高三数学抛物线
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2
(2)焦点在直线 x 2 y 4 0 上的抛物线的 标准方程是_______________.其对应的准线 方程是_________________.
(3)以抛物线 2 py p 0 的一条焦点弦为 直径的圆是 x 2 y 2 6 x 8 y 0 ,则 p _______________
A.0Baidu Nhomakorabea r 1 B .0 r 1 C .0 r 2 D .0 r 2
[思维点拔]正确理解抛物线和注意问题的多 解性,严密思考问题。
例2、河上有抛物线型拱桥,当水面距拱顶5 米时,水面宽度为8米,一小船宽4米,高2 米,载货后船露出水面的部分高0.75米,问 水面上涨到与抛物线拱顶距多少时,小船开 始不能通行? [思维点拔] 注意点与曲线的关系的正确应 用和用建立抛物线方程解决实际问题的技巧。
2010届高考数学复习 强化双基系列课件
75《圆锥曲线-抛物线》
一、基本知识概要:
1.抛物线的定义:到一个定点F的距离与到 一条定直线L的距离相等的点的轨迹. 2 2 y 2 px x 2 py 2.方程:y 2 2 px 2 这里 p 0 x 2 py 3.图形: y y O x O y O y x
三、课堂小结:全面精确 地掌握抛物线的定义,方 程以及它的基本量是把握 问题的关键。对圆锥曲线 综合问题的处理也需多多 的感悟。
能力·思维·方法
1. 已知抛物线顶点在原点,焦点在坐标轴上,又知此抛 物线上的一点 A(m,-3)到焦点F的距离为 5,求 m的值,并
【解题回顾】注意焦点在 x 轴或 y 轴上抛物线方程可统一 成 y2=2ax(a≠0) 或 x2=2ay(a≠0) 的形式,对于方向、位置不 定的抛物线,
2
1 2
y 1 y 2 p ,x 1 x 2
2
p 4
sin
2
,
6.标点
2
抛物线 y 2 px 上的点可标为 x 0 , y 0 或
y0 , y0 2p
2
或 2 pt
2
, 2 pt
t
R
二、例题:
例1、(1)抛物线 y 4 ax 的焦点坐标是 _____________.
【解题回顾】由抛物线的焦点弦、准线、 弦端点到准线的垂线段构成的直角梯形 有许多有 趣的性质,借助抛物线的定义 及平面几何知识可以一一加以证明,如 本题中的前3小题.该图 形还有其他一些 性质,同学们不妨归纳一下.
延伸·拓展
5.已知探照灯的轴截面是抛物线x=y2. 如图所示,表示平行 于对称轴y=0(即x轴)的光线于抛物线上的点P、Q的反射情 况.设点P的纵坐标为a(a>0). a取何值时,从入射点P到反 射点Q的光线的路程PQ最短.
x
2
二、例题:
(4)到y轴的距离比到点 2 , 0 的距离小2的 动点的轨迹方程是_____________ (5)一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分, 2 它的方程是 x 2 y 0 y 20 。在杯内放入 一个玻璃球,要使球触及酒杯的底部,则玻 璃球的半径的范围为( )
2 px p 0 上有两动点A,B 例6、抛物线 及一个定点M,F为焦点,若 AF , MF , BF 成 等差数列 y
2
(1)求证线段AB的垂直平分线过定点Q (2)若 MF 4 , OQ 6 (O为坐标原点), 求抛物线的方程。 (3)对于(2)中的抛物线,求△AQB面积的 最大值。 [思维点拔]设而不求法和韦达定律法是解决圆 锥曲线中的两大基本方法,必须熟练掌握,对 定点问题和最值的处理也可由此细细的品味。
例4. 设抛物线 2 px ( p 0 ) 的焦点为F, 经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在 抛物线的准线上,且 BC // x 轴 ,证明直线 AC经过原点O。
y
2
[思维点拔]本题的“几何味”特别浓,这就 为本题注入了活力,在涉及解析思想较多的 2 y y p 证法中,关键是得到A B 这个重要结 论,还有些证法充分利用了平面几何知识, 这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重 视,也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析 几何的题目。
【解题回顾】将实际问题量化,建立恰当的数学模型, 使用准确的语言加以描述,是数学应用能力的主要体现.
返回
误解分析
(1) 不了解光学性质致使解题无法入手,由光学性质知 PQ 为抛物线过终点的弦.
(2)目标函数的正确建立是解题之关键同时要能根据具体 目标函数选择适当的方法求最值.
返回
新笔趣阁中文是唐朝为表彰功臣而建筑的绘有功臣图像的高阁。位于唐朝皇宫内三清殿旁的一个不起眼的小楼,后因“笔趣阁中文二十四功臣” 而闻名于世,可惜毁于战乱。 笔趣阁中文 www.biqugeww.com 笔趣阁中文 jfh51mdg 唐贞观十七年二月,唐太宗李世民为怀念当初一同打天下的众位功臣(当时已有数位辞世,还活着的也多已老迈),命阎立本在新笔趣阁中文内 描绘了二十四位功臣的图像,皆真人大小,褚遂良题字,时常前往怀旧。后又有四位皇帝在笔趣阁中文图像功臣。现在能看到的总共132副画像, 除去重复画像,总共100人左右。画像全部面向北方,阁中有中隔,隔内北面写“功高宰辅”,南面写“功高侯王”,隔外面次第功臣。伴随着唐 王朝的灭亡,笔趣阁中文消失在历史的长河之中。 女,还像以前在湖广总督府里那样嗔笑拌嘴,年夫人高兴得嘴都合不拢。只是刚刚还沉浸在相逢的喜悦之中,眨眼间却是被这迫在眉睫的两桩婚 事搅得愁眉不展。凝儿,天仙般的闺女,娘亲的心尖尖,怎么样才能不被宫里选中?怎么样才能如愿做了宗室嫡妻?还有这玉盈,今年都要十六 了,再不嫁人,既要被人说三道四,又难觅如意夫君。耽误了玉盈的终生,怎么对得起她亲生爹娘的在天之灵?可是现在年府这个样子,又怎么 离得开她?二公子还没有再娶续妻,谁来做这个大当家?总不能拱手交由那个妾室张氏趁机掌权?第壹卷 第十七章 难题 两个如花似玉的姑娘 让年夫人愁上加愁,可是还有第三桩愁事,不但年夫人愁,年总督更是忧心忡忡、心急如焚。这次京城之行,年老夫妇的壹个重要任务,就是拜 访雍亲王爷。无论从哪个方面来讲,作为刚刚划入门人的第壹个新年,他们务必登门拜访,这不仅仅是礼节问题,更主要的是表明立场的问题。 这也是这个新年,年老夫妇来到京城,而不是三个儿女回湖广的最最重要的原因。拜访的帖子递进雍亲王府已经有八天了,还没有消息传过来, 弄得年家上上下下都坐立不安,心里七上八下。凭谁都猜不出来,这王爷打的是什么主意?是帖子没有送到他的手中,还是他有其它的重要事情, 安排不开时间?就在壹家人惴惴不安、胡乱猜测,以为王爷会驳了拜见的帖子时,终于,腊月二十九,王府小太监过来传话儿,拜访时间定在了 大年初六。壹听是这么壹个回话儿,完全出乎众人的意料,壹家人全都惊呆了!按理,拜访壹定是要在年前完成,年后登门拜访,想都不敢想的 事情,那是非常失礼的行为。但是,这个时间又是王爷亲自定下的日子,爷没有时间接见,总不能擅闯吧?可这个时间,真真就是壹个烫手的山 芋,接也不是,不接也不是。明摆着是王爷对年家非常不满,所以故意选了这个么壹个尴尬的时间来给年家人出难题。按王爷定的时间去吧?不 合礼数;不去吧?那就更加失礼。而且今天已经是腊月二十九,明天就是大年三十,王爷壹家还要参加皇上的宫宴,因为年总督也要出席宫宴, 所以他非常清楚,明天王府是不会见客的。而王爷选在今天这个时间来传话,这不是明摆着要他在全城的官员中间留下天大的笑柄吗?自接了回 话下来,大半天的时间里,年家老老少少,上上下下,全都心急如焚,茶饭不思,时间壹点壹点地流逝,竟是谁也没有想出壹个万全之策来。见 玉盈心事重重的样子进了自己的房间,冰凝奇怪姐姐这是怎么了:“怎么,这么聪明、能干的玉盈姐姐也遇见难事儿了?”“别闹了,爹娘还有 大哥、二哥都愁坏了。”“啊?什么事儿愁成这个样子?”“还不是拜访雍亲王府的事情,王府回话儿了,让大年初
2. 已知圆 x2+y2-9x=0与顶点在原点 O、焦点在 x 轴上的抛物 线C交于A,B两点,ΔOAB的垂心恰为抛物线的焦点,求 抛物线C的方程.
【解题回顾】(1)注意运用平面几何的知识 (2)平面几何中的垂直在解析几何中可转化为斜率之积为-1
3. 若 一 直 线 与 抛 物 线 y2=2px(p > 0) 交 于 A 、 B 两 点 且 OA⊥OB,点O在直线AB上的射影为D(2,1),求抛物线
例3、如图所示,直线 l 1 和 l 2 相交于点 M,l 1 l 2 ,点 N l 1 ,以A、B为端点的曲线 段C上任一点到 l 2 的距离与到点N的距离相等。 若 AMN 为锐角三角形, AM 17 , AN 3 , 且 NB = 6 ,建立适当的坐 标系,求曲线段C的方程。 [思维点拔]本题体现了坐标法的基本思路, 考查了定义法,待定系数法求曲线方程的步 骤,综合考查了学生分析问题、解决问题的 能力。
【解题回顾】OA⊥OBxA· xB+yAyB=0
4.如图,AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,M是AB 的中点,l是抛物线的准线,MN⊥l,N 为垂足. (1)AN⊥BN; (2)FN⊥AB; (3) 设 MN 交抛物线于 Q ,则 Q 平 分 MN (4)1/ | FA | +1/ | FB | =2/p; (5) 若 BD⊥l,垂足为D,则A、O、D三点共线.
O
x
4.基本量:
对称轴 顶点坐标
p ,0 2
X轴
p ,0 2
Y轴 原点O(0,0)
p 0, 2 p 0 , 2
焦点坐标
准线方程 焦半径
x
r x0
p 2
p 2
x
p 2
p 2
y
4 ax ( a 0 ) 的焦点为A, 例5、设抛物线 以B(a+4,0)点为圆心,︱AB︱为半径,在x 轴上方画半圆,设抛物线与半圆相交与不同 的两点M,N。点P是MN的中点。 y
2
(1)求︱AM︱+︱AN︱的值
(2)是否存在实数a,恰使︱AM︱︱AP ︱︱AN︱成等差数列?若存在,求出a, 不存在,说明理由。
p 2
p 2
y
p 2
p 2
r x0
r y0
p 2
r y0
焦准距= p ;
顶准距=焦顶距=
p 2
;
曲线上
的点到焦点的最近距=
离心率 e 1
5.焦点弦
2 过 p 0 的焦点弦AB,A y 2 px 2p y2) y 1 ),B( x 2 , ( x 1, AB x x p
(2)焦点在直线 x 2 y 4 0 上的抛物线的 标准方程是_______________.其对应的准线 方程是_________________.
(3)以抛物线 2 py p 0 的一条焦点弦为 直径的圆是 x 2 y 2 6 x 8 y 0 ,则 p _______________
A.0Baidu Nhomakorabea r 1 B .0 r 1 C .0 r 2 D .0 r 2
[思维点拔]正确理解抛物线和注意问题的多 解性,严密思考问题。
例2、河上有抛物线型拱桥,当水面距拱顶5 米时,水面宽度为8米,一小船宽4米,高2 米,载货后船露出水面的部分高0.75米,问 水面上涨到与抛物线拱顶距多少时,小船开 始不能通行? [思维点拔] 注意点与曲线的关系的正确应 用和用建立抛物线方程解决实际问题的技巧。
2010届高考数学复习 强化双基系列课件
75《圆锥曲线-抛物线》
一、基本知识概要:
1.抛物线的定义:到一个定点F的距离与到 一条定直线L的距离相等的点的轨迹. 2 2 y 2 px x 2 py 2.方程:y 2 2 px 2 这里 p 0 x 2 py 3.图形: y y O x O y O y x
三、课堂小结:全面精确 地掌握抛物线的定义,方 程以及它的基本量是把握 问题的关键。对圆锥曲线 综合问题的处理也需多多 的感悟。
能力·思维·方法
1. 已知抛物线顶点在原点,焦点在坐标轴上,又知此抛 物线上的一点 A(m,-3)到焦点F的距离为 5,求 m的值,并
【解题回顾】注意焦点在 x 轴或 y 轴上抛物线方程可统一 成 y2=2ax(a≠0) 或 x2=2ay(a≠0) 的形式,对于方向、位置不 定的抛物线,
2
1 2
y 1 y 2 p ,x 1 x 2
2
p 4
sin
2
,
6.标点
2
抛物线 y 2 px 上的点可标为 x 0 , y 0 或
y0 , y0 2p
2
或 2 pt
2
, 2 pt
t
R
二、例题:
例1、(1)抛物线 y 4 ax 的焦点坐标是 _____________.
【解题回顾】由抛物线的焦点弦、准线、 弦端点到准线的垂线段构成的直角梯形 有许多有 趣的性质,借助抛物线的定义 及平面几何知识可以一一加以证明,如 本题中的前3小题.该图 形还有其他一些 性质,同学们不妨归纳一下.
延伸·拓展
5.已知探照灯的轴截面是抛物线x=y2. 如图所示,表示平行 于对称轴y=0(即x轴)的光线于抛物线上的点P、Q的反射情 况.设点P的纵坐标为a(a>0). a取何值时,从入射点P到反 射点Q的光线的路程PQ最短.
x
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二、例题:
(4)到y轴的距离比到点 2 , 0 的距离小2的 动点的轨迹方程是_____________ (5)一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分, 2 它的方程是 x 2 y 0 y 20 。在杯内放入 一个玻璃球,要使球触及酒杯的底部,则玻 璃球的半径的范围为( )
2 px p 0 上有两动点A,B 例6、抛物线 及一个定点M,F为焦点,若 AF , MF , BF 成 等差数列 y
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(1)求证线段AB的垂直平分线过定点Q (2)若 MF 4 , OQ 6 (O为坐标原点), 求抛物线的方程。 (3)对于(2)中的抛物线,求△AQB面积的 最大值。 [思维点拔]设而不求法和韦达定律法是解决圆 锥曲线中的两大基本方法,必须熟练掌握,对 定点问题和最值的处理也可由此细细的品味。
例4. 设抛物线 2 px ( p 0 ) 的焦点为F, 经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在 抛物线的准线上,且 BC // x 轴 ,证明直线 AC经过原点O。
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[思维点拔]本题的“几何味”特别浓,这就 为本题注入了活力,在涉及解析思想较多的 2 y y p 证法中,关键是得到A B 这个重要结 论,还有些证法充分利用了平面几何知识, 这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重 视,也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析 几何的题目。
【解题回顾】将实际问题量化,建立恰当的数学模型, 使用准确的语言加以描述,是数学应用能力的主要体现.
返回
误解分析
(1) 不了解光学性质致使解题无法入手,由光学性质知 PQ 为抛物线过终点的弦.
(2)目标函数的正确建立是解题之关键同时要能根据具体 目标函数选择适当的方法求最值.
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新笔趣阁中文是唐朝为表彰功臣而建筑的绘有功臣图像的高阁。位于唐朝皇宫内三清殿旁的一个不起眼的小楼,后因“笔趣阁中文二十四功臣” 而闻名于世,可惜毁于战乱。 笔趣阁中文 www.biqugeww.com 笔趣阁中文 jfh51mdg 唐贞观十七年二月,唐太宗李世民为怀念当初一同打天下的众位功臣(当时已有数位辞世,还活着的也多已老迈),命阎立本在新笔趣阁中文内 描绘了二十四位功臣的图像,皆真人大小,褚遂良题字,时常前往怀旧。后又有四位皇帝在笔趣阁中文图像功臣。现在能看到的总共132副画像, 除去重复画像,总共100人左右。画像全部面向北方,阁中有中隔,隔内北面写“功高宰辅”,南面写“功高侯王”,隔外面次第功臣。伴随着唐 王朝的灭亡,笔趣阁中文消失在历史的长河之中。 女,还像以前在湖广总督府里那样嗔笑拌嘴,年夫人高兴得嘴都合不拢。只是刚刚还沉浸在相逢的喜悦之中,眨眼间却是被这迫在眉睫的两桩婚 事搅得愁眉不展。凝儿,天仙般的闺女,娘亲的心尖尖,怎么样才能不被宫里选中?怎么样才能如愿做了宗室嫡妻?还有这玉盈,今年都要十六 了,再不嫁人,既要被人说三道四,又难觅如意夫君。耽误了玉盈的终生,怎么对得起她亲生爹娘的在天之灵?可是现在年府这个样子,又怎么 离得开她?二公子还没有再娶续妻,谁来做这个大当家?总不能拱手交由那个妾室张氏趁机掌权?第壹卷 第十七章 难题 两个如花似玉的姑娘 让年夫人愁上加愁,可是还有第三桩愁事,不但年夫人愁,年总督更是忧心忡忡、心急如焚。这次京城之行,年老夫妇的壹个重要任务,就是拜 访雍亲王爷。无论从哪个方面来讲,作为刚刚划入门人的第壹个新年,他们务必登门拜访,这不仅仅是礼节问题,更主要的是表明立场的问题。 这也是这个新年,年老夫妇来到京城,而不是三个儿女回湖广的最最重要的原因。拜访的帖子递进雍亲王府已经有八天了,还没有消息传过来, 弄得年家上上下下都坐立不安,心里七上八下。凭谁都猜不出来,这王爷打的是什么主意?是帖子没有送到他的手中,还是他有其它的重要事情, 安排不开时间?就在壹家人惴惴不安、胡乱猜测,以为王爷会驳了拜见的帖子时,终于,腊月二十九,王府小太监过来传话儿,拜访时间定在了 大年初六。壹听是这么壹个回话儿,完全出乎众人的意料,壹家人全都惊呆了!按理,拜访壹定是要在年前完成,年后登门拜访,想都不敢想的 事情,那是非常失礼的行为。但是,这个时间又是王爷亲自定下的日子,爷没有时间接见,总不能擅闯吧?可这个时间,真真就是壹个烫手的山 芋,接也不是,不接也不是。明摆着是王爷对年家非常不满,所以故意选了这个么壹个尴尬的时间来给年家人出难题。按王爷定的时间去吧?不 合礼数;不去吧?那就更加失礼。而且今天已经是腊月二十九,明天就是大年三十,王爷壹家还要参加皇上的宫宴,因为年总督也要出席宫宴, 所以他非常清楚,明天王府是不会见客的。而王爷选在今天这个时间来传话,这不是明摆着要他在全城的官员中间留下天大的笑柄吗?自接了回 话下来,大半天的时间里,年家老老少少,上上下下,全都心急如焚,茶饭不思,时间壹点壹点地流逝,竟是谁也没有想出壹个万全之策来。见 玉盈心事重重的样子进了自己的房间,冰凝奇怪姐姐这是怎么了:“怎么,这么聪明、能干的玉盈姐姐也遇见难事儿了?”“别闹了,爹娘还有 大哥、二哥都愁坏了。”“啊?什么事儿愁成这个样子?”“还不是拜访雍亲王府的事情,王府回话儿了,让大年初
2. 已知圆 x2+y2-9x=0与顶点在原点 O、焦点在 x 轴上的抛物 线C交于A,B两点,ΔOAB的垂心恰为抛物线的焦点,求 抛物线C的方程.
【解题回顾】(1)注意运用平面几何的知识 (2)平面几何中的垂直在解析几何中可转化为斜率之积为-1
3. 若 一 直 线 与 抛 物 线 y2=2px(p > 0) 交 于 A 、 B 两 点 且 OA⊥OB,点O在直线AB上的射影为D(2,1),求抛物线
例3、如图所示,直线 l 1 和 l 2 相交于点 M,l 1 l 2 ,点 N l 1 ,以A、B为端点的曲线 段C上任一点到 l 2 的距离与到点N的距离相等。 若 AMN 为锐角三角形, AM 17 , AN 3 , 且 NB = 6 ,建立适当的坐 标系,求曲线段C的方程。 [思维点拔]本题体现了坐标法的基本思路, 考查了定义法,待定系数法求曲线方程的步 骤,综合考查了学生分析问题、解决问题的 能力。
【解题回顾】OA⊥OBxA· xB+yAyB=0
4.如图,AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,M是AB 的中点,l是抛物线的准线,MN⊥l,N 为垂足. (1)AN⊥BN; (2)FN⊥AB; (3) 设 MN 交抛物线于 Q ,则 Q 平 分 MN (4)1/ | FA | +1/ | FB | =2/p; (5) 若 BD⊥l,垂足为D,则A、O、D三点共线.
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4.基本量:
对称轴 顶点坐标
p ,0 2
X轴
p ,0 2
Y轴 原点O(0,0)
p 0, 2 p 0 , 2
焦点坐标
准线方程 焦半径
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r x0
p 2
p 2
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p 2
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4 ax ( a 0 ) 的焦点为A, 例5、设抛物线 以B(a+4,0)点为圆心,︱AB︱为半径,在x 轴上方画半圆,设抛物线与半圆相交与不同 的两点M,N。点P是MN的中点。 y
2
(1)求︱AM︱+︱AN︱的值
(2)是否存在实数a,恰使︱AM︱︱AP ︱︱AN︱成等差数列?若存在,求出a, 不存在,说明理由。
p 2
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焦准距= p ;
顶准距=焦顶距=
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2 过 p 0 的焦点弦AB,A y 2 px 2p y2) y 1 ),B( x 2 , ( x 1, AB x x p