定积分与微积分基本定理

教学过程

一、课堂导入

问题：什么是定积分？定积分与微积分基本定理是什么？

二、复习预习

1．被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分．

2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量．

3．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．

4．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．

5．将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷．

三、知识讲解

考点1 定积分的概念

设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上用分点a＝x0

在每个小区间内任取一点ξi，作和式I n＝∑n－1

i＝0

f(ξi)Δx i.当λ→0时，如果和式的极限存在，把和式I n的极限叫做函数f(x)

在区间[a，b]上的定积分，记作ʃb a f(x)d x，即ʃb a f(x)d x＝lim

λ→0∑n－1

i＝0

f(ξi)Δx i，其中f(x)叫做被积函数，f(x)d x叫做被积式，a

为积分下限，b为积分上限．

(1)ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x (k为常数)．

(2)ʃb a[f(x)±g(x)]d x＝ʃb a f(x)d x±ʃb a g(x)d x.

(3)ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x (a

如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．

四、例题精析

考点一定积分的计算

例1 若定积分ʃm－2－x2－2x d x＝π

4

，则m等于( )

A．－1 B．0 C．1 D．2

【规范解答】根据定积分的几何意义知，定积分ʃm－2－x2－2x d x的值就是函数y＝－x2－2x的图象与x轴及直线

x＝－2，x＝m所围成图形的面积，y＝－x2－2x是一个半径为1的半圆，其面积等于π

2

，而ʃm－2－x2－2x d x＝

π

4

，

即在区间[－2，m]上该函数图象应为1

4

个圆，于是得m＝－1，故选A.

【总结与反思】(1)计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性质分解成几个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解；

(2)对函数图象和圆有关的定积分可以利用定积分的几何意义求解．

考点二利用定积分求曲边梯形的面积

例2 如图所示，求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积．

【规范解答】由题意，知抛物线y＝－x2＋4x－3在点A处的切线斜率是k1＝y′|x＝0＝4，在点B处的切线斜率是k

＝y′|x＝3＝－2.因此，抛物线过点A的切线方程为y＝4x－3，过点B的切线方程为y＝－2x＋6.

2

设两切线相交于点M ，由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝4x －3，y ＝－2x ＋6

消去y ，得x ＝32，即点M 的横坐标为32. 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上，曲线y ＝4x －3在曲线y ＝－x 2＋4x －3的上方；在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上，曲线y ＝－2x ＋6在曲线 y ＝－x 2＋4x －3的上方． 因此，所求的图形的面积是

【总结与反思】对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间．

考点三 定积分在物理中的应用

例3 一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12

s ～6 s 间的运动路程为__________．

【规范解答】由题图可知，v (t )＝⎩

⎪⎨

⎪⎧ 2t 0≤t ≤12 1≤t ≤313t ＋1 3≤t ≤6，

因此该物体在12

s ～6 s 间运动的路程为

【总结与反思】定积分在物理方面的应用主要包括：①求变速直线运动的路程；②求变力所做的功．

课程小结

1．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，即找被积函数的原函数，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数，求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x)．2．利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再积分．

3．利用定积分求所围成平面图形的面积，要利用数形结合的方法，确定被积函数和积分上、下限．