【精选】 有理数单元测试卷附答案

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）

1．列方程解应用题

如图，在数轴上的点A表示，点B表示5，若有两只电子蜗牛甲、乙分别从A、B两点同时出发，保持匀速运动，甲的平均速度为2单位长度秒，乙的平均速度为1单位长度秒请问：

（1）两只蜗牛相向而行，经过________秒相遇，此时对应点上的数是________．

（2）两只蜗牛都向正方向而行，经过多少秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙？

【答案】（1）3；2

（2）解：设两只蜗牛都向正方向而行，经过y秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙，依题意有

，

解得．

答：两只蜗牛都向正方向而行，经过9秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙

【解析】【解答】解：（1）设两只蜗牛相向而行，经过x秒相遇，依题意有

，

解得．

．

答：两只蜗牛相向而行，经过3秒相遇，此时对应点上的数是2．

【分析】（1）可设两只蜗牛相向而行，经过x秒相遇，根据等量关系：两只蜗牛的速度和时间，列出方程求解即可；（2）可设两只蜗牛都向正方向而行，经过y秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙，根据等量关系：两只蜗牛的速度差时间，列出方程求解即可．

2．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”.图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位，动点P 从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半；点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P到达B点时，点P、Q均停止运动.设运动的时间为t秒.问：

（1）用含t的代数式表示动点P在运动过程中距O点的距离；

（2）P、Q两点相遇时，求出相遇时间及相遇点M所对应的数是多少？

（3）是否存在P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等时？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）解：设动点P在运动过程中距O点的距离为S，当P从A运动到O时,所

需时间为：（秒），

当0≤t≤5时，S＝10﹣2t，

当P从O运动到B时,所需时间为：（秒）

∴P从A运动到B时,所需时间为：15秒

当5＜t≤15时，S＝t﹣5，

即动点P在运动过程中距O点的距离S＝；

（2）解：设经过a秒，P、Q两点相遇，则点P运动的距离为10+（a-5），点Q运动的距离为a,

10+（a-5）+a=28

解得，a＝，

则点M所对应的数是：18﹣＝，

即点M所对应的数是；

（3）解：存在，t＝2或t＝，

理由：当0≤t≤5时，

10﹣2t＝（18﹣10﹣t）×1，

解得，t＝2

当5＜t≤8时，

（t﹣10÷2）×1＝（18﹣10﹣t）×1，

解得，t＝，

当8＜t≤15时，

（t﹣10÷2）×1＝[t﹣（18﹣10）÷1]×1

该方程无解，

故存在，t＝2或t＝ .

【解析】【分析】（1）分点P在AO上和点P在OB上两种情况，先求出点P在每段时t 的取值范围，再根据题意分别列出代数式可得答案；（2）根据相遇时P，Q运动的时间相

等，P，Q运动的距离和等于28可得方程，根据解方程，可得答案；（3）分0≤t≤5，5＜t≤8，8＜t≤15三种情况，根据PO=BQ，可得方程，分别解出方程，可得答案.

3．已知数轴上A，B两点对应数分别为-2和5，P为数轴上一点，对应数为x.

（1）若P为线段AB的三等分点（把一条线段平均分成相等的三部分的两个点），求P点对应的数.

（2）数轴上是否存在点P，使P点到A点，B点距离和为10？若存在，求出x值；若不存在，请说明理由.

（3）若点A，点B和点P（P点在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，6，3个长度单位/分，则第几分钟时，A，B，P三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点？【答案】（1）解：因数轴上A、B两点对应的数分别是﹣2和5，所以AB=7，又因P为线

段AB的三等分点，所以 AP=7÷3= 或AP=7÷3×2= ，所以P点对应的数为或

（2）解：若P在A点左侧，则﹣2﹣x+5﹣x=10，解得：x=﹣；

若P在A点、B中间.

∵AB=7，∴不存在这样的点P；

若P在B点右侧，则x﹣5+x+2=10，解得：x=

（3）解：设第x分钟时，点A的位置为：﹣2﹣x，点B的位置为：5﹣6x，点P的位置为：﹣3x，①当P为AB的中点，则

5﹣6x+（﹣2﹣x）=2×（﹣3x），解得：x=3；

②当A为BP中点时，则

2×（﹣2﹣x）=5﹣6x﹣3x，解得：x= ；

③当B为AP中点时，则

2×（5﹣6x）=﹣2﹣x﹣3x，解得：x= .

答：第分钟时，A为BP的中点；第分钟时，B为AP的中点；第3分钟时，P为AB的中点.

【解析】【分析】（1）根据两点间的距离公式得出AB=7，又因P为线段AB的三等分

点，所以 AP 或，进而再根据数轴上两点间的距离公式即可求出点P所表示的数；（2）分类讨论：若P在A点左侧，根据两点间的距离公式由PA+PB=10列出方程，求解算出x的值；若P在A点、B中间，由于PA+PB=AB=7,故不存在这样的点P；若P在B点右侧，根据两点间的距离公式由PA+PB=10列出方程，求解算出x的值，综上所述即可得出答案；

（3）设第x分钟时，点A的位置为：﹣2﹣x，点B的位置为：5﹣6x，点P的位置为：﹣3x ，然后分类讨论：①当P为AB的中点，②当A为BP中点时，③当B为AP中点时三种情况根据线段的中点性质列出方程，求解即可。

4．对于有理数，定义一种新运算“ ”，观察下列各式：

，，

.

（1）计算： ________， ________.

（2）若，则 ________ (填入“ ”或“ ”).

（3）若有理数，在数轴上的对应点如图所示且，求

的值.

【答案】（1）19；

（2）

（3）解：由数轴可得，

，，则，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴

.

【解析】

【解答】（1），