行列式及其计算

= ( A − E )2 = ( A − E )( A − E ) = 1 (3E − A)
2
2
2
4
4、解矩阵方程
1）
⎜⎝⎛
2 1
54⎟⎠⎞ X
=
⎜⎝⎛
3 0
−15⎟⎠⎞
解：
X
=
⎜⎝⎛
2 1
5 4
⎟⎠⎞
−1
⎜⎝⎛
3 0
−15⎟⎠⎞
=
1 3
⎜⎝⎛
4 −1
−25⎟⎠⎞⎜⎝⎛
3 0
−5 1
⎟⎠⎞
=
⎜⎛ ⎜ ⎜⎜⎝
0 a L0 0 0 O0
0
a
n−1
LLL L a
1 0 0 L 0 n−1
a
0
= a n + (−1)1+n ×1× (−1)n−1+1 O
a n − a n−2 = a n−2 (a 2 − 1)
0
a
n−2
a
1
a
1
解四：
Dn
按第二 行展开
a(−1)
2+
2
O
按第二 行展开
a
⋅
a(−1)
2+
2
O
1
a
= a11x12 + a12 x1x2 + a13 x1x3 + a21x2 x1 + a22 x22 + a2 x2 x3 + a31x3 x1 + a32 x3 x2 + a33 x32
3、设方阵 A 满足 A2 − A − 2E = 0 ，证明 A 圾 A+2E 都可逆，并求 A−1 及 ( A + 2E)−1
−2 0 2 1
−7
1 −5
2
⎟⎞ ⎟ ⎟⎠
⎯r⎯2 −⎯2⎯r1 →
⎜⎛ ⎜ ⎜⎝
1 0 0 0
−2 4 2 1
−7
15 −5
2
⎟⎞ ⎟ ⎟⎠
⎯r⎯4 ↔ ⎯⎯⎯r2 →
⎜⎛ ⎜ ⎜⎝
1 0 0 0
−2 1 2 4
−7
2 −5
15
⎟⎞ ⎟ ⎟⎠
⎯r⎯3 −⎯2⎯r2 → r4 − 4r2
⎜⎛ ⎜ ⎜⎝
0 0 0 L x −1
an an−1 an−2 L a2 x + a1
−1
证明：
左边
按第n行 展开
an
(−1)
n+1
x L
0 −1 L
L L L
0 0 L
0 0 L
0 0 L x − 1 n−1
x 0L0 0
+
a
n−1
(−1)
n+2
0 L
−1 L
L L
0 L
0 L
0 0 L x − 1 n−1
x −1 0 L 0 0
0
+
an−2
(−1)
n+3
0 L
x 0 L
0 L0 −1 L 0 L LL
0 0 L
0 0 0 L x − 1 n−1
x −1 0 L 0 0
+
L
+
a
2
(−1)
n+(n−1)
0 L
x L
−1 L LL
0 L
0 L
0 0 0 L 0 − 1 n−1
x −1 0 L 0 0
+
(
x
+
a1
)(−1)
n+n
0 L
方法：1、克莱姆法则（n 元 n 个方程） 2、消元法 3、初等变换
有解的条件：R(B)=R(A)=r 当 r=n 时，有唯一解 当 r<n 时，有无穷多解
97
线性代数部分习题课——矩阵的初等变换
举例
1、求矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式
⎜⎜⎝⎛ 113
1 −1
3
0
2 −4
−241⎟⎟⎠⎞
⎯r⎯1 ↔⎯
+
⎜⎛ ⎜ ⎜⎝
− 17 0 14 0
⎟⎞ ⎟, ⎟⎠
(C1
,
C2
∈
R)
方阵的特征值及二Байду номын сангаас型
一、方阵的特征及特征向量
二、向量内积与施密特正交化法
三、实对称矩阵的相似矩阵（求相似对角阵Λ及正交变换矩阵 P 举例
1：求
A
=
⎜⎛ ⎜⎝
2
2 −2
2
5 −4
−−542⎟⎟⎠⎞ 的一个正交相似变换矩阵，使之化成对角矩阵，并写出此
αv1 = (1 2 −1 4) ，αv2 = (− 2 0 4 1)，αv3 = (− 7 1 2 4)
解：构造矩阵
( A = αv1T
αv 2T
)αv3T
=
⎜⎛ ⎜ ⎜⎝
1
2 −1
4
−2 0 4 1
−7 1 2 4
⎟⎞ ⎟ ⎟⎠
⎯r⎯3 +⎯⎯r1 → r4 − 2r2
⎜⎛ ⎜ ⎜⎝
1 2 0 0
0 3 3
1 2 0
⎟⎞ ⎟⎠
X
=
⎜⎝⎛
1 4
−1 3
23 ⎟⎠⎞
1 3
⎜⎛ ⎜⎝
1 −2 −3
0 3 3
102 ⎟⎟⎠⎞
=
1 3
⎜⎝⎛
− −
6 8
6 15
3 −2
⎟⎠⎞
=
⎜⎛ ⎜⎝
− −
2 8
3
2 5
1 −2
3
⎟⎞ ⎟⎠
矩阵的初等变换
一、矩阵的初等变换与矩阵的秩 用初等变换求逆阵，解矩阵方程
二、向量的线性运算，向量的线性相关性及向量组的秩 三、求解线性方程组
1− a
a −1
0
a −1
n−2
= a n−2 (a 2 − 1)
92
线性代数部分习题课——方阵的特征值及二次型
解二： Dn
rn
−
1 a
r1
a
O
1
a2
−1
=
a14⋅ a2L43a n−1
⋅
a
2 −1 a
=
a n−2
(a 2
− 1)
0
a
0 a 0 L0
解三：
Dn
按第一 行展开
a(−1)1+1
a
O
0
0 + 1× (−1)1+n 0
对角矩阵
2−λ 2 解：由 A − λE = 2 5 − λ
−2 −4
r3
+ r2
2−λ 2
2 5−λ
−2 −4
−2 −4 5−λ
0 1−λ 1−λ
2−λ = (1 − λ) 2
2 5−λ
− −
2 4
c2
−
c3
(1 −
λ)
2
− 2
λ
4 9−λ
−2 −4
0 11
2 0
2L 1L
L
L LLL
2 0 L
0 0 0 L n−2
0 0 0 L n−2
= (−1) × 2 ×1× 2 ×L× (n − 2) = −2(n − 2)!
93
线性代数部分习题课——矩阵的初等变换
x −1 0 L 0 0
0 x −1 L 0 0
5、证明
0 L
0 L
x L0 L LL
0 L
= xn + a1 x n−1 + L + an−1 x + an
举例
1、
⎜⎛ ⎜⎝
2 3 1
⎟⎞ ⎟⎠
3×1
(1
)2 1×2
=
⎜⎛ ⎜⎝
2 3 1
4 6 2
⎟⎞ ⎟⎠
3×2
2、 (x1
x2
x3
)⎜⎜⎜⎝⎛
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
⎟⎞⎜⎛ ⎟⎟⎠⎜⎝
x1 x2 x3
⎟⎞ ⎟ ⎠
(= a11x1 + a21x2 + a31x3
r3 ÷ f
b c − e c3 ÷ e
1 1 −1
−1 1 1
r2 + r1 abcdef 0 0 2 = 4abcdef
r3 + r1
0 20
a
1
3、 D n = O ，对角线元素为 a，其余没有写出的元素全部为 0
1
a
a
1
a +1
1
解一： Dn rn − r1
O
c1 + cn
O
= (a + 1)a14⋅ a2L43a(a −1)
1 0 0 0
−2 1 0 0
−7
2 −9
7
⎟⎞ ⎟ ⎟⎠
⎯r⎯3 ÷⎯(−⎯⎯9)→ r4 − 7r3
⎜⎛ ⎜ ⎜⎝
1 0 0 0
−2 1 0 0
−1027 ⎟⎟⎟⎠⎞
秩为 3 ，αv1,αv2 ,αv3 是最大无关组。
解线性方程组是重点
类型有：1）n 元 n 个方程，n 较小（ ≤ 3 ），可用克莱姆法则
A =3
A −1 =
1 A
⎜⎛ ⎜⎜⎝
A11 A21 A31
A12 A22 A32
A13 A23 A33
⎟⎞ ⎟⎟⎠
A11 = 1 A12 = −2 A13 = −3
A21 = 0 A22 = 3 A23 = 3
A31 = 1 A32 = −2 A33 = 0
所以
A −1
=
1 3
⎜⎛ ⎜⎝
1 −2 −3
a12 x1 + a22 x2 + a32 x3
a13
x1
+
a23 x2
+
a33 x3
)⎜⎜⎛
x1 x2
⎟⎞ ⎟
⎝ x3 ⎠
= (a11x1 + a21x2 + a31x3 )x1 + (a12 x1 + a22 x2 + a32 x3 )x2 + (a13 x1 + a23 x2 + a33 x3 )x3
x L
−1 L 0 0 L LLL
0 0 0 L 0 x n−1
= an (−1)n+1 (−1)n−1 + an−1 (−1)n+2 x(−1)n−2 + an−2 (−1)n+3 x 2 (−1)n−3 + L + a2 (−1)2n−1 x n−2 (−1) + (x + a1 )x n−1
= an + an−1x + an−2 x 2 + L + a2 x n−2 + a1x n−1 + x n
有时间举一例：
其解为：
⎪⎨⎧5xx11−+53xx22++26xx33−−3xx44
= =
11 −1
⎪⎩ 2x1 + 4x2 + 2x3 = −6
⎜⎛ ⎜ ⎜⎜⎝
x1 x2 x3 x4
⎟⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
=
C1
⎜⎛ ⎜ ⎜⎝
−9 1 7 0
⎟⎞ ⎟ ⎟⎠
+
C
2
⎜⎛ ⎜ ⎜
−4
0 7
⎟⎞ ⎟ ⎟
⎜2⎟
⎝1⎠
xi
=
Di D
, (i
= 1,2,L, n)
91
二、举例
线性代数部分习题课——矩阵的初等变换
103 100 204 1、 D = 199 200 395
301 300 600
3 100 4
31 4
3 −8 4
解： D c1 − c2 − 1
200
−5
c2
÷ 100 100
−1
2
− 5 c2 − 3c1 100 − 1
2）n 较大，元和方程个数不一样 齐次，基础解系线性组合 X = C1ξ1 + C2ξ 2 + L + Cn−rξ n−r
98
线性代数部分习题课——方阵的特征值及二次型
自己去练习
非齐次，有解条件：R(B)=R(A)，特解+相应齐次方程组的通解 X = η ∗ + ξ = η ∗C1ξ1 + C2ξ 2 + L + Cn−rξ n−r
1
a
n−1
n−2
=
L
=
a n−2
a 1
1 = a n−2 (a 2 − 1) a
1 2 2L2 2 2 2L2 4、 Dn = 2 2 3 L 2 LLLLL 2 2 2Ln
−1 0 0 L 0
−1 0 0 L 0
2
解： Dn
ri i
− r2 ≠2
0 L
2 0 L
2 1 L
L L L
2
0
0 c1 − c2 0
4 −1
− 25 ⎟⎞
3⎟
7 3
⎟⎟⎠
2）
X
⎜⎛ ⎜⎝
2 2 1
1
1 −1
−101⎟⎟⎠⎞
=
⎜⎝⎛
1 4
−1 3
23 ⎟⎠⎞
96
线性代数部分习题课——方阵的特征值及二次型
解：
X
=
⎜⎝⎛
1 4
−1 3
3 2
⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
2 2 1
1
1 −1
−101⎟⎟⎠⎞−1
令
A
=
⎜⎛ ⎜⎝
2 2 1
1
1 −1
−101⎟⎟⎠⎞
5
−5
c3 − 2c2 1 300 0
130
100
= 100 × (−1)3+1 − 8 4 = 100 × (40 − 20) = 2000 5 −5
− ab ac ae 2、 D = bd − cd de
bf cf − ef
r1 ÷ a
− b c e c1 ÷ b
−1 1 1
解： D r2 ÷ d adf b − c e c2 ÷ c abcdef 1 −1 1
⎯r2 →⎜⎜⎝⎛
1 3 1
−1 1 3
2
0 −4
−241⎟⎟⎠⎞
⎯r⎯2 −⎯3⎯r1 → r3 − r1
⎜⎛ ⎜⎝
1 0 0
−1 4 4
2 −6 −6
−551⎟⎟⎠⎞
⎯r⎯3 −⎯⎯r2 →⎜⎜⎝⎛
1 0 0
−1 4 0
2 −6
0
−501⎟⎟⎠⎞
求得秩为 2 为
3 1
1 −1
=
−4
≠
0
2、求向量组的秩和一个最大无关组
证明：A2 − A − 2E = 0 ⇒ A2 − A = 2E ⇒ A( A − E) = 2E ⇒ A A − E E ⇒ A−1 = A − E
2
2
A2 − A − 2E = 0 ⇒ A2 = A + 2E ⇒ A + 2E = A2 = A A ≠ 0
所以 ( A + 2E)−1 存在，且 ( A + 2E)−1 = ( A2 )−1 = ( A ⋅ A)−1 = A−1 A−1 = ( A−1 )2