《微观经济学原理与模型》及其证明方法

《微观经济学：原理与模型》

第三篇企业经济行为

第八章生产函数

第五节生产函数与技术进步

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附：一般生产函数的一般性质

在经济学中经常涉及到要用一个函数来描述厂商的生产过程，我们把这个函数叫做生产函数。

它的性质在经济学中经常用到，这里给出一个简单介绍。

假设厂商的产出Y由厂商投入资本存量)(t

L来生

K和劳动力)(t

产，这个过程由函数))

R

R

Y=给出。假设函数R

F→

⋅

(

,

t

⨯

⋅:)

(

(

F

(

)

),

K

(t

t

L

是二阶连续可微的，并且满足：

A1．0

K

=t

F

t

L

F，即没有资本投入或者没有劳动力投入,0(=

)0

(

),

(

)

,0

(

都不可能生产出产品。这也是人们通常讲的“没有免费的午餐!”

A2．函数),

F对于变量是非降的，即投入品越多，产出越多。由生

(⋅

⋅

产函数的可微性，假设A2可以表示为

A3．生产函数是常数规模回报的，即对任意的0

λ，有

>

假设A3告诉我们，如果把所有的投入同时提高λ倍，总的产出也会相应地提高λ倍。在生产函数的连续可微性假设下，由假设A3可以得到下面的Euler方程：

Euler方程告诉：在完全竞争的假设下，具有常数规模回报的厂

商的所有收益被资本回报和工资所瓜分，因此它的极大化利润为零。 A4．生产函数对变量是拟凹的，即对任意的生产可行性计划),(),,(2211L K L K 和任意的]1,0[∈λ有

条件A4等价于厂商的要素需求集是凸集合，但它在应用中较难，因此通常用更强的条件来代替：

A4．生产函数对变量是严格凹的，即对任意的不同的生产可行性计划),(),,(2211L K L K 和任意的)1,0(∈λ，有

在生产函数的可微性下，严格凹性等价于生产函数的Hessian 矩阵是负定的。同时也可以得到

因此，在生产函数的严格凹性下，资本存量和劳动力的边际生产率都是递减的。

A5．生产函数满足Inada 条件，即

假设A5表明当资本存量水平或者劳动力水平充分大时，它们的边际生产率充分小；反之，当它们的水平充分小时，它们的边际生产率充分大。

例如：对任意的0>γ，0<ρ，考虑生产函数：

可以验证上面函数满足条件A1~A3，4'A 和A5。我们通常所讲的Cobb-Douglas 生产函数

就满足上述所有的假设。其中βα,为非负常数，满足1,0<<βα。 =====================

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一、常用生产函数

在企业现实生产中，生产函数大多是非线性的。

为简单起见，通常假设生产函数为线性或可以线性化的生产函数(1inear producdon function)，并据此来分析有关生产函数的性质。

(一)线性齐次生产函数

线性齐次生产函数具有如下性质：

1．规模报酬不变。

规模报酬不变是线性齐次生产函数的首要性质。

根据式(8．13)和式(8．16)，由于1==r E ε，则

q K L f K L f r λλλλ==),(),( (8．17) 式(8．17)表示投入K L ,变动λ倍，产量也相应变动λ倍，呈线性变动。

2．要素投入的平均产量和边际产量取决于投入比例，而与投人数量无关。

从平均产量来看，令L 1=λ，并代入式(8．17)，可得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=L K L K f L K L L f L q φ,1,

(8．18) 由于K

L L q K q ⋅=，将式(8．18)代入，可得

⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=L K L K L K K L L K K q φφφ (8．19) 从边际产量来看，由式(8. 18)有 ⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=L K L L K Lf q φ,

1 (8．20) 求上式对L 的偏导数，可得

⎪⎭

⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂L K L K L K L K L K L L K L q φφφφ2 (8．21) 由式(8．20)对K 的偏导数，可得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∂∂L K L

L K L L q φφ1 (8．21)

式(8．18)和式(8．19)，式(8．21)和式(8．22)说明，AP ，MP 都是L

K 的函数。 3．线性齐次生产函数满足欧拉定理(Euler ’s theorem)。

针对线性齐次生产函数，欧拉定理可用式(8．23)来表示。其经济含义是，各种投入的边际产量与投人数量乘积之和，等于总产量。 K K

q L L q q ∂∂+∂∂=

(8．23) (二)柯布一道格拉斯生产函数

柯布一道格拉斯生产函数(Cobb-Douglas production function)简称C-D 生产函数，其表达式为

βαK AL q = (8．24) 其中，A 为规模参数(scale parameter)，0φA 。α为劳动的产出弹性(10<<α)；β为资本的产出弹性(10<<β)。C-D 生产函数具有如下性质：

1．βα+次齐次生产函数。

由于

q K L A K L A K L A βαβαβαββααβαλλλλλλ++===)()( (8．25)