一元函数微积分基本练习题及答案

一、极限题

1、求.)(cos lim 2

1

x x x → 2、6

sin )1(lim

2

2

x

dt e x t

x ⎰-→求极限。

3、、)(arctan sin arctan lim 20x x x

x x -→ 4、2

1

0sin lim x x x x ⎪⎭

⎫ ⎝⎛→ 5、⎰

⎰+∞

→x

t x

t x dt

e dt e 0

20

2

2

2)(lim 6、

)

1ln(1

lim -→+x e x x

7、x

x x e x cos 11

20

)

1(lim -→+ 8、 x

x x x x

x ln 1lim 1+--→

9、)

1ln()2(sin )

1)((tan

lim

2

30

2

x x e x x x +-→ 10、1

0lim(

)3

x x x x x a b c →++ ， (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞

→x

x e x 12、

)cot 1(lim 2

20x x x -→ 13、[]

)1(3sin 1

lim 11x e x x ---→

14、()

⎪⎩

⎪⎨⎧=≠+=0

021)(3

x A x x x f x

在0=x 点连续，则A =___________

二、导数题

1、.sin 2

y x x y ''=，求设

2、.),(0y x y y e e xy y

x

'==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(2

3

的单调区间与极值求函数-=x x x f

4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小，

这时底直径与高的比是多少？ 5、

)()2)(1()(n x x x x f ---=Λ .求)()

(x f

n

6、y

x

y x = 求dy 7、⎰

=x x

dt t x F 1sin 12sin )

( 求)(x F '

8、设

⎩⎨⎧≤+>+=0

401)(x b ax x e x f x 求b a ,使)(x f 在0=x 点可导.

9、设

)(x f 可导且1)1()0(==f f .若)2(sin 2sin 2)2(x f x f y = 求0=x dy

10、设x

x

x

e

e e y 221ln arctan +-=, 求y '. 11、设y

y x =, 求dy .

12、设x

n e n x x x x f -++++=)!

!21()(2Λ，n 为正整数，求)(x f 的极值. 13、设)(x f 在0=x 点连续，0)0(≠f ，又)(2

x f 在0=x 点可导且)0(|])([02f x f x ='=，

求)0(f '.

14、设)(x f 在]1,0[上连续，)1,0(内可导，0)1()0(==f f ，1)2

1

(=f . 证明：)1,0(∈∃ξ使1)(='ξf

15、设函数0)(>x f 且二阶可导，)(ln x f y =，则=''y __________ 16、0)cos(sin =--y x x y ，则=dy __________ 17、x

x

y sin =，求y '

18、求函数2

1x

x

y +=

的极值 19、()y x y +=sin ，求22dx

y

d

20、()

x

x y cos sin =，求

dx

dy 21、求过原点且与曲线5

9

++=x x y 相切的切线方程。

22、

x x y ln )(ln =，求y '

23、设

⎩

⎨⎧≤>+=1,1,)(2x x x b ax x f 试求b a ,使)(x f 在1=x 点连续、可导.

24、设f

可导，

)(sin )(sin x x f e f e y =，求dx

dy 25、设)cos(2

2y x e xy y +=+ ， 求dy 26、设

2

1arccos x y -=，则='y

27、设)2)(1()(--=x x x x f …)100(-x ，则=')0(f 28、设)(x f 二阶可导，.0)0(,0)(=>''f x f 证明：

x

x f )

(在()0,∞-和()+∞,0上都单增. 29、设⎪⎩⎪

⎨⎧<+≥+=0

201)(x b

x x x

a x f 在0=x 点可导， 求

b a , .

30、设

x

a x a x a a

a x y ++= ， 求 y ' .

31、设函数)(x y y =由方程0)cos(=-+xy e

y

x 确定，则 ==0x dy

32、设)1ln()(x x f += ，则 =)0()

10(f

33、设u u f 是)(的已知可导函数，求函数)

()(x f x

b a f y =的导数，其中a 与b 均为不等于1

的正数。 34、求满足关系式

⎰

⎰-+=x x

dt t x tf x dt t f 0

)()(的可微函数)(x f

35、设0)(>x f 在),0(∞内可导且1)(lim =+∞→x f x .若x h

h e x f hx x f 1

10))

()((lim =+→，求)(x f .

36、设

)sin arcsin(x a y = ，求y '及y ''

37、设⎰

=

x

x

dt t f x F 101

)()(, 其中)(t f 连续，求)(x F '

38、2

sin

x

y =，则 y ’ =___________