第二章 2.4 第2课时 等比数列的性质(优秀经典课时作业练习题及答案详解).

[A组学业达标]

1．在等比数列{a n}中，若a4a5a6＝27，则a1a9＝()

A．3B．6

C．27 D．9

解析：在等比数列{a n}中，由a4a5a6＝27，得a35＝27，得a5＝3，所以a1a9＝a25＝9，故选D.

答案：D

2．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a n a n＋1＝22n＋1，则a5＝()

A．4 B．8

C．16 D．32

解析：由题意可得，a4a5＝29，a5a6＝211，则a4a25a6＝220，

结合等比数列的性质得，a45＝220，数列的各项均为正数，则a5＝25＝32.

答案：D

3．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于()

A．16 B．32

C．64 D．256

解析：由已知，得a1a19＝16.

∵a1·a19＝a8·a12＝a210，

∴a8·a12＝a210＝16.

a n＞0，∴a10＝4，

∴a8·a10·a12＝a310＝64.

答案：C

4．已知{a n}，{b n}都是等比数列，那么()

A．{a n＋b n}，{a n·b n}都一定是等比数列

B ．{a n ＋b n }一定是等比数列，但{a n ·b n }不一定是等比数列

C ．{a n ＋b n }不一定是等比数列，但{a n ·b n }一定是等比数列

D ．{a n ＋b n }，{a n ·b n }都不一定是等比数列

解析：{a n ＋b n }不一定是等比数列，如a n ＝1，b n ＝－1，因为a n ＋b n ＝0，所以{a n ＋b n }不是等比数列．设{a n }，{b n }的公比分别为p ，q ，则a n ＋1b n ＋1a n b n ＝a n ＋1a n ·b n ＋1b n ＝

pq ≠0，所以{a n ·b n }一定是等比数列．故选C. 答案：C

5．在等比数列{a n }中，已知a 7·a 12＝5，则a 8·a 9·a 10·a 11等于( ) A ．10 B ．25 C ．50

D ．75

解析：利用等比数列的性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ，可得a 8·a 11＝a 9·a 10＝a 7·a 12＝5，∴a 8·a 9·a 10·a 11＝25. 答案：B

6．设数列{a n }为公比q ＞1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________.

解析：由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5

a 4

＝3.

∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝(12＋3

2)×32＝18. 答案：18

7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 解析：由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6. ∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4， ∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1，解得a 1＝－8， ∴a 2＝－6. 答案：－6

8．等比数列{a n }是递增数列，若a 5－a 1＝60，a 4－a 2＝24，则公比q 为________．

解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1q 4－a 1＝60，①

a 1q 3－a 1q ＝24，②

①②得a 1(q 4－1)a 1q (q 2

－1)＝52，即q 2＋1q ＝5

2， 解得q ＝1

2或2，

当q ＝2时，代入①得a 1＝4，{a n }是递增数列； 当q ＝1

2时，代入①得a 1＝－64，{a n }也是递增数列． 综上可知，公比q 能取2或1

2. 答案：2或1

2

9．三个正数成等比数列，它们的和等于21，倒数的和等于7

12，求这三个数． 解析：设三个数为a

q ，a ，aq (a ，q ＞0)， 由题⎩⎪⎨⎪⎧ a q ＋a ＋aq ＝21，q a ＋1a ＋1aq ＝7

12，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

a (1q ＋1＋q )＝21，1a (q ＋1＋1q )＝7

12⇒a 2＝21×12

7＝36，

∴a ＝6，q ＝2或12，

∴三个数为3,6,12或12,6,3.

10．和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数．

解析：设等差数列的首项为a ，公差为d ，则它的第1,4,25项分别为a ，a ＋3d ，

a ＋24d ，∵它们成等比数列∴(a ＋3d )2＝a (a ＋24d )，∴a 2＋6ad ＋9d 2＝a 2＋24ad . ∴9d 2＝18ad ，∵等比数列的公比不为1，∴d ≠0，∴d ＝2a .① 由题意知：a ＋(a ＋3d )＋(a ＋24d )＝114，即3a ＋27d ＝114，② 由①②可以解得，a ＝2，d ＝4，∴这三个数就是2,14,98.

[B 组 能力提升]

11．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝( ) A ．4 B ．2 C ．－2

D ．－4

解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧

2b ＝a ＋c ，

a 2＝bc ，消去a 得4

b 2－5b

c ＋c 2＝0.

∵b ≠c ，∴c ＝4b ，∴a ＝－2b ，

代入a ＋3b ＋c ＝10中得b ＝2，∴a ＝－4. 答案：D

12．已知等比数列{a n }共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是( ) A.3

2 B ． 2 C ．2

D ．2 2

解析：奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a 1a 3a 5a 7a 9＝2，a 2a 4a 6a 8a 10＝64，则a 2a 4a 6a 8a 10a 1a 3a 5a 7a 9＝q 5＝32，则q ＝2，故选C. 答案：C

13．已知等比数列{a n }为递增数列，a 1＝－2，且3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，则公比q ＝________.

解析：因为等比数列{a n }为递增数列且a 1＝－2＜0，所以0＜q ＜1，将3(a n ＋a n

＋2)＝10a n ＋1两边同除以

a n 可得3(1＋q 2)＝10q ，即3q 2－10q ＋3＝0，解得q ＝3