第五章习题几个典型的代数系统

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离散数学第五章

作业：P178 (2)；P185 (1), (2)
5.3 半群和独异点
一、半群
1、定义
①具有运算封闭性的代数系统A=〈s，*〉称为广群，满足运算封闭、结合律的代数系统 A=＜s，*＞，称为半群，这里*是二元运算。 ②存在么元的半群称为独异点，也称含么半群，单位半群，单元半群。
5.3 半群和独异点
二、么元（单位元）和零元
例：代数A=〈{a，b，c}， ○ 〉用下表定义： ○ a b c 特殊元: b是左么元，无右么元; a是右零元，b是右零元，无左零元; 运算:既不满足结合律，也不满足交换律。 a a a a b b b b c b c a
二、么元（单位元）和零元
例: a）〈I，x〉， I为整数集
5.2 运算及其性质
5.吸收律：设<A，*，△>，若x，y，z∈A有: x*(x △z)=x 称运算*满足吸收律; x △(x * y) =x；运算 △满足吸收律
例:N为自然数集,x,y∈N，x*y=max{x，y},
x△y=min{x，y}
试证：*，△满足吸收律证明：x，y∈N， x*（x△y）=max{x，min{x，y}}=x ∴*满足吸收律 x x≥y x<y x≥y =x =x
则么元为1，零元为0
b）〈（s）,∪,∩〉对运算∪，是么元， s是零元，
对运算∩，s是么元，是零元。 c）〈N，+〉有么元0，无零元。
二、么元（单位元）和零元
2、性质
性质1: 设*是s上的二元运算，满足结合律，具有左么元el，右么元er，则el=er=e 证明： er = el* er = e
闭否，<A，+>，<A，/>呢？解：2r，2s∈A， 2r x 2s=2r+s∈A （r+s∈Ｎ）

《离散数学》第五章

⊕4b）⊕4c=
a
c)，满足结合律。 ⊕4(b ⊕4c)，即⊕4满足结合律。
0是单位元，0的逆元是，1和3互为逆元，2的逆是单位元，的逆元是的逆元是0，和互为逆元互为逆元，的逆是单位元元是2。是一个群。元是。 <Z4； 4>是一个群。 ⊕ 是一个群
14
定义5-8:如果群如果群<G; * >的运算是可交换的，则称该群为的运算*是可交换的定义的运算是可交换的，
5
三、子半群和子独异点
定义5-5 定义
<S； >的子代数，则称<T； >是<S； >的子半群。；的子代数，则称；是；的子半群。的子代数的子半群
∗
设<S； >是一个半群，若 <T；；是一个半群； ∗
∗
例6
= {2n | n ∈ N} N3 = {3n | n ∈ N}, N4 = {4n | n ∈ N}, L
交换群或阿贝尔群。交换群或阿贝尔群。
15
二、循环群
1．群中元素的幂对于任意a∈ ，对于任意 ∈G， a0=e,
anƮ=e, ( a−1)n+1 = (a−1)n ∗ a−1 (n=0,1,2,…) （*））引进记号 a−n = (a−1)n = a−1 ∗ a−1 ∗ ⋅ ⋅ ⋅ ∗ a−1 ( n个a-1 ) 个因此（因此（）式可表示为 (a −1 )0 = e, a−n−1 = a−n * a−1 对于任意整数
1
5.1 半群和独异点一、半群半群定义5-1 定义
二元运算，二元运算，如果是半群。是半群。∗ > < s; 是一个非空集合，设S是一个非空集合，是S上的一个是一个非空集合上的一个是可结合的 , 则称代数系统

第5章代数系统

5.2.3 利用运算表判断代数运算的性质
5.2.1 二元运算的性质 (Properties of Operations) 定义5.2.1 设“*”，“。”均为集合S上的二元运算。

（1）若xy z(x,y,z∈S→x*(y*z)=(x*y)*z)，则称
“*”运算满足结合律(associativity) 。
根据定义，子代数必为一代数系统，*运算所满足的性质显然在子代数中仍能得到满足。
5.1代数系统(Algebraic Systems)
【例5.1.6】在例5.1.5中，对〈N，+〉而言，
〈E，+〉为其子代数，〈N，＋〉，〈{0}，＋〉
为其平凡子代数，〈M，＋〉不构成其子代数。
小结：本节介绍了n元运算、 n元代数运算及代数
（4）以集合A的幂集2A为基集，以集合并、交、补
为其二元运算和一元运算，组成一代数系统，记为
〈 2A,∪,∩,-〉。有时为了突出全集A及空集在2A中
的特殊地位，也可将这一代数系统记为〈 2A,∪,∩,-,
A, 〉。这个系统就是常说的幂集代数系统。以上
的（1），（2），（3）, （4）均称为具体代数系统。
5.1代数系统 (Algebraic Systems)
（5）设a,b,c∈R,则f(a,b,c)=a+b× c是将R中的三个数a,b,c映为R中的唯一的一个数。
f : R3 →R是函数。
上述例子都是我们熟悉的数与数的运算,
它们有一个共同特征,就是其运算结果都在
原来的集合中且运算结果是唯一的,它们都是函数。
表 5.2.2
。
a a a
b a b
a b
从“。”运算表可知， “。”是可交换的。因为 (a。a)。b=a。b=a (a。b)。b=a。b=a 所以“。”是可结合的。 a。(a。b)=a。a=a a。(b。b)=a。b=a

第5章代数系统的基本概念(1)

→、。
第5章
代数系统的基本概念
（4）AA={f | f：A→A}。“ (复合)”是AA上的二元
运算。
当A是有穷集合时，运算可以用运算表给出。如
A={0,1,2,3,4,5}，二元运算“ ” 的定义见表
5.1.1。
表 5.1.1
0
1
2
第5章
代数系统的基本概念
事实上，对于表5.1.1，我们可观察看出其运算为 y (〈x,y〉)=x · (mod3)
第5章
代数系统的基本概念
【例5.1.7】
在实数集 R 中，对加法"+"运算，没有零元；
在实数集 R 中，对乘法"×"运算，0是零元；
对于全集E的子集的并"∪"运算，E是零元；
对于全集E的子集的交“∩”运算，是零元;
在命题集合中，对于吸取"∨"运算，重言式是零元；
在命题集合中，对于合取"∧"运算，矛盾式是零元。
(2)若 x y(x,y∈S→x*y=y*x)，则称*运算满足交换律。 (3)若 x y z(x,y,z∈S→x*(y z)=(x*y) (x*z))，则称* 运算对运算满足左分配律；若 x y z(x,y,z∈S→(y z)*x=(y*x) (z*x))，则称*运算对运算满足右分配律。若二者均成立，则称*运算对运算满足分配律。
有理数集、实数集上的二元运算，除法却仍不
是。加法、乘法满足结合律、交换律，乘法对加法、减法满足分配律，减法不满足这些定律。乘法“
” 对加法“+” 运算满足分配律（对
“-” 也满足）。但加法“+” 对乘法“ ” 运算

6几个典型的代数系统PPT课件

例如整数集I的加法群 <I，+>，非零实数R—{0}的乘法群<R—{0}，×>，
就是我们最熟悉的交换群。
不是所有的群都是交换群
7
有限群和无限群
Algebra 代数
设 G, 是一个群。如果 G 是一个有限集，那么称
G, 为有限群， G 中元素的个数通常称为该有限群的阶数，记为 G ；如果 G 是无限集，则称 G, 为无限群。
14
子群
Algebra 代数
设 G, 是一个群，S 是 G 的非空子集，如果 S, 也
构成群，则称 S, 是 G, 的一个子群。
子群的判断方法
定理 6 设 G, 是一个群， S 是 G 的非空子集，如
果 x, y S, xy1 S, 则 S, 是 G, 的子群。
定理 7 设 G, 是一个群， B 是 G 的非空子集，如果 B 是
定理 5 群 G, 的运算表中的每一行或每一列都是 G 的元素的一个置换。
13
表 5-4 是它的复合表。表 5-4
f0
f1
f2
f3
f0
f0
f1
f2
f3
f1
f1
f2
f3
f0
f2
f2
f3
f0
f1
f3
f3
f0
f1
f2
Algebra 代数
从上表可见，它上面的任何不同的两行或两列不仅均不相同，而且每一行或每一列中均不出现重复的元素。或者说它的复合表的每一行或每一列都是属于群的全部元素的一个全排列。
由此定理知：群的运算表中没有两行（或两列）是相同的。为了进一步考察群的运算表所具有的性质，现在引进置换的概念。

第五章代数结构

ij ijk ik jijk ijk
称二元运算+k为模k加法。
2020/7/21
8
Nk上的二元运算×k定义为：对于Nk中的任意两个元素i和 j，有
ij
ijk
ikj ij除k以的余i数 jk
称二元运算×k为模k的乘法。模k加法+k和模k乘法×k是两种重要的二元运算。在N7=0,1,2,3,4,5,6中，有4+72=6，4+75=2。如果把N7
一角硬币和二角五分硬币，而所对应的商品是桔子水、可口
可乐和冰淇淋。当人们投入上述硬币的任何两枚时，自动售
货机将按表5-1.1所示供应相应的商品。
表格左上角的记号*可以理解为一个二元运算的运算符。
这个例子中的二元运算*就是集合{一角硬币，二角五分硬币}
上的不封闭运算。
表 5-1.1
*
一角硬币二角五分硬币
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二、可交换性
定义5-2.2 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x,yA，都有x*y=y*x，则称二元运算*在A上是可交换的。
【例5.2.2】设Q是有理数集合，Δ是Q上的二元运算，对任意的a,bR，aΔb=a+b-a·b，问运算Δ是否可交换。解：因为 aΔb=a+b-a·b=b+a-b·a=bΔa
a
为：aA，f(a)= 1 。容易看出f是A上的一元运算。
a
又如，f：N×N→N，定义为：m,nN，f(m,n)=m＋n，
f是自然数集合N上的二元运算，它就是普通加法运算。普通减法不是自然数集合N上的二元运算，因为两个自然数相减可能得到负数，而负数不是自然数。所以普通的减法不是自然数集合N上的二元运算。

几个典型的代数系统

本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简单的半群．半群定义称代数结构<S，>为半群（semigroups），如果运算满足结合律．当半群<S，>含有关于运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群．例 <I+，＋>，<N，·>，< ，并置>都是半群，后两个又是独异点．半群及独异点的下列性质是明显的．定理设<S，>为一半群,那么（1）<S，>的任一子代数都是半群，称为<S，>的子半群．（2）若独异点<S,,e>的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为<S， , e>的子独异点．证明简单，不赘述．定理设<S，>,<S’，’>是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有（1）同态象<h(S)，’>为一半群．（2）当<S，>为独异点时，则<h(S)，’>为一独异点.定理设<S，>为一半群,那么（1）<S S，○ >为一半群，这里S S为S上所有一元函数的集合，○为函数的合成运算．（2）存在S到S S的半群同态．证（l）是显然的．为证（2）定义函数h:S→S S：对任意a Sh（a）= f af a：S→S 定义如下: 对任意x S，f a（x）= a x现证h为一同态．对任何元素a,b S．h(a b)＝f a b （l1－1）而对任何x S，f a b（x）= a b x = f a（f b（x））= f a○f b （x）故f a b = f a○f b ,由此及式（l1－1）即得h（a b）= f a b = f a○f b ＝h（a）○ h（b）本定理称半群表示定理。

它表明，任一半群都可以表示为（同态于）一个由其载体上的函数的集合及函数合成运算所构成的半群。

第5章代数系统的基本概念

第5章代数系统的基本概念章
证明因为er和el分别是*的右幺元和左幺元，故有 el*er=el，el*er=er，所以er=el，令其为e，有x*e=e*x=x 设另有一幺元为右幺元e′，那么 e=e*e′=e′ 故e对*是唯一的幺元。
第5章代数系统的基本概念章
【例5.1.6】在实数集R中，对加法"+"运算，0是幺元；在实数集 R 中，对乘法"×"运算，1是幺元；对于全集E的子集的并"∪"运算，是幺元； ∅ 对于全集E的子集的交"∩"运算，E是幺元; 在命题集合中，对于吸取"∨"运算，矛盾式是幺元；在命题集合中，对于合取"∧"运算，重言式是幺元；在AA={f|f:A→A}中，对于复合"。"运算，IA是幺元。
第5章代数系统的基本概念章
证明因为θr和θl分别是*的右零元和左零元，故有 θl*θr=θl，θl*θr=θr，所以θr=θl。令其为θ，有 x*θ=θ*x=θ 设另有一零元为右零元θ′，那么 θ=θ*θ′=θ′ 故θ对S中的*运算是唯一的零元。证毕同样，需强调零元是针对于哪个运算的。
第5章代数系统的基本概念章
定义5.1.4 设*是集合S中的一种二元运算，如果存在θr∈S(θl∈S)且对任意元素 x∈S均有x*θr=θr(θl(x=θl)，则称元素θr(θl)是S中关于运算*的右零元(左零元)。定理5.1.2 设*是S中的二元运算且θr与θl分别是对于 *的右零元和左零元，则 θr=θl=θ,使对任意元素x∈S 有x*θ=θ*x=θ，称元素θ是S中关于运算*的零元(zero)且 x*θ=θ*x=θ θ S * (zero) 唯一。

离散数学第5章代数系统(学生用)

运算的分类
一元运算
只对一个元素进行操作的运算。
二元运算
对两个元素进行操作的运算。
n元运算
对n个元素进行操作的运算。
运算的实例
加法
是二元运算，满足结合性和交换性，不满足幂等性和消去性。
指数运算
是二元运算，满足结合性和交换性，不满足幂等性和消去性。
乘法
是二元运算，满足结合性和交换性，满足幂等性和消去性。
离散数学第5章代数系统( 学生用)
• 代数系统的基本概念 • 代数系统的运算 • 代数系统的同态与同构 • 代数系统的子代数与商代数 • 代数系统的应用
01
代数系统的基本概念
定义与性质
定义
代数系统是一个有序的三元组 (A,F,D)，其中A是一个非空集合， F是A上的一组二元运算，D是A上的一组一元运算。
同构实例
例如，矩阵代数中的矩阵集合M与向量空间中的向量集合V之间存在一个一一对应的映射f，使得M中的每一个元素x经过f的映射后，都对应于V中的某个元素y，并且M中的加法、数乘和乘法运算也对应于V中的加法、数乘和外积运算，因此M与V同构。
04
代数系统的子代数与商代数
子代数与商代数的定义
子代数
如果代数系统的一个非空子集在给定的运算下仍然是一个代数系统，则称这个子集为原代数系统的子代数。
同构性质
同构关系具有自反性、对称性和传递性，即如果A同构于B，那么B一定同构于A；如果A同构于B，B同构于C，那么A一定同构于C。
同态与同构的实例
同态实例
例如，整数集合Z与有理数集合Q之间存在一个一一对应的映射f，使得Z中的每一个元素x经过f的映射后，都对应于Q中的某个元素y，并且Z中的加法运算也对应于Q中的加法运算，因此Z与Q同态。

几个典型的代数系统环域格布尔代数

有补格

设<L,∧,∨,0,1>是有界格,若L中所有元素都有补元存在，则称L为有补格。
L2,L3和L4是有补格，L1不是有补格
布尔代数

如果一个格是有补分配格,则称它为布尔格或布尔代数。
题型

一、单选题（本大题共15题，每题2分，共30分。二、填空题(本大题共11空，每空2分，共22分) 三、画图分析题（本大题共2题，每题4分，共8分）四、综合题（本大题共5题，每题8分，共40分）
有界格与补元

设L是格,若存在a∈L使得x∈L有a ≤ x,则称a为 L的全下界；若存在b∈L使得 x∈L有x ≤ b,则称b为L的全上界。可以证明,格L若存在全下界或全上界,一定是唯一的。全下界记作0，全上界记作1 设L是格,若L存在全下界和全上界,则称L为有界格,并将L记为<L,∧,∨,0,1>。设<L,∧,∨,0,1>是有界格,a∈L,若存在b∈L 使得： a∧b=0 和 a∨b=1 成立,则称b是a的补元。
离散数学
CH6 几个典型的代数系统 6.2 环与域 6. 3 格与布尔代数
今日内容
环域格布尔代数

环与域

环的定义与性质
环的定义与性质
定义6.8 设< , , >是代数系统,+和· 是二元运算。如果满足以下条件: (1) <R,+>构成交换群， (2) <R,· >构成半群， (3) · 运算关于+运算适合分配律，则称<R,+,· >是一个环。为了区别环中的两个运算,通常称+运算为环中的加法,· 运算为环中的乘法。

《离散数学》第5章代数系统简介

x ( x) 0, ( x) x 0 .
在 M n (R) 上，对于矩阵乘法只有可逆矩阵 M M n (R) 存在逆元
M 1 ， M M 1 E 和 M 1 M E 成立，使得其中 E 为 n 阶单位矩阵.
9、设为 S 上的二元运算，如果对任意的 x, y, z S 满足以下条件（1）若 x y x z 且 x 不是零元，则 y z ，（2）若 y x z x 且 x 不是零元，则 y z ，就称运算满足消去律
例如: 在幂集 P ( S ) 上的和是满足吸收律的.
若算“”满足左分配律； b c a b a c a ，则运算“ ”对运算“ ”满足右分配律.若左右分配律均满足，称运算“ ”对运算“ ”满足分配律. 则

5、设是 A 上的二元运算，若存在 a A ，有
1、若 a b b a ，则称运算“ ”在A上是可换的，或者说运算“ ”满足交换律.
例如：在实数集R上，通常的加法和乘法都满足交换律，但减法和除法不满足交换律.因为2和4都是实数.因为2-4≠4-2.在幂集 P(S)上 , , 都满足交换律，但相对补不满足交换律.
2、若a b c a b c，则称运算“*”在A上是可结合的.或称“*”满足结合律.
这些相当于前缀表示法，但对二元运算用得较多的还是 a1 a2 b .我们在本书中所涉及的代数运算仅限于一元. 和二元运算．
如果集合Ｓ是有穷集，Ｓ上的一元和二元运算也可以用运算表给出.表5―1和表5－2是一元和二元运算表的一般形式.
表5－1
表5－1
例2、(2) 设 S 0,1, 2,3, 4 ，定义 S 上的两个二元运算如下：

第五章习题几个典型的代数系统

第五章习题几个典型的代数系统.设A={0,1},试给出半群<A A,>的运算表,其中为函数的复合运算。

.设G={a+bi|a,b∈Z},i为虚数单位,即i2=-1.验证G关于复数加法构成群。

.设Z为整数集合,在Z上定义二元运算如下：x,y∈Z,x y=x+y-2问Z关于运算能否构成群为什么.设A={x|x∈R∧x≠0,1}.在A上定义六个函数如下：f 1(x)=x,f2(x)=x-1,f3(x)=1-x,f 4(x)=(1-x)-1,f5(x)=(x-1)x-1, f6(x)=x(x-1)-1令F为这六个函数构成的集合,运算为函数的复合运算。

(1) 给出运算的运算表。

(2) 验证<F,>是一个群。

.设G为群,且存在a∈G,使得 G={a k|k∈Z}, 证明G是交换群。

.证明群中运算满足消去律..设G为群,若x∈G有x2=e,证明G为交换群。

.设G为群,证明e为G中唯一的幂等元。

.证明4阶群必含2阶元。

设A={a+bi|a,b∈Z,i2=-1},证明A关于复数的加法和乘法构成环,称为高斯整数环。

.(1) 设R1,R2是环,证明R1与R2的直积R1×R2也是环。

(2) 若R1和R2为交换环和含幺环,证明R1×R2也是交换环和含幺环。

. 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域,如果不能构成,说明理由。

(1) A={a+bi|a,b∈Z},其中i2=-1,运算为复数的加法和乘法。

(2) A={-1,0,1},运算为普通加法和乘法。

(3) A=M(Z),2阶整数矩阵的集合，运算为矩阵加法和乘法。

2(4) A是非零有理数集合Q*,运算为普通加法和乘法。

.设G是非阿贝尔群,证明G中存在元素a和b,a≠b,且ab=ba..设H是群G的子群,x∈G,令xHx-1={xhx-1|h∈H},证明xHx-1是G的子群,称为H的共轭子群。

.设(1) G上的二元运算为矩阵乘法,给出G的运算表(2) 试找出G的所有子群(3) 证明G的所有子群都是正规子群。

6几个典型的代数系统

不是所有的群都是交换群
7
Algebra
代数
有限群和无限群
设 G, 是一个群。如果 G 是一个有限集，那么称
G, 为有限群， G 中元素的个数通常称为该有限
群的阶数，记为 G ；如果 G 是无限集，则称 G, 为无限群。
就是一个有限群，且 F 4 上例中所述的 F，
8
Algebra
代数
至此，我们可以概括地说：代数系统仅仅是一个具有封闭二元运算的非空集合；半群是一个具有结合运算的代数系统；独异点是具有幺元的半群；群是每个元素都有逆元的独异点。即有：
{群} {独异点} {半群} {代数系统}
9
Algebra
代数
定理 2 群中不可能有零元。
证明当群的阶为 1 时，它的唯一元素视作幺元，否则不是群设|G|>1 且群<G,*>有零元θ 。那么群中任何元素 x∈G，都有 x*θ =θ *x=θ ≠e 所以，零元θ 就不存在逆元，这与<G,*>是群矛盾故假设不成立，即无零元
20
6.2环与域
是一个代数系统，如果满足：设 A, ★，
⑴ A, ★ 是阿贝尔群；
⑵ A, 是半群；
Algebra
代数
⑶运算对于运算★是可分配的，则称 A, ★，是环。
通常称★为加法运算 *为乘法运算即对加法是可交换的群,对乘法是半
群,乘法对加法是可分配的.
21
Algebra
注意，存在着非结合的代数系统，不为半群
例如
I,
R, /
都不为半群
2
Algebra
代数
独异点含有幺元的半群称为独异点。(也称单元半群) 可换半群运算满足交换律的半群称为可换半群

几个典型的代数系统

可交换半群：如果半群V = < S, >中的二元运算是可交换的，则称V为可交换半群。
2020/4/24
离散数学
一、半群的概念（续）
含幺半群（独异点）：如果半群V = < S, >的二元运算含有幺元，则称V为含幺半群(独异点)。即 eS，使得对 xS都有e x = x e = x。独异点亦可记为< S, , e>。
如：<Z, +>, <R–{0}, >, <P(S), >, <Zn, >都是阿贝尔群。
2020/4/24
离散数学
二、群的概念（续）
群中的幂：设群<G, > ，则对 xG， x0 = e ，xn+1 = xn x，(n为非负整数) x -n= (x -1)n= (xn)-1，(n为正整数)
幂运算的性质： (1) xG，(x -1)-1 = x， (2) x, yG，(x y)-1 = y -1 x –1， (3) xG，xm xn = xm + n ，m, n为整数 (4) xG，(xm)n = xmn ， m, n为整数
如：群<Z6, >, <0> = {0}, <1> = {0, 1, 2, 3, 4, 5} = Z6 , <2> = {0, 2, 4}, <3> = {0, 3}, <4> = <2>, <5> = <1> 。
2020/4/24
离散数学
四、两种常用的群
1、循环群：元素的阶(周期)：设群<G, >，aG，使ak = e 成立
2020/4/24

离散数学第五章：2代数系统及其子代数和积代数 3代数系统的同态与同构

0 = 0⋅ n ∈nZ,
6
三. 代数系统的积代数
定义5－定义－14 其中 ∗ 和设代数系统 V =< S1,∗> 和 1
V2 =< S2 , >
积代数是一个代数系统都是二元运算。V和 V2 的积代数是一个代数系统 1
其中 V ×V2 即 V1 ×V2 =< S , ⊕> ,其中 1
S = S1 × S2 ={(x1, y1)| x1 ∈S1, y1 ∈S2} 是二元运算， ⊕是二元运算，定义为对任意的 ( x1, y1 ),( x2 , y2 ) ∈ S
1
, 2 ,⋯,
k
满足B S,则称则称V >满足B⊂S,则称V’是
5
例1. 设 V =< Z , +,0 >, 令
nZ = {nz z ∈Z} , n 为自然数, 为自然数,
证明: nZ是的子代数. 证明: nZ是V的子代数. 证明: 证明: 任取nZ中的两个元素任取nZ中的两个元素nz1, nz2 (z1, z2 ∈Z), 则有
.
11
3个代数系统的积代数: 个代数系统的积代数:
例如 V
=< Z, +,0 >, 那么有
V ×V ×V =< Z × Z × Z,∗, 0,0,0 >, 并且对任意的 < x1, y1, z1 >, < x2 , y2 , z2 >∈Z × Z × Z, 有
< x1, y1, z1 >∗< x2 , y2 , z2 >=< x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 >
< Z , +, 0 >

第五章习题几个典型的代数系统

离散数学第五章

《离散数学》第五章

第5章 代数系统

第5章 代数系统的基本概念(1)

6几个典型的代数系统PPT课件

第五章代数结构

几个典型的代数系统

第5章 代数系统的基本概念

离散数学第5章代数系统(学生用)

几个典型的代数系统 环域格布尔代数

《离散数学》第5章 代数系统简介

第五章习题几个典型的代数系统

6几个典型的代数系统

几个典型的代数系统

离散数学 第五章：2代数系统及其子代数和积代数 3代数系统的同态与同构

第5章代数系统

第5章代数系统的基本概念(1)

第5章代数系统的基本概念

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