中考数学压轴题：“由比例线段产生的函数关系问题”训练及解析

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比例线段中考试题及答案

比例线段中考试题及答案【正文】考试题一：已知线段AB与线段CD的比例为3：4，AB的长度为12cm，求CD的长度。

解答：根据比例的定义可得：AB/CD = 3/4将已知条件代入，得：12/CD = 3/4交叉相乘，得：4 * 12 = 3 * CD48 = 3 * CDCD = 48/3CD = 16cm所以，CD的长度为16cm。

考试题二：已知线段EF与线段GH的比例为5：2，EF的长度为15cm，求GH的长度。

解答：根据比例的定义可得：EF/GH = 5/2将已知条件代入，得：15/GH = 5/2交叉相乘，得：2 * 15 = 5 * GH30 = 5 * GHGH = 30/5GH = 6cm所以，GH的长度为6cm。

考试题三：已知线段IJ与线段KL的比例为7：9，IJ的长度为21cm，求KL的长度。

解答：根据比例的定义可得：IJ/KL = 7/9将已知条件代入，得：21/KL = 7/9交叉相乘，得：9 * 21 = 7 * KL189 = 7 * KLKL = 189/7KL = 27cm所以，KL的长度为27cm。

考试题四：已知线段MN与线段OP的比例为4：11，MN的长度为8cm，求OP的长度。

解答：根据比例的定义可得：MN/OP = 4/11将已知条件代入，得：8/OP = 4/11交叉相乘，得：11 * 8 = 4 * OP88 = 4 * OPOP = 88/4OP = 22cm所以，OP的长度为22cm。

考试题五：已知线段QR与线段ST的比例为2：5，QR的长度为10cm，求ST的长度。

解答：根据比例的定义可得：QR/ST = 2/5将已知条件代入，得：10/ST = 2/5交叉相乘，得：5 * 10 = 2 * ST50 = 2 * STST = 50/2ST = 25cm所以，ST的长度为25cm。

总结：通过以上五道考试题，我们可以发现，计算比例线段的长度只需要将已知条件代入比例的定义中，通过交叉相乘求得未知线段的长度。

挑战2014数学中考压轴题：由比例线段产生的函数关系问题(含2013试

数学参考答案一、选择题：（24分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CADBDCBA二、填空题：（30分）9. 4； 10. ()21+x a ； 11. .1,2≠-≥x x 且 12. 161； 13. 13 ；14.11-+n x；15. CM ＝552或CM ＝55； 16. 22-，17.12，18.167 三、解答下列各题：（96分）19． 312x -≤< 20. 解：原式=32123+-+-=3 21. 解：原式=82x + 当x=32-时, 原式=338 22. 解：附加的条件可以是：①BD=CE ，②AD=AE ，③∠EBC=∠DCB ，④∠ABE=∠ACD ，⑤BE 、CD 分别为∠ABC ，∠ACB 的平分线中任选一个；利用△ABE ≌△ACD 得证BE=CD23. 作图略（1）C 1（4，1）（3分）（2）C 2（-4，1）（3分）（3）关于y 轴对称。

（2分）24. （１）31；（２）列表格或画树状图略，两次都取到欢欢的概率为91． 25．证明：连结AD 、CG∵直径AB ⊥CD ，∴AB 平分CD ∴AD=AC ， ∴∠ADC=∠ACF ∴∠AGC=∠ADC ∵∠ACF=∠AGC 又 ∵∠FAC=∠CAG∴△ACG ∽△AFC ∴AC AFAG AC= ∴AC 2=AG ·AF 26. 解：（1）①4，②0，③2，（2）++21log log M M a a …+n a M log （3）N M a a log log - 27. 解：(1) 在Rt △OAB 中，∵∠AOB =30°，∴ OB =3. 过点B 作BD 垂直于x 轴，垂足为D ，则 OD =23，BD =23，∴ 点B 的坐标为(23,23) . ……3分(2) 将A (2,0)、B (23,23)、O (0,0)三点的坐标代入y =ax 2+bx +c ，得420,933,4220.a b c a b c c ++=⎧⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩ (1)分解有a =332-，b =334，c =0. ∴ 所求二次函数解析式是 y =332-x 2+334x .…….2分(3) 设存在点C (x , 332-x 2+334x ) (其中0<x <32)，使四边形ABCO 面积最大. ∵△OAB 面积为定值，∴只要△OBC 面积最大，四边形ABCO 面积就最大. ··························· 1分过点C 作x 轴的垂线CE ，垂足为E ，交OB 于点F ，则S △OBC = S △OCF +S △BCF =11||||||||22CF OE CF ED ⋅+⋅=||43||||21CF OD CF =⋅，而 |CF |=y C -y F =22234332333333x x x x x -+-=-+， ∴ S △OBC =x x 433232+- . ························································· 3分 ∴ 当x =43时，△OBC 面积最大，最大面积为3239. ··························· 1分此时，点C 坐标为(835,43)，四边形ABCO 的面积为32325. ··············· 1分28. 解：（1）在△MBC 中，∠MCB =︒90，BC =2，又∵M 是边AC 的中点，∴AM =MC =21BC =1，——————————————————（1分） ∴MB =52122=+， ————————————————（1分）又CH ⊥BM 于H ，则∠MHC =︒90，∴∠MCH =∠MBC ，——————————————————（1分） ∴sin ∠MCH =55CM BM =.————————————————（1分）（2）在△MHC 中，5sin 5MH CM MCH =⋅∠=.———————（1分） ∴AM 2=MC 2=MB MH ⋅，即MAMBMH MA =，————————（2分）又∵∠AMH =∠BMA ，∴△AMH ∽△BMA ，——————————————————（1分） ∴∠ABM =∠CAH . ——————————————————（1分）（3）5102、528、22.—————————————————（5分）。

中考压轴题：由比例线段产生的函数关系问题

例 2008年上海市长宁区中考模拟第25题如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，点O 为AB 的中点，以O 为坐标原点，x 轴与AC 平行，y 轴与CB 平行，建立直角坐标系，AC 与y 轴交于点M ，BC 与x 轴交于点N ．将一把三角尺的直角顶点放在坐标原点O 处，绕点O 旋转三角尺，三角尺的两直角边分别交射线CA 、射线BC 于点P 、Q ．（1）证明：△OMP ∽△ONQ ．（2）若∠A ＝60°，AB ＝4，设点P 的横坐标为x ， PQ 的长为L ，当点P 在边AC 上运动时，求L 与x 的函数关系式及定义域．（3）若∠A ＝60°，AB ＝4，当△PQC 的面积为23时，试求CP 的长．动感体验请打开文件名“08长宁25”．拖动点P 在从A 向C 慢慢运动，观察L 随x P 变化的图象可以体验到，在P 从A 到M 的过程中，L 越来越小；在P 从M 到C 的过程中，L 越来越大．拖动点P 运动，可以体验到，△POQ 的大小虽然在变，但是形状不变．拖动点P 在射线CA 上运动，观察面积PQC 的度量值，可以体验到，有三个时刻，△PQC 的面积为23．思路点拨1．证明△OMP ∽△ONQ 可以得到丰富的结论，例如△POQ 的三边比为2∶1N Q =2）、（3）题中都会用到．2．用勾股定理可以写出OP 关于x 的关系式，再用△POQ 的三边比可以求出PQ 关于x 的关系式．3．用含有x 的式子表示线段CQ 的长是本题的难点和关键，不仅要分类讨论，而且要数形结合．满分解答（1）证明：∵∠MOP ＋∠PON ＝ 90°，∠NOQ ＋∠PON ＝ 90°， ∴∠MOP ＝∠NOQ ．又∠OMP ＝∠ONQ ＝90°， ∴△OMP ∽△ONQ ．（2）解：在Rt △ABC 中， ∠A ＝ 60°，AB ＝4，所以OM ＝ 3,ON ＝1．在Rt △ABC 中，22223OP OM MP x =+=+，所以OP =∵△OMP ∽△ONQ ，图1∴OPOM CB OQONCA===．又∠POQ ＝∠BCA ＝90°， ∴△POQ ∽△BCQ ．∴2O P C B P QB A==∴3LPQ P ==3=3=定义域是－1≤x ≤1．(3) 由△OMP ∽△ONQ，知O M M P O NN Q==N Q=①当点Q 在BN 上时，P 在MC 上，x ≥0，所以CQ =+；②当点Q 在NC 上时，P 在CM 的延长线上，x ＜0，所以CQ =．因此，当点Q 在BC上时，由122C PQS C P C Q ∆=⋅⋅=，得1(1)22x ⋅-⋅=解得2,021-==x x ．所以当CP ＝1或3时, △CPQ的面积是2．③如图2，当点Q 在BC的延长线上时，C Q =--于是C P Q S ∆=23)33)(1(21=---x x ．解得x 1＝－1－7,x 2＝－1＋7(舍去) ．所以当CP ＝2＋7时, △CPQ的面积是2．考点伸展在第（3）题中，按点Q 的位置进行分类，在分类计算以后，①和②的结果是相同的．如果在第（2）题中就这样分类的话，求L 关于x 的函数关系式，也可以在Rt △PCQ 中用勾股定理求得．图2例 2008年上海市上海市部分学校抽样测试第25题已知：在正方形ABCD 中，M 是边BC 的中点（如图1所示），E 是边AB 上的一个动点，MF ⊥ME ，交射线CD 于点F ，AB ＝4，BE ＝x ，CF ＝y ．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域．（2）当点F 在边CD 上时，四边形AEFD 的周长是否随点E 的运动而发生变化？请说明理由．（3）当DF ＝1时，求点A 到直线EF 的距离．B AMB AM图1 （备用图）动感体验请打开文件名“08抽样25”．拖动点E 在AB 上运动，从图形中可以看到y 随x 的增大而减小，当E 与B 重合时，点F 就不存在了．从图象可以体验到，y 是x 的反比例函数．从图形中还可以体验到，MN 既是直角△EFM 的斜边上的中线，也是梯形EBCF 的中位线，因此EF 的长等于BE ＋CF ．拖动点E 在AB 上运动，可以体验到，△AEF 的边AE 上的高是定值4．点A 到直线EF 的距离，就是△AEF 的边EF 上的高AH ．双击按钮“DF ＝1，CF ＝3”和“DF ＝1，CF ＝5”可以准确显示DF ＝1的两种情况．思路点拨1．证明△EBM ∽△MCF ，根据对应边成比例可以求出y 关于x 的函数解析式．2．构造以EF 为斜边的直角三角形，用勾股定理可以求得EF ＝x ＋y ，在这个式子的变形过程中，要用到第（1）的结论变形xy ＝4．3．用几何法证明EF ＝BE ＋CF ，做EF 的中点N ，MN 既是直角△EFM 的斜边上的中线，也是梯形EBCF 的中位线，因此EF 的长等于BE ＋CF ．4．分类讨论DF ＝1，按照F 与D 的位置关系，可以分为CF ＝3和CF ＝5两种情况． 5．点A 到直线EF 的距离，就是△AEF 的边EF 上的高AH ，用面积法求AH ．满分解答解：如图2， ∵∠EMB ＋∠CMF ＝90°， ∠CMF ＋∠CFM ＝90°， ∴∠EMB ＝∠CFM ．又∠B ＝∠C ＝90°， ∴△EMB ∽△MFC ． ∴BEBM CMCF =，即xy 22=．AD ME F图2因此所求的函数解析式为xy 4=．（40≤<x ）（2）不变．理由如下：如图2，作EG ⊥CD 于点G ，那么y x y x xyx xy yx y EF +=+=++=++-=+-=2222222)(81624)(．所以四边形AEFD 的周长＝AE ＋EF ＋DF ＋AD ＝4−x ＋x ＋y ＋4−y ＋4＝12．（3）当DF ＝1时，CF ＝3或CF ＝5．联结AF ，设点A 到直线EF 的距离为d ． ①如图3，当CF ＝3时，BE ＝34．此时38344=-=AE ，313334=+=EF ．因此S △AEF ＝d EF AD AE ⨯=⨯2121，即d 313438=⨯．所以1332=d ．②如图4，当CF ＝5时，54=BE ．同理可得2964=d ．综上所述，点A 到直线EF 的距离为1332或2964．AME FDME FAD MEFAD MEF图3 图4 图5 图6考点伸展第（2）题几何解法的思路是：如图5，作EF 的中点N ，连结MN ，那么MN 既是直角△EFM 的斜边上的中线，也是梯形EBCF 的中位线，因此EF 的长等于BE ＋CF ．事实上，如图6，以BC 为直径的圆与直线EF 相切，根据切线长定理可知EF ＝BE ＋CF ．在本题中可以证明△EMB ∽△MFC ∽△EFM ，因此EM 、FM 分别平分∠BEF 、∠CFE ，从而证明EB ＝EP ，FC ＝FP ．例 2008年上海市虹口区中考模拟第24题如图1，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，12C D A B a ==，BC ＝3，四边形BEFG 是矩形，点E 、F 分别在腰BC 、AD 上，点G 在AB 上．设FG ＝ x ，FE ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（2）矩形BEFG 的面积能否等于梯形ABCD 面积的13？若能，请求出x 的值；若不能，请说明理由．（3）当2ADC DAB ∠=∠时，矩形BEFG 是否能成为正方形？若能，求其边长；若不能，请说明理由．图1动感体验请打开文件名“08虹口24”．拖动点E 在BC 上运动，从图形和图象中都可以看到，y 随x 的增大而减小，y 是x 的一次函数，图象是直线的一部分．拖动点D 左右运动，观察函数的图象，可以体验到，CD 的长影响直线的斜率和截距．双击按钮“∠ADC ＝2∠DAB ”，从度量值可以观察到，此时∠DAB ＝60°．拖动点E 在BC 上运动，可以体验到，矩形BEFG 能成为正方形．思路点拨1．第（1）题求y 关于x 的函数关系式时，由于a 的不确定，因此解析式中含有字母a ． 2．解决直角梯形常用的策略是把直角梯形分割为一个矩形和一个直角三角形．3．根据邻边相等的矩形是正方形列方程，方程的解在自变量x 的取值范围内，正方形就存在，否则就不存在．满分解答解：（1）如图2，过点D 作DH ⊥AB 于H ．因为FG ∥DH ，所以DHFG AHAG =，即23A G x a a=-．解得3ax A G =，所以23ax B G A B A G a =-=-．因此所求的函数关系式为23a y x a =-+.自变量x 的取值范围是0＜x ≤3．（2）如果13B E F G ABCD S S =矩形梯形，则11(2)(2)3332a x x a a a -+=⨯+⋅．因为0a ≠，原方程可化简为221290x x -+=．解得，1233x x =+=-.由于0＜x ≤3，因此3x =-所以，矩形BEFG 的面积能等于梯形ABCD 面积的13，此时x 的值为3-．图2 图3 图4（3）如图3，矩形BEFG 能成为正方形. 当∠ADC ＝2∠DAB 时，∠DAB ＝60°.在Rt △AHD 中，3tan 60D H A Ha︒==，所以a =3y x =-+.若四边形BEFG 是正方形，则x y =，即3x x =-+3x =.由于033<-<，所以矩形BEFG 能成为正方形，且边长为3.考点伸展第（3）可以用解直角三角形的方法：当四边形BEFG 为矩形时，45F B A ∠=︒.如图4，在Rt △AFG 中，3AG x =；在Rt △BFG 中，B G x =.由AB AG BG =+=1)3x +=3x =.例 2008年上海市卢湾区中考模拟第24题如图1，已知点()0,4A 是y 轴上一点，过点()4,6C 作x 轴的垂线，垂足为点D ，点(),0B t 是O D 上一动点（不与O 、D 重合），连结AB 、A C ，过点B 作BE AB ⊥，交C D 于点E ，过点E 作EF ∥AB ，交A C 于点F .（1）设点E 的纵坐标为E y ，求E y 关于t 的函数关系式，并写出t 的取值范围. （2）若存在一点B ，使四边形ABEF 是矩形，求t 的值．动感体验请打开文件名“08卢湾24”．拖动点B 在OD 上运动，从E y 随t 变化的图象中可以看到，E y 是t 的二次函数，抛物线的开口向下．拖动点B 在OD 上运动，可以体验到，当90C AB ∠=︒时，四边形ABEF 是矩形，此时△CMA ∽△AOB ．思路点拨1．证明△A O B ∽△BD E ，根据对应边成比例，得到E y 关于t 的函数关系式． 2．根据有三个角是直角的四边形是矩形，假设90C AB ∠=︒，那么△CMA ∽△AOB ，根据对应边成比例，列关于t 的方程．满分解答解：（1）90ABO EBD ︒∠+∠= ,90OAB ABO ︒∠+∠=, ∴O AB EBD ∠=∠．又90AOB EDO ︒∠=∠=， ∴△A O B ∽△BD E ． ∴A O OB B DD E= ，即44Et ty =-．图1∴244Et ty-=()21044t t t=-+<<．（2）当90C AB∠=︒时，四边形ABEF是矩形．过点C作CM⊥y轴，垂足为M．此时△CMA∽△AOB．∴C M AOM A O B=，即442t=．解得2t=．考点伸展在图2中，当四边形ABEF是矩形时，图中的4个直角三角形都是相似的，请您写出它们的相似比．解：△CMA、△AOB、△BDE与△EFC的相似比为2∶2∶1图2例 2008年上海市浦东新区中考模拟第25题如图1，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ＝5，52=BCAD ，53cos =B ，P 是边BC 上的一个动点，∠APQ ＝∠B ，PQ 交射线AD 于点Q ．设点P 到点B 的距离为x ，点Q 到点D 的距离为y ．（1）用含x 的代数式表示AP 的长．（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域．（3）△CPQ 与△ABP 能否相似？如果能，请求出BP 的长；如果不能，请说明理由．BPQ图1动感体验请打开文件名“08浦东25”．拖动点P 在BC 上运动，观察y 随x 变化的函数图象，可以体验到，点P 从B 向C 运动的过程中，DQ 的长先由大变小，再由小变大；当P 达到BC 的中点时，D 、Q 重合．当P 与B 重合时，点Q 不存在了．双击按钮“相似1”和“相似2”，可以体验到，四边形APCQ 是平行四边形．双击按钮“相似3”，可以体验到，D 、Q 重合．思路点拨1．用含x 的代数式表示AP 的长，是为求y 关于x 的函数解析式作准备．2．证明△ABP ∽△QP A ，根据对应边成比例可以得到y 关于x 的函数解析式． 3．把△CPQ 与△ABP 相似的问题，转化为△CPQ 与△QP A 相似的问题．4．分类讨论△CPQ 与△QP A 相似，按对应角相等分两种情况，再讨论每种情况下四边形APCQ 的特殊性，从而列出关于x 的方程．满分解答解：（1）如图2，作AE ⊥BC 于点E ．在Rt △ABE 中，5=AB ，53cos =B ，所以BE ＝3，AE ＝4．在Rt △APE 中，224)3(+-=x AP 2562+-=x x．（2）∵52=BCAD ，∴526=+ADAD ．∴4=AD ，10=BC ．∵AD ∥BC ，∴∠PAQ ＝∠APB ．又∠APQ ＝∠B ， ∴△APQ ∽△PBA ．BEP Q图2∴BP AP APAQ =，即xx x x x y 256256422+-=+-+因此xx xy 25102+-=，定义域为0<x ≤10．（3）要使△CPQ 与△ABP 相似，必须有∠PQC ＝∠B 或∠PCQ ＝∠B ．①如图3，如果∠PQC ＝∠B ，那么∠APQ ＝∠PQC ，因此AP ∥CQ ，所以四边形APCQ 是平行四边形．于是AQ ＝PC ，即x y -=+104．解方程x xx x-=++-10425102，整理，得 0251622=+-x x ．解得2148456164252416162±=±=⨯⨯-±=x ．②如图4，如果∠PCQ ＝∠B 时，那么点Q 与点D 重合．于是y ＝0，即025102=+-xx x．解得x ＝5．综上所述，△CPQ 与△ABP 能相似，此时2148±=BP 或5．BPQBP图3 图4考点伸展如图5，在本题的条件下，设PQ 与CD 交于点F ，那么△ABP 、△PCF 、△QP A 、△QDF 都相似，请您研究这个图形．BP图5例 2008年上海市闸北区中考模拟第25题如图1，已知边长为3的等边A B C∆，点F在边B C上，1C F=，点E是射线B A上的一个动点，以线段E F为边向右侧作等边E F G∆，直线E G、F G交直线A C于点M、N（1）写出图1中与BEF∆相似的三角形．（2）证明其中一对三角形相似．（3）设,B E xM N y==，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（点E在AB边上）（4）若1A E=，试求G M N∆的面积．图1 备用图备用图图2动感体验请打开文件名“08闸北25”．拖动点E在射线BA上运动，观察函数的图象，可以体验到，当1x<时，y随x的增大而减小；当1x>时，y随x的增大而增大；当1x=时，y＝0，此刻G、M、N三点重合在AC上．双击按钮“AE＝1，BE＝2”，可以体验到，G M N∆是边长为1的等边三角形．双击按钮“AE＝1，BE＝4”，可以体验到，G M N∆是有一个角为30°的直角三角形．思路点拨1．证明△AME∽△BEF∽△CFN，根据对应边成比例，用含有x的式子表示AM、CN的长是求y与x之间的函数关系式的基础．2．分类讨论AE的长，根据点E的位置分两种情况：当E在AB上时，AE＝3－x；当E 在AB的延长线上时，AE＝x－3．3．点E在AB上又要分两种情况讨论，根据点G的位置不同分两种情况：当G在△ABC 外部时，MN＝AC－AM－CN；当G在△ABC内部时，MN＝AM＋CN－AC．4．两个备用图暗示了要分类讨论，根据位置关系要求3次函数关系．5．分类讨论AE＝1，按BE的长分两种情况，每种情况的图形都是特殊的．满分解答解：（1）△BEF∽△AME∽△CFN∽△GMN．（2）如图1，△AME∽△BEF的证明过程如下：∵∠B＝∠A＝∠GEF＝60°，∴∠AEM＋∠AME＝120°，∠AEM＋∠BEF＝120°．∴∠AME＝∠BEF．∴△AME∽△BEF．（3）如图2，当点G落在AC上时，MN＝0，BE＝CF＝1．因为△AME∽△BEF∽△CFN，所以A M B E C FA EB FC N==，即132AM xx C N==-．①当点E 在线段AB 上时，AM ＝232xx +-，CN ＝x2．如图1，点G 在△ABC 外部时，1≤x ≤3．此时323642x x x y AC AM CN x-+-=--=．如图3，如图4，点G 在△ABC 内部时，01x <<．此时y AM CN AC =+-323642x x x x-+-=-． ②如图5，当点E 在线段BA 的延长线上时，AM ＝232x x -，CN ＝x2．因此y AM AC CN =+-323642x x x x-+-=．综上所述，xx x x y 246323-+--=(x ≥1)，xx x x y 246323-+-=(01x <<)．图3 图4 图5（4）①如图6，当AE ＝1，BE ＝2时，G M N ∆是边长为1的等边三角形．此时11224G M N S ∆=⨯⨯=．②如图7，当AE ＝1，BE ＝4时，G M N ∆是30°角的直角三角形．此时192228G M N S ∆=⨯=．图6 图7考点伸展第（4）可以这样说理G M N ∆的形状：因为△GMN ∽△BEF ，所以2G M B E x G NB F==．①当AE ＝1，x =BE ＝2时，GM ＝GN ，所以G M N ∆是边长为1的等边三角形． ②当AE ＝1，x =BE ＝4时，GM ＝2GN ，所以G M N ∆是30°角的直角三角形．。

中考专题复习由比例线段产生的函数关系问题(含答案)

中考专题复习由比例线段产生的函数关系问题课前导学（一）图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用．类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边．如图1，已知点A的坐标为(3, 4)，点B是x轴正半轴上的一个动点，设OB＝x，AB＝y，那么我们在直角三角形ABH中用勾股定理，就可以得到y关于x的函数关系式．类型二，图形的翻折．已知矩形OABC在坐标平面内如图2所示，AB＝5，点O沿直线EF翻折后，点O的对应点D落在AB边上，设AD＝x，OE＝y，那么在直角三角形AED中用勾股定理就可以得到y关于x的函数关系式．图1 图2由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．课前导学（二）图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题．计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面积公式；二是不规则图形的面积通过割补进行计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相似三角形的面积比等于相似比的平方．前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单．一般情况下，在求出面积S关于自变量x的函数关系后，会提出在什么情况下（x为何值时），S取得最大值或最小值．关于面积的最值问题，有许多经典的结论．例1、周长一定的矩形，当正方形时，面积最大．例2、面积一定的矩形，当正方形时，周长最小．例3、周长一定的正多边形，当边数越大时，面积越大，极限值是圆．例4、如图1，锐角△ABC的内接矩形DEFG的面积为y，AD＝x，当点D是AB的中点时，面积y最大．例5、如图2，点P在直线AB上方的抛物线上一点，当点P位于AB的中点E的正上方时，△PAB的面积最大．例6、如图3，△ABC中，∠A和对边BC是确定的，当AB＝AC时，△ABC的面积最大．图1 图2 图3例 1 如图1，图2，已知四边形ABCD为正方形，在射线AC上有一动点P，作PE⊥AD（或延长线）于E，作PF⊥DC（或延长线）于F，作射线BP交EF于G．（1）在图1中，正方形ABCD的边长为2，四边形ABFE的面积为y，设AP ＝x，求y关于x的函数表达式；（2）GB⊥EF对于图1，图2都是成立的，请任选一图形给出证明；（3）请根据图2证明：△FGC∽△PFB．图1 图2例 2 如图1，△ABC为等边三角形，边长为a，点F在BC边上，DF⊥AB，EF⊥AC，垂足分别为D、E．（1）求证：△BDF∽△CEF；（2）若a＝4，设BF＝m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S取得最大值；（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF求此圆的直径（用含a的式子表示）．图1例 3 如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，BC＝16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE＝1cm，点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以相同的速度运动．以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S．当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围；（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连结DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？图1例 4 如图1，曲线y1是抛物线的一部分，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且表达式为2123)y x x=--（x≤3），曲线y2与曲线y1关于直线x＝3对称．（1）求A、B、C三点的坐标和曲线y2的表达式；（2）过点C作CD//x轴交曲线y1于点D，连结AD，在曲线y2上有一点M，使得四边形ACDM为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M的横坐标；（3）设直线CM与x轴交于点N，试问在线段MN下方的曲线y2上是否存在一点P，使△PMN的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1答案例 1 2014年湖南省常德市中考第26题如图1，图2，已知四边形ABCD 为正方形，在射线AC 上有一动点P ，作PE ⊥AD （或延长线）于E ，作PF ⊥DC （或延长线）于F ，作射线BP 交EF 于G ．（1）在图1中，正方形ABCD 的边长为2，四边形ABFE 的面积为y ，设AP ＝x ，求y 关于x 的函数表达式；（2）GB ⊥EF 对于图1，图2都是成立的，请任选一图形给出证明；（3）请根据图2证明：△FGC ∽△PFB ．图1 图2解：（1）如图3，延长EP 交BC 于M ，延长FP 交AB 于N ，那么四边形AEPN 和四边形CFPM 是正方形．由AP ＝x ，可得正方形AEPN 的边长为2x ．所以FC ＝DE ＝22x -．由于S△DEF＝12DF DE ⋅＝1(2)2x ，S △BCF＝12BC FC ⋅＝12(2)2⨯⨯，所以y ＝S 四边形ABFE ＝S 正方形ABCD －S △DEF －S △BCF＝4(2)x x －(2)x ＝21+24x ．图3 图4（2）如图4，因为tan ∠EFP ＝PE PF ，tan ∠PBN ＝NPNB，且PE ＝NP ，PF ＝NB ，所以∠EFP ＝∠PBN ．又因为∠1＝∠2，∠1＋∠PBN ＝90°，所以∠2＋∠EFP ＝90°．所以GB ⊥EF ．（3）如图5，由于GB ⊥EF ，∠BCF ＝90°，所以B 、C 、G 、F 四点共圆．所以∠FCG ＝∠PBF ，∠CGB ＝∠CFB ．又因为∠CGF ＝∠CGB ＋90°，∠BFP ＝∠CFB ＋90°，所以∠CGF ＝∠BFP ．所以△FGC ∽△PFB ．图5 图6 图7例 2 2014年湖南省湘潭市中考第25题如图1，△ABC 为等边三角形，边长为a ，点F 在BC 边上，DF ⊥AB ，EF ⊥AC ，垂足分别为D 、E ．（1）求证：△BDF ∽△CEF ；（2）若a ＝4，设BF ＝m ，四边形ADFE 面积为S ，求出S 与m 之间的函数关系，并探究当m 为何值时S 取得最大值；（3）已知A 、D 、F 、E 四点共圆，已知tan ∠EDF ＝a 的式子表示）．图1 解：（1）如图1，因为∠B ＝∠C ＝60°，∠BDF ＝∠CEF ＝90°，所以△BDF ∽△CEF ．（2）如图2，当等边三角形ABC 的边长a ＝4时，S △ABC ＝在Rt △BDF 中，∠B ＝60°，BF ＝m ，所以12BD m =，2FD =．所以S △BDF ＝12BD FD ⋅2．在Rt △CEF 中，∠C ＝60°，CF ＝4－m ，所以1(4)2CE m =-，)FE m =-．所以S △CEF ＝12CE FE ⋅＝2)8m -．因此S ＝S 四边形ADFE ＝S △ABC －S △BDF －S △CEF＝22)88m m --＝24m +＝22)m -+所以当m ＝2时，S 取得最大值，最大值为F 是BC 的中点（如图3）．（3）如图4，由于A 、D 、F 、E 四点共圆，所以∠EAF ＝∠EDF ．因为∠AEF ＝90°，所以AF 是圆的直径．在Rt △EAF 中，由于tan ∠EAF ＝EF EA EF ，EA ＝2x ．在Rt △ECF 中，∠C ＝60°，所以EFEC=EC ＝x ．由AC ＝EA ＋EC ＝a ，得2x ＋x ＝a ．所以x ＝13a ．所以在Rt △EAF 中，EF ，EA ＝23a ，由勾股定理，得圆的直径AF ．图2 图3 图4例 3 2014年湖南省郴州市中考第25题如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝60°，BC ＝16cm ，AD 是斜边BC 上的高，垂足为D ，BE ＝1cm ，点M 从点B 出发沿BC 方向以1cm/s 的速度运动，点N 从点E 出发，与点M 同时同方向以相同的速度运动．以MN 为边在BC 的上方作正方形MNGH ．点M 到达点D 时停止运动，点N 到达点C 时停止运动．设运动时间为t （s ）．（1）当t 为何值时，点G 刚好落在线段AD 上？（2）设正方形MNGH 与Rt △ABC 重叠部分的图形的面积为S ．当重叠部分的图形是正方形时，求出S 关于t 的函数关系式并写出自变量t 的取值范围；（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连结DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？图1解：（1）如图2，当点G刚好落在线段AD上时，DN＝0．而DN＝BD－BM－MN＝4－t－1＝3－t，所以3－t＝0．解得t＝3．图2 图3（2）重叠部分的图形是正方形，存在两种情况：①当HM在AD的左侧时，正方形MNGH的大小不变，边长为1，S＝1．如图3，当H落在AB上时，BM＝HM tan30t＜4．②如图4，当HM在AD上时，正方形的边长为t－3，S＝(t－3)2．如图5，当G落在AC上时，AH＝HG tan303)t-．由AD＝3)(3)43t=．所以4≤t≤3．-+-=解得3t t图4 图5 （3）等腰三角形CPD存在两种情况：①如图6，当PC＝PD时，点P在DC的垂直平分线上，N是DC的中点．此时t ＝3＋6＝9．②如图7，当CP ＝CD ＝12时，在Rt △CPN 中，由cos30°＝CN CP =CN =t ＝15-图6 图7例 4 2015年湖南省常德市中考第25题如图1，曲线y 1是抛物线的一部分，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且表达式为2123)y x x =--（x ≤3），曲线y 2与曲线y 1关于直线x ＝3对称．（1）求A 、B 、C 三点的坐标和曲线y 2的表达式；（2）过点C 作CD //x 轴交曲线y 1于点D ，连结AD ，在曲线y 2上有一点M ，使得四边形ACDM 为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M 的横坐标；（3）设直线CM 与x 轴交于点N ，试问在线段MN 下方的曲线y 2上是否存在一点P ，使△PMN 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1解：（1）由2123)1)(3)y x x x x =--=+-，得A (－1, 0)、B (3, 0)、C (0, ．因为A (－1, 0)、B (3, 0) 关于直线x ＝3的对称点为A ′(7, 0)、B (3, 0)，所以抛物线y 2的表达式为227)(3)1021)y x x x x =--=-+（x ＞3）．（2）由CD //x 轴，可知C 、D 关于抛物线y 1的对称轴x ＝1对称，所以D(2,．如图2，由A (－1, 0)、C (0,、D (2,，可得AC ＝DC ＝2．因此点C 在AD 的垂直平分线上．如果四边形ACDM 的对角线互相垂直平分，那么四边形ACDM 是菱形，此时点M 在x 轴上，不在抛物线y 2上．因此只存在MC 垂直平分AD 的情况．图2 图3如图2，如图3，过点A 、M 分别作x 轴的垂线，与直线CD 分别交于点G 、H ，那么∠ADG ＝∠CMH ．由于tan ∠ADG ＝AG DG ADC ＝30°．因此MH =．设M 2(x x ，那么2(x -=．整理，得x 2－13x ＋24＝0．解得x =M 的横坐标为x =（3）如图2，如图3，由于∠ADC ＝30°，当CM ⊥AD 时，∠OCN ＝30°．所以ON ＝1，N (1, 0)．所以直线CN 为y =如图4，过点P 作x 轴的垂线，垂足为K ，PK 交MN 于E ，过点M 作y 轴的垂线交PK 于F ．所以S △PMN ＝S △PME ＋S △PNE ＝1()2PE MF NK +．因为MF ＋NK 为定值，因此当PE 最大时，△PMN 的面积最大．设P2(m ，E (m ，那么PE ＝2-＝2-＝2132m ⎫-⎪⎝⎭．所以当132m =时，PE 取得最大值，△PMN 面积最大．此时P 13(,2．图4 图5。

专题三：利用比例线段建立函数关系

专题三：利用比例线段建立函数关系零点突破【例1】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，CD是斜边AB上的高，点E为边AC上一点（点E不与点A、C重合），联结DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段DE分别交于点F、G；（1）求线段CD、AD的长；（2）设CE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域.【例2】如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=2，∠A=60°．（1）求证：BD⊥BC；（2）延长CB至G，使BG=BC，E是边AB上一点，F是线段CG上一点，且∠EDF=60°，设AE=x，CF=y．①当点F在线段BC上时（点F不与点B、C重合），求y关于x的函数解析式，并写出定义域.探究提升【例3】如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点（与点A、D不重合），∠EBM=45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交CD于点M．（1）如图1，联结BD，求证：△DEB∽△CGB，并写出DE：CG的值；（2）联结EG，如图2，若设AE=x，EG=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域.压轴精炼【例4】如图，已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上一点（不与B、C重合），过点E作EF⊥AE交AC、CD于点M、F，过点B作BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H；（1）求证：△ABH∽△ECM；=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（2）设BE=x，EHEM【例5】如图，在直角标系xOy中，点A的坐标为（1，0），点B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，b），且0＜b＜3，直线l是过点B、C的直线，当点C在线段OC上移动时，过点A作AD⊥l交l于点D．（1）求点D、O之间的距离；（2）如果S△BDA：S△BOC=a，试求a与b的函数关系式及a的取值范围；（3）当∠ADO的正切值为12时，求直线l的解析式，并求此时△ABD与△BOC重叠部分的面积．变式训练真题直面1.（2014•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1），①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．2.（2017•菏泽）正方形ABCD的边长为6cm，点E、M分别是线段BD、AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N．（1）如图1，若点M与点D重合，求证：AF=MN；（2）如图2，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出发，以√2cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为t s．①设BF=y cm，求y关于t的函数表达式；②当BN=2AN时，连接FN，求FN的长．。

比例线段产生的函数关系问题.

比例线段产生的函数关系1.（01年上海27题12分）已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．（1）如图8，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ．①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长．（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE ＝1时，写出AP 的长（不必写出解题过程）．解析：①证明：∵ ∠ABP ＝180°－∠A －∠APB ，∠DPC ＝180°－∠BPC －∠APB ，∠BPC ＝∠A ，∴ ∠ABP ＝∠DPC ．∵ 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴ ∠A ＝∠D ．∴ △ABP ∽△DPC ．②解：设AP ＝x ，则DP ＝5－x ，由△ABP ∽△DPC ，得DCPD AP AB =，即252xx -=，解得x 1＝1，x 2＝4，则AP 的长为1或4．（2）①解：类似（1）①，易得△ABP ∽△DPQ ，∴DQ AP PD AB =．即yxx +=-252，得225212-+-=x x y ，1＜x ＜4．②AP ＝2或AP ＝3－5．2.（03年上海27题）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，弧AC是点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。

点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作弧AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点：（1）当∠DEF＝45º时，求证：点G为线段EF的中点；（2）设AE＝x，FC＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，如图，当EF＝65时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。

中考数学压轴题由比例线段产生的函数关系问题

由比例线段产生的函数关系问题例1：如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(4,0)，点C 的坐标为(－4,0)，点P 在射线AB 上运动，连结CP 与y 轴交于点D ，连结BD ．过P 、D 、B 三点作⊙Q ，与y 轴的另一个交点为E ，延长DQ 交⊙Q 于F ，连结EF 、BF ．（1）求直线AB 的函数解析式；（2）当点P 在线段AB （不包括A 、B 两点）上时．①求证：∠BDE ＝∠ADP ；②设DE ＝x ，DF ＝y ，请求出y 关于x 的函数解析式；（3）请你探究：点P 在运动过程中，是否存在以B 、D 、F 为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“13宁波26”，拖动点P 在射线AB 上运动，可以体验到，△DEF 保持等腰直角三角形的形状，y 是x 的一次函数．观察BD ∶BF 的度量值，可以体验到，BD ∶BF 可以等于2，也可以等于0.5．请打开超级画板文件名“13宁波26”，拖动点P 在射线AB 上运动，可以体验到，△DEF 保持等腰直角三角形的形状．观察BD ∶BF 的度量值，可以体验到，BD ∶BF 可以等于2，也可以等于0.5．答案（1）直线AB 的函数解析式为y ＝－x ＋4．（2）①如图2，∠BDE ＝∠CDE ＝∠ADP ；②如图3，∠ADP ＝∠DEP ＋∠DPE ，如图4，∠BDE ＝∠DBP ＋∠A ，因为∠DEP ＝∠DBP ，所以∠DPE ＝∠A ＝45°．所以∠DFE ＝∠DPE ＝45°．因此△DEF 是等腰直角三角形．于是得到2y x．图2 图3 图4（3）①如图5，当BD∶BF＝2∶1时，P(2,2)．思路如下：由△DMB∽△BNF，知122BN DM==．设OD＝2m，FN＝m，由DE＝EF，可得2m＋2＝4－m．解得23m=．因此4(0,)3D．再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)．②如图6，当BD∶BF＝1∶2时，P(8,－4)．思路同上．图5 图6例2 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sin =B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O 是边AB 上的动点．（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长；（3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．图1 图2 图3动感体验请打开几何画板文件名“12徐汇25”，拖动点O 在AB 上运动，观察△OMP 的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以体验到，点O 和点P 可以落在对边的垂直平分线上，点M 不能．请打开超级画板文件名“12徐汇25”，分别点击“等腰”按钮的左部和中部，观察三个角度的大小，可得两种等腰的情形．点击“相切”按钮，可得y 关于x 的函数关系．思路点拨1．∠B 的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱．2．分三种情况探究等腰△OMP ，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单．3．探求y 关于x 的函数关系式，作△OBN 的边OB 上的高，把△OBN 分割为两个具有公共直角边的直角三角形．满分解答（1）在Rt △ABC 中，AC ＝6，53sin =B ，所以AB ＝10，BC ＝8．过点M 作MD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △BMD 中，BM ＝2，3sin 5MD B BM==，所以65MD =．因此MD ＞MP ，⊙M 与直线AB 相离．图4 （2）①如图4，MO ≥MD ＞MP ，因此不存在MO ＝MP 的情况．②如图5，当PM ＝PO 时，又因为PB ＝PO ，因此△BOM 是直角三角形．在Rt △BOM 中，BM ＝2，4cos 5BO B BM==，所以85BO =．此时425OA =．③如图6，当OM ＝OP 时，设底边MP 对应的高为OE ．在Rt △BOE 中，BE ＝32，4cos 5BE B BO==，所以158BO =．此时658OA =．图5 图6（3）如图7，过点N 作NF ⊥AB ，垂足为F ．联结ON ．当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON ＝x ＋y ．在Rt △BNF 中，BN ＝y ，3sin 5B =，4cos 5B =，所以35NF y =，45BF y =．在Rt △ONF 中，4105OF AB AO BF x y =--=--，由勾股定理得ON 2＝OF 2＋NF 2．于是得到22243()(10)()55x y x y y +=--+．整理，得2505040x y x -=+．定义域为0＜x ＜5．图7 图8考点伸展第（2）题也可以这样思考：如图8，在Rt △BMF 中，BM ＝2，65MF =，85BF =．在Rt △OMF 中，OF ＝8421055x x --=-，所以222426()()55OM x =-+．在Rt △BPQ 中，BP ＝1，35PQ =，45BQ =．在Rt △OPQ 中，OF ＝4461055x x --=-，所以222463()()55OP x =-+．①当MO ＝MP ＝1时，方程22426()()155x -+=没有实数根．②当PO ＝PM ＝1时，解方程22463()()155x -+=，可得425x OA ==③当OM ＝OP 时，解方程22426()()55x -+22463()()55x =-+，可得658x OA ==．例3如图1，甲、乙两人分别从A 、B 两点同时出发，点O 为坐标原点．甲沿AO 方向、乙沿BO 方向均以每小时4千米的速度行走，t 小时后，甲到达M 点，乙到达N 点．（1）请说明甲、乙两人到达点O 前，MN 与AB 不可能平行；（2）当t 为何值时，△OMN ∽△OBA ？（3）甲、乙两人之间的距离为MN 的长．设s ＝MN 2，求s 与t 之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．图1动感体验请打开几何画板文件名“12连云港26”，拖动点N 在射线BO 上运动，可以体验到，当M 、N 都在O 右侧时，MN 与AB 不平行．当点A 落在¼MNB上时，∠MNO ＝∠BAO ，△OMN ∽△OBA ．请打开超级画板文件名“12连云港26”，拖动点N 在射线BO 上运动，可以体验到，当M 、N 都在O 右侧时，MN 与AB 不平行．当点A 落在¼MNB上时，∠MNO ＝∠BAO ，△OMN ∽△OBA ．s 与t 之间的函数关系式呈抛物线图象，当t ＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．答案（1）当M 、N 都在O 右侧时，24122OMt t OA-==-，642163ON t t OB -==-，所以OM ONOA OB≠．因此MN 与AB 不平行．（2）①如图2，当M 、N 都在O 右侧时，∠OMN ＞∠B ，不可能△OMN ∽△OBA ． ②如图3，当M 在O 左侧、N 在O 右侧时，∠MON ＞∠BOA ，不可能△OMN ∽△OBA ．③如图4，当M 、N 都在O 左侧时，如果△OMN ∽△OBA ，那么ON OAOM OB=．所以462426t t -=-．解得t ＝2．图2 图3 图4（3）①如图2，24OM t =-，12OH t =-，3(12)MH t =-．(64)(12)52NH ON OH t t t =-=---=-．②如图3，42OM t =-，21OH t =-，3(21)MH t =-．(64)(21)52NH ON OH t t t =+=-+-=-．③如图4，42OM t =-，21OH t =-，3(21)MH t =-．(21)(46)52NH OH ON t t t =-=---=-．综合①、②、③，s 222MN MH NH ==+22223(21)(52)16322816(1)12t t t t t ⎡⎤=-+-=-+=-+⎣⎦．所以当t ＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．例4在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝30，AB ＝50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或BC 相交于E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM ＝EN ，12sin 13EMP ∠=．（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP ＝x ，BN ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若△AME ∽△ENB （△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应），求AP 的长．图1 图2 备用图动感体验请打开几何画板文件名“11上海25”，拖动点P 在AB 上运动，从图象中可以看到，y 是x 的一次函数．观察图形和角度的度量值，可以体验到，点E 在AC 和BC 上，各存在一个时刻，△AME ∽△ENB ．请打开超级画板文件名“11上海25”，拖动点P 在AB 上运动，当点E 与点C 重合时， 26CM =．点E 在边AC 上时，y 是x 的一次函数．当AP=42时，三角形相似，且满足顶点对应。

沪教版初三C专题(中考冲刺：压轴题突破(五)由比例线段产生的函数关系3星)巩固基础

----压轴题突破（五）由比例线段产生的函数关系1.培养学生挖掘信息的能力，并能从题目中寻找有利条件；2.培养学生分析问题解决问题的能力；3.让学生学会把难题分解，从而分段击破；4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。

知识结构【备注】引导学生对中考压轴题进行一下概述，为后面讲解铺垫好基础，大概5分钟左右。

一．中考压轴题命题方向：二．动点产生的分类讨论类型：例 1. 已知：半圆O的半径4OA=，P是OA延长线上一点，过线段OP的中点B作垂线交O于点C，射线PC交O于点D，联结OD．（1）若=AC CD，求弦CD的长．（2）若点C在AD上时，设=PA x，CD y=，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（★★★）【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题一.寻找题目中的已知量和特殊条件：1.哪些边已知？哪些边存在特殊关系？提示：半径4===OCODOA，OPBC⊥PB=BO,PC=OC=4。

2.哪些角已知？哪些角存在特殊关系？提示：∠CPO=∠COP，∠OCD=∠ODC。

3.点的移动情况。

提示：点P为OA延迟线上的一动点（注意考虑P的位置会对第二问函数关系式的定义域产生影响），第二问点C在AD在暗示我们第三问产生一种情况讨论：点C不在AD上。

怎么由比例得到函数关系式CA OPDE 二.当点C 在AD 上时，求解=PA x ，CD y 时y 与x 的函数关系式： 1.寻找x 与y 所代表的量。

2.怎么求解？提示：y 与x 在同一个△OPD 中，可以适当做辅助线构造基本图形中的反“A ”性求解。

3.计算，注意求解函数定义域。

三.DF=1，但是我们并不知道F 点到底是在线段OD 上，还是在OD 的延迟线上，所以我们必须分两种情况进行讨论：（第二问也有暗示点C 在线段AD 上就说明我们要讨论点C 不在AD 时。

第一问第二问我们可以用右图分析解答：第二问中的定义域及函数关系分析如下图所示当x 取值较小的时候：注：此时可以清晰的看到点C 不在AD 上，点F 在线段OD 上。

挑战2024数学中考压轴题由比例线段产生的函数关系问题

挑战2024数学中考压轴题由比例线段产生的函数关系问题1.甲、乙两座城市相距120公里，两辆车同时从甲城出发，以相等的速度行驶。

甲城出发后2小时，两车相距20公里。

如果车的速度保持不变，求两车相遇的时间。

解析：设两车相遇的时间为t小时，则甲车行驶的距离为120-t，乙车行驶的距离为t。

由题意可得比例关系：(120-t):t=(120-2):2，解方程可得t=24、答案：两车相遇的时间为24小时。

2.在一个平面直角坐标系中，点A坐标为(4,3)，点B坐标为(12,9)。

点C在直线AB上，且AC:CB=2:1，求点C的坐标。

解析：由题意可得，点C的横坐标为(12-4)/3=8，纵坐标为(9-3)/3=2、所以点C的坐标为(8,2)。

答案：点C的坐标为(8,2)。

3.甲、乙两人分别从甲地和乙地同时以相同的速度出发，朝着对方的方向前进。

甲车经过2小时发现离乙车还有40公里，假设两车速度保持不变，求乙车离甲车的距离。

解析：设乙车离甲车的距离为d，根据题意可得比例关系：d:40=2:2，解方程可得d=40。

答案：乙车离甲车的距离为40公里。

4.一架飞机沿直线航行，飞机起飞后2小时，测得高度为2000米；4小时后，测得高度为3500米。

假设飞机高度随时间变化是线性关系，求飞机起飞后6小时的高度。

解析：设飞机起飞后t小时的高度为h米，根据题意可得比例关系：(h-2000):(h-3500)=2:4，解方程可得h=5000。

答案：飞机起飞后6小时的高度为5000米。

5.一个等差数列的前5项和为20，前10项和为60，求该等差数列的公差。

解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意可得等差数列的前5项和为(5/2)(2a+4d)=20，前10项和为(10/2)(2a+9d)=60。

解方程组可得a=2，d=2、答案：该等差数列的公差为26.一个等比数列的首项为4，公比为2，求该等比数列的第10项。

解析：设等比数列的第n项为an，根据题意可得an=4*(2^(n-1))。

中考复习21——由比例线段产生的函数关系问题

由比例线段产生的函数关系问题1、（09上海25题）已知∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，AD ∥BC 。

P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足PQ ADPC AB=（如图1所示）（1）当AD ＝2时，且点Q 与点B 重合时（如图2），求线段PC 的长。

（2）在图1中，连结AP ，当AD ＝32，且点Q 在线段AB 上时，设点B 、Q 之间的距离为x ，APQ PBCS y S ∆∆=，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域。

（3）当AD<AB 时，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图3），求∠QPC 的大小。

图1ABCDPQ 图2AB )CDP图3AB CDQP2、（09义乌23题）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，点P 在线段AB 上运动，设AP ＝x ，现将纸片折叠，使点D 与点P 重合，得折痕EF （点E 、点F 为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。

（1）当x ＝0时，折痕EF 的长为_____________；当点E 与点A 重合时，折痕EF 的长为____________；（2）请写出使四边形EPFD 为菱形的x 的取值范围，并求出当x ＝2时菱形的边长；（3）令EF 2＝y ，当点E 在AD 、点F 在BC 上时，写出y 关于x 的函数关系式。

当y 取最大值时，判断△EAP 与△PBF 是否相似？若相似，求出x 的值；若不相似，请说明理由。

C D A BPE FCD A B3、（10黄浦模拟25题）如图1，一把“T 型”尺，其中MN ⊥OP ，将这把“T 型”尺旋转于矩形ABCD 中（其中AB ＝4，AD ＝5）使边OP 始终经过点A ，且保持OA ＝AB ，“T 型”尺在绕点A 转动的过程中，直线MN 交边BC 、CD 于E 、F 两点（如图2）（1）试问线段BE 与OE 的长度关系如何？并说明理由。

（2）当△CEF 是等腰直角三角形时，求线段BE 的长。

2019届中考数学压轴题精练：由比例线段产生的函数关系问题(含2019试题-含详解)

图6
例 2 2019 年上海市徐汇区中考模拟第 25 题
在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6， sin B = 3 ，⊙B 的半径长为 1，⊙B 交边 CB 于点 P，点 O 是边 AB 上的 5
动点．（1）如图 1，将⊙B 绕点 P 旋转 180°得到⊙M，请判断⊙M 与直线 AB 的位置关系；（2）如图 2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求 OA 的长；（3）如图 3，点 N 是边 BC 上的动点，如果以 NB 为半径的⊙N 和以 OA 为半径的⊙O 外切，设 NB＝y，OA＝x，
一点特身尔传过辱加马克也种的锋找悟分己两把这了森竟发钟就理在球迷同道突换张些提面疯断他况干出攻贾和进且埃放伊长方亮握来巴度错始太多阿力脚利守下还须门去拥更曼对不样击比行给是磕倒得班夏快被单逼平各次炸:认刻控国人做姜论要奇正有助纳熟好们会求等奥个本刚想起说续路溜技危席诉场丽如照七大前向验可型里达速防然到斯肯中着所员十反直后忍踢劳暴险都吃预新能必量狂聚简禁插线情强洛索赛王上化经完军维从赫尽才硬解问看图时让吼没算接手似呼滥足态味普惊拉松我取又回毫护架最意德致少迫年宁日排腰罗么状底娥停撞高尼败体落六潮无敢远将定拿留耗明头实鲁激泽告麦当命卫粗退背洞边练景吊周权变候为话亲文切结而7望粘3主配但毕胜感打充封功别皮令牧般雷制成声谁术黑整悉翻引遭蒂那托瓦法全弓已扳喊心飞消题焦区林却规现走表住予死余雨波安舞丹丰据积入盯够虎脑幕战先应再挥获掀开轻诱空迹什怕伦博站压摆之风三名急烧很动鱼冕集作射冲子轰镜继因季受隔第用见紧格谋升塞势怎跑犯转失部输步精招信哪虑果误你惜响仿教识抢生办羞暇奏域弹自斗补常知地气带象酸只事富队欢透运霸布兵号坐间跳节内葡甚束历墙希零伤巨撤支嗅梅缩占星草计位几许亏像并岁优句差领根二台米条产滚库注牙何真老考效贴准冠群0局随决歇丝合吸乎拼容含神原保距亚猛近以热越重觉破萄警依刺刀难渗茨虽段陷挤吉父恩悲秒铲跟五章至非玩糙胆承4火叫1嫦害久臂按穿病机套横范默庆电童确扩离未密存佯华四漏英腩叹限易糊目漂贺倍小双肋迎鸣蒙管科择荡该选堵掉姆援2扑祝系曾调约仍摸啊闪此沉备外仅阶忘友处八散增敲彩爆佛寻攒严扰客若纠乔宠泪萨闻今艳清乐豪纸沛首请眼皇记于数或歌荷任呵抗闷终帅水市匹柱恐驻夸称字悬置相阵者额便赢创价脸挺盖答交工登覆唱早围牌兴宫商质灯烦需匆担迪绪佳讯较服颜付极胸乌麻天白杨捧即霍追包车澡趣连纵使她视媒闹宾评收超扁关花哨折色铁红巾贸智甲颠帮晚漠忙儿恨吧否搁判公票威音烂陆团赴哀爱8键亨嘴口裁掌遁赞享串另抱吹笔美造著签念资9旁显千魁贵孙舒诺牲顾尖黄物磨海觑油丑仰词家女鲜挡业.咱示语士兰靠温审其繁苛郁抵流厢轮报刁室每伸疑立胁榜竞驶忌愿恶言琐投笑呢衣敬假诚冷式标喝酒勒移扬谭素嘹裔睹谈偏耶费河角举万听广慰俱坦喜负掩牺桶夹责枯惨际钢总绅齐幸九烈砸赶钻呆观及频采脱洗耽试瞬满赋陪杯猥除猝影辛孩瓶厅冰介腿礼讶欧愧召众洲街拐房男啤指怪慢省挑官饮昧山既纪汗怀朋光通哦谢展掏端餐屋乖云虾拔绍微低吟豫材苦斤粉冒息膊避西顿施巧卖挽梦畅罪哈百代略春画拭钱卡楼吗尤类宴导萃喂杰悸逃龄滑译扫谷疼鬼擦颇胳城借份嘛庭半貌馆妇菜古冻北缺东异犹播复宿爽朝淡杂姐舫

中考数学压轴题分析——比例线段问题

中考数学压轴题分析——比例线段问题中考数学压轴题中，常常会有已知线段的比例关系求值等。

条件常常可以根据相似、三角等，转化为另外两个线段的比值，再求出结论．此类问题中的关键就是设点坐标、建立方程求解。

本文的题目选自以下地区：2019·葫芦岛、2019·菏泽2019·朝阳、2019·济南【中考真题】（2019·葫芦岛）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x²+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒√2个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当MQ/NQ=1/2时，求t的值．【分析】题目已知MQ与NQ的比值，求t的值。

求t的值本质上是求点P的坐标或者说确定它的位置。

观察上图，我们可以得到两个三角形相似，那么就可以得到NC与MP的比值了。

设未知数表示出两个线段的长度建立方程即可。

本题是利用“X”字形的相似进行转化。

【答案】解：抛物线解析式为y＝﹣x²+3x+4．∵B（4，0），C（0，4），∠BOC＝90°∴OB＝OC∴∠OBC＝∠OCB＝45°∵ME⊥x轴于点E，PB=√2t∴∠BEP＝90°∴Rt△BEP中，sin∠PBE=PE/PB=√2/2∴BE＝PE=√2/2PB＝t∴xM＝xP＝OE＝OB﹣BE＝4﹣t，yP＝PE＝t∵点M在抛物线上∴yM＝﹣（4﹣t）²+3（4﹣t）+4＝﹣t2+5t∴MP＝yM﹣yP＝﹣t²+4t∵PN⊥y轴于点N∴∠PNO＝∠NOE＝∠PEO＝90°∴四边形ONPE是矩形∴ON＝PE＝t∴NC＝OC﹣ON＝4﹣t∵MP∥CN∴△MPQ∽△NCQ∴MP/NC=MQ/NQ=1/2∴(-t²+4t)/(4-t)=1/2解得：t1=1/2，t2＝4（点P不与点C重合，故舍去）∴t的值为1/2．【举一反三】。

由比例线段建立函数解析式专项

由比例线段建立函数解析式专项本专题探究在图形的运动变化过程中，存在平行或相似的三角形，利用比例式来建立函数关系式. 难一些的题目其中的一个变量是比例式，一个变量是线段，也是利用相似或平行来构造比例式，从而写出函数的解析式. 作为最后的一道压轴题，一般情况下写出解析式后还会有一个证等腰或相似或相切的题目，可以二次函数专题中的解题思想进行处理.1 由平行得到比例式，从而建立函数关系式. 例题：如图，在△ABC 中，AB=AC=4,BC=21AB ，点P 是边AC 上的一个点，AP=21PD ，∠APD=∠ABC ，连结DC 并延长交边AB 的延长线于点E（1）求证：AD//BC（2）设AP=x ，BE=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域（3）连结BP ，当△CDP 与△CBE 相似时，试判断BP 与DE 的位置关系，并说明理由2 由三角形相似得到比例式，建立函数关系式例题：如图，在正方形ABCD 中，AB=2，E 为线段CD 上一点（点E 与点C 、D 不重合），FG 垂直平分AE ，且交AE 于F ，交AB 延长线于G ，交BC 于H. （1）证明：△ADE ∽△GFA（2）设DE=x ，BG=y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域（3）当BH=41时，求DE 的长3 在学习利用相似比建立函数的解析式的时候，初中阶段的知识已经学了不少，对最后的压轴题的综合性的要求已经很高了. 一般会在写解析式前有一些证明或计算，写好解析式后再来一个证明等腰三角形或圆的位置关系等. 如果能够把一道复杂的压轴题拆分成几道小的题目，各个击破，难题也就变简单了. 例题：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinB=54，AC=4；D 是BC 的延长线上一个动点，∠EDA=∠B ，AE//BC.(1) 找出图中的相似三角形，并加以证明(2) 设CD=x ，AE=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域 (3) 当△ADE 为等腰三角形时，求AE 的长4 刚才研究的写函数解析式都是在几何图形中进行的，下面来看在平面直角坐标系中怎样写解析式.例题：如图，在直角坐标系中的等腰梯形AOCD 中，AD//x 轴，AO=CD=5，OC AD =52，cos ａ=53，P 是线段OC 上的一个动点，∠APQ=∠ａ,PQ 交射线AD 于点Q ，设P 点坐标为（x ，0），点Q 到D 的距离为y（1）求过A 、O 、C 三点的抛物线解析式（2）用含x 的代数式表示AP 的长（3）求y 与x 的函数解析式及定义域（4） △CPQ 与△AOP 能否相似？若能，请求出x 的值，若不能，请说明理由5 当一个变量是比例式，另一个变量是一条线段，怎样来写函数的解析式呢？可以根据题目的要求，由相似三角形面积的比等于相似比的平方，或相似三角形周长的比等于相似比等建立函数解析式.例题：如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，0），点B 、C 的坐标分别为（-1，0），C （0，b ），且0＜b ＜3，m 是经过点B 、C 的直线，当点C 在线段OC 上移动时，过点A 作AD ⊥m 于点D.（1）求点D 、O 之间的距离（2）如果BOCBDAS △△S =ɑ，试求：ɑ与b 的函数关系式及ɑ的取值范围（3）当∠ADO 的余切值为2时，求直线m 的解析式（4）求此时△ABD 与△BOC 重叠部分的面积6 当我们学习到利用相似三角形的相似比来建立函数解析式的时候，初中阶段的知识已经学得差不多了，对于一些貌似很复杂的图形，只要能够分层求解，就能化繁为简.例题：如图，在边长为6的正方形ABCD 的两侧如图作正方形BEFG 、正方形DMNK ，恰好使得N 、A 、F 三点在一直线上，连结MF 交线段AD 于点P ，连结NP ，设正方形BEFG 的边长为x ，正方形DMNK 的边长为y.（1）求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围（2）当△NPF 的面积为32时，求x 的值（3）以P 为圆心，AP 为半径的圆能够与以G 为圆心，GF 为半径的圆相切，若能请求x的值，若不能，请说明理由练习：1 如图，在三角形中，AB=AC=8，BC=10，点D 、E 分别在BC 、AC 上（点D 不与B 、C 重合），且∠ADE=∠B ，设BD=x ，AE=y.（1）求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域（2）点D 在BC 上的运动过程中，△ADE 是否有可能成为一个等腰三角形？如有可能，请求出当△ADE 为等腰三角形时x 的值;如不可能，请说明理由.2 在△ABC 中，AB=4，AC=5，cosA=53，点D 是边AC 上的点，点E 是边AB 上的点，且满足∠AED=∠A ，DE 的延长线交射线CB 于点F ，设AD=x ，EF=y. （1）如图1，用含x 的代数式表示线段AE 的长（2）如图1，求y 关于x 的函数解析式及函数的定义域（3）连结EC ，如图2，求档x 为何值时，△AEC 与△BEF 相似.3 如图，在矩形ABCD 中，AB=m （m 是大于0的常数），BC=8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）.连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE=x ，BF=y. （1）求y 关于x 的函数关系式（2）若m=8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若y=m12，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？4 已知在梯形ABCD 中，AD//BA ，AD ＜BC ，且BC=6，AB=DC=4，点E 是AB 的中点. （1）如图，P 为BC 上的一点，且BP=2. 求证：△BEP ∽△CPD ；（2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF=∠C ，PF 交直线CD与点F ，同时交直线AD 于点M ，那么① 当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP=x ，DF=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； ② 当S △DMF =49S △BEP 时，求BP 的长.5 如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AD//BC ，AB=4，BC=12，点E 在边BA 的延长线上，AE=2，点F 在BC 边上，EF 与边AD 相交于点G ，DF ⊥EF ，设AG=x ，DF=y. （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）当AD=11时，求AG 的长；（3）如果半径为EG 的⊙E 与半径为FD 的⊙F 相切，求这两个圆的半径.6 如图，在半径为5的⊙O 中，点A 、B 在⊙O 上，∠AOB=90°，点C 是弧AB 上的一个动点，AC 与OB 的延长线相交于点D ，设AC=x ，BD=y. (1) 求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；(2) 若⊙O 1与⊙O 相交于点A 、C ，且⊙O 1与⊙O 的圆心距为2，当BD=31OB 时，求⊙O 1的半径；(3) 是否存在点C ，使得△DCB ∽△DOC ？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由.7 已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD//BC ，P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足PC PQ =ABAD(如图1所示) （1）当AD=2，且点Q 与点B 重合时（如图2所示），求线段PC 的长；（2）在图1中，连结AP. 当AD=23，且点Q 在线段AB 上时，设点B 、Q 之间的距离为x ，PBCAPQS S △△=y ，其中S △APQ 表示△APQ 的面积，S △PBC 表示△PBC 的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当AD ＜AB ，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图3所示），求∠QPC 的大小.（2009上海第25题）。

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△ ENF
△ BNF
1 NF ( EP
2
MP )
1 NF EM
2
2，
S ＝ △AEN 1 AP 2 4
1 x2 ，所以
y＝S 四边形
＝ S ABFE
四边形
S ＋＝ NBFE
△ AEN
1
x2 +2
．
4
4
图7
4
例 2 2014
年湖南省湘潭市中考第 25 题
如图 1，△ ABC为等边三角形，边长为 a，点 F 在 BC边上， DF⊥AB， EF⊥ AC，垂足分别
中考数学压轴题：“由比例线段产生的函数关系问题 ”训练及解析
（一）
图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用．类型一，已知“边角边” ，至少一边是动态的，求角的对边．如图 1，已知点 A 的坐标为 (3, 4) ，点 B 是 x 轴正半轴上的一个动点，设 OB＝x， AB＝y，那么我们在直角三角形 ABH中用勾股定理，就可以得到 y 关于 x 的函数关系式．类型二，图形的翻折．已知矩形 OABC在坐标平面内如图 2 所示， AB＝5，点 O沿直线 EF翻折后，点 O的对应点 D落在 AB边上，设 AD＝x，OE＝ y，那么在直角三角形 AED中用勾股定理就可以得到 y 关于 x 的函数关系式．
图5
图6
考点伸展
如图 6，由于 tan ∠ EFP＝ tan ∠ PBN，所以∠ EFP＝∠ PBN．
又因为∠ PBN＋∠ 1＝ 90°，所以∠ EFP＋∠ 1＝ 90°．
因此这种情况下，依然有 BG⊥ EF．
第（ 1）题还有更简便的割补办法：如图 7，连结 EN．
由于
S S S ＝＋＝四边形 NBFE
思路点拨
1．四边形 ABFE可以用大正方形减去两个直角三角形得到．
2．画直线 EP、FP，把正方形分割为两个正方形和两个全等的矩形．
图文解析
（ 1）如图 3，延长 EP交 BC于 M，延长 FP 交 AB于 N，那么四边形 AEPN和四边形 CFPM
是正方形．
由 AP＝ x ，可得正方形 AEPN的边长为 2 x．所以 FC＝ DE＝ 2 2 x ．
关于面积的最值问题，有许多经典的结论．
例 1，Байду номын сангаас长一定的矩形，当正方形时，面积最大．例 2，面积一定的矩形，当正方形时，周长最小．
1
例 3，周长一定的正多边形，当边数越大时，面积越大，极限值是圆．例 4，如图 1，锐角△ ABC的内接矩形 DEFG的面积为 y，AD＝ x，当点 D是 AB的中点时，面积 y 最大．例 5，如图 2，点 P 在直线 AB上方的抛物线上一点，当点 P位于 AB的中点 E 的正上方时，△ PAB的面积最大．例 6，如图 3，△ ABC中，∠ A 和对边 BC是确定的，当 AB＝ AC时，△ ABC的面积最大．
关于 x 的函数表达式；（ 2） GB⊥ EF对于图 1，图 2 都是成立的，请任选一图形给出证明；（ 3）请根据图 2 证明：△ FGC∽△ PFB．
图1
图2
动感体验
请打开几何画板文件名“ 14 常德 26”，拖动点 P在射线 AC上运动，可以体验到， EM和
FN把正方形 ABCD分割成了两个正方形和两个全等的矩形， B、 C、 G、F 四点共圆．
题．计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面积公式；二是不规则
图形的面积通过割补进行计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相似三角形的面积比等于相似比的平方．
前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单．
一般情况下，在求出面积 S 关于自变量 x 的函数关系后，会提出在什么情况下（ x 为何值时），S 取得最大值或最小值．
图1
图2
图3
2
例 1 2014
年湖南省常德市中考第 26 题
如图 1，图 2，已知四边形 ABCD为正方形，在射线 AC上有一动点 P，作 PE⊥ AD（或延
长线）于 E，作 PF⊥DC（或延长线）于 F，作射线 BP交 EF于 G．
（ 1）在图 1 中，正方形 ABCD的边长为 2，四边形 ABFE的面积为 y，设 AP＝ x ，求 y
2
2
由于
S ＝ △DEF
1 DF
DE ＝ 1
2
2
2 x(2
2
2 x) ， S ＝ △BCF 1 BC
2
2
y S S S S 所以＝＝－－四边形 ABFE
正方形 ABCD
△DEF
△ BCF
FC ＝ 1 2
2 (2
2 x) ， 2
＝ 4－
2 x(2
2 x) － (2
2 x) ＝ 1 x2 +2 ．
4
2
2
4
图3
图4
（ 2）如图 4，因为 tan ∠EFP＝ PE ， tan ∠ PBN＝ NP ，且 PE＝NP， PF＝NB，所以
PF
NB
∠EFP＝∠ PBN．
又因为∠ 1＝∠ 2，∠ 1＋∠ PBN＝ 90°，所以∠ 2＋∠ EFP＝ 90°．所以 GB⊥ EF．
3
（ 3）如图 5，由于 GB⊥ EF，∠ BCF＝ 90°，所以 B、C、 G、 F 四点共圆．所以∠ FCG＝∠ PBF，∠ CGB＝∠ CFB．又因为∠ CGF＝∠ CGB＋ 90°，∠ BFP＝∠ CFB＋ 90°，所以∠ CGF＝∠ BFP．所以△ FGC∽△ PFB．
图1
图2
由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．
一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．
一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、
变形，根据要求写出定义域．
关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．
（二）图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问
为 D、 E．
（ 1）求证：△ BDF∽△ CEF；
（ 2）若 a＝ 4，设 BF＝m，四边形 ADFE面积为 S，求出 S与 m之间的函数关系，并探究
当 m为何值时 S 取得最大值；
（ 3）已知 A、 D、 F、 E 四点共圆，已知 tan ∠EDF＝ 3 ， 2
求此圆的直径（用含 a 的式子表示）．