高数微积分牛莱公式

的导数存在吗？如存在等于什么？
答：都是 x 的函数
b
d x a f (t )dt f ( x ) dx d b x f (u)du f ( x ) dx
22
微积分基本定理
一、积分上限函数及其导数 二、牛顿—莱布尼茨公式
1
问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v (t ) 是时 t 间间隔[T1 , T2 ]上 的一个连续函数，且v ( t ) 0 ， 求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
令 x b F (b) (b) C F (a ),
即 (b) F (b) F (a ),

b a f ( x )dx
F (b) F (a ).
牛顿—莱布尼茨公式
13
a f ( x )dx F (b) F (a ) F ( x )
b
b a
微积分基本公式表明：
0
2 解： 原式 2 sin x cos x x 0 3 .
2

2 2 x 0 x 1 例5：设 f ( x ) , 求 0 f ( x )dx . 1 x 2 5
2
解： 0 f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
x
2.积分上限函数的导数 ( x ) f ( x )
3.微积分基本公式
a f ( x )dx F (b) F (a )
b
牛顿－莱布尼茨公式沟通了 微分学与积分学之间的关系．
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思考题 设 f ( x ) 在[a , b]上连续，则 f ( t )dt 与
a
x
x f (u)du是 x的函数还是 t 与 u的函数？它们
x
d x 数是 ( x ) a f (t )dt f ( x ) dx
定理2（原函数存在定理）
(a x b)
如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b] 上的一个 原函数.
0 f ( t ) dt f ( t ) dt
0

1 x sint dt 0 dt 1 2
0, 1 综上， ( x ) (1 cos x ), 2 1,
x0 0 x x
20
小结
1.积分上限函数 ( x ) f ( t )dt a
( x)

f ( t )dt ]x
u
x a
f ( t )dt c
令u ( x )[ a f ( t )dt ]x
复合函数求导 f ( u) ux f [ ( x )] ( x )
6
(3) 如果 f (t ) 连续， a ( x )、 b( x ) 可导， 则 F ( x ) a ( x ) f ( t )dt 的导数 F ( x )为
b
a
x
f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数,
F ( x ) ( x ) C
x [a , b ]
12
F ( x ) ( x ) C
令 xa
a
F ( a ) ( a ) C ,
(a ) a f ( t )dt 0 F (a ) C ,
4
x
定理的重要意义：
（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.
（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
5
有关积分上限函数的几个结论：
( x )dx [ x f ( t )dt ] dx f ( x )dx (1) a
x
( x ) c
( 2) [ a
求( x ) 0 f ( t )dt在( ,)上的表达式
注：分段函数求积分上限函数时，必须对上限参量加以讨论， 分段的求出表达式，必要时分区间求积分。
x
( 解：1) 当x 0时，
( x )
x 0 x 0
f ( t )dt
x 0
x 0
0 dt 0
1 1 x cos t 0 sint dt 2 2
例 8:计算曲线 y sin x 在[0, ]上与 x 轴所围 成的平面图形的面积.
解：面积 A sin xdx
0

y
cos x 2.
0
o

x
17
1 2 ( n 1) n 例9： lim sin sin sin sin n n n n n n
f ( t )dt ,
F ( x ) f b( x )b( x ) f a( x )a( x )
7
例1
e cos x 求 lim
1 x 0
t 2 2
dt
x
.
0 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 0 d 1 t 2 d cos x t 解 cos x e dt dx 1 e dt , dx
在[1,2]上规定当x 1 时， f ( x ) 5 ,
2
1
2
y
原式 2 xdx 5dx 6.
1 2 0 1
o
1
2
x
15
max{ x , x 2 }dx. 例6：求 2
2
y
解： 由图形可知
y x2
2
f ( x ) max{ x , x }
y x
2
x 2 x 0 x 0 x 1 , x2 1 x 2
x 0
x
f ( x ) 1,
F ( x ) 2 f ( x ) 0,
F ( x ) 在[0,1]上为单调增加函数. F (0) 1 0,
F (1) 1 0 f ( t )dt 0 [1 f ( t )]dt 0,
所以F ( x ) 0 即原方程在 0,1] 上只有一个解. [
a
x
f ( x )dx a f ( t )dt
x
如果上限 x 在区间[a , b]上任意变动，则对 于每一个取定的 x 值，定积分有一个对应值，所 以它在[a , b]上定义了一个函数，
记 ( x )
x a
f ( t )dt . 积分上限函数
3
积分上限函数的性质
定理１ 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续， 则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 在[a , b]上具有导数，且它的导
x
0 tf ( t )dt 在(0, ) 内为单调增 证明函数 F ( x ) x 0 f ( t )dt
加函数.
证
d x 0 tf (t )dt xf ( x ), dx
x
d x 0 f (t )dt f ( x ), dx
x
F ( x )
xf ( x )0 f ( t )dt f ( x )0 tf ( t )dt
b( x )
d b( x ) F ( x ) f ( t )dt f b( x )b( x ) f a( x )a( x ) dx a ( x )
证 F ( x)

0
a( x )
0
b( x )
f (t )dt
a( x ) 0
0
b( x )
f ( t )dt
i 解：原式= lim sin n n n i 1 1 n

sin x dx cos x 2 0 0 1
1
1 1 1 练习： lim( ) ln 2 n1 n 2 nn
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1 sin x , 0 x 例10： 设f ( x ) 2 0 , x 0或x
T
T2
1
v ( t )dt
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
v ( t )dt s(T2 ) s(T1 ). 其中 s(t ) v(t ). T
T2
1
2
一、积分上限函数及其导数
设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上连续， 并且设 x 为
[a , b]上的一点，考察定积分

x
0
f ( t )dt

2
9
F ( x )
f ( x )0 ( x t ) f ( t )dt
x

x
0
f ( t )dt

2
,
f ( x ) 0, ( x 0) ( x t ) f ( t ) 0,
x
0 f ( t )dt 0,
x
0 ( x t ) f ( t )dt 0,
F ( x ) 0 ( x 0).
故F ( x ) 在(0, ) 内为单调增加函数.
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例3
设 f ( x ) 在[0,1] 上连续，且 f ( x ) 1 .证明
2 x 0 f ( t )dt 1 在[0,1] 上只有一个解.
证 令 F ( x ) 2 x f ( t )dt 1,
一个连续函数在区间[a , b] 上的定积分等于 [ 它的任意一个原函数在区间 a , b] 上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意 当a b 时， f ( x )dx F (b) F (a ) 仍成立. a
b
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例4：求 ( 2 cos x sin x 1)dx .
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1