【2019最新】高中数学5-4几个著名的不等式5-4-2排序不等式同步测控
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解析:∵b、c为互不相等的正整数,若b<c,则b≥1,c≥2.
又∵,∴≥
若b>c,则b≥2,c≥1,又∵>,
∴≥≥=.
∴最小值为.
答案:B
6.若a、b、c为实数,则a2+b2+c2与ab+bc+ca的大小关系为_______________.
解析:不妨设a≥b≥c,则ab+bc+ca≤a·a+b·b+c·c=a2+b2+c2.
∴
即成立.
——教学资料参考参考范本——
【2019最新】高中数学5-4几个著名的不等式5-4-2排序不等式同步测控
______年______月______日
____________________部门
同步测控
我夯基，我达标
1.已知a、b、c∈R+,则a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小为( )
A.a3+b3+c3>a2b+b2c+c2a B.a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a
∴·a+·b≤,
即+≤.
答案:+≤
9.若a、b为正数,则-a2与b2-的大小关系为_______________.
解析:不妨设a≥b>0,则a2≥b2>0,≥>0,
a4≥b4>0.∴≥=a2+b2.
∴-a2≥b2-.
答案:-a2≥b2-
10.设a、b、c都是正数,求证:++≥.
证明:不妨设a≥b≥c>0,
答案:a2+b2+c2≥ab+bc+ca
7.比较a4+b4与a3b+ab3的大小关系为_______________.
解析:不妨设a≥b,则a3≥b3,∴a4+b4≥a3b+b3a.
答案:a4+b4≥a3b+ab3
我综合，我发展
8.若a、b为正数,则+与的大小关系为_______________.
解析:不妨设a≥b>0,则a3≥b3>0,∴≤.
则b1≥1,b2≥2,…,bn≥n.
又∵>>…>,
∴m=≥≥1+++…+.
答案:C
4.已知,则( )
A.2b>2a>2c B.2a>2b>2c C.2c>2b>2a D.2c>2a>2b
解析:∵Байду номын сангаас<,
∴b>a>c.∴2b>2a>2c.
答案:A
5.设b、c为互不相等的正整数,则的最小值为( )
A. B. C.1 D.
∴a4-a2bc+b4-ab2c+c4-abc2≥0,
即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.
答案:B
3.设x1,x2,…,xn是不同的正整数,则m=+…+的最小值是( )
A.1 B.2 C.1+++…+ D.1+++…+
解析:∵x1,x2,…,xn是不同的正整数,设b1,b2,…,bn是x1,x2,…,xn的一个排列且b1≤b2≤b3≤…≤bn,
分析:本题可利用排序不等式解答,要证≤成立,
只需证-≤-,由排序不等式证明出.
证明:∵x1≥x2≥…≥xn,y1≥y2≥…≥yn,z1,z2,…,zn是y1,y2,…,yn的任意一个排列,
∴x1y1+x2y2+…+xnyn≥x1z1+x2z2+…+xnzn,
即
∴
且x12+y12+x22+y22+…+xn2+yn2=x12+z12+x22+z22+…+xn2+zn2.
我创新，我超越
12.设a+b>0,n为偶数,求证:+≥+.
分析:本题将an-1与bn-1交换一下就得到右边,可用排序不等式解答,情况不定可分类讨论.
证明:∵a+b>0,
∴a>-b,共有四种情况.
(1)当a≥b>0时,an≥bn>0,an-1≥bn-1,
∴≤.
∴≤,
即≥+成立.
(2)当b≥a>0时,bn≥an>0,bn-1≥an-1,
C.a3+b3+c3<a2b+b2c+c2a D.a3+b3+c3≤a2b+b2c+c2a
解析:不妨设a≥b≥c>0,则a2≥b2≥c2,
∴a2b+b2c+c2a≤a3+b3+c3.
答案:B
2.已知a、b、c∈R+,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)的正负情况为( )
A.大于零B.大于等于零
则a+b≥a+c≥b+c>0,
∴≤≤.
∴≥,
≥.
两式相加,得2()≥3,
即≥成立.
11.设a、b、c∈R+,求证:++≤.
分析:本题可多次利用排序不等式证明,不等式的右边=.
证明:不妨设a≥b≥c>0,则≥≥.
∴≥≥,且a5≥b5≥c5.
∴≥.
∵a≥b≥c>0,
∴a2≥b2≥c2,
.
∴≥
∴≥++成立.
∴≤.
∴≤,
即≥+.
(3)当a>-b>0时,
∵n为偶数,
∴an>(-b)n=bn>0,且a>b.
∴an-1>bn-1,且<.
∴≥
(4)当0>a>-b时,则b>-a>0,
∵n为偶数,∴bn>(-a)n=an>0且bn-1>an-1.
∴>.
∴≤,
即≥+.
综上,≥+.
13.设x1≥x2≥…≥xn,y1≥y2≥…≥yn,z1,z2,…,zn是y1,y2,…,yn的任意一个排列,求证:≤.
C.小于零D.小于等于零
解析:不妨设a≥b≥c>0,
则a2≥b2≥c2,ab≥ac≥bc.
∴a4+b4+c4=a2·a2+b2·b2+c2·c2
≥a2b2+b2c2+c2a2
=(ab)·(ab)+(bc)·(bc)+(ac)·(ac)
≥(ab)·(ac)+(ac)·(bc)+(bc)·(ab)
=a2bc+abc2+ab2c.
又∵,∴≥
若b>c,则b≥2,c≥1,又∵>,
∴≥≥=.
∴最小值为.
答案:B
6.若a、b、c为实数,则a2+b2+c2与ab+bc+ca的大小关系为_______________.
解析:不妨设a≥b≥c,则ab+bc+ca≤a·a+b·b+c·c=a2+b2+c2.
∴
即成立.
——教学资料参考参考范本——
【2019最新】高中数学5-4几个著名的不等式5-4-2排序不等式同步测控
______年______月______日
____________________部门
同步测控
我夯基，我达标
1.已知a、b、c∈R+,则a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小为( )
A.a3+b3+c3>a2b+b2c+c2a B.a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a
∴·a+·b≤,
即+≤.
答案:+≤
9.若a、b为正数,则-a2与b2-的大小关系为_______________.
解析:不妨设a≥b>0,则a2≥b2>0,≥>0,
a4≥b4>0.∴≥=a2+b2.
∴-a2≥b2-.
答案:-a2≥b2-
10.设a、b、c都是正数,求证:++≥.
证明:不妨设a≥b≥c>0,
答案:a2+b2+c2≥ab+bc+ca
7.比较a4+b4与a3b+ab3的大小关系为_______________.
解析:不妨设a≥b,则a3≥b3,∴a4+b4≥a3b+b3a.
答案:a4+b4≥a3b+ab3
我综合，我发展
8.若a、b为正数,则+与的大小关系为_______________.
解析:不妨设a≥b>0,则a3≥b3>0,∴≤.
则b1≥1,b2≥2,…,bn≥n.
又∵>>…>,
∴m=≥≥1+++…+.
答案:C
4.已知,则( )
A.2b>2a>2c B.2a>2b>2c C.2c>2b>2a D.2c>2a>2b
解析:∵Байду номын сангаас<,
∴b>a>c.∴2b>2a>2c.
答案:A
5.设b、c为互不相等的正整数,则的最小值为( )
A. B. C.1 D.
∴a4-a2bc+b4-ab2c+c4-abc2≥0,
即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.
答案:B
3.设x1,x2,…,xn是不同的正整数,则m=+…+的最小值是( )
A.1 B.2 C.1+++…+ D.1+++…+
解析:∵x1,x2,…,xn是不同的正整数,设b1,b2,…,bn是x1,x2,…,xn的一个排列且b1≤b2≤b3≤…≤bn,
分析:本题可利用排序不等式解答,要证≤成立,
只需证-≤-,由排序不等式证明出.
证明:∵x1≥x2≥…≥xn,y1≥y2≥…≥yn,z1,z2,…,zn是y1,y2,…,yn的任意一个排列,
∴x1y1+x2y2+…+xnyn≥x1z1+x2z2+…+xnzn,
即
∴
且x12+y12+x22+y22+…+xn2+yn2=x12+z12+x22+z22+…+xn2+zn2.
我创新，我超越
12.设a+b>0,n为偶数,求证:+≥+.
分析:本题将an-1与bn-1交换一下就得到右边,可用排序不等式解答,情况不定可分类讨论.
证明:∵a+b>0,
∴a>-b,共有四种情况.
(1)当a≥b>0时,an≥bn>0,an-1≥bn-1,
∴≤.
∴≤,
即≥+成立.
(2)当b≥a>0时,bn≥an>0,bn-1≥an-1,
C.a3+b3+c3<a2b+b2c+c2a D.a3+b3+c3≤a2b+b2c+c2a
解析:不妨设a≥b≥c>0,则a2≥b2≥c2,
∴a2b+b2c+c2a≤a3+b3+c3.
答案:B
2.已知a、b、c∈R+,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)的正负情况为( )
A.大于零B.大于等于零
则a+b≥a+c≥b+c>0,
∴≤≤.
∴≥,
≥.
两式相加,得2()≥3,
即≥成立.
11.设a、b、c∈R+,求证:++≤.
分析:本题可多次利用排序不等式证明,不等式的右边=.
证明:不妨设a≥b≥c>0,则≥≥.
∴≥≥,且a5≥b5≥c5.
∴≥.
∵a≥b≥c>0,
∴a2≥b2≥c2,
.
∴≥
∴≥++成立.
∴≤.
∴≤,
即≥+.
(3)当a>-b>0时,
∵n为偶数,
∴an>(-b)n=bn>0,且a>b.
∴an-1>bn-1,且<.
∴≥
(4)当0>a>-b时,则b>-a>0,
∵n为偶数,∴bn>(-a)n=an>0且bn-1>an-1.
∴>.
∴≤,
即≥+.
综上,≥+.
13.设x1≥x2≥…≥xn,y1≥y2≥…≥yn,z1,z2,…,zn是y1,y2,…,yn的任意一个排列,求证:≤.
C.小于零D.小于等于零
解析:不妨设a≥b≥c>0,
则a2≥b2≥c2,ab≥ac≥bc.
∴a4+b4+c4=a2·a2+b2·b2+c2·c2
≥a2b2+b2c2+c2a2
=(ab)·(ab)+(bc)·(bc)+(ac)·(ac)
≥(ab)·(ac)+(ac)·(bc)+(bc)·(ab)
=a2bc+abc2+ab2c.