直线被圆截弦长问题知识讲解
圆在y轴截的弦长
圆在y轴截的弦长1.引言1.1 概述圆在y轴截的弦长是指一条直线从圆的外部与圆相交，与y轴所构成的线段的长度。
这个概念在几何学中非常重要，与圆的半径和截距之间有着密切的关系。
本文将探讨圆在y轴截的弦长的定义和公式，以及弦长与圆的半径和截距之间的关系。
通过对这些内容的讲解和分析，我们可以更深入地理解和应用圆的相关概念，并加深对几何学的理解。
在接下来的章节中，我们将首先介绍圆在y轴截的弦长的定义和公式，从几何学角度详细解释其含义和计算方法。
然后，我们将研究弦长与圆的半径和截距之间的关系，通过数学推导和实例分析，展示它们之间的数学模型和规律。
最后，我们将总结得出两个重要的结论：弦长与圆的半径成正比，弦长与截距成反比。
通过阅读本文，读者将获得对圆在y轴截的弦长的全面认识和理解，对圆的相关概念和性质有更加深入的把握。
同时，我们也希望通过分析与探究，培养读者的逻辑思维和问题解决能力，为进一步研究和应用几何学打下坚实的基础。
1.2文章结构1.2 文章结构本文按照以下几个部分进行论述和分析：1. 引言：在引言部分，我们将简要介绍本文的研究对象——圆在y 轴截的弦长，并概述本文的目的和结构。
2. 正文：在正文部分，我们将详细探讨圆在y轴截的弦长的定义和公式，并分析弦长与圆的半径和截距之间的关系。
3. 结论：在结论部分，我们将总结本文的主要研究结果，并得出结论1：弦长与圆的半径呈正比关系；结论2：弦长与截距呈反比关系。
通过以上的文章结构，我们将从介绍、分析到总结全面而系统地展现圆在y轴截的弦长的特点和性质，为读者提供一个清晰、准确的了解。
同时，我们还将通过数学推导和图表展示等方式来支持我们的观点，以便读者更好地理解和接受。
在正文部分，我们将深入阐述弦长的计算公式和与圆的半径、截距的关联，以及这些关系对于实际问题的意义和应用。
最后，在结论部分我们将对我们的研究结果进行总结，并指出未来研究方向和可能的拓展。
通过这一结构，读者将能够逐步掌握关于圆在y轴截的弦长的相关知识，并发现其中的规律和趋势，对于更深入地理解数学中的圆和弦长概念将有所帮助。
直线与圆相交的弦长问题
【方法3】联立方程求交点，韦达定理求弦长（此 方法有普适性）
பைடு நூலகம்
直线与圆相交 例1 求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y22y-4=0截得的弦长.
例2.已知过点(-1,-2)的直线l被圆x2+y2-2x2y+1=0截得的弦长为√2,则直线l的斜率为
问题：圆C:（x-a)2 ( y b)2 r 2 , P( x0 , y0 )为圆内一点， 过P点的弦与圆交于A，B，当CP与AB满足什么条件时 弦AB的长度最小。
直线与圆的位置相交时弦长问题
问题：已知直线Ax+Bx+C=0,与圆（x-a) ( y b) r
2 2
2
交于A，B两点，则弦AB的长度。 （圆心到直线距离用d表示）
求弦长的三种方法: 【方法1】先联立方程求交点，再用两点间的距离公式求弦 长
【方法2】利用弦心距、弦长一半、半径构成的直角三角形 解决
例3：已知直线l： 2mx y 8m 3 0和 圆C：x 2 y 2 6 x 12 y 20 0 (1)m R时，证明l与C总相交 （2）m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长
总结：圆的弦长的几种求法
圆与直线的弦长公式
圆与直线的弦长公式圆与直线的弦长公式是数学中最基础的概念之一。
这个公式可以计算出一个圆或一条直线的弦长，即圆或直线上任意一点到圆心或直线起点的距离，它在许多科学和工程领域都有重要的应用，比如船舶航海中的圆弧航行，它可以帮助测量船只的航行路线和航行时间，又如银行的存款计算，它可以帮助更好地估算利息。
圆的弦长公式定义为：C=2πr，其中C表示圆的弦长，2π表示圆的周长，r表示圆的半径，通过圆的半径就可以计算出圆的弦长。
直线的弦长公式定义为：L=√(x2-x1)2+(y2-y1)2，其中L表示直线的弦长，x2-x1表示直线横坐标间的距离，y2-y1表示直线纵坐标间的距离，通过计算两个坐标间距离的平方和的平方根就可以计算出直线的弦长。
应用示例：1.算一个半径为6m的圆的弦长：C=2πr=2π*6=37.68m2.算以坐标(5,5)和坐标(10,7)两点间的直线弦长：L=√(x2-x1)2+(y2-y1)2=√(10-5)2+(7-5)2=√(52+22)=√(25+4)=√29=5.39m以上就是圆与直线的弦长公式的一般情况。
它们在实际应用中有着各种各样的变体，其基本原理在不同的应用场景下没有变化，不断推动着各种科学技术的发展和进步。
当然，圆与直线的弦长公式也具有一定的局限性。
它只能用于圆和直线，而对于非圆形和非直线几何形状，比如椭圆、圆弧、三角形等，就不能满足需求了。
因此，为了更准确地测量几何图形的弦长，研究者们发展出了一系列更加复杂的计算公式。
比如，计算椭圆弦长的椭圆面积公式，计算圆弧弦长的圆弧面积公式，计算三角形弦长的勾股定理等。
总之，数学中的圆与直线的弦长公式是一个重要而有用的概念，它可以帮助我们更准确地衡量几何图形的尺寸，更好地应用于日常生活、科学与工程技术等领域。
直线与圆所截弦长公式
直线与圆所截弦长公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：直线与圆所截弦长公式是几何学中重要而基础的知识点。
当一个直线与一个圆相交时，构成的弦是直线与圆的一个重要交点。
在几何学中，我们经常需要求解直线与圆所截弦的长度，这就需要运用直线与圆所截弦长公式。
下面我们将详细介绍直线与圆所截弦长公式的推导过程及其应用。
我们需要明确的是在几何学中，有一个重要的定理：当直线与圆相交时，直线与圆所截弦长的乘积等于两条弦分割的线段之积。
即设直线AB与圆O相交于点A、B，则有AO×OB=AO'×OB'。
A、B为直线AB与圆O的交点，O为圆心，而A'、B'则是弦AB分割的两段。
根据上述定理，可以推导出直线与圆所截弦长公式。
假设直线AB 与圆O相交于点A、B，圆心为O，弦AB分割为AO'和OB'两段。
设弦长为L，AO的长度为x，OB的长度为y，则有x+y=L。
根据定理可知，AO×OB=AO'×OB'，即x×y=(L-x)×(L-y)。
化简上式，可得到x×y=L²-Lx-Ly。
然后通过齐次二次方程的求解方法，可以得到x和y的值。
进而可以求得AO和OB的长度，即直线与圆所截弦的长度。
除了直线与圆所截弦长的求解，直线与圆的位置关系也是几何学中的一个重要问题。
当直线与圆相交时，有六种可能的位置关系：相交两点、内切、相切、外切、相离、内含。
每种情况下，弦的长度和位置都有不同的特点和计算方法。
在实际问题中，直线与圆所截弦长公式的应用是非常广泛的。
数学、物理、工程学等领域的问题中，经常需要计算直线与圆相交时弦长的长度。
在工程设计中，有时需要计算杆件与圆轴相交时的弦长，以便确定杆件的长度和位置；在地理学中，需要计算地球表面上两点之间的最短距离时，也可以利用直线与圆所截弦长公式。
直线与圆所截弦长公式是几何学中的一个重要知识点，涉及到直线与圆的交点、弦的长度、位置关系等内容。
人教A版高中数学必修2课件4.2.1直线与圆相交求弦长课件
2
直线与圆相交求弦长
【典型例题】
2、已知过点M (–3，–3)的直线l 被圆 x2 + y2 + 4y –21 = 0所截得的弦长为 4 5, 求直线l的方程. 解：将圆的方程写成标准形式，得 x2 + (y + 2)2 =25， 所以，圆心的坐标是(0，–2)，半径长 r =5. 如图，因为直线l的距离为 4 5, 所以弦 2 心距为 2 4 5
直线与圆相交求弦长
【变形训练】
1、已知直线y＝kx+1与x2＋y2＝1相交于P、Q 1 两点，O为坐标原点，若 OP OQ , 2 则k的值为( ) A．± 3 B．±1 C．± 2 D．－ 3
直线与圆相交求弦长
【变形训练】 解析：设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立两 个方程得x2+(kx+1)2＝1,即(1+ k2)x2＋2kx＝0, 2k 解得x1＝0, x2＝ 1 k 2 ，则y21＝1, 1 k 2k 1 , 故 OP OQ x1 x2 y1 y2 y2 k 2 2
2k 1 k2 1 k2 1 0 ( ) 1 , 2 2 2 1 k 1 k 1 k 2 即k2＝3，故k＝± 3. 答案：A
1 k 1 k
直线与圆相交求弦长
【变形训练】 2、如图，已知⊙M：x2+(y－2)2＝1， Q是x轴上的动点，QA，QB分别切 4 2 ⊙M于A，B两点，(1)如果 | AB | 3 求直线MQ的方程； (2)求动弦AB的中点P的轨迹方程.
故 a 5或a 5,所以直线AB方程是
2 x 5 y 2 5 0或2 x 5 y 2 5 0;
直线截圆的弦长公式
直线截圆的弦长公式答案：弦长公式为=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1] 其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号证明方法如下：假设直线为:Y=kx+b圆的方程为：(x-a)^+(y-u)^2=r^2假设相交弦为AB,点A为（x1.y1)点B为(X2.Y2)则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别带入,则有：AB=√（x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2=√1+k^2*│x1-x2│证明ABy1-y2│√[(1/k^2)+1] 的方法也是一样的拓展资料：弦长公式的延伸：公式适用于所有圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）椭圆：(1)焦点弦:A(x1,y1),B(x2,y2),AB为椭圆的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=2a ±2ex(2)设直线；与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）双曲线：(1)焦点弦:A(x1,y1),B(x2,y2),AB为双曲线的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=-2a±2ex(2)设直线；与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则同上{K=(y2-y1)/(x2-x1)}抛物线：(1)焦点弦：已知抛物线y²=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB为抛物线的焦点弦，则|AB|=x1+x2+p或|AB|=2p/(sin²H）{H为弦AB的倾斜角}(2)设直线；与抛物线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则同上。
直线与圆的位置关系知识点总结
直线与圆的位置关系知识点总结在平面几何中，直线与圆的位置关系是一个重要且基础的知识点。
理解和掌握它们之间的关系，对于解决许多几何问题具有关键作用。
接下来，咱们就详细聊聊直线与圆的位置关系。
一、直线与圆的位置关系的定义直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离。
当直线与圆有两个公共点时，我们称直线与圆相交。
想象一下，就好像直线穿过了圆，与圆有两个交点。
当直线与圆只有一个公共点时，称直线与圆相切。
这时候，直线就像是轻轻触碰了一下圆，只有那一个瞬间的接触点。
当直线与圆没有公共点时，就是直线与圆相离。
直线和圆仿佛处在两个完全不同的世界，没有任何交集。
二、判断直线与圆位置关系的方法1、几何法通过比较圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小来判断。
若 d ＜ r，则直线与圆相交。
比如，圆的半径是 5，圆心到某条直线的距离是 3，因为 3 ＜ 5，所以直线与圆相交。
若 d ＝ r，则直线与圆相切。
比如半径为 6 的圆，圆心到某直线距离恰好为 6，那这条直线就与圆相切。
若 d ＞ r，则直线与圆相离。
比如圆半径 4，圆心到某直线距离 7，因为 7 ＞ 4，所以直线与圆相离。
2、代数法将直线方程与圆的方程联立，消去其中一个变量（比如 y），得到一个关于另一个变量（比如 x）的一元二次方程。
通过判断这个一元二次方程的根的判别式Δ 的值来确定位置关系。
若Δ ＞ 0，则直线与圆相交，意味着有两个不同的交点。
若Δ ＝ 0，则直线与圆相切，只有一个交点。
若Δ ＜ 0，则直线与圆相离，没有交点。
三、直线与圆相交1、弦长公式当直线与圆相交时，所形成的线段称为弦。
弦长的计算可以通过勾股定理来推导。
设直线方程为 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0，圆的方程为（x a)²＋（y b)²＝ r²，直线与圆的交点为 P(x₁, y₁)，Q(x₂, y₂)。
首先求出圆心（a, b) 到直线的距离 d ＝｜Aa ＋ Bb ＋ C| ／√（A²＋ B²) 。
直线与圆相交求弦长
直线与圆相交求弦长
【典型例题】
1、直线m经过点P (5，5)且和圆C：x2 + y2 = 25 相交，截得弦长l为 4 5 , 求m的方程.
解：设圆心到直线m的距离为 d，由于圆的半径
r
=
5，弦长的一半
l 2
2
5,
所以由勾股定理，得：d
2
52 2 5
5,
所以设直线方程为y – 5 = k (x – 5) 即
故a 5或a 5,所以直线AB方程是
2 x 5 y 25 0 或 2 x 5 y 25 0 ;
直线与圆相交求弦长
【变形训练】
(2)连接MB，MQ，设 P(x,y),Q(a,0),由点M， P，Q在一直线上，得 2 y 2,(A)
a x
由 |M B|2|M P||M Q|,即 x2(y2)2 a241,(B ) 把（A）及（B）消去a，并注意到y<2 ，可得
x2(y7)21(y2). 4 16
2 k 1k2 1k2 1 0(1k2)11k21k22, 即k2＝3，故k＝± 3 . 答案：A
直线与圆相交求弦长
【变形训练】
2、如图，已知⊙M：x2+(y－2)2＝1，
Q是x轴上的动点，QA，QB分别切
⊙M于A，B两点，(1)如果| A B | 4 2
求直线MQ的方程；
的方程为
y + 3 = k (x + 3)， 即k x – y + 3k –3 = 0.
根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的
距离 2 3k 3 因此 2 3k 3
d
.
5,
k2 1
k2 1
直线与圆 切线长定理 弦切角
直线与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的三种位置关系如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，那么 （1）直线l 和圆O 相交⇔d<r ：它们有2个公共点； （2）直线l 和圆O 相切r d =⇔：它们有1个公共点； （3）直线l 和圆O 相离r d >⇔：它们没有公共点.2. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
要点：（1）经过半径外端；（2）垂直于这条半径。
3. 切线判定的三种方法（1）切线的定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 （2）圆心到直线的距离等于半径（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 4. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径由于过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反过来，过切点垂直于切线的直线一定经过圆心，因此可以得到两个推论：推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，总结出如下结论： 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个 （1）垂直于切线 （2）过切点 （3）过圆心5. 关于切线的性质主要有五个①切线和圆只有一个公共点 ②切线和圆心的距离等于圆的半径 ③切线垂直于过切点的半径④经过圆心垂直于切线的直线必过切点⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心6.辅助线规律（1）直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证直线与半径垂直（2）当直线与圆并没明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”，再证圆心到直线的距离等于半径例题讲解例1：已知Rt△ABC的斜边AB＝6 cm，直角边AC＝3 cm.（1）若以C为圆心，2 cm长为半径的圆和AB的位置关系是_________；（2）若以C为圆心，4 cm长为半径的圆和AB的位置关系是_________；（3）若以C为圆心的圆和AB相切，则半径长为_________；（4）若以C为圆心的圆与边AB有一个交点，则圆的半径r的取值范围____________；（5）若以C为圆心的圆与边AB没有交点，则圆的半径r的取值范围______________. 变式练习：1.已知∠AOB＝30°，M为OA边上一点，以M为圆心、2 cm为半径作⊙M.若点M在OA边上运动，则当OM=_______________ cm时，⊙M与OB相切.第1题第2题第3题2.如图直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么秒种后⊙P与直线CD相切．3.如图，⊙O的半径为1，圆心O在正三角形的边AB上沿图示方向移动，当⊙O移动到与AC边相切时，OA的长为______．4.如图，直线y＝33x＋3与x轴、y分别相交与A、B两点，圆心P的坐标为(1，0)，圆P与y轴相切与点O.若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P′的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ． 55. 在直角坐标系中，⊙M 的圆心坐标为(m ,0)，半径是2，如果⊙M 与y 轴相切，那么m =_____；如果⊙M 与y 轴相交，那么m 的取值范围是_____________．6. 在平面直角坐标系xOy 中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆（ ）A ．与x 轴相交，与y 轴相切B ．与x 轴相离，与y 轴相交C ．与x 轴相切，与y 轴相交D ．与x 轴相切，与y 轴相离7. ⊙O 的半径r =5 cm ，点P 在直线l 上，若OP ＝5 cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是______. 8. 以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为_________. 9. 如图，P 为正比例函数x y 23上的一个动点，⊙P 的半径为3，设点P 的坐标为(x ，y ) (1)求⊙P 与直线x ＝2相切时点P 的坐标；(2)请直接写出⊙P 与直线x ＝2相交、相离时x 的取值范围.10. 如图，形如量角器的半圆O 的直径DE ＝12cm ，形如三角板的△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，BC =12cm.半圆O 以2cm/s 的速度从左向右运动，在运动过程中，点D 、E 始终在直线BC 上.设运动时间为t (s )，当t =0(s )时，半圆O 在△ABC 的左侧，OC ＝8cm.问：当t 为何值时，△ABC 的一边．．所在的直线与半圆O 所在的圆相切？11. 如图，在□ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝15㎝．已知⊙O 的半径等于3㎝，AB ，AD 分别与⊙O 相切于点E ，F ．⊙O 在□ABCD 内沿AB 方向滚动，与BC 边相切时运动停止．试求⊙O 滚过的路程．二、切线长定理：1. 切线长：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长．2. 切线长和切线的区别切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量．3. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 4. 两个结论：圆的外切四边形对边和相等； 圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．三、弦切角定理：1. 弦切角要注意两点：①角的顶点在圆上；②角的一边是过切点的弦，角的边一边是以切点为端点的一条射线．2. 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弦对的圆周角，该定理也可以这样说：弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半． 3. 弦切角定理的推论：推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等．CABDO F E· AOCDBP例1： 已知PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C 三点，若PO=13cm ，PED ∆的周长为24cm ，40APB ∠=︒，求：（1）⊙O 的半径；（2）EOD ∠的度数．例2： 如图，⊙O 的直径AB=12cm ，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DC 切⊙O 于E ，交AM 于D ，交BN 于C ，设,AD x BC y ==．（1）求y 与x 的函数关系，并说明是什么函数？（2）若x 、y 是方程22300t t m -+=的两根，求x 、y 的值．（3）求COD ∆的面积．巩固练习1. 下列直线是圆的切线的是（ ）A ．与圆有公共点的直线B ．过圆直径外端点的直线C ．垂直于圆的半径的直线D ．到圆心的距离等于半径的直线2. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ） A ．点(0，3)B ．点(2，3)C ．点(5，1)D．点(6，1)第2题 第3题 第4题· AOB F CNMED3. 如图，在ABC △中，10AB =，8AC =，6BC =，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA CB ，分别相交于点P Q ，，则线段PQ 长度的最小值是（ ） A ．4.75B ．4.8C ．5D ．424. 如图，PA 、PB 切⊙O 于点A 、B ，点C 是⊙O 上一点，且∠ACB =65°，则∠P = 度．5. 如图，M 与轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与轴相切于点C ，则圆心M 的坐标是 ．6. 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r .用角尺的较短边紧靠⊙O ，并使较长边与⊙O 相切于点C .假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点B ，较短边AB ＝8cm.若读得BC 长为a cm ，则用含a 的代数式表示r 为 .7. 如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，CE=BE ，E 在BC 上. 求证：PE 是⊙O 的切线．8. 已知：如图，是O 上一点，半径OC 的延长线与过点的直线交于点，OC BC =，12AC OB =．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若45ACD ∠=°，2OC =，求弦CD的长．OABPE C9. 如图，⊙O 直径AB=4，P 在AB 的延长线上，过P 作⊙O 切线，切点为C ，连接AC 。
直线和圆相交弦长公式
直线和圆相交弦长公式
直线与圆的交弦长公式：
1、定义：
当两个不同几何体（直线和圆）发生相交时，圆上任意两点连线之间
的距离长度，即为相交的弦长。
如果是直线和圆相交，其弦长的计算
也即为直线与圆的交弦长公式。
2、公式：
直线与圆的交弦长公式为：S = 2 * √[(r²-d²) + ((l²/(4d²)) * (r²-d²)² - (l/2)²]，其中：
S为弦长；
r为圆的半径；
d为圆心到直线距离；
l为圆心到直线垂线长度。
3、求解：
求解直线与圆的交弦长公式的方法是：
（1）由题可知，知道d、l、r；
（2）替换S、d、l、r关系，代入弦长公式可得结果：
S = 2 * √[(r²-d²) + ((l²/(4d²)) * (r²-d²)² - (l/2)²]；
（3）利用定理求解即可计算出直线与圆的交弦长大小。
4、应用：
直线与圆的交弦长公式可以帮助用户在几何图形上计算出准确的弦长，并计算出其变化趋势，为进一步分析圆和直线之间的交点，求解圆切
线和外切线等提供数据支持。
此外，直线与圆的交弦长公式也可以用
于学习圆的求解等数学方面的分析问题。
直线过定点与圆所截弦长最短证明
设圆的圆心为 $O$，直线与圆的交点为 $A$，圆上一点为 $B$，弦 $BC$ 为圆的直径，直线过的定点为 $P$。
由于直线 $PA$ 过定点 $P$，我们可以将直线 $PA$ 看作一个已知长度的线段。现在我们需要证明，对于任意通过定点 $P$ 的直线，其与圆的交点 $A$ 到圆上任意一点 $B$ 所构成的弦的长度均大于直径 $BC$。
而弦 $AB$ 的长度小于直径 $BC$，因此 $AD$ 的长度小于 $PA$，即 $\frac{BC}{AD}>\frac{PA}{PB}$。因此，$\frac{PB}{PA}>\frac{PA}{PB}$，这与两个正数的比值不可能大于 1 的性质矛盾，因此假设不成立。
因此，对于任意通过定点 $P$ 的直线，其与圆的交点 $A$ 到圆上任意一点 $B$ 所构成的弦的长度均大于直径 $BC$。因此，与定点 $P$ 相交的弦长最短的直线必然是过点通过定点 $P$ 的一条直线 $l$ 与圆交于 $A$ 和 $B$ 两点，且弦 $AB$ 的长度小于直径 $BC$。此时，我们连接点 $O$ 和点 $A$，作直线 $AD$ 与直线 $l$ 平行，交圆于点 $C$。根据平行线之间的比例定理，可以得到：
\frac{PB}{PA}=\frac{BC}{AD}PAPB=ADBC
直线与圆的位置关系之弦长问题课件
C
知二求一
AD B
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数学课·人前教自A版主·回必修顾2
求直线与圆相交时弦长的两种方法 (2)代数法：
A(x1l ,y1
C
B(x2,y2)
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数学思·人路教方A版法·技必修巧2
例1．已知直线 y=x+1 与圆
相交于A,B两点，
求弦长| A B | 的值.
解：（弦心距,半弦及半径构成，则
y
B
Dr
d
A
O
x
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数学思·人路教方A版法·技必修巧2 例1．已知直线 y=x+1 与圆 求弦长| A B | 的值.
解法二：（求出交点利用两点间距离公式）
相交于A , B 两点，
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研究直线与圆位置关系的两种方法
位置 关系 图形
几 何特 征
判定方法 方程特征
几何法 代数法
有两个不
相交
有两个公共点 同实根
d<r △>0
相切
有且只有一个 有且只有
公共点
一个实根 d = r △=0
相
离
没有公共点 无实根 d>r △<0
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（二）方法
1. 数形结合的思想； 2. 分类讨论的思想.
作业
教材P128 3，4 P144 B组4
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所求直线方程为：x-3y-6=0
直线被圆截弦长问题知识讲解
精品文档直线截圆弦长问题一求弦长（一）直线被圆截得的弦长问题，两种解题方法：① 利用半径r 、弦心距d 和弦长的一半构成直角三角形，结合勾股定理 进行求解• ② 斜率为k 的直线I 与圆C 交与A （x i , y i ）, B （x 2, y 2）两点，贝U AB =J 1+k 2— x1 x2 （弦长公式）1、求直线1: 2x-y-2=0被圆C: （x-3） 2+y 2=9截得的弦长 AB 的长。
2、已知圆的圆心为 C （-1,3），直线3x+4y-7=0被圆截得的弦长为3、已知圆 C 的圆心在直线11： x-y-1=0上，圆 C 与直线l 2：4x+3y+14=0 C 截得直线l 3：3x+4y+10=0所得的弦长为6，求圆的方程。
直线与圆弦长问题一求圆的方程（二）1、已知圆的圆心在 x 轴上，半径是 5，且以A （5,4）为中点的弦长是 的方程。
,求这个圆2、求直线1: 3x-y-6=0被圆C:x 2+y 2-2x-4y=0截得的弦长 AB 的长。
程。
，求圆的方3、求圆心在（1，-2 ）、半径为2V 5的圆在x 轴上截得的弦长。
相切，且圆精品文档直线圆弦长问题一求直线方程(三)1、已知过点M(-3 , -3)的直线I被圆x2+y2+4y-2仁0所截得的弦长为4“5,求直线I 的方程。
3•已知点P (0, 5)及圆C : x2+y2+4x-12y+24=0,若直线I过点P且被圆C截得的弦长为4 ... 3 ,求直线I的方程2、已知直线I经过点P(-4 , -3)，且被圆(x+1 ) 2+ ( y+2) 2=25所截得的弦长为8, 求直线I的方程。
证明：1圆C截y轴所得弦长为2，圆心到直线x2y
证明： 1 圆C截y轴所得弦长为2，圆心到直线x 2y32.证明：(1)圆C截y轴所得弦长为2，圆心到直线x-2y32.证明：(1)圆C截y轴所得弦长为2，圆心到直线x-2y=0的距离为√5/5 =/=>圆C的半径为√2(2)圆C被x轴分成两段弧，其长之比为3：1 =/=>圆C的半径为√2(3)圆C截y轴所得弦长为2，圆心到直线x-2y=0的距离为√5/5, 圆C被x轴分成两段弧，其长之比为3：1 ==>圆C的半径为√2方法1、圆中有3个变量，所以需要三个独立的条件才可能确定圆的方程，虽然题中只要求确定r的值，但仍然由(1)(2)=/=>圆C的半径为√2。
3.解：设圆C方程为(x-a)²+(y-b)²=r²令x=0,得y=b±√r²-a²,y1-y2=2√r²-a²=2(截y轴的弦长）令y=0,得x=a±√r²-b²,x1-x2=2√r²-b²(截x轴的弦长）,圆C被x轴分成两段弧，其长之比为3:1,因此对应的圆心角为π/2(2π的1/4),故截x轴的弦长2√r²-b²=(√2)r由圆心到直线x-2y=0的距离为√5/5，得|a-2b|/√5=√5/5,即|a-2b|=1总结一下，有3个等式(已化简)√r²-a²=1，√2(r²-b²)=r,|a-2b|=1由前两个得a=±√r²-1,b=±r/√2,代入第三个等式，得|√(r²-1)±√2r|=1,即r²±2√2r+2=0解得r=√2,r`=-√2舍去。
方法2、1.园C截Y轴所得弦长为2，园心到直线X-2Y=0的距离为√5/5,试证明：园C的半径不能是√2.证明：用反证法。
人教A版高中数学必修2课件4.2.1直线与圆相交求弦长课件
2k2 –3k –2 = 0， 解得 k = 2 , 或k =2. 所以，所求直线l有两条，它们的方程分别为 1 y + 3 = (x + 3)， 或y + 3 = 2(x + 3). 2 即x +2y = 0，或2x – y + 3 = 0.
2k 1 k2 1 k2 1 0 ( ) 1 , 2 2 2 1 k 1 k 1 k 2 即k2＝3，故k＝± 3. 答案：A
1 k 1 k
直线与圆相交求弦长
【变形训练】 2、如图，已知⊙M：x2+(y－2)2＝1， Q是x轴上的动点，QA，QB分别切 4 2 ⊙M于A，B两点，(1)如果 | AB | 3 求直线MQ的方程； (2)求动弦AB的中点P的轨迹方程.
直线与圆相交求弦长
【典型例题】 1、直线m经过点P (5，5)且和圆C：x2 + y2 = 25 相交，截得弦长l为 4 5, 求m的方程. 解：设圆心到直线m的距离为 d，由于圆的半径 l r = 5，弦长的一半 2 5, 2 2 2 d 5 2 5 5, 所以由勾股定理，得： 所以设直线方程为y – 5 = k (x – 5) 即 kx – y + 5 – 5k = 0. 1 5 5 k 由 5, 得 k 2 或k = 2. 1 k2 所以直线m的方程为x – 2y + 5 = 0或2x – y – 5 = 0.
即圆心到所求直线l的距离为 5 .
5 长
【典型例题】 因为直线l过点M (–3，–3)，所以可设所求直线l 的方程为 y + 3 = k (x + 3)， 即k x – y + 3k –3 = 0. 根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的 距离 d 2 3k 3 . 因此 2 3k 3 5,
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直线截圆弦长问题—求弦长（一）
直线被圆截得的弦长问题，两种解题方法：
①利用半径r、弦心距d和弦长的一半构成直角三角形，结合勾股定理
进行求解.
②斜率为k的直线l与圆C交与A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则AB=
1+k2 2
1x
x （弦长公式）
1、求直线l：2x-y-2=0被圆C:（x-3）2+y2=9截得的弦长AB的长。
2、求直线l：3x-y-6=0被圆C:x2+y2-2x-4y=0截得的弦长AB的长。
3、求圆心在（1，-2）、半径为2√5的圆在x轴上截得的弦长。
直线与圆弦长问题—求圆的方程（二）
1、已知圆的圆心在x轴上，半径是5，且以A(5,4)为中点的弦长是2√5,求这个圆的方程。
2、已知圆的圆心为C（-1,3），直线3x+4y-7=0被圆截得的弦长为
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，求圆的方程。
3、已知圆C的圆心在直线l1：x-y-1=0上，圆C与直线l2:4x+3y+14=0相切，且圆C截得直线l3:3x+4y+10=0所得的弦长为6，求圆的方程。
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直线圆弦长问题—求直线方程（三）
1、已知过点M(-3，-3)的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4√5，求直线l
的方程。
2、已知直线l经过点P(-4，-3),且被圆（x+1）2+（y+2）2=25所截得的弦长为8，
求直线l的方程。
3.已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x-12y+24=0,若直线l过点P且被圆C截得的弦长为4 3 ,求直线l的方程
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