移动最小二乘法

0 0 ( x x1 ) 0 ( x x2 ) 0 W ( x) 0 0 ( x xn )
为了得到a(x) 对J取极值即得：
J A( x) a ( x) B ( x)u 0 a
即：
A( x)a( x) B( x)u
移动最小二乘法
移动最小二乘法是形成无网格方法逼近函数的方法之一。已在无网格方法中得 到广泛应用。其优点是有很好的数学理论支持，因为基于最小二乘法，所以数 值精度较高。对于每个固定点，移动最小二乘法即为通常的最小二乘法。最小 二乘法的缺点也是移动最小二乘法的缺点，即易形成病态或奇异的方程组。 移动最小二乘法原理 假设待求函数u(x)在求解区域Ω中的N个节点xi(i=1,2,...,N)处的函数值ui=u(xi)是 已知的，我们的目的是在区域Ω中构造待求函数u(x)的全局近似函数uh(x)，待求 函数在计算点x的领域Ωx内可以局部近似为
二维空间中单项式基函数分类
线性基：
二次基：
pT ( x ) [1, x, y], m 3. pT ( x ) [1, x, y, x 2 , xy, y 2 ], m 6.
紧支集：定义域为D的函数f(x)具有紧支集是说集合{x|f(x)≠0}属于D内部，f(x)=0在D 的边界达到. 将求解区域Ω用N个节点离散，在每个节点xi(i=1,2,...N)处定义一个权函数 i ( x xi ) 权函数ωi只在节点xi周围的有限区域Ωi中大于零，而在该领域外均为零即该函数式 紧支的，区域Ωi称为权函数ωi(x)的支撑域也称为节点xi的支撑域或节点xi的影响域. 设计算点x的邻域Ωx包括N个节点，近似函数 u 差的加权平方和如下：
uT (u1 , u2 ,, uN )
p1 ( x1 ) p (x ) P 1 2 p1 ( xn ) p2 ( x1 ) p 2 ( x2 ) p 2 ( xn ) pm ( x1 ) p m ( x2 ) p m ( xn )
h
( x, x ) 在这些节点 x xi 处的误
Baidu Nhomakorabea
J ( x xi )[u h ( x, xi ) u( xi )]2 ( x xi )[ pi ( xi )ai ( x) u( xi )]
i 1 i 1 i 1
N
N
m
2
上式可用矩阵形式表示为： J ( Pa u)T W ( x)(Pa u) 式中：
u (x,x ) pi(x )ai(x) pT (x)a(x)
h i 1
m
式中： x [ x, y, z ]T 是计算点x的领域Ωx内各点的空间坐标，
pT ( x ) [ p1 ( x ), p2 ( x ),, pm ( x )]
pi (x ) 是基函数；m是基函数个数；a( x) [a1 ( x), a2 ( x),, am ( x)]T , ai ( x)是待定系数 .
N
式中Φ(x)为形函数：
( x) [1 ( x), 2 ( x),, N ( x)] pT ( x) A1 ( x)B( x)
最小二乘法与移动最小二乘法比较 （1）拟合函数的建立不同。移动最小二乘法建立拟合函数不是采用传统的多项 式或其它函数，而是由一个系数向量a(x)和基函数p(x)构成，这里a(x)不是常数， 而是坐标x 的函数。 （2）引入紧支（Compact Support）概念，认为点x 处的值y 只受x 附近子 域内节点影响，这个子域称作点x 的影响区域（支撑域），影响区域外的 节点对x的取值没有影响。在影响区域上定义一个权函数ω(x)，如果权函数 在整个区域取为常数，就得到传统的最小二乘法。
优势：移动最小二乘法的这些改进能够带来许多优点，减缓或解决传统曲线曲面 拟合过程中存在的困难。可以取不同阶的基函数以获得不同的精度，取不同的权 函数以改变拟合曲线(曲面)的光滑度，这是其它拟合方法无法做到的。
式中A(x)和B(x)分别为：
A( x) PTW ( x) P B( x ) P T W ( x )
进一步又可得：
a( x) A1 ( x) B( x)u
这样逼近函数uh(x)的表达式为：
u ( x) p ( x)a( x) ( x)u i ( x)ui
h T i 1