三角函数的定义教学设计

课题：三角函数的定义

目标要求：

1． 理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．

2． 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义．

知识原理

1． 与角α终边相同的角{α|β=α＋2kπ，k ∈Z }

2． 终边在坐标轴上的角：{β|β=

2

πk ，k ∈Z } 3． 象限角：{β| 2πk ＜β＜2)1(π+k ，k ∈Z }，当k 被4除的余数为r 时，集合表示第r ＋1象限的角（r =0，1，2，3，）．

4． 弧度制：圆周上等于半径的弧所对的圆心角称为1弧度的角．

5． 弧度制与角度制的换算：弧度=180o ．

6． 若点P （x ，y ）是角的终边与单位圆x 2＋y 2=1的交点，则sinα=y ，cosα=y ，tanα=

x y ．等价地，若点P （x ，y ）

是角α终边上任意一点，r 是则sinα=r y ，cosα=r x ，点P 到原点的距离，tanα=x y ． 7． 三角函数的符号：

例题选讲 例1 如图，点P 是半径为1的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置A 点出发，按照逆时针方向，以3πrad/s 的角速度作匀速圆周运动．求点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系，并求它运动了4s 时的位置．

例2（1）角α的终边上一个点P （4t ，－3t ）（t ≠0），求2sinα＋cosα的

值．

（2）已知角β的终边在直线y =3x 上，用三角函数定义求sinβ和tanβ的值．

例3 已知一扇形的中心角为α，所在圆的半径为R ．

（1） 若α＝60o ，R ＝10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；

（2） 若扇形的周长是一定值C （C ＞0），当α为多少弧度时，该扇形有最大面

积？

例4 已知函数f (x )=2sin 2(4π＋x )－3cos2x ，x ∈[4π，2

π]． （1）求f (x )的最大值与最小值

（2）若不等式| f (x )－m |＜2在x ∈[

4π，2π]上恒成立，求实数m 的取值范围． 巩固练习

一、选择题

1.对任意的锐角α，β下列不等关系中，正确的是（ ）

A ．sin(α＋β) ＞sinα＋sinβ

B ．sin(α＋β) ＞cosα＋cosβ

C ．cos(α＋β) ＜sinα＋sinβ

D ．cos(α＋β)＜cosα＋cosβ

2.已知α为第三象限角，则2

α所在的象限是（ ） A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限

3.若函数f (x )=sin x ＋2|sin x |（ x ∈）的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是（ ）

A ．1≤k ≤3

B ．1≤k ＜3

C ．1＜k ≤3

D ．1＜k ＜3

4.已知cosθtanθ＜0，那么角θ是（ ）

A ．第一或第二象限

B ．第二或第三象限

C ．第三或第四象限

D ．第一或第四象限

二、填空题

5.已知集合A ＝{x |kπ＋3π≤x≤kπ＋2

π ，k ∈Z }，B ＝{ x ｜4－x 2≥0}，则A ∩B ＝ 6.若sin x ＋cos x =k ，且sin 3x ＋cos 3x ＜0，则实数k 的取值范围为

三、解答题

7.设全集U ＝R ．

（1）解关于x 的不等式|x －1|＋a －1 ＞0（a ∈R ）；

（2）记A 为（1）中不等式的解集，集合B ＝{x |sin(πx －

3π)＋3cos(πx －3

π)=0}，若A C U ∩B 中恰有三个元素，求a 的取值范围．

8.已知ΔABC 的面积为3,且满足0≤AB ·AC ≤6，设AB 和AC 的夹角为θ

（1）求θ的取值范围；

（2）求函数f (θ)=2sin 2(

4

＋θ)－3cos2θ的最大值与最小值．