专训2 圆中常用的作辅助线的八种方法(3)

专训2 圆中常用的作辅助线的八种方法名师点金：在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助线至关重要．圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周角是直角；证切线时“连半径，证垂直”以及“作垂直，证半径”等．

作半径，巧用同圆的半径相等

1．如图所示，两正方形彼此相邻，且大正方形的顶点A，D在半圆O上，顶点B，C在半圆O的直径上；小正方形的顶点F在半圆O上，E点在半圆O的直径上，点G在大正方形的边上．若小正方形的边长为4 ，求该半圆的半径．

(第1题)

连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等

2．如图，圆内接三角形的外角∠的平分线与圆交于D点，⊥，垂足是P，⊥，垂足为H .求证：＝.

(第2题)

作直径，巧用直径所对的圆周角是直角

3．如图，⊙O的半径为R，弦，互相垂直，连接，.

(1)求证：2＋2＝4R2；

(2)若弦，的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(>)，求⊙O的半径及点O到的距离．

(第3题)

证切线时辅助线作法的应用

4．如图，△内接于⊙O，＝，∥且与的延长线交于点D.判断与⊙O的位置关系，并说明理由．

(第4题)

遇弦加弦心距或半径

5．如图所示，在半径为5的⊙O中，，是互相垂直的两条弦，垂足为P，且＝＝8，则的长为( )

A．3 B．4 C．3 D．4

(第5题)

(第6题)

6．【中考·贵港】如图所示，是⊙O的弦，⊥于点H，点P是优弧上一点，若＝2，＝1，则∠的度数是．遇直径巧加直径所对的圆周角

7．如图，在△中，＝＝2，以为直径的⊙O分别交，于点D，E，且点D是的中点．

(1)求证：△为等边三角形．

(2)求的长．

(第7题)

遇切线巧作过切点的半径

8．如图，⊙O是△的外接圆，∠＝90°，点P是圆外一点，切⊙O于点A，且＝.

(1)求证：是⊙O的切线；

(2)已知＝，∠＝60°，求⊙O的半径．

(第8题)

巧添辅助线计算阴影部分的面积

9．【中考·自贡】如图所示，点B，C，D都在⊙O上，过点C作∥交的延长线于点A，连接，且∠＝∠＝30°，＝6 .

(1)求证：是⊙O的切线；

(2)求由弦，与所围成的阴影部分的面积．(结果保留π)

(第9题)

答案

(第1题)

1．解：如图，连接，.设＝＝r ，＝a .

在△中，r2＝＋a2，

在△中，r2＝42＋，

∴＋a2＝16＋16＋4a＋.解得a1＝8，a2＝－4(舍去)．

∴r2＝＋82＝80.∴r1＝4，r2＝－4(舍去)．即该半圆的半径为4 .

点拨：在有关圆的计算题中，求角度或边长时，常连接半径构造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性质来解决问题．

2．证明：如图，连接，.∵∠、∠是所对的圆周角．

∴∠＝∠.

∵平分∠，⊥，⊥，∴＝.

在△和△中，

∴△≌△.∴＝.

点拨：本题通过作辅助线构造圆周角，然后利用“同弧所对的圆周角相等”得到∠＝∠，为证两三角形全等创造了条件．

(第2题)

(第3题)

3．(1)证明：如图，过点D作⊙O的直径，连接，，.

∵是⊙O的直径，

∴∠＝∠＝90°.

又∵⊥，∴∥.

∴∠＝∠.

∴＝.∴＝.

在△中，2＋2＝2，

∴2＋2＝4R2.

(2)解：如图，过点O作⊥于点F.∵弦，的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(>)，

∴＝5，＝1.

由(1)知，2＋2＝4R2，∴52＋12＝4R2.∴R＝.

∵∠＝90°，⊥，∴∥.

又∵O为的中点，∴＝＝＝.即点O到的距离为.

点拨：本题作出直径，利用“直径所对的圆周角是直角”构造了两个直角三角形，给解题带来了方便．

(第4题)

4．解：与⊙O相切，理由如下：如图，作直径，连接.

∵是直径，∴∠＝90°.

∴∠E＋∠＝90°.

∵＝，∴∠B＝∠.

∵∥，

∴∠＝∠.∴∠B＝∠.

又∵∠B＝∠E，∴∠＝∠E.

∴∠＋∠＝90°，即⊥.

又为⊙O的半径，∴与⊙O相切．

5．C 6.60°

(第7题)

7．(1)证明：如图，连接，

∵是⊙O的直径，

∴∠＝90°.

∵点D是的中点，

∴是线段的垂直平分线．

∴＝.

∵＝，∴＝＝，

∴△为等边三角形．

(2)解：如图，连接.∵是直径，

∴∠＝90°，∴⊥.

∵△是等边三角形，∴＝，即E为的中点．

∵D是的中点，故为△的中位线．

∴＝＝×2＝1.

(第8题) 8．(1)证明：如图，连接，∵＝，

∴∠＝∠.

∵＝，

∴∠＝∠.

∴∠＋∠＝∠＋∠.

即∠＝∠.

又∵是⊙O的切线，∴∠＝90°.∴∠＝90°.∴⊥. 又∵是⊙O的半径，

∴是⊙O的切线．

(2)解：如图，连接，

∵＝，∴点P在线段的垂直平分线上．

∵＝，∴点O在线段的垂直平分线上．

∴为线段的垂直平分线．

又∵⊥，

∴∥.∴∠＝∠＝60°.

由(1)知∠＝90°.

∴∠＝30°.∴＝2.

∵在△中，2＋2＝2，

∴2＋3＝(2)2.

又∵＞0，

∴＝1，∴⊙O的半径为1.