高中数学数列题型总结学案-讲义

结论：（1）在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，，（这里即）；。

（2）若等差数列、的前和分别为、，且，则.【例】设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________（答：）（3）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。

法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。

上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗如（1）等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。

（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若是等差数列，首项，，则使前n项和成立的最大正整数n是（答：4006）<3> 若是等比数列，则、、成等比数列；若成等比数列，则、成等比数列；若是等比数列，且公比，则数列，…也是等比数列。

当，且为偶数时，数列，…是常数数列0，它不是等比数列。

如①已知且，设数列满足，且，则. （答：）；②在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为______（答：40）<4>。

如设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为_____（答：－2）<5>在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，。

如设数列的前项和为（），关于数列有下列三个命题：①若，则既是等差数列又是等比数列；②若，则是等差数列；③若，则是等比数列。

这些命题中，真命题的序号是（答：②③）一.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

⑵已知求，用作差法：。

如①已知的前项和满足，求（答：）；②数列满足，求（答：）⑶已知求，用作商法：。

如数列中，对所有的都有，则______（答：）⑷若求用累加法：。

如已知数列满足，，则=________（答：）⑸已知求，用累乘法：。

如已知数列中，，前项和，若，求（答：）⑹已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。

特别地，（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。

如①已知，求（答：）；②已知，求（答：）；（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。

如①已知，求（答：）；②已知数列满足=1，，求（答：）二.数列求和的常用方法：（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：;;.如①等比数列的前项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝_____（答：）；②计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。

二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制转换成十进制数是_______（答：）（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。

如求：（答：）（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）。

如①求证：；②已知，则＝______（答：）（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）。

如（1）设为等比数列，，已知，，①求数列的首项和公比；②求数列的通项公式.（答：①，；②）；（2）设函数，数列满足：，①求证：数列是等比数列；②令，求函数在点处的导数，并比较与的大小。

（答：①略；②，当时，＝；当时，<；当时，>）（5）裂项相消法：数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，常选用裂项相消法求和.常用裂项有：①； ②；③，；④ ；⑤；⑥.如①求和：（答：）；②在数列中，，且S ｎ＝９，则n ＝_____（答：99）；（6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。

如①求数列1×4，2×5，3×6，…，，…前项和= （答：）；②求和：（答：）数列综合题{S n /n}的结论例1．已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，其前n 项和为S n ．(2)过点Q 1(1，a 1)，Q 2(2，a 2)作直线L2，设l 1与l 2的夹角为θ，“万能通项”，递推公式，特殊数列的证明方法 例2．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==L ，⑴设数列),2,1(21ΛΛ=-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列；⑵设数列),2,1(,2ΛΛ==n a c n nn，求证：数列{}n c 是等差数列； ⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。

数列的求和方法 例4、设a 1=1,a 2=35,a n +2=35a n +1-32a n (n =1,2,---),令b n =a n +1-a n (n =1,2---)求数列{b n }的通项公式，(2)求数列{na n }的前n 项的和S n 。

解：),2,1()32(Λ==n b n n（II ）1112122(3)29[1()]3()93333(3)223(12)2(1)1823nn n n n n n n n n n T n n S a a na n T n n -+-+=--=-+=+++=+++-=++-L L 故从而数列与集合和函数综合例5．在直角坐标平面上有一点列ΛΛ),(,),(),,(222111n n n y x P y x P y x P ，对一切正整数n ，点n P 位于函数4133+=x y 的图象上，且n P 的横坐标构成以25-为首项，1-为公差的等差数列{}n x 。

⑴求点n P 的坐标； ⑶设{}{}1,4|,1,,2|≥==≥∈==n y y y T n N n x x x Sn n ，等差数列{}n a 的任一项TS a n ⋂∈，其中1a 是TS⋂中的最大数，12526510-<<-a ，求{}n a 的通项公式。

解：（1）23)1()1(25--=-⨯-+-=n n x n1353533,(,3)4424n n n y x n P n n ∴=⋅+=--∴----（3）).(247*N n n a n ∈-=例6．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *N n ∈⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n na a a S +++=Λ，求n S ；⑶设n b =)12(1n a n -)(),(*21*N n b b b T N n n n ∈+++=∈Λ，是否存在最大的整数m ，使得对任意*N n ∈，均有>n T 32m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。

解：（1）n n a n 210)1(28-=--=.（2）故=n S 409922+--n n n n 65≥≤n n（3）m 的最大整数值是7。

五、强化训练6、若一个等差数列的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为（A ） A 13 B 12 C 11 D 109、已知等差数列{a n }满足3a 4=7a 7,且a 1>0,S n 是{a n }的前n 项和，S n 取得最大值，则n =___9______. 11、设{a n }是首项为1的正项数列，且（n +1）a 2n +1-na n 2+a n +1a n =0,求它的通项公式是__1/n 12、已知数列{a n }满足a .1=1,a n =a 1+2a 2+3a 3+---+(n -1)a n -1 (n >1),则{a n }的通项a n =______a 1=1;a n =2!n n ≥2 13、定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

已知数列{}a n 是等和数列，且a 12=，公和为5，那么a 18的值为__3___，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为__当n 为偶数时，S n n=52；当n 为奇数时，S n n =-521214. 已知数列{a n }中，a 1=1，a 2k =a 2k -1+(-1)K ,a 2k +1=a 2k +3k ,其中k =1,2,3，…。

(1)求a 3,a 5； （2）求{a n }的通项公式解：（I ）a 3=3,a 5=13.(II) 当n 为奇数时，a n =;121)1(232121-⨯-+-+n n 当n 为偶数时，.121)1(2322-⨯-+=nnn a 15. 在数列||n a ，||n b 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，，成等比数列（n ∈*N ）（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测||n a ，||n b 的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：1122111512n n a b a b a b +++<+++…．解：（Ⅰ）由条件得21112nn n n n n b a a a b b +++=+=，由此可得2233446912162025a b a b a b ======，，，，，．猜测2(1)(1)n n a n n b n =+=+，用数学归纳法证明：①当n =1时，由上可得结论成立．②假设当n =k 时，结论成立，即2(1)(1)k k a k k b k =+=+，，那么当n =k +1时，22221122(1)(1)(1)(2)(2)kk k k k ka ab a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+，．所以当n =k +1时，结论也成立．由①②，可知2(1)(1)nn a n n b n =++，对一切正整数都成立．（Ⅱ）11115612a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)nn a b n n n n +=++>+．故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ⎛⎫+++<++++ ⎪+++⨯⨯+⎝⎭……111111116223341n n ⎛⎫=+-+-++- ⎪+⎝⎭ (111111562216412)n ⎛⎫=+-<+= ⎪+⎝⎭综上，原不等式成立．。