t)
n
而： yx (t)
c e it xi
i0
n
y f (t)
c eit fi
y p (t)
i0
例：已知一系统的微分方程为：
y'(t) 2 y(t) x(t)，且y(0 ) 2
分析如下电路：已知：uc(0-)=0，求uc(t)。
1.5δ(t)
2Ω
＋ 0.25F
－
＋
uc(t)
－
解：建立系统的微分方程：
矩形信号：
x(t) u(t t1) u(t tn )
分为一系列宽度相等 的窄矩形脉冲之和
x(t) 1
0 t1
x(t) 1
tn t
x(t) u(t t1) u(t t2) u(t tn1) u(t tn )
1
特解yp(t) 常数A
eat a i
eat
a i
i为
重根
i
L
Ckt k
k 0
Aeat
i
Ajt jeat
j0 L
Ajt j
j0
t tp
cos(t )
A0+A1t A0+A1t+A2t2+……APtp
B1 cos(t ) B2 sin(t )
❖系统的零输入响应与零状态响应
一个线性系统可以将系统的响应分解为零输入响应和零 状态响应。即：
y(t) yx (t) y f (t)
➢零输入响应 ➢零状态响应
yx (t) T[(y(t0)，{0}]
y f (t) T0，x(t)
n
而： yx (t)
c e it xi
i0
n
y f (t)
c eit fi
y p (t)
i0
例：已知一系统的微分方程为：
y'(t) 2 y(t) x(t)，且y(0 ) 2
分析如下电路：已知：uc(0-)=0，求uc(t)。
1.5δ(t)
2Ω
＋ 0.25F
－
＋
uc(t)
－
解：建立系统的微分方程：
《信号与系统教学课件》§2.6 卷积及其性质和计算
将卷积的微分性质和积分性质加以推广，可以得到
s
t
nm
f (n) 1
t
f (m) 2
t
f (m) 1
t
f (n) 2
t
X
二、卷积的性质
注意函数的积分和微分并不是一个严格的可逆关系， 因为函数加上任意常数后的微分与原函数的微分是相 同的。因此，对于等式
f1 t
f2 t
f1' t
k
d
k
f
3
t
d
令w k
f1
k
f2
w f3
t
k
w d w d k
令st f2t f3t
f1 k s t k d k
f1 t st
f1 t
f2 t
f3 t
f 1
t f2 t
f3 t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
h2 t
r(t)
h1 t
图2.6.2 卷积交换律的系统意义
X
二、卷积的性质
一、代数性质
• 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t
根据卷积的定义
f1 t
f2
t
f3
t
f1
k
f2
X
三、卷积的计算
根据卷积的定义，卷积计算是由若干基本的信号运算组成的， 对于
s
t
f1
f2
t
d
第一步 反褶：将 f1 t 反褶运算，得到 f1
卷积积分及其性质 ppt课件
d dx
(t)是奇函数 [ (x t)] f (x) d x [ f (t)] f (t)
第2-15页
PPT课件
15
■
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信号与系统 电子教案
2.4 卷积积分的性质
3. f(t)*ε(t)
t
f ( ) (t ) d f ( ) d
¥
ò yzs (t) =f (t) * h(t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]e(t - t ) d t
-?
当t <τ，即τ> t时，ε(t -τ) = 0
蝌t
yzs (t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]d t =
-?
t
(6 e- e2t 3t - et ) d t
?
(t)
t0
)
f
(
t
)
d
t
f (t0)
'(t) f (t) d t f '(0)
PPT课件
(t
t0 )
f
(t) d t
f
(t0 )
16
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2.4 卷积积分的性质
三、卷积的微积分性质
1.
dn dtn
第2-11页
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11
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2.4 卷积积分的性质
下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。
§2.3,4卷积积分及其性质[优质PPT]
![§2.3,4卷积积分及其性质[优质PPT]](https://img.taocdn.com/s3/m/6e28fc527e21af45b307a8af.png)
由时不变性： δ(t -τ)
h(t -τ)
由齐次性： f (τ)δ(t -τ)
f (τ) h(t -τ)
由叠加性：
f
( ) (t ) d
f
( )h(t
) d
‖
‖
f (t)
yzs(t)
¥
ò yzs (t) =
f (t )h(t - t ) d t 卷积积分
-?
第2-4页
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2.3 卷积积分
3 .卷积积分的定义
已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(t)和f2(t)， 则定义积分
f(t) f1()f2(t)d
为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 f(t)= f1(t)*f2(t)
第2-7页
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2.3 卷积积分
二、卷积的图解法
f1(t)*f2(t) f1()f2(t)d 用图解法计算卷积积分步骤：
（1）换元： t换为τ→得 f1(τ)， f2(τ) （2）反转平移： 由f2(τ)反转→ f2(–τ)，然后右移t → f2(t-τ) （3）乘积： f1(τ) f2(t-τ) （4）积分： τ从 –∞到∞对乘积项积分。
¥
ò yzs (t) =f (t) * h(t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]e(t - t ) d t
-?
当t <τ，即τ> t时，ε(t -τ) = 0
蝌t
yzs (t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]d t =
卷积及其性质ppt课件
则积分
S (t) f1( ) f2 (t )d
称为f1(t)和f2 (t)的卷积， 记为 f1(t) f2 (t)
对于S(t)
f1( ) f2 (t )d
i) 若t 0, f1(t) 0，即
S(t) 0
f1( ) f2 (t )d
；.
1
§2.7 卷积及其性质
ii) 若t 0, f2 (t)＝0，那么对于f2 (t ),t 0, f2(t ) 0
因为
[ (n 2) (n 1) (n) (n 1) (n 2)]
(n)* (n m) (n m)
于是
y(n) (n 4) 2 (n 3) 3 (n 2) 4 (n 1) 5 (n)
4 (n 1) 3 (n 2) 2 (n 3) (n 4)
3, 卷积和的求取方法
（1）直接用解析式求
（2）借助图形求
观察 x1(n) * x2 (n) x1(m)x2 (n m) ， 同样分四步求： m
第一步，改变求和变量,x1(n) x1(m), x2 (n) x2 (m)
第二步, x2 (m)反转 x2 (m)
第三步，x2 (m) x2 (n m)
第四步，相承与求和
x1(m)x2 (n m)
m
举例说明。
；.
15
§2.7 卷积及其性质
例，已知两个序列
1, 0 n N 1
an (0 a 1), n 0
x(n) 0, others
, h(n) 0, n 0
求卷积和 y(n) x(n) h(n)
解：
（1）当 n 1 时，y(n) 0；
；.
8
§2.7 卷积及其性质
推论
f1(t) f2 (t) (i) f1(t)( j) f2 (t)(i j)
卷积及其性质
GPU加速
利用图形处理器（GPU）的并行计算能力进行卷积运算加速。GPU具 有大量的计算核心和高速内存访问能力，适用于大规模并行计算。
03
FPGA加速
利用现场可编程门阵列（FPGA）的可编程性和并行处理能力进行卷积
运算加速。FPGA可以根据具体需求进行定制化的硬件设计，实现高效
的卷积运算加速。
THANK YOU
利用卷积核检测图像的边缘信息，可以实现基于 边缘的图像分割。
3
目标检测与识别
卷积神经网络（CNN）在目标检测和识别领域 取得了显著成果，通过训练CNN模型可以实现 对图像中特定目标的检测和识别。
05
卷积在深度学习中的应用
卷积神经网络（CNN）基本原理
局部连接
01
卷积神经网络通过卷积核实现局部连接，每个神经元仅与输入
数据并行
将输入数据划分为多个子集，每 个处理单元负责一个子集的卷积 运算，最后合并各子集的结果得 到最终输出。
任务并行
将卷积运算划分为多个子任务， 每个处理单元负责一个子任务的 计算，最后合并各子任务的结果 得到最终输出。
硬件加速技术在卷积中的应用
01 02
硬件加速技术
利用专用硬件加速器（如GPU、FPGA等）提高卷积运算速度。这些加 速器具有高度的并行处理能力和优化的数据存储方式，能够显著提高卷 积运算的效率。
模式识别
卷积运算还可以应用于模式识别领域。通过将输入信号与一组预定义的卷积核进行卷积运算，可以得 到一组特征图。这些特征图可以作为模式识别的输入，用于训练分类器或进行相似度匹配等操作。
04
卷积在图像处理中的应用
图像滤波与去噪
滤波器的设计
卷积在图像处理中常被用于设计 各种滤波器，如均值滤波器、高 斯滤波器等，用于去除图像中的
利用图形处理器（GPU）的并行计算能力进行卷积运算加速。GPU具 有大量的计算核心和高速内存访问能力，适用于大规模并行计算。
03
FPGA加速
利用现场可编程门阵列（FPGA）的可编程性和并行处理能力进行卷积
运算加速。FPGA可以根据具体需求进行定制化的硬件设计，实现高效
的卷积运算加速。
THANK YOU
利用卷积核检测图像的边缘信息，可以实现基于 边缘的图像分割。
3
目标检测与识别
卷积神经网络（CNN）在目标检测和识别领域 取得了显著成果，通过训练CNN模型可以实现 对图像中特定目标的检测和识别。
05
卷积在深度学习中的应用
卷积神经网络（CNN）基本原理
局部连接
01
卷积神经网络通过卷积核实现局部连接，每个神经元仅与输入
数据并行
将输入数据划分为多个子集，每 个处理单元负责一个子集的卷积 运算，最后合并各子集的结果得 到最终输出。
任务并行
将卷积运算划分为多个子任务， 每个处理单元负责一个子任务的 计算，最后合并各子任务的结果 得到最终输出。
硬件加速技术在卷积中的应用
01 02
硬件加速技术
利用专用硬件加速器（如GPU、FPGA等）提高卷积运算速度。这些加 速器具有高度的并行处理能力和优化的数据存储方式，能够显著提高卷 积运算的效率。
模式识别
卷积运算还可以应用于模式识别领域。通过将输入信号与一组预定义的卷积核进行卷积运算，可以得 到一组特征图。这些特征图可以作为模式识别的输入，用于训练分类器或进行相似度匹配等操作。
04
卷积在图像处理中的应用
图像滤波与去噪
滤波器的设计
卷积在图像处理中常被用于设计 各种滤波器，如均值滤波器、高 斯滤波器等，用于去除图像中的
6.5 卷积与卷积定理
F2
()
F
f2
(t)
1
i
()
，
由频域卷积性质可得 f(t) 的傅氏变换为：
F[
f1(t)
f2 (t)]
1
2
F[
f1(t)] F[
f2 (t)]
i 02 -2
2
[ (
0 )
(
0 )]
.
本章内容总结
Fourier积分定理 Fourier变换
基本性质
反演公式
函数的 Fourier变换
线性性质 对称性质 相似性质 时移性质 频移性质 时域微分 频域微分 积分性质 卷积性质
f1( ) f2 (t ) d
0 t
0 t1 e( t) d 0 et t e d
0
0
et (et 1) 1 et
t<0时， f1(t) f2 (t) 0
例2 求函数f1(t)和f2(t)的卷积
f1
(t
)
t
2u
(t
)
0 t 2
t t
0 0
，f2
(t )
1 0
t 1 .
0
0
et 1 e 1 et et
卷积定理
时域卷积 F [ f (t) g(t)] F [ f (t)]F [g(t)]
F() G()
或：F 1[F() G()] f (t) g(t)
频域卷积 F [ f (t) g(t)] 1 F [ f (t)]F [g(t)] 2
1 F () G() 2
或：F 1[F() G()] 2 f (t) g(t)
例3 求函数 f (t) cos0t u(t) 的傅氏变换.
§7.6 离散卷积(卷积和)ppt课件
o 123
m
n0
o 123
m
n 1
y(n) u(n) n αm 1 αn1 un 1 yn
m0
1α
11
当n 时，yn 1
1α
o 1234
n
X
第
例7-6-2
8 页
已知x1(n)
4
,
n0
3,
2,
1，x2(n)
3
,
n0
2,
1, ，
求：yn x1(n) x2(n)
使用对位相乘求和法求卷积 步骤： 两序列右对齐→ 逐个样值对应相乘但不进位→ 同列乘积值相加（注意n=0的点）
信号与系统
7.5 7.7
§7.6 卷积（卷积和）
•卷积和定义 •离散卷积的性质 •卷积计算烟台大学光Βιβλιοθήκη 学院1一．卷积和定义
第 2
页
任意序列xn表示为 n的加权移位之线性组合:
xn x 1 n 1 x0 n x1 n 1 xm n m
xm n m
m
x(n)
y(n)
(n)
h(n)
X
第 9
页
x1n : x2 n :
4 321
n0
3
21
n0
4321
86 4 2
12 9 6 3
yn : 12 17 16 10 4 1 n0
所以yn 12 ， 17， 16， 10， 4，1
n0
X
例7-6-3
已知x(n)
R3 n,
h(n)
1
，2，3，求x(n)
n0
h(n)。
第 10
页
x(n) 1 1 1
123
卷积优秀课件
t2 2 1 t2 1 t 3
4 24
8
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
e( )
h(t )
t
(4) 3 t 3 2
e(t) h(t) 1 t 2 1 t 3 4 24
(5) 3 t e(t) h(t) 0
9
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
[
f1
(t
)
f2 (t)]
f1
(t
)
d dt
f2 (t)
Hale Waihona Puke d dtf1(t)
f2 (t)
t
t
[ f1() f2 ()]d f1(t) f2 ()d
t
f2 (t) f1()d
14
卷积旳微分和积分性质旳推论
f (t) f1(t) f2 (t)
f (i) (t)
f1( j) (t)
y(t) y(t) (t) y(t t0 ) y(t) (t t0 ) f1(t) f2 (t) (t t0 )
f1(t) f2 (t t0 ) f1(t t0 ) f2 (t)
20
P84 2 14(1) f (t) u(t) u(t 1),求s1(t) f (t) f (t)
f1 f2 t d
3
1
2
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
e(t)或e( )
h(t)或h( )
1
2
t或
t或
h( )
h(t )
1 t
2
t
4
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
e(t)或e( )
(1) t 1 2
4 24
8
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
e( )
h(t )
t
(4) 3 t 3 2
e(t) h(t) 1 t 2 1 t 3 4 24
(5) 3 t e(t) h(t) 0
9
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
[
f1
(t
)
f2 (t)]
f1
(t
)
d dt
f2 (t)
Hale Waihona Puke d dtf1(t)
f2 (t)
t
t
[ f1() f2 ()]d f1(t) f2 ()d
t
f2 (t) f1()d
14
卷积旳微分和积分性质旳推论
f (t) f1(t) f2 (t)
f (i) (t)
f1( j) (t)
y(t) y(t) (t) y(t t0 ) y(t) (t t0 ) f1(t) f2 (t) (t t0 )
f1(t) f2 (t t0 ) f1(t t0 ) f2 (t)
20
P84 2 14(1) f (t) u(t) u(t 1),求s1(t) f (t) f (t)
f1 f2 t d
3
1
2
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
e(t)或e( )
h(t)或h( )
1
2
t或
t或
h( )
h(t )
1 t
2
t
4
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
e(t)或e( )
(1) t 1 2
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)
*
t
f
2
(
)d
f1(t)
f2(t)
2
1
0 123
t
1
2
01
t
；.
11
§2.7 卷积及其性质
f1'(t) 2
1
0 12 3
t
f2'(t)
1
2
01
t
s(t) 2
45
1 23
t
-2
；.
12
§2.7 卷积及其性质
二，离散卷积和
1，定义
两个序列x1(n)，x2 (n) 得卷积和定义为
x1(n) * x2(n) x1(m)x2(n m) m
t
f (t) u(t) f ( )d
；.
10
§2.7 卷积及其性质
例：求卷积s(t) f1(t)* f2 (t)，其中f1(t) 2[u(t 1) u(t 3)]
f2 (t) u(t) 2u(t 1) u(t 2)
解：s(t)
f1 (t ) *
f1(t)
df1(t dt
留意就会出错。
；.
5
§2.7 卷积及其性质
（2） 卷积积分的图解法
观察
S(t)
f1( ) f2 (t )d
实现卷积积分有四个步骤：
第一步，改变积分变量, f1(t) f1( )， f2 (t) f2 ( )
第二步, f2 ( )反转 f2 ( )
第三步，f2 ( )平移 f2 (t )
n
n
n
x1(n) * x2 (i) x1(n) * x2 (i) [x1(n) * x2 (n)]
i
i
i
（3）与单位样值序列的卷积和
x(n) * (n) x(n), x(n m) * (n) x(n m)
i
和（i
j ）为
0整数 0整数
表示微分 表示积分
；.
9
§2.7 卷积及其性质
（6）与奇异函数的卷积
f (t) (t) f (t) f (t) (t t0 ) f (t t0 ) (t t1) (t t2 ) (t t1 t2 ) f (t) '(t) f '(t) f (t) (k) (t) f (k) (t) f (t) (k) (t t0 ) f (k) (t t0 )
0, t 0
t
S(t) 0
f1( )
f2 (t
)d ,
t
0
；.
2
§2.7 卷积及其性质
2，卷积及分的求取方法
（1） 函数计算法
例，已知
f1 (t )
1 [u(t 2
2)
u(t
5)]
f2 (t) 2u(t 1) u(t 7)
求 S (t) f1(t) f2 (t)
解：
S (t) f1(t) f2 (t)
5
11d (t 12) u(t 12)
；.
4
§2.7 卷积及其性质
于是
S(t) (t 3)u(t 3) (t 6)u(t 6) (t 9)u(t 9) (t 12)u(t 12)
0,
3t , 3,
12 t, 0,
t3 3t 6 6t9 9 t 12
t 12
由此可见，函数式积分应特别注意积分结果存在的区间，稍不
S1
u(t
1)u(
2) d，通过积分限判断得
t 1
S1 2 11d (t 3) u(t 3)
t 1
S2
u(t 1)u( 5)d
5
11d (t 6) u(t 6)
t7
S3
u(t 7)u( 2)d
2
11d (t 9) u(t 9)
t7
S4
u(t 7)u( 5)d
物理意义：若冲击响应为h1 (t )，h2 (t )的两个系统相串联， 此两系统的组合可等效唯一个冲击响应
h(t) h1(t) h2(t)的系统。
；.
7
§2.7 卷积及其性质
(3) 交换律： f1(t) f2(t) f2(t) f1(t) 物理意义：串联的子系统可以任意交换位置。
（4）卷积的微分：
d dt
f1(t)
f2(t)
f1(t)
df2 (t) dt
f2(t)
df1(t) dt
（5）卷积的积分
t
t
t
f1( ) f2( )d f1(t) f2( )d f2(t) f1( )d
；.
8
§2.7 卷积及其性质
推论
f1(t) f2 (t) (i) f1(t)( j) f2 (t)(i j)
如果两个序列都是因果的，即 x1(n) x1(n)u(n)，x2(n) x2(n)u(n) 则有
n
x1(n) * x2(n) x1(m)x2(n m) m0
；.
13
§2.7 卷积及其性质
2，卷积和的性质
卷积和的性质与卷积积分完全对应。特别地，有
（1）卷积和的差分
x1(n) * x2 (n) x1(n) * x2 (n) [x1(n) * x2 (n)] x1(n) * x2 (n) x1(n) *x2 (n) [x1(n) * x2 (n)] （2）卷积和的累加
§2.7 卷积及其性质
一，卷积积分
1，定义
设f1(t)和f2 (t)是定义在(, )区间上的两个函数，
则积分
S (t) f1( ) f2 (t )d
称为f1(t)和f2 (t)的卷积， 记为 f1(t) f2 (t)
对于S(t)
f1( ) f2 (t )d
i) 若t 0, f1(t) 0，即
S(t) 0
f1( ) f2 (t )d
；.
1
§2.7 卷积及其性质
ii) 若t 0, f2 (t)＝0，那么对于f2 (t ),t 0, f2(t ) 0
t
S(t) f1( ) f2 (t )d
iii) 若t 0, f1(t) 0, f2(t) 0, 则
S (t )
第四步，相承与积分
f1( ) f2 (t )d
举例说明。
；.
6
§2.7 卷积及其性质
（1）分配律：f1(t) [ f2(t) f3(t)] f1(t） f2(t) f1(t) f3(t) 物理意义：几个系统并联，可等效为一个冲激响应
h(t) h1(t) h2(t) （2）结合律： [ f1(t) f2(t)] f3(t) f1(t) [ f2(t) f3(t)]
f1( ) f2 (t )d
1 [u( 2) u( 5) 2
2u(t 1) u(t 7) d
；.
3
§2.7 卷积及其性质
对于 同理
u(t 1)u( 2)d u(t 1)u( 5)d
u(t 7)u( 2)d u(t 7)u( 5)d