第二章 2.4 第2课时 等比数列的性质(优秀经典课时作业练习题及答案详解).

[A组学业达标]
1．在等比数列{a n}中，若a4a5a6＝27，则a1a9＝()
A．3B．6
C．27 D．9
解析：在等比数列{a n}中，由a4a5a6＝27，得a35＝27，得a5＝3，所以a1a9＝a25＝9，故选D.
答案：D
2．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a n a n＋1＝22n＋1，则a5＝()
A．4 B．8
C．16 D．32
解析：由题意可得，a4a5＝29，a5a6＝211，则a4a25a6＝220，
结合等比数列的性质得，a45＝220，数列的各项均为正数，则a5＝25＝32.
答案：D
3．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于()
A．16 B．32
C．64 D．256
解析：由已知，得a1a19＝16.
∵a1·a19＝a8·a12＝a210，
∴a8·a12＝a210＝16.
a n＞0，∴a10＝4，
∴a8·a10·a12＝a310＝64.
答案：C
4．已知{a n}，{b n}都是等比数列，那么()
A．{a n＋b n}，{a n·b n}都一定是等比数列
B ．{a n ＋b n }一定是等比数列，但{a n ·b n }不一定是等比数列
C ．{a n ＋b n }不一定是等比数列，但{a n ·b n }一定是等比数列
D ．{a n ＋b n }，{a n ·b n }都不一定是等比数列
解析：{a n ＋b n }不一定是等比数列，如a n ＝1，b n ＝－1，因为a n ＋b n ＝0，所以{a n ＋b n }不是等比数列．设{a n }，{b n }的公比分别为p ，q ，则a n ＋1b n ＋1a n b n ＝a n ＋1a n ·b n ＋1b n ＝
pq ≠0，所以{a n ·b n }一定是等比数列．故选C. 答案：C
5．在等比数列{a n }中，已知a 7·a 12＝5，则a 8·a 9·a 10·a 11等于( ) A ．10 B ．25 C ．50
D ．75
解析：利用等比数列的性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ，可得a 8·a 11＝a 9·a 10＝a 7·a 12＝5，∴a 8·a 9·a 10·a 11＝25. 答案：B
6．设数列{a n }为公比q ＞1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________.
解析：由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5
a 4
＝3.
∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝(12＋3
2)×32＝18. 答案：18
7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 解析：由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6. ∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4， ∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1，解得a 1＝－8， ∴a 2＝－6. 答案：－6
8．等比数列{a n }是递增数列，若a 5－a 1＝60，a 4－a 2＝24，则公比q 为________．
解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1q 4－a 1＝60，①
a 1q 3－a 1q ＝24，②
①②得a 1(q 4－1)a 1q (q 2
－1)＝52，即q 2＋1q ＝5
2， 解得q ＝1
2或2，
当q ＝2时，代入①得a 1＝4，{a n }是递增数列； 当q ＝1
2时，代入①得a 1＝－64，{a n }也是递增数列． 综上可知，公比q 能取2或1
2. 答案：2或1
2
9．三个正数成等比数列，它们的和等于21，倒数的和等于7
12，求这三个数． 解析：设三个数为a
q ，a ，aq (a ，q ＞0)， 由题⎩⎪⎨⎪⎧ a q ＋a ＋aq ＝21，q a ＋1a ＋1aq ＝7
12，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a (1q ＋1＋q )＝21，1a (q ＋1＋1q )＝7
12⇒a 2＝21×12
7＝36，
∴a ＝6，q ＝2或12，
∴三个数为3,6,12或12,6,3.
10．和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数．
解析：设等差数列的首项为a ，公差为d ，则它的第1,4,25项分别为a ，a ＋3d ，
a ＋24d ，∵它们成等比数列∴(a ＋3d )2＝a (a ＋24d )，∴a 2＋6ad ＋9d 2＝a 2＋24ad . ∴9d 2＝18ad ，∵等比数列的公比不为1，∴d ≠0，∴d ＝2a .① 由题意知：a ＋(a ＋3d )＋(a ＋24d )＝114，即3a ＋27d ＝114，② 由①②可以解得，a ＝2，d ＝4，∴这三个数就是2,14,98.
[B 组 能力提升]
11．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝( ) A ．4 B ．2 C ．－2
D ．－4
解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
2b ＝a ＋c ，
a 2＝bc ，消去a 得4
b 2－5b
c ＋c 2＝0.
∵b ≠c ，∴c ＝4b ，∴a ＝－2b ，
代入a ＋3b ＋c ＝10中得b ＝2，∴a ＝－4. 答案：D
12．已知等比数列{a n }共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是( ) A.3
2 B ． 2 C ．2
D ．2 2
解析：奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a 1a 3a 5a 7a 9＝2，a 2a 4a 6a 8a 10＝64，则a 2a 4a 6a 8a 10a 1a 3a 5a 7a 9＝q 5＝32，则q ＝2，故选C. 答案：C
13．已知等比数列{a n }为递增数列，a 1＝－2，且3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，则公比q ＝________.
解析：因为等比数列{a n }为递增数列且a 1＝－2＜0，所以0＜q ＜1，将3(a n ＋a n
＋2)＝10a n ＋1两边同除以
a n 可得3(1＋q 2)＝10q ，即3q 2－10q ＋3＝0，解得q ＝3
或q ＝13，而0＜q ＜1，所以q ＝13. 答案：13
14．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a m －1a m ＋1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为________．
解析：由等比数列的性质，a m －1a m ＋1＝a 2
m ＝2a m ，各项均为正数，则a m ＝2.又T 2m －1＝(a m )2m －1＝22m －1
＝512，则
2m －1＝9，知m ＝5.
答案：5
15．已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 50，a 51是方程100(lg x )2＝lg(100 x )的两个不同的解，求a 1a 2…a 100的值．
解析：对k ＝50,51，有100(lg a k )2＝lg(100a k )＝2＋lg a k ，即100(lg a k )2－lg a k －2＝0.
因此，lg a 50，lg a 51是一元二次方程100t 2－t －2＝0的两个不同实根， 从而lg(a 50a 51)＝lg a 50＋lg a 51＝1100，
即a 50a 51＝
.
由等比数列的性质知，a 1a 2…a 100＝(a 50a 51)50＝(1
)50＝10.
16．已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a ＞0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3.
(1)若a ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }唯一，求a 的值．
解析：(1)设{a n }的公比为q (q ≠0)，则b 1＝1＋a ＝2，b 2＝2＋aq ＝2＋q ，b 3＝3＋aq 2＝3＋q 2，由b 1，b 2，b 3成等比数列，得(2＋q )2＝2(3＋q 2)，即q 2－4q ＋2＝0，解得q 1＝2＋2，q 2＝2－2，所以{a n }的通项公式为a n ＝(2＋2)n －1或a n ＝(2－2)n －1，(n ≥1)．
(2)设{a n}的公比为q(q≠0)，则由b22＝b1b3得(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，即aq2－4aq＋3a－1＝0(*)，由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程(*)有两个不同的实根，由
{a n}唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a＝1 3.。