Matlab求解线性方程组、非线性方程组

求解线性方程组
solve，linsolve
例：
A=[5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1]; %矩阵的行之间用分号隔开，元素之间用逗号或空格
B=[3;1;1;0]
X=zeros(4,1);%建立一个4 元列向量X=linsolve(A,B) diff(fun，var，n)：对表达式fun 中的变量var 求n 阶导数。

例如：F=sym('u(x,y)*v(x,y)'); %sym()用来定义一个符号表达式diff(F); %matlab 区分大小写pretty(ans) %pretty()：用习惯书写方式显示变量；ans 是答案表达式
非线性方程求解fsolve(fun,x0,options) 其中fun 为待解方程或方程组的文件名；x0 位求解方程的初始向量或矩阵；option 为设置命令参数建立文件fun.m：function y=fun(x) y=[x(1)-0.5*sin(x(1))-0.3*cos(x(2)), ... x(2) -
0.5*cos(x(1))+0.3*sin(x(2))];
>>clear;x0=[0.1,0.1];fsolve(@fun,x0,optimset('fsolve')) 注：
...为续行符
m 文件必须以function 为文件头，调用符为@ ；文件名必须与定义的函数名相同；fsolve()主要求解复杂非线性方程和方程组，求解过程是一个逼近过程。

Matlab 求解线性方程组
AX=B 或XA=B
在MATLAB 中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\”。

如：
X=A\B 表示求矩阵方程AX＝B 的解；
X＝B/A 表示矩阵方程XA=B 的解。

对方程组X＝A\B，要求 A 和B用相同的行数，X和 B 有相同的列数，它的行数等于矩阵 A 的列数，方程X＝B/A 同理。

如果矩阵A 不是方阵，其维数是m×n，则有：
m＝n 恰定方程，求解精确解；
m>n 超定方程，寻求最小二乘解；
m<n 不定方程，寻求基本解，其中至多有m 个非零元素。

针对不同的情况，MATLAB 将采用不同的算法来求解。

一．恰定方程组
恰定方程组由n 个未知数的n 个方程构成，方程有唯一的一组解，其一般形式可用矩阵，向量写成如下形式：
Ax=b 其中A 是方阵，b 是一个列向量；在线性代数教科书中，最常用的方程组解法有：
（1）利用cramer 公式来求解法；
（2）利用矩阵求逆解法，即x=A-1b；
（3）利用gaussian 消去法；
（4）利用lu 法求解。

一般来说，对维数不高，条件数不大的矩阵，上面四种解法所得的结果差别不大。

前三种解法的真正意义是在其理论上，而不是实际的数值计算。

MATLAB 中，出于对算法稳定性的考虑，行列式及逆的计算大都在lu分解的基础上进行。

在MATLAB 中，求解这类方程组的命令十分简单，直接采用表达式：x=A\b。

在MATLAB 的指令解释器在确认变量 A 非奇异后，就对它进行lu 分解，并最终给出解x；若矩阵 A 的条件数很大，MATLAB 会提醒用户注意所得解的可靠性。

如果矩阵 A 是奇异的，则Ax=b 的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩阵 A 接近奇异时，MATLAB 将给出警告信息；如果发现A是奇异的，则计算结果为inf，并且给出警告信息；如果矩阵 A 是病态矩阵，也会给出警告信息。

注意：在求解方程时，尽量不要用inv(A)*b 命令，而应采用A\b 的解法。

因为后者的计算速度比前者快、精度高，尤其当矩阵 A 的维数比较大时。

另外，除法命令的适用行较强，对于非方阵A，也能给出最小二乘解。

二．超定方程组
对于方程组Ax=b，A 为n×m 矩阵，如果 A 列满秩，且n>m。

则方程组没有精
确解，此时称方程组为超定方程组。

线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。

对于超定方程，在MATLAB 中，利用左除命令(x=A\b)来寻求它的最
小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x 只是最小二乘意义上的解。

左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder 变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；
【例7】
求解超定方程组
A=[2 -1 3;3 1 -5;4 -1 1;1 3 -13]
A=
2 -1 3
3 1 -5
4 -1 1
1 3 -13
b＝[3 0 3 -6]';
rank(A)
ans=
3
x1=A\b
x1=
1.0000
2.0000
1.0000 x2=pinv(A)*b
x2=
1.0000
2.0000
1.0000
A*x1-b
ans=
1.0e-014
-0.0888
-0.0888
-0.1332
可见x1 并不是方程Ax=b 的精确解，用x2=pinv(A)*b 所得的解与x1 相同。

三．欠定方程组欠定方程组未知量个数多于方程个数，但理论上有无穷个解。

MATLAB 将寻求一个基本解，其中最多只能有m 个非零元素。

特解由列主元qr分解求得。

【例8】解欠定方程组A＝[1 -2 1 1;1 -2 1 -1;1 -2 1 5] A=
1 -
2 1 1
1 -
2 1 -1
1 -
2 1 -1
1 -
2 1 5
b=[1 -1 5]'
x1=A\b
Warning:Rank deficient,rank=2 tol=4.6151e-015
x1=
-0.0000
1.0000
x2=pinv(A)*b
x2=
-0.0000
0.0000
1.0000
四．方程组的非负最小二乘解在某些条件下，所求的线性方程组的解出现负数是没有意义的。

虽然方程组可以得到精确解，但却不能取负值解。

在这种情况下，其非负最小二乘解比方程的精确解更有意义。

在MATLAB 中，求非负最小
二乘解常用函数nnls，其调用格式为：
(1)X=nnls(A,b)返回方程Ax=b 的最小二乘解，方程的求解过程被限制在x 的条件下；
(2)X=nnls(A,b,TOL)指定误差TOL 来求解，TOL的默认值为
TOL=max(size(A))*norm(A,1)*eps，矩阵的－1 范数越大，求解的误差越大；
(3)[X,W]=nnls(A,b) 当x(i)=0 时，w(i)<0；当下x(i)>0 时，w(i)0,同时返回一个双向量w。

【例9】求方程组的非负最小二乘解
A=[3.4336 -0.5238 0.6710
-0.5238 3.2833 -0.7302
0.6710 -0.7302 4.0261];
b=[-1.000 1.5000 2.5000];
[X,W]=nnls(A,b)
X=
0.6563
0.6998
W=
-3.6820
-0.0000
-0.0000
x1=A\b
x1=
-0.3569
0.5744
0.7846
A*X-b ans= 1.1258 0.1437 -0.1616 A*x1-b ans= 1.0e-0.15
-0.2220
0.4441。