第五章 晶体的振动

式中Ω *是倒格子初元胞的“体积”，也就是第一 布里渊区的“体积”，而Ω *＝（2π )3/Ω ，所以每个 波矢q在倒空间所占的“体积”为：
2 * 2 ＝ ＝ N N V
3
3
其中V=NΩ 为晶体体积。
在倒空间，波矢q的密度为
N N V ＝ ＝ 3 3 * 2 2
因
得
+2 2ks/ M2,
cos(qa)0
( A/B)+ 0
说明：对于光学波，相邻两种不同原子的振 动方向是相反的。
当q很小时，即波长很长的光学波（长光学波）， cos(qa)1，
又
由
22=2ks/ ，
-(2kscosqa)A+(2ks-M12)B=0
得( A/B)+ = NhomakorabeaM1/M2
格波与格波之间的互作用可用声子之间的碰撞来处理。格 波与电子波之间的互作用，实际上就可用声子与光子的碰撞来处 理，但声子是一种准粒子。而不是基本粒子。 既然格波的能量量子定义为声子，当格波处于较高的激发 态时晶体中就布局着较多的声子，即格波振幅较大时，晶体中 的声子数较多。因此格波的振幅与声子的数目就有一定的关系。
M2A+M1B=0
说明：原胞的质心保持不动，由此也可以定性的看出， 光学波代表原胞中两个原子的相对振动。
§2
三维晶格的振动
设实际三维晶体沿基矢a1、a2、a3方向的初基元胞数分 别为N1、N2、N3，即晶体由N＝N1· N2· N3初基元胞组成， 每个初基元胞内含s个原子。 1 .原子振动方向 一维情况下，波矢q和原子振动方向相同，所以只有纵 波。 三维情况下，有纵波也有横波。 原则上讲，每支格波都描述了晶格中原子振动的一类运动 形式。初基元胞有多少个自由度，晶格原子振动就有多少种 可能的运动形式，就需要多少支格波来描述。
dU 1 d 2U 1 d 3U U (r ) U (a) ( ) a (r a) ( 2 ) a (r a) 2 ( 3 ) a (r a)3 dr 2 dr 3! dr
相互作用力为
dU d 2U 1 d 3U f (r ) ( )a ( 2 )a (r a) ( 3 )a (r a) 2 dr dr 2 dr
（2）不同简正模，具有不同的角频率、能量和动 量，对应于不同量子态的声子。处于该量子态的声 子数，则决定于该量子态所对应的能级； （3）如果简正模由某一能级降至低一个能级，量 子数减小 1 ，相当于系统中减少或消失了一个声子， 相反，如果简正模由某一能级升至高一个能级，量 子数增加1，相当于系统中增加或产生了一个声子。 可见，固体中的格波波场可以看成理想声子气体 系统。理想声子气体系统遵从玻色统计。
每一组整数（L1,L2,L3 ）对应一个波矢量q。将这些波 矢在倒空间逐点表示出来，它们仍是均匀分布的。每个 点所占的“体积”等于“边长”为(b1/N1)、（b2/N2）、 (b3/N3)的平行六面体的“体积”，它等于：
b1 b2 b3 N N N N1 2 3
即
c 2 [ M 1 M 2 M 12 M 2 2M 1M 2 cos ka ] M 1M 2
2
上式中取“ ＋” 号时，有较高频率称为光学支色散关 系，取“ －”号时，有较低频率称为声学支色散关系。
光学支和声学支格波 为了讨论比较典型,我们处理长波极限下的情况。当ka《1 （即波长比点阵常数大得多的光学支与声学支） 当k=±
声子是格波能量的量子，格波并不是描写粒子的真实位移的 振动，而是一个简正振动模式，是描写晶体中某一个原子与所有 其他原子的坐标的运动。
各个格波可能具有不同的声子数，在一定温度的热平衡态， 一个格波的平均声子数有多少呢？ 不考虑声子间的相互作用，故可把声子视为近独立子系， 这时玻色－爱因斯坦统计与经典的玻尔兹曼统计是一致的。 在确定的温度T下，频率均为ω的N个格波的平均能量
＝ｃ vs us 1） vs us） （ ]
＝ｃ us 1 us 2vs）
us ue
i（t ska）
,
vs ve
i (t ska )
u，v可以是复数，第ｓ个晶胞中质量为 M1，M 2 的原 子的ω 与k相同，但振幅不同，由于u，v是复数，故u， v可以有一个相因子之差，表示它们之间的相位关系。
( A/B)- 0
说明： 相邻两种不同原子的振幅都有相同的正号或 负号，即对于声学波，相邻原子都是沿着同一方向振 动，当波长很长时，声学波实际上代表原胞质心的振 动。
声学波示意图
光学波 由 得 -(2kscosqa)A+(2ks-M12)B=0 ( A/B)+= (2ks-M12)/ 2kscos(qa)
2 一维复式格子
若只考虑最近邻近似，第ｓ个晶胞中质量为M1的原子所受力为：
c（us vs） c（us vs ！ ）
Ｍ
du 2 １ｄt２
其运动方程为
＝ c[ us vs）（us vs 1） （ ]
同理可写出第s个晶胞中质量为M2的原子的运动方程为：
Ｍ
２ ｄｕ ２ 2 ｄｔ
n
其中：分母为配分函数 gn：能量为En的相格数，即 能量En的简并度。 设： gn＝1
E＝ n 0
un ' Ae
i ( qn ' a t )
un e
iqa ( n ' n )
2 l n ' n , l为整数 qa (2l 1) n ' n , l为整数 qa
则
un ' un un ' un
则
在任一时刻，原子的位移有一定的周期分布，即
原子的位移构成了波，这个波称之为格波。
区别：
[1] 连续介质波中x表示空间任意一点，而格波只 取呈周期性排列的格点的位置； [2] 一个格波解表示所有原子同时做频率为的振 动，不同原子间有位相差，相邻原子间位相差为aq.
[3] 二者的重要区别在于波矢的涵义（ 原子以q 与 q´振动一样 ，同一振动状态对应多个波矢，或多 个波矢为同一振动状态） 。
un Ae
i ( qna t )
将上式代入运动学方程，得到：
m 2un un (eiqa eiqa 2) 2 un [cos(qa) 1]
即：
2
或者
2 [cos(qa) 1] m
qa 2( )1/2 sin( )
m 2
第n′个原子的受力情况为：
有
nq (n )q
1 2
说明：晶格振动的能量是量子化的，晶 格振动的能量量子ħq称为声子。
可知：利用线性变换方法，将原子在3N个自由度 上的坐标变化，变换为3N个简正坐标的变化，表 示相互独立的3N 个简谐振动，其中的每一个，都 称为简正振动（简正模 ）, 其3N个特征角频率 i 称为简正角频率。
＝

n
Nnn N
（这里的N并不是晶体的格波总数）
其中：N—频率为ω的格波总数 Nn—频率为ω，能量为En(即声子数为n)的格波数， 的声子在同ω的格波间均可存在，某一ω的格波具有声子 数n的状态，满足一定的几率分布。可理解为声子在格波 间可跳跃。 由玻尔兹曼统计
Nn g n e En KT ＝ N g n e En KT
我们将代入运动方程得：
2 M 1u cv（ e ika） 2cu 1 2 M 2v cu（eika 1 2cv ）
这是以u，v为未知数的方程组，要有非零解须系数行列式 为零。便可得到：
展开此行列式可得：
2 M1M 2 4 2c（M1 M 2） 2 2c（ cos ka） 0 1
忽略上式的非线性小量，并考虑到在平衡位置时的 势能取极小值，故右端第一项为零。
d 2U 令 ( 2 )a dr
第n个原子与第n+1个原子的相互作用力为：
f (un1 un )
类似弹簧谐振子的受力情况，故称β 为弹性恢复力系数。
忽略掉相互作用力中非线性项的近似为简谐近似。
只考虑最近邻原子的相互作用时，第n个原子的受力 情况为：
考虑到三维晶体中共有3S支 3s

dS q q
V g ＝ g i ＝ 3 i 1 i 1 2
格波，则格波格态密度函数为 3s
q
q i
dS
§3
声子
一维格波解：
令：
所以：
1 2 2 H [( a 2 q a 2 ) (b 2 q b 2 )] 2
一维单原子链：仅存在一支格波，且为声学格波。 一维双原子链：存在两支格波―――声学波，和光学波。 定性地说，初基元胞质心的运动主要由声学格波代表， 初基元胞内两原子的相对运动主要由光学格波代表 一维S原子链：存在S支格波―――其中一支声学波，S －1支光学波。 三维晶体：元胞的总自由度数为3S,则晶体中原子振动 可能存在的运动形式就有3S种，用3S支格波来描述。其中在 三维空间定性地描述元胞质心运动的格波应有3支，也就是 说应有3只声学格波，其余3（S-1）支则为光学格波。例如 硅晶体属于金刚石结构，每个初基元胞含两个原子，即S=2 , 它有3支声学格波和3支光学格波。
第五章
晶格振动
§1 一维晶格的振动
§2 三维晶格的振动
§3 声子
§4 晶格振动谱的测定方法 §5 晶格振动热容理论 §6 晶格振动的吸收光谱
§1
1 一维简单格子
n-2
一维晶格的振动
n-1
n
n+1
un-2
un-1
un
un+2
dU f (r ) dr
两原子间的相互作用势
在平衡位置附近以泰勒级数展开，得到