中考数学压轴题：“由比例线段产生的函数关系问题”训练及解析

关于 x 的函数表达式； （ 2） GB⊥ EF对于图 1，图 2 都是成立的，请任选一图形给出证明； （ 3）请根据图 2 证明：△ FGC∽△ PFB．
图1
图2
动感体验
请打开几何画板文件名“ 14 常德 26”，拖动点 P在射线 AC上运动，可以体验到， EM和
FN把正方形 ABCD分割成了两个正方形和两个全等的矩形， B、 C、 G、F 四点共圆．
△ ENF
△ BNF
1 NF ( EP
2
MP )
1 NF EM
2
2，
S ＝ △AEN 1 AP 2 4
1 x2 ，所以
y＝S 四边形
＝ S ABFE
四边形
S ＋ ＝ NBFE
△ AEN
1
x2 +2
．
4
4
图7
4
例 2 2014
年湖南省湘潭市中考第 25 题
如图 1，△ ABC为等边三角形，边长为 a，点 F 在 BC边上， DF⊥AB， EF⊥ AC，垂足分别
中考数学压轴题：“由比例线段产生的函数关系问题 ”训练及解析
（一）
图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题． 产生两条线段间的函数关系， 常见的情况有两种， 一是勾股定理， 二是比例 关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和． 由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用． 类型一，已知“边角边” ，至少一边是动态的，求角的对边．如图 1，已知 点 A 的坐标为 (3, 4) ，点 B 是 x 轴正半轴上的一个动点，设 OB＝x， AB＝y，那 么我们在直角三角形 ABH中用勾股定理，就可以得到 y 关于 x 的函数关系式． 类型二，图形的翻折．已知矩形 OABC在坐标平面内如图 2 所示， AB＝5，点 O沿直线 EF翻折后，点 O的对应点 D落在 AB边上，设 AD＝x，OE＝ y，那么在直 角三角形 AED中用勾股定理就可以得到 y 关于 x 的函数关系式．
2
2
由于
S ＝ △DEF
1 DF
DE ＝ 1
2
2
2 x(2
2
2 x) ， S ＝ △BCF 1 BC
2
2
y S S S S 所以 ＝ ＝ － － 四边形 ABFE
正方形 ABCD
△DEF
△ BCF
FC ＝ 1 2
2 (2
2 x) ， 2
＝ 4－
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2 x(2
2 x) － (2
2 x) ＝ 1 x2 +2 ．
题． 计算面积常见的有四种方法， 一是规则图形的面积用面积公式； 二是不规则
图形的面积通过割补进行计算； 三是同高 （或同底） 三角形的面积比等于对应边 （或高）的比；四是相似三角形的面积比等于相似比的平方．
前两种方法容易想到， 但是灵活使用第三种和第四种方法， 可以使得运算简 单．
一般情况下， 在求出面积 S 关于自变量 x 的函数关系后， 会提出在什么情况 下（ x 为何值时），S 取得最大值或最小值．
4
2
2
4
图3
图4
（ 2）如图 4，因为 tan ∠EFP＝ PE ， tan ∠ PBN＝ NP ，且 PE＝NP， PF＝NB，所以
PF
NB
∠EFP＝∠ PBN．
又因为∠ 1＝∠ 2，∠ 1＋∠ PBN＝ 90°，所以∠ 2＋∠ EFP＝ 90°．所以 GB⊥ EF．
3
（ 3）如图 5，由于 GB⊥ EF，∠ BCF＝ 90°，所以 B、C、 G、 F 四点共圆． 所以∠ FCG＝∠ PBF，∠ CGB＝∠ CFB． 又因为∠ CGF＝∠ CGB＋ 90°，∠ BFP＝∠ CFB＋ 90°，所以∠ CGF＝∠ BFP． 所以△ FGC∽△ PFB．
关于面积的最值问题，有许多经典的结论．
例 1，周长一定的矩形，当正方形时，面积最大． 例 2，面积一定的矩形，当正方形时，周长最小．
1
例 3，周长一定的正多边形，当边数越大时，面积越大，极限值是圆． 例 4，如图 1，锐角△ ABC的内接矩形 DEFG的面积为 y，AD＝ x，当点 D是 AB的中点时， 面积 y 最大． 例 5，如图 2，点 P 在直线 AB上方的抛物线上一点，当点 P位于 AB的中点 E 的正上方 时，△ PAB的面积最大． 例 6，如图 3，△ ABC中，∠ A 和对边 BC是确定的，当 AB＝ AC时，△ ABC的面积最大．
图1
图2
由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．
一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．
一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、
变形，根据要求写出定义域．
关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．
（二） 图形运动的过程中， 求面积随某个量变化的函数关系， 是中考数学的热点问
图5
图6
考点伸展
如图 6， 由于 tan ∠ EFP＝ tan ∠ PBN， 所以∠ EFP＝∠ PBN．
又因为∠ PBN＋∠ 1＝ 90°，所以∠ EFP＋∠ 1＝ 90°．
因此这种情况下，依然有 BG⊥ EF．
第（ 1）题还有更简便的割补办法：如图 7，连结 EN．
由于
S S S ＝ ＋ ＝ 四边形 NBFE
思路点拨
1．四边形 ABFE可以用大正方形减去两个直角三角形得到．
2．画直线 EP、FP，把正方形分割为两个正方形和两个全等的矩形．
图文解析
（ 1）如图 3，延长 EP交 BC于 M，延长 FP 交 AB于 N，那么四边形 AEPN和四边形 CFPM
是正方形．
由 AP＝ x ，可得正方形 AEPN的边长为 2 x．所以 FC＝ DE＝ 2 2 x ．
图1
图2
图3
2
例 1 2014
年湖南省常德市中考第 26 题
如图 1，图 2，已知四边形 ABCD为正方形，在射线 AC上有一动点 P，作 PE⊥ AD（或延
长线）于 E，作 PF⊥DC（或延长线）于 F，作射线 BP交 EF于 G．
（ 1）在图 1 中，正方形 ABCD的边长为 2，四边形 ABFE的面积为 y，设 AP＝ x ，求 y
为 D、 E．
（ 1）求证：△ BDF∽△ CEF；
（ 2）若 a＝ 4，设 BF＝m，四边形 ADFE面积为 S，求出 S与 m之间的函数关系，并探究
当 m为何值时 S 取得最大值；
（ 3）已知 A、 D、 F、 E 四点共圆，已知 tan ∠EDF＝ 3 ， 2
求此圆的直径（用含 a 的式子表示） ．