圆周角(1) 同弧所对圆周角

合集下载

考点14 圆周角(解析版)

2021年八年级数学《暑假作业�新课程无忧衔接》（苏科版）考点14圆周角【知识点梳理】圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

圆内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.【新课程预习练·无忧衔接】一、单选题1．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接OC，AC，若26OCA∠=︒，则BOC∠=（）A．60°B．56°C．52°D．48°【答案】C【分析】先说明OA=OC,进而得到⊙BAC=⊙OCA=26°，然后再根据圆周角定理解答即可．【详解】解：⊙AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上⊙OC =OA⊙⊙BAC =⊙OCA =26°⊙BOC ∠=2⊙BAC =52°．故选C ．【点睛】考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握圆周角定理成为解答本题的关键． 2．如图，在Rt ⊙ACB 中，⊙ACB ＝90︒，AC ＝6，BC ＝8，若以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，则CD 的长为（）A ．125B ．135C ．245D ．5【答案】C【分析】根据勾股定理求得AB 的长，然后根据直径所对圆周角为90︒得到90ADC ∠=︒，然后根据三角形面积即可求解．【详解】在Rt ⊙ACB 中，22226810ABAC BC ， ⊙AC 为O 的直径，⊙90ADC ∠=︒，⊙1122ABC S AC BC AB CD ==， ⊙6824105AC BC CD AB ⨯===，故选C ．【点睛】考查了圆周角定理，勾股定理，关键是判断90ADC ∠=︒．3．如图，AB 为O 的直径，AC 为O 的弦，D 是弧BC 的中点，E 是AC 的中点．若CD =6AC =，则DE =（）AB ．5CD ．【答案】A 【分析】连接OC 、BC 、OE 、BD ，OE 交O 于F ，OD 交BC 于G ，连接OE 并延长交AC 于点F ，如图，先根据垂径定理得到OD BC ，OE AC ⊥，再计算出90DOF ∠=︒，设O 的半径为r ，则3DG r =-，利用勾股定理得到=5r ，然后利用勾股定理计算DE 的长．【详解】解：连接OC 、BC 、BD ，OD 交BC 于G ，连接OE 并延长交AC 于点F ，⊙D 是弧BC 的中点，⊙OD BC ，BD CD ==BOD COD ∠=∠，⊙E 是AC 的中点，⊙OE AC ⊥，AF CF =，⊙AOF COF ∠=∠， ⊙1180902DOF ∠=⨯︒=︒， ⊙OA OB =，BG CG =，⊙//OG AC ，132==OG AC ，设O 的半径为r ，则3DG r =-，在Rt OBG 中，2223BG r =-，在Rt DBG △中，(()2223BG r =--，⊙(()22293r r -=--，解得：12r =-（舍去），35r =，⊙5OD =，⊙4BG =，易得四边形OGCE 为矩形，⊙4OE CG BG ===，在Rt DOE 中，DE =故选：A ．【点睛】考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．4．如图，四边形ABCD 内接于O ，:2:1,2ABC ADC AB ∠∠== ，点C 为BD 的中点，延长AB 、DC 交于点E ，且60E ∠=，则O 的面积是（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】D 【分析】连接BD ，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得⊙D ＝⊙CBE ＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出⊙BCE ＝60°，可得⊙A ＝60°，点C 为BD 的中点，可得出⊙BDC ＝⊙CBD ＝30°，进而得出⊙ABD =90°，AD 为直径，可得出AD =2AB =4，再根据面积公式计算得出结论；【详解】解：连接BD ，⊙ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙⊙CBE ＝⊙ADC ，⊙BCE ＝⊙A⊙:2:1ABC ADC ∠∠=⊙:2:1ABC CBE ∠∠=⊙⊙CBE ＝⊙ADC=60°，⊙CBA ＝120°⊙60E ∠=⊙⊙CBE 为等边三角形⊙⊙BCE ＝⊙A=60°，⊙点C 为BD 的中点，⊙⊙CDB ＝⊙DBC=30°⊙⊙ABD =90°，⊙ADB =30°⊙AD 为直径⊙AB =2⊙AD =2AB =4⊙O 的面积是=224ππ⨯=故答案选：D【点睛】考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键．5．如图，AB 为圆O 的直径，且AB =8，C 为圆上任意一点，连接AC 、BC ，以AC 为边作等边三角形ACD ，以BC 为边作正方形BCEF ，连接DE ．若AC 为a ，BC 为b ，DE 为c ，则下列关系式成立的是（）A ．260ab c +=B ．2222a b c +=C ．2223a c b +=D ．264ab c +=【答案】D 【分析】延长DC ，过E 作DC 延长线的垂线，垂足为M ，在⊙E CM 中，分别表示出EM 和CM ，得到DM ，在⊙DEM 中，利用勾股定理得到222a b ab c ++=，结合直径AB =8即可得到结果．【详解】解：延长DC ，过E 作DC 延长线的垂线，垂足为M ，⊙AB 为圆O 的直径，⊙⊙ACB =90°，⊙四边形BCEF 为正方形，⊙⊙BCE =90°，即A ，C ，E 三点共线，⊙⊙ACD 为正三角形，⊙⊙ACD =60°，⊙⊙E CM=60°，在⊙E CM 中，EM =EC ·sin60°=2b ， CM=EC ·sin30°=12b ， ⊙DM =DC +CM=a +12b ，在⊙DEM 中，222DM EM DE +=，⊙22212a b c ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得：222a b ab c ++=，⊙AB =8，⊙222264AC BC a b +=+=，⊙264ab c +=，故选D ．【点睛】考查了等边三角形的性质，正方形的性质，三角函数的定义，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，得到a ，b ，c 的关系式222a b ab c ++=．6．如图，AB 与CD 是O 的两条互相垂直的弦，交点为点P ，70ABC ∠=︒，点E 在圆上，则BED ∠的度数为（）A ．10︒B ．20︒C ．30D ．40︒【答案】B 【分析】利用垂直的定义和圆周角定理解答即可．【详解】解：⊙AB CD ⊥，⊙90BPC ∠=︒，⊙70ABC ∠=︒，⊙180180709020BED BCP ABC BPC ∠=∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ ，故选：B ．【点睛】考查了圆周角定理，解答此题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7．如图，点A ，D ，B ，C 是圆O 上的四个点，连接AB ，CD 相交于点E ，若38BOD ∠=︒，132AOC ∠=︒，则AEC ∠的度数为（）A ．95°B ．90°C ．85°D ．80°【答案】C【分析】首先连接BC ，根据⊙BOD 和⊙BCD 是同弧所对的圆心角和圆周角，得出⊙BCD 的度数，再根据⊙AOC 和⊙ABC 是同弧所对的圆心角和圆周角，得出⊙ABC 的度数，再根据三角形的外角，得出⊙AEC =⊙EBC +⊙ECB ,即可求出⊙AEC 的度数．【详解】连接BC ，⊙BOD ∠ 和BCD ∠ 是BD 所对的圆心角和圆周角， 11381922BCD BOD ,又AOC ∠ 和ABC ∠ 是AC 所对的圆心角和圆周角， 111326622ABC AOC ,又⊙⊙AEC 是⊙BEC 的外角，⊙196685AECEBC ECB , 故选：C ．【点睛】考查了同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的外角，解题关键是连接辅助线，构造同弧所对的圆周角和圆心角．8．如图，O 中所对的圆周67ACB ∠=︒，点P 在劣弧AB 上，42AOP ∠=︒，则BOP ∠的度数为（）A ．25︒B ．90︒C ．92︒D ．109︒【答案】C【分析】根据圆周角定理可得2134AOB ACB ∠=∠=︒，再根据角的和差即可得出答案．【详解】解：O 中所对的圆周67ACB ∠=︒，2134AOB ACB ∴∠=∠=︒点P 在劣弧AB 上，42AOP ∠=︒，1344292BOP AOB AOP ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒故选C ．【点睛】考查了圆周角定理，熟练掌握定理是解题的关键．9．如图，ABC 内接于O ，CD 是O 的直径，20ABC ∠=︒，则ACD ∠的度数是（）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒【答案】D 【分析】由CD 是⊙O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出⊙CAD =90°，根据直角三角形两锐角互余得到⊙ACD 与⊙D 互余，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得⊙D 的度数，继而求得⊙ACD 的度数．【详解】解：⊙CD 是⊙O 的直径， ⊙⊙CAD =90°， ⊙⊙ACD +⊙D =90°． ⊙⊙ADC =⊙ABC =20°， ⊙⊙ACD =90°-⊙ADC =70°．故选：D ．【点睛】考查了三角形的外接圆与外角，圆周角定理，直角三角形的性质，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．10．如图，ABC 内接于O ，其外角BAE ∠的平分线交O 于点D ，点A 为弧CD 的中点．若28ABC ∠=︒，则ACB ∠的大小为（）A ．84°B ．85°C ．86°D ．88°【答案】A连接AO 并延长与O 交于点F ，连接FC ，FD ，根据圆周角定理得出28AFC DFA ∠=∠=︒，根据直角三角形两锐角互余与外角平分线得出BAF ∠度数，进一步计算可得ACB ∠的度数．【详解】解：连接AO 并延长与O 交于点F ，连接FC ，FD ，⊙AF 是直径，⊙90ACF ADF ∠=∠=︒，⊙点A 为弧CD 的中点，28ABC ∠=︒， ⊙=28DFA AFC ∠=∠︒， ⊙62FAD FAC ∠=∠=︒，⊙180626256DAE ∠=︒-︒-︒=︒， ⊙AD 平分BAE ∠， ⊙56DAB DAE ∠=∠=︒，⊙62566BAF FAD DAB ∠=∠-∠=︒-︒=︒， ⊙6BCF ∠=︒，⊙90684ACB ∠=︒-︒=︒，【点睛】考查圆周角定律，三角形内角和，作出合理辅助线是解题关键．11．如图，C ，D 是O 上直径AB 两侧的两点．设25ABC ∠=︒，则BDC ∠=（）A ．85︒B ．75︒C ．70︒D ．65︒【答案】D 【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到⊙ACB =90°，从而求出⊙BAC ，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出⊙BDC ．【详解】解：⊙C ，D 是⊙O 上直径AB 两侧的两点， ⊙⊙ACB =90°， ⊙⊙ABC =25°， ⊙⊙BAC =90°-25°=65°， ⊙⊙BDC =⊙BAC =65°，故选：D ．【点睛】考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论，本题蕴含了属性结合的思想方法． 12．如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上．40OCA ∠=︒．则BOC ∠的度数为（）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．50︒【答案】A【分析】先利用等腰三角形的性质得到⊙A ＝⊙OCA ＝40°，然后根据圆周角定理得到⊙BOC 的度数．【详解】解：⊙OC ＝OA ， ⊙⊙A ＝⊙OCA ＝40°， ⊙⊙BOC ＝2⊙A ＝80°．故选：A ．【点睛】考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．二、填空题13．如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点F 是正方形内一点，连接,CF DF ，且ADF =DCF ∠∠，点E 是AD 边上一动点，连接,EB EF ，则EB EF +长度的最小值为___________．【答案】3【分析】根据正方形的性质得到⊙ADC＝90°，推出⊙DFC＝90°，点F在以DC为直径的半圆上移动，，如图，设CD 的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P，连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：⊙四边形ABCD是正方形，⊙⊙ADC＝90°，⊙⊙ADF＋⊙CDF＝90°，∠∠，⊙ADF=DCF⊙⊙DCF＋⊙CDF＝90°，⊙⊙DFC＝90°，⊙点F在以DC为直径的半圆上移动，如图，设CD的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P，连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，OF＝3，⊙⊙G＝90°，PG＝DG＝AB＝6，⊙OG＝9，⊙OP=，⊙FP＝3，⊙BE＋FE的长度最小值为3，故答案为：3．【点睛】考查了轴对称−最短路线问题，正方形的性质，勾股定理以及圆的基本性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．14．如图，劣弧BC与AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，⊙CEB=60°，求⊙CAB的度数________.【答案】35°【分析】根据圆周角定理，可得：⊙A-⊙C=10°；根据三角形外角的性质，可得⊙CEB=⊙A+⊙C=60°；联立两式可求得⊙A的度数．【详解】解：由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，⊙两弧所对圆心角相差20°，⊙2⊙A-2⊙C=20°，⊙⊙A-⊙C=10°…⊙；⊙⊙CEB是⊙AEC的外角，⊙⊙A +⊙C =⊙CEB =60°…⊙； ⊙+⊙，得：2⊙A =70°，即⊙A =35°．故答案为：35°．【点睛】考查圆周角定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．15．如图，点A ，B ，C 在O 上，50B C ∠+∠=︒，则BOC ∠的度数为______．【答案】100︒【分析】根据点A 、B 、C 在圆上，利用等腰三角形性质，可得⊙OAB =⊙B ，⊙OAC =⊙C ，根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答即可．【详解】解：连结OA ，点、、A B C 在O 上， ⊙OA =OB =OC ，⊙⊙OAB =⊙B ，⊙OAC =⊙C ， ⊙50B C ∠+∠=︒，⊙50BAC OAB OAC B C ∠=∠+∠=∠+∠=︒，2100BOC BAC ∴∠∠︒＝＝．故答案为：100︒．【点睛】考查的圆的半径相等，等腰三角形性质，圆周角定理，熟记定理内容是解题的关键． 16．如图，在O 中，55,15CBO CAO ∠=︒∠=︒，则AOB ∠的度数是______°．【答案】80【分析】首先连接OC ，由OA ＝OC ＝OB ，可得⊙ACO ＝⊙CAO ＝15°，⊙BCO ＝⊙CBO ＝55°，继而求得⊙ACB 的度数，然后由圆周角定理，求得⊙AOB 的度数．【详解】解：连接OC ， ⊙OA ＝OC ＝OB ，⊙⊙ACO ＝⊙CAO ＝15°，⊙BCO ＝⊙CBO ＝55°， ⊙⊙ACB ＝⊙BCO −⊙ACO ＝40°， ⊙⊙AOB ＝2⊙ACB ＝80°．故答案是：80．【点睛】考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．三、解答题17．请阅读下列材料，并完成相应的任务．克罗狄斯·托勒密（约90年－168年），古希腊天文学家、地理学家和光学家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形ABCD 内接于O ，则有______．任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为_______．（2）已知，如图2，四边形ABCD 内接于O ，BD 平分ABC ∠，120COD ∠=︒，求证：BD AB BC =+．【答案】（1）AC BD AB CD BC AD ⋅=⋅+⋅；（2）见解析【分析】（1）由托勒密定理可直接求解；（2）连接AC ，通过证明⊙ACD 是等边三角形，可得AC =AD =CD ，由AC•BD=AB•CD+BC•AD ，可求解．【详解】解：（1）由托勒密定理可得：AC BD AB CD BC AD ⋅=⋅+⋅故答案为：AC BD AB CD BC AD ⋅=⋅+⋅（2）如图，连接AC⊙120COD ∠=︒，⊙60CBD CAD ∠=∠=︒⊙BD 平分ABC ∠⊙60ABD CBD ∠=∠=︒⊙60ACD ∠=︒⊙ACD △是等边三角形⊙AC AD CD ==，⊙四边形ABCD 是圆内接四边形⊙AC BD AB CD BC AD ⋅=⋅+⋅⊙BD AB BC =+．【点睛】考查了圆的内接四边形的性质，圆的有关知识，阅读理解题意是本题的关键．18．如图，等边三角形ABC 内接于O ，D 是BC 上一动点，连接AD ，BD ，CD ，延长DC 到点E ，使CE BD =，连接AE ．（1）求证：ADE 是等边三角形；（2）填空：⊙若1BD =，2CD =，则AD 的长为____________；⊙当BAD ∠的度数为_________时，四边形OBDC 为菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）⊙3；⊙30°．【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB =AC =BC ，⊙AB C=⊙ACB =⊙BAC =60°，根据圆周角定理可得⊙CBD =⊙CAD ，⊙ABC =⊙ADC ，根据角的和差关系及外角性质可得⊙ABD =⊙ACE ，利用SAS 可证明⊙ABD ⊙⊙ACE ，可得AD =AE ，即可得⊙ADE 是等边三角形；（2）⊙根据线段的和差关系可得DE 的长，由（1）可知⊙ADE 是等边三角形，可得AD =DE ，即可得答案；⊙如图，连接OB 、OC ，根据圆周角定理可知⊙BOC =2⊙BAC =120°，根据等腰三角形的性质可得⊙OCB =30°，根据菱形的性质可得⊙BCD =30°，根据圆周角定理可得⊙BAD =⊙BCD =30°，可得答案．【详解】（1）⊙⊙ABC 是等边三角形，⊙AB =AC =BC ，⊙AB C=⊙ACB =⊙BAC =60°，⊙⊙CBD 与⊙CAD 是CD 所对的圆周角，⊙⊙CBD =⊙CAD ，同理可得：⊙ABC =⊙ADC =60°，⊙⊙ACE=⊙ABC+⊙CBD=⊙ABD，在⊙ABD和⊙ACE中，AB ACABD ACE BD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙ABD⊙⊙ACE，⊙AD=AE，⊙⊙ADE是等边三角形．（2）⊙⊙BD=CE=1，DE=CD+CE，CD=2，⊙DE=3，⊙⊙ADE是等边三角形，⊙AD=DE=3．故答案为：3⊙如图，连接OB、OC，⊙⊙BAC和⊙BOC分别是BC所对的圆周角和圆心角，⊙⊙BOC=2⊙BAC=120°，⊙OB=OC，⊙⊙OCB=30°，⊙四边形OBDC为菱形，⊙⊙BCD=⊙OCB=30°，⊙⊙BAD和⊙BCD都是BD所对的圆周角，⊙当BAD ∠的度数为30°时，四边形OBDC 为菱形．故答案为：30°【点睛】考查全等三角形的判定与性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质及菱形的性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．19．小亮在学习中遇到如下一个问题：如图1，点C 是半圆AmB 上一动点，线段AB =6，CD 平分ACB ∠，过点A 作//AD BC 交CD 于点D ，连接BD ．当BCD △为等腰三角形时，求线段AC 的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是他尝试结合学习函数的经验研究此问题．将线段AC 的长度作为自变量x ，BC ，BD 和CD 的长度都是x 的函数，分别记为BC y ，BD y 和CD y ．请将下面的探究过程补充完整：（1）根据点C 在半圆AmB 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段AC ，BC ，BD 的长度，得到下表的几组对应值：⊙上表中a 的值是______⊙操作中发现，“无需测量线段CD 的长度即可得到CD y 关于x 的函数解析式”．请直接写出CD y 关于x 的函数解析式．（2）小亮已在平面直角坐标系xOy 中画出了函数BD y 的图象，如图2所示．⊙请在同一个坐标系中画出函数BC y 和CD y 的图象；⊙结合图象直接写出当BCD △为等腰三角形时，线段AC 长度的近似值（结果保留一位小数）．【答案】（1）⊙4.0；⊙CD y；（2）⊙见解析；⊙2.7或4.2 【分析】（1）⊙根据直径所对的圆周角是直角，得到⊙ACB 是直角三角形，用勾股定理求出边长即可；⊙根据等腰直角三角形三角形的性质，再根据勾股定理求出即可；（2）⊙根据条件画出图形即可；⊙根据等腰直角三角形的性质，分类讨论，利用勾股定理求出边长即可．【详解】解：（1）⊙⊙AB是圆的直径，⊙⊙ACB=90°，在Rt⊙ACB中，⊙ACB=90°，由勾股定理得：BC=当AC=4.5时， 3.96BC=，⊙a≈4.0；⊙⊙AB是圆的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙CD平分ACB∠，⊙⊙ACD=⊙BCD=45°，AD BC，⊙//⊙⊙ADC=⊙BCD=45°，⊙AC=AD，⊙⊙CAD=180°-⊙ADC-⊙BCD=90°，⊙⊙ACD是等腰直角三角形，⊙CD，y=⊙CD（2）⊙如图所示．⊙当BC=BD时，BC与BD即为交点，AD BC，⊙⊙ACB=90°，//⊙⊙CAD=90°，⊙⊙ADC=⊙BCD，⊙CD平分ACB，⊙⊙ACD=⊙BCD，⊙⊙ACD=⊙ADC=45°，⊙AC=AD，⊙BC=CD，⊙BDC=⊙BCD=45°，⊙⊙ADB=90°，⊙四边形ABDC为矩形，⊙AC=AD，⊙AC=BC，⊙AB=6，⊙AC = 4.22AB =≈，当BC=CD 时，图象无交点，则BC ≠CD ，当BD =CD 时，⊙BDC =⊙BCD =45°，⊙⊙BDC =90°，则在等腰直角⊙ACD 中，CD ==，在等腰直角⊙BCD 中，2BC x ==，在Rt ⊙ABC 中，222AB AC BC =+，⊙x =⊙ 2.75AC =≈，故AC 的长为：2.7或4.2．【点睛】考查了圆的性质、等腰直角三角形的性质与勾股定理，关键在于运用分类讨论的思想． 20．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒．点D 为边AC 上一点，DE AB ⊥于点E ，点G 为BD 上一点．连结CG 并延长与AB 相交于点F ，连结EG ．已知12∠=∠．（1）若BD 平分ABC ∠，求证：DBC △⊙DBE ．（2）若4BD =，求CG 的长．（3）若80EGF ∠=︒，求A ∠的读数．【答案】（1）见解析；（2）2；（3）40°【分析】（1）利用角平分线的定义及AAS 定理证明三角形全等；（2）根据等腰三角形的判定和性质求解；（3）解法一：结合等边对等角，角平分线的定义及三角形内角和定理计算求解；解法二：利用圆周角定理求解．【详解】解：（1）证明：⊙DE AB ⊥，⊙90DEB ∠=︒，⊙90ACB ∠=︒，⊙DEB ACB ∠=∠．⊙BD 平分ABC ∠，⊙ABD CBD ∠=∠．又⊙BD BD =，⊙DBC △⊙DBE （AAS ）．（2）⊙在BDE 中，90DEB ∠=︒，⊙190DBE ∠+∠=°，290BEG ∠+∠=°．⊙12∠=∠，⊙DBE BEG ∠=∠，⊙DG EG BG ==．⊙在Rt DBC 中，122CG BD ==．（3）解法一：⊙80EGF ∠=︒，⊙180100EGC EGF ∠=-∠=°°．⊙DG EG CG ==， ⊙()()11118018022CDE CDG DGE DGC ∠=∠+∠=-∠+-∠°° ()11802DGC DGE =-∠+∠° 11801302EGC =-∠=°°． ⊙9040A CDE ∠=∠-=°°．解法二：⊙DG EG BG CG ===，⊙点C ，D ，E ，B 在以点G 为圆心的圆上， ⊙()111805022ABC EGC EGF ∠=∠=-∠=°°， ⊙9040A ABC ∠=-∠=°°．【点睛】考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，也考查圆周角定理，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．。

圆周角的定理

圆周角的定理
1.圆周角定义:
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
2圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半。

3.圆周角定理的推论:
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;
推论2:直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

要点诠释:
(1)圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上:②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
(3)圆心与圆周角存在三种位置关系:圆心在圆周角的一边上:圆心在圆周角的内部:圆心在圆周
角的外部，(如下图)。

人教版初三数学上册同弧所对的圆周角和圆心角的关系

2、如图2，已知圆心角∠AOB=100，求∠ACB =_______.
（五）、心得体会：
从小组合作的角度谈谈本节课你有什么收获，请与大家分享？
（一）情景引入
结合学情和教材特点，我采用创设情境的教学方法，通过破镜重圆故事中的问题，来激发学生学习兴趣引入新课。这样在引入新知识的同时，为后面的内容做好铺垫，也体现了“从生活走向数学”的新课程理念。同时体现同学们乐于助人的精神。
出示目标和重难点为了使学生明确学习的方向和任务，从而选择正确的学习方法进行有效的学习。验。
（二）预习检测
为了让学生在课前自学掌握本节课的基础知识，我设计了该环节，同时3小题为后面的合作探究做好准备。
（三）合作探究
探究一：教师引导学生亲自动手，利用工具进行实验、探究，通过讨论得出结论，激发学生的求知欲望，调动学生学习的积极性虽然在测量中可能存在误差，但是经过同组同学交流、总结仍然能发现同弧所对的圆周角和圆心角之间存在的数量关系。
对的圆周角的度数和圆心角的度数具有的数量关系
已知：与是同弧所对的圆周角和圆心角。
求证： = （请在中作出过圆心O和的顶点A的直径AD（辅助线））。
注意：由于点A的位置不同，辅助直径出现的位置也不同，总体分为三种情况.小组合作讨论每一种情况。每小组选择一种情况给出证明。（组长组织同学讨论，分配好任务？）
教材：本节课是在学生学习了圆的圆心，半径，直径，弦，弧，圆心角等概念以及圆的对称性的基础上，用推理论证的方法研究圆周角与圆心角关系。它在与圆有关推理、论证和计算中应用广泛，是本章重点内容之一。虽然近两年中考中“圆”所占的比例和试题难度都有所下降，但这一章仍然是初中数学的一个重点内容，而圆周角一节又是本章中一个最基本的知识点。
石河子第十中学数学组孙晓邈

圆周角定义及定理

圆周角的定义是：顶点在圆上，角的两边都与圆相交的角。

其特点可归纳为：①顶点在圆上，②两边都和圆相交。

这两个条件缺一不可。

圆周角定理为：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

具体来说，定理有三方面的意义：
圆心角和圆周角在同一个圆或等圆中；
它们对着同一条弧或者对的两条弧是等弧；
具备a、b两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半。

此外，还有以下推论：
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

直径(半圆)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦为直径。

如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

苏教版九年级圆周角定理

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O 中，∵四边形ABCD 是内接四边形∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠4．过已知点作圆(1)经过一点的圆（以这个点以外任意一点为圆心，以这一点与已知点的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数个）(2)经过两点的圆(以连接这两点的垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点和已知两点中任意一点的距离为半径就可以作出，这样的圆也有无数个)(3)经过三点的圆①经过在同一直线上三点不能作圆．②过不在同一直线上三个点可以作且只可以作一个圆．作法是：连接任意两点并作中垂线，再连接另外两点并作中垂线，以这两条中垂线的交点为圆心，以这一点和已知三点中任意一点的距离为半径作圆，这样的圆只有一个． 5．三角形的外接圆(1)定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆(2)三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．任意一个三角形都有外接圆，而且只有一个外接圆．这个三角形叫做圆的内接三角形．三角形外接圆、三角形的外心，圆的内接三角形的概念。

三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

外接圆的圆心是三角形的三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这圆的内接三角形。

如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，O 为△ABC 的外心，△ABC 是⊙O 的内接三角形。

说明：1、锐角三角形的外心在三角形的内部2、“接”说明三角形的顶点与圆的位置关系，“内”“外”是相对的位置关系。

以三角形为准，那么圆在其外，并且三个顶点都在圆上，就说圆是三角形的外接圆。

6．三角形的“四心”三、典型例题1、如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个2．如图2，已知AB 是⊙O 的直径，BC 为弦，∠A BC=30°过圆心O 作OD ⊥BC 交弧BC 于点D ，连接DC ，则∠DCB= °．3．如图，AB 、CD 是半径为5的⊙O 的两条弦，AB = 8，CD = 6，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为EF上的任意一点，则PA +PC 的最小值为 .4、在△ABC 内，AB=20，AC=15，高AD=10,求能完全覆盖△ABC 的圆的最小半径长5.如图，△ABC 内接于⊙O ， D 为BC 上一点,且AD=5,CD=3,AC=7,AB=103求△ABC 的外接圆的面积6. 已知AD 是△ABC 的外接圆直径，CE ⊥AD 交AD 于F ，交AB 于E ，求证AC 2＝AB ·AEOEDCBAOBD CA图27、如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC=30°．（1）求∠BOC的度数；（2）求证：四边形AOBC是菱形．8、如图，AB是⊙O的直径，=，∠COD=60°．（1）△AOC是等边三角形吗？请说明理由；（2）求证：OC∥BD．9、如图，已知：P为⊙O外一点，过P作⊙O的两条割线，分别交⊙O于A、B和C，D，且AB是⊙O的直径，弧AC=弧DC，连结BD，AC，OC。

圆周角定理及推论证明

圆周角定理及推论证明圆周角定理是指圆内对同一弧所对的两个角的和等于180°。

圆周角的定义是指，在圆上的两条弦所对的角。

在证明圆周角定理之前，我们先来看一些基本概念和性质。

首先，我们知道在同一圆中，两条弦所对的弧度是相等的。

这是因为圆周角的定义指的是在圆上的两条弦所对的角，而弧度是与弦对应的部分。

因此，由于两条弦所对的弧度相等，所以它们所对的圆周角也相等。

其次，我们需要了解乘法原理。

乘法原理指的是，如果一件事情可以分成n个相同的步骤进行，而每个步骤都可以选择m种不同的方式进行，那么这件事情一共有n*m种不同的方式。

根据乘法原理，如果在同一圆周上选取两个点，那么连接这两个点的弦的数目就是这两个点所决定的，即两个点决定的弦的数目是唯一确定的。

现在，我们开始证明圆周角定理。

为了方便理解，我们可以将圆周上的两个点分别命名为A和B，且连接这两个点的弦为AC和BC。

我们需要证明的是∠ACB+∠AOB=180°，其中O为圆心。

首先，我们将圆弧AC和BC分别延长，分别与OB和OA相交于D和E。

连接OC、OD和OE，并假设∠ACB=x°，∠AOB=y°，∠COD=z°，∠EOC=w°。

根据基本性质1，我们知道两条弦所对的弧度是相等的，即弧AC与弧BC的弧度相等。

那么，根据基本性质2，我们可以得出两个结论：1）弧AD与弧BE的弧度也相等；2）弧AC与弧AD所对的角度相等，弧BC与弧BE所对的角度相等。

接下来，我们观察△COD和△EOC。

由于∠COD和∠EOC的两边OC相等，所以根据三角形中两边夹角的大小关系，我们可以得出z°>w°（1）。

同时，由于∠COD和∠EOC是邻补角，所以z°+w°=180°。

再来看△AOD和△BOC。

由于OA=OC，同样根据三角形中两边夹角的大小关系，我们可以得出∠OAD>∠OBC（2）。

初中数学知识点精讲精析-圆周角和圆心角的关系

3·3圆周角和圆心角的关系要点精讲1.圆周角定义：圆周角(angle in a circular segment)：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．2．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半．注意：(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等于圆心角的一半．(2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．注意：(1)“同弧”指“同一个圆”．(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”．(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．3．直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角：如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．4.反证法：注意：用反证法证明命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．(3)山矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．5.圆内角与圆外角：我们把顶点在圆内(两边自然和圆相交)的角叫圆内角(如图1．顶点在圆外并且两边都和圆相交的角叫圆外角(如图2)．定理：圆内角的度数，等于它所对弧的度数与它的对顶角所对弧的度数之和的一半．圆外角的度数，等于它的两边所夹两条弧的度数的差的一半．典型例题1.已知：⊙O中，所对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC．求证：∠ABC＝12 AOC．【解析】证明：∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO．∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO．∴∠AOC＝2∠ABO．即∠ABC＝12∠AOC．如果∠ABC的两边都不经过圆心(如下图)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？如图(1)，点O在∠ABC内部时，只要作出直径BD，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．由刚才的结论可知：∠ABD＝12∠AOD，∠CBD＝12∠COD，∴∠ABD＋∠CBD＝12(∠AOD＋∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．在图(2)中，当点O在∠ABC外部时，仍然是作出直径BD，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可．由前面的结果，有∠ABD＝12∠AOD，∠CBD＝12∠COD．∴∠ABD－∠CBD＝12(∠AOD－∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．2.如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?[分析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD．【解析】BD=CD．理由是：连结AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．即AD⊥BC．又∵AC＝AB,∴BD＝CD．3．为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．【解析】有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等．4．如下图，哪个角与∠BAC相等?【解析】∠BDC＝∠BAC．5. 如下图，⊙O的直径AB＝10 cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长．【解析】∵AB为⊙O的直径．∴ACB=90°．又∵∠ABC=30°， ∴AC=21AB=21×10=5(cm)． 6．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆形?为什么?【解析】图(2)是半圆形、理由是：90°的圆周角所对的弦是直径．7.船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A 、B 表示灯塔，暗礁分布在经过A 、B 两点的一个圆形区域内，C 表示一个危险临界点，∠ACB 就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? 分析：这是一个有实际背景的问题，由题意可知：“危险角” ∠ACB 实际上就是圆周角，船P 与两个灯塔的夹角为∠α，P 有可能在⊙O 外，P 有可能在⊙O 内，当∠α＞∠C 时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C 时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证．【解析】(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” ∠C 时，船位于暗礁区域内(即⊙O 内)，理由是：连结BE ，假设船在(⊙O 上，则有∠α=∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 上；假设船在⊙O 外，则有∠α＜∠AEB ，即∠α＜∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 外．因此．船只能位于⊙O 内．(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外(即⊙O 外)．理由是：假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，则有∠α>∠AEB，即∠α>∠C．这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内，因此，船只能位于⊙O外．8.如图，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．求BC、AD和BD的长．分析：由AB为直径，知∠ACB=90°，又AC、AB已知，可由勾股定理求BC．又∠ADB=90°，AD=DB，由勾股定理可求AD、BD．【解析】∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵AB＝10cm，AC＝6cm，又∵CD是∠ACB的平分线，∠ACD=∠DCB，∴AD=DB．在 Rt∠ADB中，9.已知AB是⊙O的直径，AE是弦，C是的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，CB交AE于G．求证：CF=FG．分析：如图7—107，要证CF=FG，只需证∠FCG=∠FGC．由已知，∠FCG与∠B互余．如果连结AC，∠ACB=90°．∠FGC与∠CAG互余．【解析】证明：连结AC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∠FGC=90°-∠CAE．又∵CD⊥AB于D，∠FCG=90°-∠B，∴∠FGC=∠FCG．因此，CF=FG．10.如图，AB 是⊙O 的直径. ABCDO(1)若OD ∥AC ，与的大小有什么关系？为什么？(2)把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由. 【解析】(1)=延长DO 交⊙O 于E . ∵AC ∥OD , ∴=. ∵∠1=∠2, ∴=. ∴=.(2)仍成立，延长DO 交⊙O 于点E ，连结AD . ∵=，=, ∴=. ∴∠3=∠D . ∴AC ∥OD .11.如图，⊙O 上三点A 、B 、C ，AB =AC ，∠ABC 的平分线交⊙O 于点E ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点F ，BE 和CF 相交于点D ，四边形AFDE 是菱形吗？验证你的结论. AB CDEFO【解析】四边形AFDE 是菱形.证明：∵∠ABC=∠ACB, ∠ABE=∠EBC=∠ACF=∠FCB. 又∠FAB ，∠FCB 是同弧上的圆周角, ∴∠FAB=∠FCB ，同理∠EAC=∠EBC. 有∠FAB=∠ABE=∠EAC=∠ACF.∴AF ∥ED ，AE ∥FD 且AF=AE. ∴四边形AFDE 是菱形.12.如图是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径，小亮同学谈了他的做法：先量取弦AB 的长，再量中点到AB 的距离CD 的长，就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗？如不合理，说明理由；如合理，请你给出具体的数值，求出半径，与同伴交流.BDCDEO1 23CABD【解析】小亮的做法合理.取AB=8 m ，CD=2 m, 设圆形工件半径为r, ∴r 2=(r －2)2+42. 得r=5(m).13.如图，现需测量一井盖(圆形)的直径，但只有一把角尺(尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖的半径)，请配合图形，用文字说明测量方案，写出测量的步骤.(要求写出两种测量方案)【解析】方案1：使角尺顶点在圆上，角尺两边与圆两交点连接就是圆的直径，用刻度尺量出直径.方案2：任画圆的一条弦，用尺量出弦的中点，利用角尺过弦中点做弦的垂线，垂线与圆的两交点间的线段为圆的直径.14.如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD . (1)P 是上一点(不与C 、D 重合)，求证：∠CPD =∠COB .(2)点P ′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合)时，∠CP ′D 与∠COB 有什么数量关系？请证明你的结论.BA CDOP【解析】(1)证明：连结OD, ∵AB 是直径，AB ⊥CD, ∴=.∴∠COB=∠DOB=21∠COD. 又∵∠CPD=21∠COD, ∴∠CPD=∠COB. (2)∠CP ′D 与∠COB 的数量关系是：∠CP ′D+∠COB=180°.证明：∵∠CPD+∠CP ′D=180°，∠COB=∠CPD, ∴∠CP ′D+∠COB=180°15.(9分)已知，如图20，AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,连接AC,过点C 作直线CD ⊥AB 于D(AD<DB),点E 是DB 上任意一点(点D 、B 除外)，直线CE 交⊙O 于点F,连接AF 与直线CD 交于点G.(1)求证：AC 2=AG ·AF ;(2)若点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由.AB CD OEGF【解析】(1)证明：连接CB ，∵AB 是直径，CD ⊥AB , ∴∠ACB =∠ADC =90°. ∴Rt △CAD ∽Rt △BAC . ∴得∠ACD =∠ABC . ∵∠ABC =∠AFC , ∴∠ACD =∠AFC . ∴△ACG ∽△ACF . ∴ACAF AG AC. ∴AC 2=AG ·AF . (2)当点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论仍成立 ①当点E 与点D 重合时，F 与G 重合, 有AG =AF ，∵CD ⊥AB ，∴=, AC =AF . ∴AC 2=AG ·AF .②当点E 与点D 不重合时(不含点A )时，证明类似①.。

高中数学 2.1 圆周角定理教案选修4-1

一圆周角定理课标解读1.了解圆心角定理．2.理解圆周角定理及其两个推论，并能解决有关问题.1．圆周角定理及其推论(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(3)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数． 1．圆的一条弦所对的圆周角都相等吗？【提示】不一定相等．一般有两种情况：相等或互补，弦所对的优弧与所对劣弧上的点所成的圆周角互补，所对同一条弧上的圆周角都相等，直径所对的圆周角既相等又互补．2．在推论1中，把“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”的话，结论还成立吗？【提示】不成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的． 3．“相等的圆周角所对的弧相等”，正确吗？【提示】不正确．“相等的圆周角所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一大前提下成立的，如图．若AB ∥DG ，则∠BAC ＝∠EDF ，但BC ≠EF .利用圆周角定理和圆心角定理进行计算在半径为5 cm 的圆内有长为5 3 cm 的弦，求此弦所对的圆周角．【思路探究】过圆心作弦的垂线构造直角三角形．先求弦所对的圆心角度数，再分两种情况求弦所对的圆周角的度数．【自主解答】如图所示，过点O 作OD ⊥AB 于点D . ∵OD ⊥AB ，OD 经过圆心O ， ∴AD ＝BD ＝532 cm.在Rt △AOD 中，OD ＝OA 2－AD 2＝52cm ，∴∠OAD ＝30°，∴∠AOD ＝60°. ∴∠AOB ＝2∠AOD ＝120°. ∴∠ACB ＝12∠AOB ＝60°.∵∠AOB ＝120°，∴劣弧AEB 的度数为120°，优弧ACB 的度数为240°. ∴∠AEB ＝12×240°＝120°，∴此弦所对的圆周角为60°或120°.1．解答本题时应注意弦所对的圆周角有两个，它们互为补角．2．和圆周角定理有关的线段、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时，还可以通过比例线段，相似比来计算．图2－1－1已知如图2－1－1，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，点D 是BC 上任意一点，AD ＝6 cm ，BD ＝5 cm ，CD ＝3 cm ，求DE 的长．【解】 ∵AB ＝AC ， ∴∠ADB ＝∠CDE . 又∵BD ＝BD ， ∴∠BAD ＝∠ECD . ∴△ABD ∽△CED . ∴AD CD ＝BD ED .即63＝5ED. ∴ED ＝2.5 cm.与圆周角定理相关的证明如图2－1－2，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .图2－1－2(1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．【思路探究】 (1)通过证明角相等来证明三角形相似．(2)利用(1)的结论及面积相等求sin ∠BAC 的大小，从而求∠BAC 的大小．【自主解答】 (1)由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD . 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD . 故△ABE ∽△ADC .(2)因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AE ＝ADAC，即AB ·AC ＝AD ·AE . 又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC 且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE ，则sin ∠BAC ＝1，又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC ＝90°.1．解答本题(2)时关键是利用AB ·AC ＝AD ·AE 以及面积S ＝12AB ·AC sin ∠BAC 确定sin∠BAC 的值．2．利用圆中角的关系证明时应注意的问题(1)分析已知和所求，找好所在的三角形，并根据三角形所在圆上的特殊性，寻求相关的圆周角作为桥梁；(2)当圆中出现直径时，要注意寻找直径所对的圆周角，然后在直角三角形中处理相关问题．如图2－1－3，△ABC 内接于⊙O ，高AD 、BE 相交于H ，AD 的延长线交⊙O 于F ，求证：BF ＝BH .图2－1－3【证明】 ∵BE ⊥AC ，AD ⊥BC ， ∴∠AHE ＝∠C .∵∠AHE ＝∠BHF ，∠F ＝∠C ， ∴∠BHF ＝∠F . ∴BF ＝BH .直径所对的圆周角问题如图2－1－4所示，AB 是半圆的直径，AC 为弦，且AC ∶BC ＝4∶3，AB ＝10 cm ，OD ⊥AC 于D .求四边形OBCD 的面积．【思路探究】由AB 是半圆的直径知∠C ＝90°，再由条件求出OD 、CD 、BC 的长可得四边形OBCD 的面积．【自主解答】 ∵AB 是半圆的直径，∴∠C ＝90°. ∵AC ∶BC ＝4∶3，AB ＝10 cm ， ∴AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm. 又∵OD ⊥AC ，∴OD ∥BC . ∴OD 是△ABC 的中位线，∴CD ＝12AC ＝4 cm ，OD ＝12BC ＝3 cm.∴S 四边形OBCD ＝12(OD ＋BC )·DC＝12(3＋6)×4＝18 cm 2. 在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角大小、线段长度又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等．图2－1－5如图2－1－5，已知等腰三角形ABC 中，以腰AC 为直径作半圆交AB 于点E ，交BC 于点F ，若∠BAC ＝50°，则EF 的度数为( )A ．25°B ．50°C ．100° D．120° 【解析】如图，连接AF . ∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠AFC ＝90°， ∴AF ⊥BC ， ∵AB ＝AC ，∴∠BAF ＝12∠BAC ＝25°，∴EF 的度数为50°. 【答案】 B(教材第26页习题2.1第3题)图2－1－6如图2－1－6，BC 为⊙O 的直径，AD ⊥BC ，垂足为D ，AB ＝AF ，BF 和AD 相交于E ，求证：AE ＝BE .(2013·陕西高考)如图2－1－7，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.图2－1－7【命题意图】本题主要考查圆周角定理、三角形相似等知识，证明三角形相似考查了逻辑推理能力，求线段的长度考查了知识的应用能力及转化意识．【解析】 ∵BC ∥PE ，∴∠C ＝∠PED . ∵∠C ＝∠A ，∴∠A ＝∠PED . 在△PED 和△PAE 中， ∠PED ＝∠A ，∠P ＝∠P ， ∴△PED ∽△PAE ，∴PE PA ＝PD PE. ∵PA ＝PD ＋DA ＝3，PD ＝2， ∴PE 2＝PA ·PD ＝3×2＝6， ∴PE ＝ 6. 【答案】61．如图2－1－8，在⊙O 中，∠BAC ＝60°，则∠BDC ＝( )图2－1－8A ．30°B ．45°C ．60° D．75°【解析】 ⊙O 中，∠BAC 与∠BDC 都是BC 所对的圆周角，故∠BDC ＝∠BAC ＝60°. 【答案】 C2．在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ⊥AC ，⊙O 是△ABC 的外接圆，则AB 所对的圆心角为( ) A ．22.5° B．45° C ．90° D．不确定【解析】 ∵∠ACB ＝45°，∴AB 所对的圆心角为2∠ACB ＝90°. 【答案】 C3．(2013·焦作模拟)如图2－1－9，A 、B 、C 是⊙O 的圆周上三点，若∠BOC ＝3∠BOA ，则∠CAB 是∠ACB 的________倍．图2－1－9【解析】∵∠BOC＝3∠BOA，∴BC＝3AB，∴∠CAB＝3∠ACB.【答案】 34．如图2－1－10所示，两个同心圆中，CmD的度数是30°，且大圆半径R＝4，小圆半径r＝2，则AnB的度数是________．图2－1－10【解析】AnB的度数等于∠AOB，又CmD的度数等于∠AOB，则AnB的度数是30°.【答案】30°一、选择题图2－1－111．如图2－1－11所示，若圆内接四边形的对角线相交于E，则图中相似三角形有( ) A．1对B．2对C．3对 D．4对【解析】由推论知：∠ADB＝∠ACB，∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD，∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC.【答案】 B2．在半径为R的圆中有一条长度为R的弦，则该弦所对的圆周角的度数是( )A．30° B．30°或150°C．60° D．60°或120°【解析】弦所对的圆心角为60°，又弦所对的圆周角有两个且互补，故选B.【答案】 B3．如图2－1－12所示，等腰△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，∠A ＝40°，D 是BC 的中点，E 是AC 的中点，分别连接BD 、DE 、BE ，则△BDE 的三内角的度数分别是( )图2－1－12A ．50°，30°，100° B．55°，20°，105° C ．60°，10°，110° D．40°，20°，120° 【解析】如图所示，连接AD . ∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴AD 过圆心O . ∵∠A ＝40°，∴∠BED ＝∠BAD ＝20 °， ∠CBD ＝∠CAD ＝20°. ∵E 是AC 的中点， ∴∠CBE ＝12∠CBA ＝35°，∴∠EBD ＝∠CBE ＋∠CBD ＝55°. ∴∠BDE ＝180°－20°－55°＝105°，故选B. 【答案】 B4．如图2－1－13，点A 、B 、C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝30°，则圆O 的面积等于( )图2－1－13A ．4π B．8π C ．12π D．16π 【解析】连接OA ，OB . ∵∠ACB ＝30°， ∴∠AOB ＝60°，又∵OA ＝OB ，∴△AOB 为等边三角形．又AB ＝4，∴OA ＝OB ＝4.∴S ⊙O ＝π·42＝16π. 【答案】 D 二、填空题图2－1－145．(2013·平顶山模拟)如图2－1－14，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3 cm ，4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BDDA＝________. 【解析】连接CD ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠CDA ＝90°.由射影定理得BC 2＝BD ·BA ，AC 2＝AD ·AB ，∴BC 2AC 2＝BD DA ，即BD DA ＝169. 【答案】1696．如图2－1－15，AB 为⊙O 的直径，弦AC ，BD 交于点P ，若AB ＝3，CD ＝1，则sin ∠APD ＝__________.图2－1－15【解析】由于AB 为⊙O 的直径，则∠ADP ＝90°，所以△APD 是直角三角形．则sin ∠APD ＝AD AP ，cos ∠APD ＝PD AP，由题意知，∠DCP ＝∠ABP ，∠CDP ＝BAP ，所以△PCD ∽△PBA . 所以PD AP ＝CD AB ，又AB ＝3，CD ＝1，则PD AP ＝13.∴cos ∠APD ＝13.又∵sin 2∠APD ＋cos 2∠APD ＝1，∴sin ∠APD ＝223.【答案】223三、解答题7．如图2－1－16，已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD 、AD .(1)求证：DB 平分∠ADC ；(2)若BE ＝3，ED ＝6，求AB 的长．图2－1－16【解】 (1)证明：∵AB ＝BC ，∴AB ＝BC ， ∴∠BDC ＝∠ADB ， ∴DB 平分∠ADC . (2)由(1)可知AB ＝BC . ∴∠BAC ＝∠ADB . ∵∠ABE ＝∠ABD .∴△ABE ∽△DBA .∴AB BE ＝BD AB. ∵BE ＝3，ED ＝6，∴BD ＝9. ∴AB 2＝BE ·BD ＝3×9＝27. ∴AB ＝3 3.8．如图2－1－17, △ABC 是圆O 的内接等边三角形，AD ⊥AB ，与BC 的延长线相交于点D ，与圆O 相交于点E ，若圆O 的半径r ＝1，求DE 的长度．图2－1－17【解】连接BE ，∴AD ⊥AB ， ∴BE 为⊙O 的直径，且BE ＝2r ＝2. 又∵∠AEB ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ABE ＝30°，∠EBD ＝30°. 又∵∠ABD ＝60°， ∴∠D ＝∠EBD ＝30°， ∴DE ＝BE ＝2.9．如图2－1－18①所示，在圆内接△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的一点，E 是直线AD 和△ABC 外接圆的交点．图2－1－18(1)求证：AB 2＝AD ·AE ；(2)如图2－1－18②所示，当D 为BC 延长线上的一点时，第(1)题的结论成立吗？若成立请证明；若不成立，请说明理由．【解】 (1)证明：如右图①，连接BE.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠ACB＝∠AEB，∴∠ABC＝∠AEB.又∠BAD＝∠EAB.∴△ABD∽△AEB.∴AB∶AE＝AD∶AB，即AB2＝AD·AE.(2)如图②，连接BE，结论仍然成立，证法同(1)．10.已知：如图，BC为半圆O的直径，F是半圆上异于B、C的一点，A是BF的中点，AD ⊥BC于点D，BF交AD于点E.(1)求证：BE·BF＝BD·BC；(2)试比较线段BD与AE的大小，并说明道理．【解】(1)证明：连接FC，则BF⊥FC.在△BDE和△BCF中，∵∠BFC＝∠EDB＝90°∠FBC＝∠EBD，∴△BDE∽△BFC.∴BEBC＝BDBF.即BE·BF＝BD·BC.(2)连接AC、AB，则∠BAC＝90°.∵AF＝AB，∴∠1＝∠2.又∵∠2＋∠ABC＝90°，∠3＋∠ABD＝90°，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3.∴AE＝BE.在Rt△EBD中，BE>BD，∴AE>BD.。

圆周角的定理及推论的应用

圆周角的定理及推论的应用圆周角是数学中的一个重要概念，掌握圆周角的定理及其推论，对于解决许多几何问题非常有帮助。

本文将围绕圆周角的定理及推论的应用展开阐述。

一、圆周角的定义圆周角是指落在圆周上的两条弧所对的角，即两个弧之间的角度量。

一般用大写字母表示圆周角，如∠ABC。

二、圆周角的定理1、相等圆周角定理：在同一个圆周上，所对的圆周角相等。

证明：作弦AB、CD相交于点E，则∠AEB=∠CED。

由于AE、BE、CE、DE均是从一个圆心O引出的弦，故∠AEB=∠CEB，∠CED=∠BED，又因为OE=OE，故OEB≌OED，由此可得∠OEB=∠OED，即∠AEB=∠CED。

2、圆心角的定理：在同一个圆中，所对的圆心角相等。

证明：连接圆心O到AB的中垂线OH，H为AB的中点。

则OH垂直于AB，因此∠AOH、∠BOH均为直角，所以∠AOB=2∠AOH=2∠BOH。

3、正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R证明：如下图所示，以AB、BC、CA为边作三角形ABC的外接圆，设圆心为O。

连接AO、BO、CO，过O点作弦AD、BE、CF，则OD=OE=OF=R，所以AOD、BOE、COF都是等边三角形。

因此，∠OAB=∠CFO、∠OBA=∠CEO、∠OBC=∠AEO、∠OCB=∠AFO。

设∠BAC=x，∠ABC=y，∠ACB=z，由三角形内角和公式得：x+y+z=180又由圆周角定理得：∠BOC=2y，∠AOC=2z，∠AOB=2x于是：∠AOB+∠BOC+∠AOC=3602x+2y+2z=360，即x+y+z=180。

将sinA、sinB、sinC带入上述公式中，可得：sinA/BC=sinB/CA=sinC/AB=1/2R即sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R。

4、余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(a²+c²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab证明：将ABC的外接圆的半径延长到BC、AC和AB上分别交于点D、E、F。

圆周角定理及推论

圆周角定理及推论圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半。

圆周角的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

②900的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角。

③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

④圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角例1：如图，点A、B 、C都在圆O上，如果∠AOB+∠ACB=840，那么∠ACB的大小是例2：如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E=360，则∠ADC的度数是（）A．44°B．54°C．72°D．53°例3：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD，（1）证明：C B∥P D；（2）若B C＝3，，求⊙O的直径．1、（北京四中模拟）如图，弧BC与弧AD的度数相等，弦AB与弦CD交于点E，︒=∠80CEB,则CAB∠等于（）A．︒30B．︒40C．︒45D．︒602.（2011年北京四中中考全真模拟16）已知一弧长为L的弧所对的圆心角为120°那么它所对的弦长为( )A、3 34ΠL B、3 24ΠL C、3 32ΠL D、3 22ΠL（第3题图）3.（2011浙江杭州模拟7）如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A=75o ，∠C=45o ，那么∠AEB 度数为（）A. 30o B . 45o C. 60o D. 75o4.(2011浙江省杭州市10模) 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C=45°，AB=2，则⊙O 的半径为( )A ．1B ．22C ．2D ．25.(浙江省杭州市党山镇中2011年中考数学模拟试卷)如图，两圆相交于A ，B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点C ，D 分别在两圆上，若100ADB ∠=︒，则ACB ∠的度数为 ( )A ．35︒B ．40︒C ．50︒D ．80︒C ABD （第5题） O（第4题图）。

圆周角定理

圆周角定理圆周角定理：1.同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

2.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

3.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆。

中文名圆周角定理应用学科数学1圆周角▪定义▪性质2圆周角定理▪定义▪推论一：▪推论二：▪推论三：3证明1圆周角定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角圆周角图性质(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(2)圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半；(3)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。

2圆周角定理定义圆周角定理：同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

推论一：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。

推论二：半圆（直径）所对的圆周角是直角。

推论三：90°的圆周角所对的弦是直径。

注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有两个，一个是优弧所对的角，一个是劣弧所对的角。

3证明已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：2∠BOC=∠BAC.证明：情况1：如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：图1∵OA、OC是半径解：∴OA=OC∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）∵∠BOC是△AOC的外角∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC情况2：如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：连接AO，并延长AO交⊙O于D图2∵OA、OB、OC是半径解：∴OA=OB=OC∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC 情况3：如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：图3连接AO，并延长AO交⊙O于D解：∵OA、OB、OC、是半径∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC。

同弧所对的圆周角相等怎么证明

同弧所对的圆周角相等怎么证明
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。

证明过程如下：
已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠shuBAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.证明：情况1：如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时，如图1
∵OA、OC是半径解：∴OA=OC∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC情况2：如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：连接AO，并延长AO交⊙O于D，如图2
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）。

扩展资料：
公式
关于圆弧的计算公式如下：
（1）圆弧的弧长：
(R=半径，n=圆弧的角度的绝对值）
（2）扇形的面积：
(L=圆弧的弧长，R=半径)
构造圆弧
圆在几何图形中可以说是一种非常常用的图形，通过圆能够衍生出很多曲线问题，圆弧就是最简单的一种，我们用几何画板圆工具可以很轻易地作出圆，也可以利用几何画板构造圆上的弧，即构造圆弧。

同弧所对的圆周角相等证明

同弧所对的圆周角相等证明
证明弧所对的圆周角相等：
1、定义：
(1) 圆周角：围绕一个圆心定义两个弧段对应一条切线，连接圆心点两点之间距离和圆半径之间的角度。

(2) 弧：圆上除了切线和直径之外的部分，是形状角的集合，用来计算圆周角的的重要参数。

2、证明思路：
根据上面定义，圆周角是一种形象角度，不同弧之间的圆周角大小是根据弧的长度来定的。

同台圆上的两个弧的长度是相等的，所以它们所对应的圆周角应当也是相等的。

3、数学证明：
假设给定一个圆O，\O_1 \ \& \ \O_2 两个弧组成。

弧O_1、O_2所围绕圆O的周长分别为L_1 和L_2 。

根据圆周公式，周长和圆周角大小之间的关系式为：
L_1=2 \pi r \ cos \phi_1
L_2=2 \pi r \ cos \phi_2
其中，L_1、L_2分别对应O_1、O_2的圆周角，r为圆心半径，\phi_1、\phi_2为弧O_1、O_2上所对应的圆周角。

若 L_1=L_2，则根据关系式可得：
2 \pi r \ cos \phi_1 = 2 \pi r \ cos \phi_2
可知，cos \phi_1 = cos \phi_2
再根据余弦定理，可知：
\phi_1 = \phi_2
上述，已经数学上得到证明：
当两条弧O_1、O_2 相等时，它们所对应的圆周角\phi_1与\phi_2也相等。

4、总结
已经用数学的原理证明了两个弧所对应的圆周角是相等的，即当两条弧O_1、O_2相等时，它们的圆周角也相等，即\phi_1=\phi_2。

因此，同一圆上的两个弧的圆周角是相等的，证毕。

同弧所对的圆周角均相等(几何证明)

同弧所对的圆周角均相等证明:构造定点A和定点O,以O为圆心,以AO为半径作圆:⊙O 在⊙O上构造定点B,在优弧BÂ上构造一动点P.连接AP,BP,OP,AO,BO,AB.则∠APB为AB̂所对的圆周角. (1)当点O在△ABP之外时1.当点O在△ABP的PB一侧时∠APB=∠APO-∠BPO∠APB=(π-∠PAO-∠AOP)-π−∠BOP2∠APB=(π-∠PAO-∠AOP)-π−∠AOP−∠AOB2∠APB=π2-∠PAO-12∠AOP+12∠AOB过O作DO⊥AP,D为AP上的垂足. ∵点A,点P在⊙O上;∴PO=AO;∴∠AOD=12∠AOP;∴∠APB=π2-(∠PAO+∠AOD)+12∠AOB=12∠AOB.2.同理可证点O在△ABP的PA一侧时: ∠APB=12∠AOB(2)当点O在△ABP之内时∠APB=∠APO+∠BPO∠APB=π−∠AOP2+π−∠BOP2∠APB=π-12(∠BOP+∠AOP)∠APB=π-12(2π-∠AOB)∠APB=12∠AOB(3)当点O 在AP 上时: ∠APB=π−∠BOP 2 ∠APB=π−π+∠AOB2 ∠APB=12∠AOB同理可证点O 在BP 上时:∠APB=12∠AOB综上所述:点P 在优弧BA ̂上任意一点都有:∠APB=12∠AOB ∵A,B,O 为定点;∴∠AOB 的大小固定;∴∠APB 的大小固定且为∠AOB 的一半. 即:同弧所对的圆周角均相等.。

同弧或等弧所对的圆周角相等证明过程

同弧或等弧所对的圆周角相等证明过程下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!同弧或等弧所对的圆周角相等证明过程概述在几何学中，同弧或等弧所对的圆周角相等是一个基本的几何性质。

弧圆心角圆周角的关系

弧圆心角圆周角的关系稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊弧圆心角圆周角的关系，这可有意思啦！你看哈，圆心角就好像是圆的“内心独白”，它的两条边都是从圆心出发的。

而圆周角呢，就像是圆的“周边故事”，它的顶点在圆上，两条边是圆上的弦。

当一条弧对着一个圆心角的时候，它们的度数是相等的哟！比如说，圆心角是 60 度，那这条弧所对的圆心角也就是 60 度。

可圆周角就有点特别啦！同弧所对的圆周角是圆心角的一半。

就好比圆心角是 100 度，那同弧所对的圆周角就是 50 度。

这关系是不是很神奇呀？想象一下，圆就像一个大舞台，圆心角是舞台中央的主角，光芒四射；圆周角就是舞台周边的配角，虽然没有那么耀眼，但也起着重要的作用。

而且哦，如果有两条弧相等，那么它们所对的圆心角和圆周角也分别相等。

这就好像是一对双胞胎，长得一样，性格也差不多。

怎么样，是不是觉得弧圆心角圆周角的关系挺有趣的？多琢磨琢磨，数学的世界可精彩啦！稿子二哈喽呀！今天咱们来唠唠弧圆心角圆周角的那些事儿！先来说说圆心角，它可是圆的“老大”，从圆心出发，那威风劲儿可足啦！而圆周角呢，就像是圆的“小伙伴”，在圆的边上玩耍。

你知道吗？当一条弧在那的时候，它对应的圆心角和圆周角可有特别的联系。

比如说，圆心角就像是个大老板，定了个度数，那同弧所对的圆周角只能乖乖地是它的一半。

举个例子，圆心角是 80 度，那圆周角就只能是 40 度，是不是很神奇？这就好像圆心角是大哥，圆周角是小弟，得听大哥的。

还有哦，如果有好多条弧都一样长，那它们对应的圆心角和圆周角也都一样。

就好像一群小伙伴，穿一样的衣服，做一样的动作。

再想想，如果一个圆里有好多好多的弧，那这些弧对应的圆心角和圆周角就组成了一个奇妙的大家庭，互相有着固定的关系，谁也跑不掉。

所以呀，弄清楚弧圆心角圆周角的关系，数学的大门就为咱们开得更大啦，能看到更多有趣的东西！怎么样，是不是有点意思？。

相同弧对应的圆周角和圆心角面积

相同弧对应的圆周角和圆心角面积1. 圆的基本知识1.1 圆的构成大家好，今天我们来聊聊圆，尤其是圆的那些角角落落。

说起圆，大家可能会想起生日蛋糕、篮球，甚至是那轮明亮的月亮。

圆可不是简单的图形，它的每一个部分都有自己的小故事哦！想象一下，在圆的中心，有一个叫圆心的家伙，它就像一个大领导，指挥着周围的一切。

然后，围绕着这个圆心，圆周就像一条长长的河，环绕着四周，给人一种温暖的包围感。

1.2 角的种类提到角，首先要说的就是圆周角和圆心角。

这两个家伙就像一对好搭档，虽说有些地方不同，但它们的关系可紧密了。

圆心角是指从圆心出发，连到圆上两点的角，而圆周角则是由这两点在圆周上形成的角。

听起来有点复杂？别急，咱们慢慢来，像喝茶一样，慢慢品味。

2. 圆心角和圆周角的关系2.1 角度关系简单来说，圆心角是圆周角的两倍。

这就像是把两个小饺子合在一起，变成一个大饺子，听起来是不是很有意思？这让我们在计算的时候省心多了。

只要知道圆心角的大小，就能轻松得出圆周角，反之亦然。

这种关系就像是在学校里，学姐带着学弟学妹一样，指引着大家前进。

2.2 面积问题那么，面积又是怎么回事呢？想象一下，如果你在一个大圆里画了一个扇形，这个扇形的面积就是由它的圆心角决定的。

圆心角越大，扇形的面积就越大，反之亦然。

这种变化就像天气预报，今天的阳光明媚，明天可能就是暴风雨，真是让人捉摸不定啊！3. 实际应用3.1 生活中的应用说到这里，可能有人会问，这和我们的日常生活有什么关系呢？别急，举个例子就明白了。

比如，大家在做披萨的时候，切成不同的块，这时候圆心角和圆周角就发挥作用了。

如果想让每块披萨都一样大，就需要注意角度的把控，否则一块大一块小，肯定会引发争论，甚至打架！3.2 趣味实验还有，如果你在公园里玩飞盘，飞盘的飞行轨迹也是和圆有关的。

当飞盘飞出去的时候，形成的角度关系会影响它的飞行距离和轨迹，这样一来，掌握了圆的奥秘，或许就能成为飞盘高手，享受在草坪上飞驰的乐趣。

九年级数学上册《同弧所对的圆周角相等圆的内接四边形的对角互补》教案、教学设计

九年级数学上册《同弧所对的圆周角相等圆的内接四边形的对角互补》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握同弧所对的圆周角相等的性质，能够运用该性质解决相关问题。
2.理解并掌握圆的内接四边形的对角互补的性质，能够运用该性质解决实际问题。
3.能够运用圆的性质和定理进行逻辑推理，提高解决问题的能力。
（四）课堂练习
1.设计具有针对性的练习题，帮助学生巩固所学知识。题目分为基础题和提高题，使每个学生都能得到有效的训练。
2.练习题包括：
-基础题：求给定圆中同弧所对的圆周角；
-提高题：运用圆的性质和定理解决实际问题，如求圆的内接四边形的对角互补等。
（五）总结归纳
1.学生自主总结：鼓励学生回顾本节课所学内容，总结同弧所对的圆周角相等和圆的内接四边形的对角互补的性质，以及它们在实际问题中的应用。
4.设计分层练习，针对不同层次的学生，提供难易适度的题目，使每个学生都能得到等和圆的内接四边形的对角互补的性质。
-提高题：运用圆的性质和定理解决实际问题，培养学生的逻辑推理能力。
5.注重课后反思，引导学生总结学习过程中的得与失，提高学生的学习效率和自主学习能力。
4.学会运用数形结合的方法分析问题，培养直观想象和逻辑推理能力。
（二）过程与方法
1.采用探究式教学方法，引导学生通过观察、猜想、证明等环节，发现并掌握同弧所对的圆周角相等和圆的内接四边形的对角互补的性质。
2.设计丰富的例题和练习，让学生在解决问题的过程中，运用所学知识，提高解决问题的能力。
3.引导学生运用数形结合的方法，将抽象的数学问题具体化，培养学生的直观想象能力。
2.联系已有知识：回顾圆的基本概念，如半径、直径、弧、圆周角等，为新知识的引入奠定基础。