第一章 习题解析.
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 1 2C 3 C 2 12 2 P= 1 1 = = C9C6 54 9
17. 袋中有 12 个球，其中 2 个球有号码 1；4 个球有 个球， ； 个球， 号码 5；6 个球有号码 10，今从袋中取 6 个球，求这 6 个球 ； ， 的概率. 的号码之和至少为 50 的概率
6 种方法， 解 从 12 个球中取 6 个，共有C12 种方法，其中 6 个球
（1）三卷一套放在一起； ）三卷一套放在一起； （2）四卷一套放在一起； ）四卷一套放在一起； 3）两套各自放在一起. （3）两套各自放在一起.
解
10 本书的摆放顺序共有 10！种，这是样本空间 本书的摆放顺序 顺序共有 ！ 这是样本空间 样本空间.
）三卷一套放在一起， （1）三卷一套放在一起，应首先将这套书看作一本与 本一起， 其余 7 本一起，则应有 8！种方法，另外一套三本书又有 3！ ！种方法， ！ 种方法， 种方法， 因此
第一章 习题解析 7.证明下列关于事件的等式 证明下列关于事件 证明下列关于事件的等式.
（1） A U B = A U ( BA ) ） 证
A U B = ( A U B ) S = ( A U B )( A U A )
(2) 证
= A U AA U AB U BA = A U AB U BA = A U BA ( A − B ) U ( B − A) = ( AB ) U ( A )( B )
求酒杯落下三次而未被打碎的概率. 求酒杯落下三次而未被打碎的概率
解 设 A 为 “未被打碎事件” Ai 为 “第 i 次未被打碎 未被打碎事件” ； 事件” ， 事件” i = 1,2,3 ， 则 A = A1 A2 A3 ， 于是
P ( A) = P ( A1 A2 A3 ) = P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 ) 1 7 9 3 = (1 − )(1 − )(1 − ) = 2 10 10 200
为最大值. （1）当 B ⊃ A 时， P ( AB ) = P ( A) = 0.5 为最大值 ）
（2）当 A U B = S 时， ）
P ( S ) = P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB ) ⇒ 1 = 0.5 + 0.6 − P ( AB )
为最小值. 有 P ( AB ) = 1.1 − 1 = 0.1，为最小值
( AB ) U ( A B ) = ( AB ) A B
= ( A U B )( A U B ) = A A U AB U B A U B B = AB U BA = ( B − A) U ( A − B ) = ( A − B ) U ( B − A)
(3) 证
B − A = ( AB )( A B )
5 15 5 10 5 5
解
4 （1）有 1 名优秀生的分法有 3! C12C 84C 44 种，则 ）
4 4 4 3! C12C 8 C 4 25 P1 = 5 5 5 = C15C10C 5 91
（ 2）将 3 名优秀生同分到某一个小组的分法有
2 5 5 3C12C10C 5 种 则 2 5 5 3C12C10C 5 6 P2 = 5 5 5 = C15C10C 5 91
18.
50 只电子管随机地取来，用在 10 个电路板上，其 只电子管随机地取来， 个电路板上，
只电子管是次品， 只电子管， 中有 3 只电子管是次品，每个电路板用 3 只电子管，若将 3 只 次品都安装在一个电路板上，则这个电路板就是废品， 次品都安装在一个电路板上，则这个电路板就是废品，问发生 电路板是废品的概率是多少？ 电路板是废品的概率是多少？
设所求事件为 A ， 则导致 A 发生的集合应由图形中阴 影部分组成， 影部分组成，Baidu Nhomakorabea由几何概率知
1 1 2 ( 24 − 1) + ( 24 − 2) 2 1013 2 P ( A) = 2 = 2 ( 24) 1152
20. 在 100 件同类型产品中有 85 件一等品，10 件二 同类型 一等品， 等品和 次品， 任取一件 非次品的条件下 一件为 等品和 5 件次品，求在从中任取一件为非次品的条件下， 等品的概率 的概率. 为一等品的概率
16. 甲盒中有红、黑、白皮笔记本各 3 本，乙盒中有 甲盒中有红、 今从两盒中各取一本， 黄、黑、白皮笔记本各 2 本，今从两盒中各取一本，求所 本是相同颜色的概率. 取 2 本是相同颜色的概率
由于取到相同颜色的情形只能是黑、 白两种， 解 由于取到相同颜色的情形只能是黑、白两种， 因此 所求概率
12.
10 把钥匙中有 3 把能打开门，现任取 2 把，求能 把能打开门，
2 0 1 1 C 3 C 7 + C 3 C 7 3 + 21 8 P= = = ≈ 0.533 2 C10 45 15
打开门的概率. 打开门的概率
解
13. 5 双不同的手套， 双不同的手套， 任取 4 只， 4 只都不配对的概 求 率.
21. 盒中有 5 个水果，其中有 3 个梨，2 个桃，从中任 个水果， 个梨， 个桃， 取两次，每次取一个不放回， 表示“第一次取到梨” 取两次，每次取一个不放回，设 A 表示“第一次取到梨” ，
B 表示 “第二次取到的还是梨” 求条件概率 P ( B | A) . 表示“第二次取到的还是梨” ，
8!3! 1 P1 = = 10! 15
2） （ 2）同理
7!4! 1 P2 = = 10! 30
各自放在一起也 如此考虑 考虑， 先将二套 二套书 （3）两套各自放在一起也是如此考虑，即先将二套书 ）两套各自放在一起 看成二本与 一起应有 ！ 方法， 看成二本与其余 3 本一起应有 5！种方法，因此有 二本
= P ( A) + P ( B ) + P (C ) − P ( AB ) − P ( AC ) − P ( BC ) + P ( ABC )
1 1 1 1 5 = + + − = 4 4 4 8 8
10. 设 A, B 为两个事件，且 P ( A) = 0.7, P ( A − B ) = 0.3 ，求 为两个事件，
1 1 1 23. 已知 P ( A) = ， P ( B | A) = ， P ( A | B ) = ，试求 3 3 4
P ( AB ), P ( AB ), P ( A | B ) .
1 1 1 解 P ( AB ) = P ( A) P ( B | A) = ⋅ = 3 4 12 1 11 P ( AB ) = 1 − P ( AB ) = 1 − = 12 12 1 P ( AB ) 12 1 P( B) = = = 1 4 P( A | B) 3 P( A B ) 1 − P( A U B) 则 P( A | B ) = = P( B ) 1 − P( B)
设有 0 ≤ x ≤ 24,0 ≤ y ≤ 24 ，又由题设知，若甲先到，乙应晚 1 又由题设知，若甲先到， 小时到， 小时到，即 y − x ≥ 1；
若乙先到， 小时， 若乙先到，则甲应晚 2 小时，即 x − y ≥ 2 ，基本事件的 组成. 集合由 x = 0, y = 0, x = 24, y = 24 所围成的图形面积( 24) 2 组成
( AB )( A B ) = ( A U B )( A B )
= AB U BAB = AB = B− A
8.设 A, B 为 两个 事件 ， 且 P ( A) = 0.5, P ( B ) = 0.6 ， 问 两个事件 事件， 设
条件下 取到最大值 求出最大值 最大值？ 最大值； （1）在什么条件下，P ( AB ) 取到最大值？求出最大值； ） 什么条件 条件下 取到最小 最小值 求出最小 最小值 （2）在什么条件下， P ( AB ) 取到最小值？求出最小值. ） 什么条件 情形. 解 由 P ( A) = 0.5, P ( B ) = 0.6 ，知必不会有 AB = φ 情形
5!4!3! 1 P3 = = 10! 210
15. 将有 3 名优秀生的 15 名课外活动小组成员随机地 人小组， 分成三个科目不同的 5 人小组，每个小组有 1 名优秀生的 概率是多少？ 概率是多少 ？ 3 名优秀生同时分到一个小组的概率是多 少？
15! 种分法. 总的可能情况为 C C C = 种分法 5!5!5!
P ( AB ) .
解 所以
P ( A − B ) = P ( A) − P ( AB ) ⇒ P ( AB ) = 0.7 − 0.3 = 0.4
P ( AB ) = 1 − P ( AB ) = 0.6
11. 电话号码由 8 位数字组成，每个数字可以是 0,1， 位数字组成， ，
L , 9 中的任一数字 求电话号码是由完全不同的数字组成的 中的任一数字.求电话号码是由完全不同的数字组成的
1 9. 设 A, B , C ，为三个事件，且 P ( A) = P ( B ) = P (C ) = ， 三个事件， 4 1 至少有 P ( AB ) = P ( BC ) = 0 ，P ( AC ) = ，求 A, B , C 至少有一个发生的 8
概率. 概率 解
P( A U B U C )
分别表示一等品、二等品、 解 设 Ai ( i = 1,2,3) 分别表示一等品、二等品、次品三事 为非次品事件， 件， A 为非次品事件，则所求概率为
P ( A1 | A) = P ( A1 A) P ( A1 ) = P ( A) P ( A1 ) + P ( A2 ) 0.85 85 17 = = = 0.85 + 0.10 95 19
解：所求概率为
3 47 27! 3 27 3!3!3!3!3!3!3!3!3! 1 p = = 1960 30! 50 30 3!3!3!3!3!3!3!3!3!3!
19 甲、 乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的 乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的 码头停泊， 它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的， 码头停泊， 它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的， 如果甲 船的停泊时间是一小时， 乙船停泊的时间是两小时， 求它们 船的停泊时间是一小时， 乙船停泊的时间是两小时， 中任何一艘船都不需要等候码头空出的概率. 中任何一艘船都不需要等候码头空出的概率 设甲、 解 设甲、乙两船到达码头的时刻分别为 x, y ，由题
的号码之和至少为 50 的情形有以下 3 种： （1）6 个都是号码 10 的为 C 66 = 1 种； ）
1 （2）5 个为号码 10，1 个为非号码 10 的共C 65 ⋅ C 6 种； ） ，
， （3）4 个为号码 10，2 个为号码 5 的共 C 64C 42 种； ） 因此所求概率为
6 5 1 4 2 C 6 + C 6 C 6 + C 6 C 4 127 P= = 6 C12 924
概率. 概率
个数， 解 由于电话号码 8 位数中每位都可以是 0 – 9 个数， 种可能， 所以样本空间共有108 种可能，而事件 A :电话号码是由完全 电话号码是由完全 不同的数字组成,应有 A10 种. 不同的数字组成 应有 8
故所求概率
8 A10 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 P ( A) = 8 = = 0.018 8 10 10
解
根据实际意义计算
P ( B | A) = 2 1 = 4 2
22. 某玻璃器皿厂生产制造酒杯，第一次酒杯落下打碎 某玻璃器皿厂生产制造酒杯，
1 的概率是 ；若第一次未打碎而第二次落下打碎的概率是 2 7 9 若前两次均未被打碎， ；若前两次均未被打碎，第三次落下打碎的概率为 .试 试 10 10
解 只都不配对},则事件 设 A={4 只都不配对 则事件 A 发生就是从 5 双手
再从每双中取一只， 套中取 4 双 ，再从每双中取一只，而这种取法每双都有 2 种可能性， 种可能性，因此
4 1 C 5 (C 2 ) 4 8 P ( A) = = 4 C10 21
14. 任意将 10 本书放在书架上，其中有两套书，一套 本书放在书架上，其中有两套书， 含三卷，另一套含四卷，求下列事件的概率. 含三卷，另一套含四卷，求下列事件的概率
17. 袋中有 12 个球，其中 2 个球有号码 1；4 个球有 个球， ； 个球， 号码 5；6 个球有号码 10，今从袋中取 6 个球，求这 6 个球 ； ， 的概率. 的号码之和至少为 50 的概率
6 种方法， 解 从 12 个球中取 6 个，共有C12 种方法，其中 6 个球
（1）三卷一套放在一起； ）三卷一套放在一起； （2）四卷一套放在一起； ）四卷一套放在一起； 3）两套各自放在一起. （3）两套各自放在一起.
解
10 本书的摆放顺序共有 10！种，这是样本空间 本书的摆放顺序 顺序共有 ！ 这是样本空间 样本空间.
）三卷一套放在一起， （1）三卷一套放在一起，应首先将这套书看作一本与 本一起， 其余 7 本一起，则应有 8！种方法，另外一套三本书又有 3！ ！种方法， ！ 种方法， 种方法， 因此
第一章 习题解析 7.证明下列关于事件的等式 证明下列关于事件 证明下列关于事件的等式.
（1） A U B = A U ( BA ) ） 证
A U B = ( A U B ) S = ( A U B )( A U A )
(2) 证
= A U AA U AB U BA = A U AB U BA = A U BA ( A − B ) U ( B − A) = ( AB ) U ( A )( B )
求酒杯落下三次而未被打碎的概率. 求酒杯落下三次而未被打碎的概率
解 设 A 为 “未被打碎事件” Ai 为 “第 i 次未被打碎 未被打碎事件” ； 事件” ， 事件” i = 1,2,3 ， 则 A = A1 A2 A3 ， 于是
P ( A) = P ( A1 A2 A3 ) = P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 ) 1 7 9 3 = (1 − )(1 − )(1 − ) = 2 10 10 200
为最大值. （1）当 B ⊃ A 时， P ( AB ) = P ( A) = 0.5 为最大值 ）
（2）当 A U B = S 时， ）
P ( S ) = P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB ) ⇒ 1 = 0.5 + 0.6 − P ( AB )
为最小值. 有 P ( AB ) = 1.1 − 1 = 0.1，为最小值
( AB ) U ( A B ) = ( AB ) A B
= ( A U B )( A U B ) = A A U AB U B A U B B = AB U BA = ( B − A) U ( A − B ) = ( A − B ) U ( B − A)
(3) 证
B − A = ( AB )( A B )
5 15 5 10 5 5
解
4 （1）有 1 名优秀生的分法有 3! C12C 84C 44 种，则 ）
4 4 4 3! C12C 8 C 4 25 P1 = 5 5 5 = C15C10C 5 91
（ 2）将 3 名优秀生同分到某一个小组的分法有
2 5 5 3C12C10C 5 种 则 2 5 5 3C12C10C 5 6 P2 = 5 5 5 = C15C10C 5 91
18.
50 只电子管随机地取来，用在 10 个电路板上，其 只电子管随机地取来， 个电路板上，
只电子管是次品， 只电子管， 中有 3 只电子管是次品，每个电路板用 3 只电子管，若将 3 只 次品都安装在一个电路板上，则这个电路板就是废品， 次品都安装在一个电路板上，则这个电路板就是废品，问发生 电路板是废品的概率是多少？ 电路板是废品的概率是多少？
设所求事件为 A ， 则导致 A 发生的集合应由图形中阴 影部分组成， 影部分组成，Baidu Nhomakorabea由几何概率知
1 1 2 ( 24 − 1) + ( 24 − 2) 2 1013 2 P ( A) = 2 = 2 ( 24) 1152
20. 在 100 件同类型产品中有 85 件一等品，10 件二 同类型 一等品， 等品和 次品， 任取一件 非次品的条件下 一件为 等品和 5 件次品，求在从中任取一件为非次品的条件下， 等品的概率 的概率. 为一等品的概率
16. 甲盒中有红、黑、白皮笔记本各 3 本，乙盒中有 甲盒中有红、 今从两盒中各取一本， 黄、黑、白皮笔记本各 2 本，今从两盒中各取一本，求所 本是相同颜色的概率. 取 2 本是相同颜色的概率
由于取到相同颜色的情形只能是黑、 白两种， 解 由于取到相同颜色的情形只能是黑、白两种， 因此 所求概率
12.
10 把钥匙中有 3 把能打开门，现任取 2 把，求能 把能打开门，
2 0 1 1 C 3 C 7 + C 3 C 7 3 + 21 8 P= = = ≈ 0.533 2 C10 45 15
打开门的概率. 打开门的概率
解
13. 5 双不同的手套， 双不同的手套， 任取 4 只， 4 只都不配对的概 求 率.
21. 盒中有 5 个水果，其中有 3 个梨，2 个桃，从中任 个水果， 个梨， 个桃， 取两次，每次取一个不放回， 表示“第一次取到梨” 取两次，每次取一个不放回，设 A 表示“第一次取到梨” ，
B 表示 “第二次取到的还是梨” 求条件概率 P ( B | A) . 表示“第二次取到的还是梨” ，
8!3! 1 P1 = = 10! 15
2） （ 2）同理
7!4! 1 P2 = = 10! 30
各自放在一起也 如此考虑 考虑， 先将二套 二套书 （3）两套各自放在一起也是如此考虑，即先将二套书 ）两套各自放在一起 看成二本与 一起应有 ！ 方法， 看成二本与其余 3 本一起应有 5！种方法，因此有 二本
= P ( A) + P ( B ) + P (C ) − P ( AB ) − P ( AC ) − P ( BC ) + P ( ABC )
1 1 1 1 5 = + + − = 4 4 4 8 8
10. 设 A, B 为两个事件，且 P ( A) = 0.7, P ( A − B ) = 0.3 ，求 为两个事件，
1 1 1 23. 已知 P ( A) = ， P ( B | A) = ， P ( A | B ) = ，试求 3 3 4
P ( AB ), P ( AB ), P ( A | B ) .
1 1 1 解 P ( AB ) = P ( A) P ( B | A) = ⋅ = 3 4 12 1 11 P ( AB ) = 1 − P ( AB ) = 1 − = 12 12 1 P ( AB ) 12 1 P( B) = = = 1 4 P( A | B) 3 P( A B ) 1 − P( A U B) 则 P( A | B ) = = P( B ) 1 − P( B)
设有 0 ≤ x ≤ 24,0 ≤ y ≤ 24 ，又由题设知，若甲先到，乙应晚 1 又由题设知，若甲先到， 小时到， 小时到，即 y − x ≥ 1；
若乙先到， 小时， 若乙先到，则甲应晚 2 小时，即 x − y ≥ 2 ，基本事件的 组成. 集合由 x = 0, y = 0, x = 24, y = 24 所围成的图形面积( 24) 2 组成
( AB )( A B ) = ( A U B )( A B )
= AB U BAB = AB = B− A
8.设 A, B 为 两个 事件 ， 且 P ( A) = 0.5, P ( B ) = 0.6 ， 问 两个事件 事件， 设
条件下 取到最大值 求出最大值 最大值？ 最大值； （1）在什么条件下，P ( AB ) 取到最大值？求出最大值； ） 什么条件 条件下 取到最小 最小值 求出最小 最小值 （2）在什么条件下， P ( AB ) 取到最小值？求出最小值. ） 什么条件 情形. 解 由 P ( A) = 0.5, P ( B ) = 0.6 ，知必不会有 AB = φ 情形
5!4!3! 1 P3 = = 10! 210
15. 将有 3 名优秀生的 15 名课外活动小组成员随机地 人小组， 分成三个科目不同的 5 人小组，每个小组有 1 名优秀生的 概率是多少？ 概率是多少 ？ 3 名优秀生同时分到一个小组的概率是多 少？
15! 种分法. 总的可能情况为 C C C = 种分法 5!5!5!
P ( AB ) .
解 所以
P ( A − B ) = P ( A) − P ( AB ) ⇒ P ( AB ) = 0.7 − 0.3 = 0.4
P ( AB ) = 1 − P ( AB ) = 0.6
11. 电话号码由 8 位数字组成，每个数字可以是 0,1， 位数字组成， ，
L , 9 中的任一数字 求电话号码是由完全不同的数字组成的 中的任一数字.求电话号码是由完全不同的数字组成的
1 9. 设 A, B , C ，为三个事件，且 P ( A) = P ( B ) = P (C ) = ， 三个事件， 4 1 至少有 P ( AB ) = P ( BC ) = 0 ，P ( AC ) = ，求 A, B , C 至少有一个发生的 8
概率. 概率 解
P( A U B U C )
分别表示一等品、二等品、 解 设 Ai ( i = 1,2,3) 分别表示一等品、二等品、次品三事 为非次品事件， 件， A 为非次品事件，则所求概率为
P ( A1 | A) = P ( A1 A) P ( A1 ) = P ( A) P ( A1 ) + P ( A2 ) 0.85 85 17 = = = 0.85 + 0.10 95 19
解：所求概率为
3 47 27! 3 27 3!3!3!3!3!3!3!3!3! 1 p = = 1960 30! 50 30 3!3!3!3!3!3!3!3!3!3!
19 甲、 乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的 乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的 码头停泊， 它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的， 码头停泊， 它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的， 如果甲 船的停泊时间是一小时， 乙船停泊的时间是两小时， 求它们 船的停泊时间是一小时， 乙船停泊的时间是两小时， 中任何一艘船都不需要等候码头空出的概率. 中任何一艘船都不需要等候码头空出的概率 设甲、 解 设甲、乙两船到达码头的时刻分别为 x, y ，由题
的号码之和至少为 50 的情形有以下 3 种： （1）6 个都是号码 10 的为 C 66 = 1 种； ）
1 （2）5 个为号码 10，1 个为非号码 10 的共C 65 ⋅ C 6 种； ） ，
， （3）4 个为号码 10，2 个为号码 5 的共 C 64C 42 种； ） 因此所求概率为
6 5 1 4 2 C 6 + C 6 C 6 + C 6 C 4 127 P= = 6 C12 924
概率. 概率
个数， 解 由于电话号码 8 位数中每位都可以是 0 – 9 个数， 种可能， 所以样本空间共有108 种可能，而事件 A :电话号码是由完全 电话号码是由完全 不同的数字组成,应有 A10 种. 不同的数字组成 应有 8
故所求概率
8 A10 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 P ( A) = 8 = = 0.018 8 10 10
解
根据实际意义计算
P ( B | A) = 2 1 = 4 2
22. 某玻璃器皿厂生产制造酒杯，第一次酒杯落下打碎 某玻璃器皿厂生产制造酒杯，
1 的概率是 ；若第一次未打碎而第二次落下打碎的概率是 2 7 9 若前两次均未被打碎， ；若前两次均未被打碎，第三次落下打碎的概率为 .试 试 10 10
解 只都不配对},则事件 设 A={4 只都不配对 则事件 A 发生就是从 5 双手
再从每双中取一只， 套中取 4 双 ，再从每双中取一只，而这种取法每双都有 2 种可能性， 种可能性，因此
4 1 C 5 (C 2 ) 4 8 P ( A) = = 4 C10 21
14. 任意将 10 本书放在书架上，其中有两套书，一套 本书放在书架上，其中有两套书， 含三卷，另一套含四卷，求下列事件的概率. 含三卷，另一套含四卷，求下列事件的概率