《三角形内角和定理的证明》证明PPT课件

∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
B
1
D
2
证法二：连接BC. 在ABC中，BAC ABD ACD 1 2 1800, 在BDC中，BDC 1 2 1800 (三角形内角和定理). 1 2 1800 (BAC ABD ACD), 1 2 1800 BDC(等式性质). BDC BAC ABD ACD（等量代换）. 即BDC BAC B C.
结论： 当点A远离BC时，∠A越来越趋近于0°， 而 AB与AC逐渐趋向平行，这时，∠B、∠C逐渐接 近为互补的同旁内角，即∠B+∠C接近于180°。
请同学们猜一猜：
三角形的内角和可能是多少？
实验1： 先将纸片三角形一角折向其对边，使
顶点落在对边上，折线与对边平行（图1），然后把另处 两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图2）、 （图3），最后得到（图4）所示的结果。
A
B
CB
A
C
BA
C
BAC
图1图2图3图4实验2： 将纸片三角形顶角剪下，
随意将它们拼凑在一起。
小结 拓展
回味无穷
• 掌握几何命题证明的方法,步骤,格 式及注意事项.
• 三角形内角和定理. • 结论: 直角三角形的两个锐角互余. • 探索证明的思路的方法: 由“因”
导“果”,执“果”索“因”.
• 与同伴交流,你是如何提高证明命 题能力的.
又∵∠BDC＝360°－∠1－∠2（周角定义）
∴∠ BDC ＝360°－（ 180°－∠B－∠3 ）－（ 180°－∠C－∠4 ）
＝ ∠B+∠C+∠3+∠4.
（等量代换）
又 ∵ ∠BAC ＝ ∠3+∠4,
∴ ∠ BDC ＝ ∠B+∠C+ ∠BAC （等量代换）
A
2 、 如图，已知AD是△ABD
和△ACD的公共边.求证：
射线CE∥AB,这样,就相当 B 于把∠A移到了∠1的位置,
1
32
C
D
把∠B移到了∠2的位置. 证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则
∠1=∠A(两直线平行,内错角相等), ∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等). 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义),
这里的 CD,CE称为 辅助线,辅 助线通常画
成虚线.
∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换).
你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?.
议一议P206
一题 多解
在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑” 到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可以吗?
请你帮小明把想法化为实际行动. 证明:过点A作PQ∥BC,则
“行家”
试一试P209
☞
根据下面的图形,写出相应的证明.
看“门 道”
A
A
Q
R
B
P
C
(1)
S
Q
PN
S
Q
PN
R
BM T C
(2)
A
R
MT
B
C
(3)
你还能想出其它证法吗?
☞ 三种语言 三角形内角和定理
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.
∠A+∠B+∠C=1800的几种变形:
A A
B
C
B
C
如果BC不动,把点A“拉离”BC,那么当A越来越远离BC
时,∠A就越来越小(越来越接近00),而∠B和∠C则越来越大,
它们的和越来越接近1800, 当把点A拉到无穷远时,便有
AB∥AC,∠B和∠C成为同旁内角,它们的和等于1800.由此你
能想到什么?
看一看
用橡皮筋构成△ABC,其中顶点B、C为定点， A为动点，放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上， 请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角 形……其内角会产生怎样的变化呢？
P AQ
132
∠1=∠B(两直线平行,内错角相等),
∠2=∠C(两直线平行,内错角相等),B
C
又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴ ∠BAC+∠B+∠C=1800 (等量代换).
小明的想法已经变为现实,由此你受到 什么启发?你有新的证法吗?
所作的辅助 线是证明的 一个重要组 成部分,要 在证明时首 先叙述出来.
B
2
31 2
C
D
样的效果?
(2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一 结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明 过程吗?与同伴交流.
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.
“行家”
☞ 例题欣赏P205
已知:如图6-9,△ABC.
看“门 A 道”E
求证:∠A+∠B+∠C=1800. 分析:延长BC到D,过点C作
∠A=1800 –(∠B+∠C).
∠B=1800 –(∠A+∠C).
∠C=1800 –(∠A+∠B).
∠A+∠B=1800-∠C. ∠B+∠C=1800-∠A.
B
∠A+∠C=1800-∠B.
A C
这里的结论,以后可以直接运用.
☞ 随堂练习P208
我是最 棒的
1.直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形的一个
驶向胜利 的彼岸
(6)检查表达过程是否正确,完善.
与同伴交流你在探索思路的过程 中的具体做法.
回顾与思考 ☞
言必有“据”
• 我们知道三角形三个内角的和等于1800.你还记得这个
结论的探索过程吗?
(1)如图,当时我们是
A
把∠A移到了∠1的位
1
置,∠B移到了∠2的位
置.如果不实际移动
∠A和∠B,那么你还有 其它方法可以 达到同
八年级数学（下）第六章 证明(一)
三角形内角和定理 的证明
回顾与思考 ☞
胜者的 “钥匙”
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
(2)根据题意,画出图形;
(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;
(4)分析题意,探索证明思路;
(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理 清晰地写出证明过程;
1、如图，已知△ABC中， ∠B 和 ∠C的平分线BE，CF交点O. 求证： ∠BOC=90°+ 1 A
2
A
F
O
E
B
C
A
2 、 如图，已知AD是△ABD 3 4
和△ACD的公共边.求证： ∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
B
12
D
证法一：
∵在△ABD中, ∠1＝180°－∠B－∠3，
C
在△ADC中, ∠2＝180°－∠C－∠4（三角形内角和定理），
内角是多少度?请证明你的结论.
A
A B
D
E
C
A B
C
B
C
已知:如图在△ABC中，DE∥BC,∠A=600, ∠C=700. 求证： ∠ADE=500..
结论: 直角三角形的两个锐角互余.以后可以直接 运用.
☞ 读一读P209
用运动变化的观点 理解和认识数学
在△ABC中,如果BC不动,把点A“压”向BC,那么当点A越 来越接近BC时, ∠A就越来越大(越来越接近1800),而∠B和 ∠C,越来越小(越来越接近00).由此你能想到什么?