平面向量数量积的坐标表示模夹角

平面向量数量积的坐标表示模夹角

教学目标

1．掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点)2．会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题．(难点)

3．分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点)

[基础·初探]

教材整理　平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

阅读教材P 106“探究”以下至P 107例6以上内容，完成下列问

题．

1．平面向量数量积的坐标表示：

设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.

数量积a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2

向量垂直

a ⊥

b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0

2.向量模的公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝

．

3．两点间的距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则＝AB

→ ．

（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）24．向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 夹角为θ，则

cos θ＝＝

.

a ·b

|a |·|b |判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，满足x 1y 2－x 2y 1＝0，

则向量a ，b 的夹角为0度．( )

(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．( )

(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．( )

解：(1)×.因为当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 的夹角也可能为180°.

(2)√.由向量数量积定义可知正确．(3)×.因为两向量的夹角有可能为180°.【答案】　(1)×　(2)√　(3)×

[小组合作型]

平面向量数量积的坐标运算

　(1)(2016·安溪高一检测)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，x )，

且a·b ＝－1，则x 的值等于( )

A ．

B ．－1

212C ．D ．－32

32

(2)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，2)，则a·b ＝________，a ·(a －b )＝________.

(3)已知a ＝(2，－1)，b ＝(3，2)，若存在向量c ，满足

a·c ＝2，b ·c ＝5，则向量c ＝________.

根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数

量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解．

解：(1)因为a ＝(1，2)，b ＝(2，x )，所以a·b ＝(1，2)·(2，x )＝1×2＋2x ＝－1，

解得x ＝－.

3

2(2)a·b ＝(－1，2)·(3，2)＝(－1)×3＋2×2＝1，

a·(a －b )＝(－1，2)·[(－1，2)－(3，2)]＝(－1，2)·(－4，0)＝4.

(3)设c ＝(x ，y )，因为a·c ＝2，b ·c ＝5，

所以解得

所以c ＝.{2x －y ＝2，3x ＋2y ＝5，)

{x ＝9

7，y ＝47，)

(97，47)

【答案】　(1)D (2)1　4　(3)(97，

47

)

1．进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系：

|a|2＝a·a ；(a ＋b )(a －b )＝|a|2－|b|2；(a ＋b )2＝|a|2＋2a·b ＋|b|2.

2．通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函

数、方程等知识的联系．

3．向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐

标式，两者相互补充．

[再练一题]

1．设向量a ＝(1，－2)，向量b ＝(－3，4)，向量c ＝(3，2)，

则向量(a ＋2b )·c ＝( )

A．(－15，12)B．0

C．－3D．－11

解：依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，∴(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.

【答案】　C

向量的模的问题

　(1)(2016·莱州期末)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于( )

A．4B．5

55

C．3D．4

(2)已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则

|a＋b|＝________，|a－b|＝________.

(1)两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标表示：

x1y2－x2y1＝0.

x2＋y2

(2)已知a＝(x，y)，则|a|＝.

解：(1)由y＋4＝0知

y＝－4，b＝(－2，－4)，

∴2a－b＝(4，8)，∴|2a－b|＝4.故选D．

5

(2)由题意知，a＋b＝(－2，4)，a－b＝(4，0)，

因此|a＋b|＝＝2，|a－b|＝4.

（－2）2＋425

5

【答案】　(1)D　(2)2　4

向量模的问题的解题策略：

(1)字母表示下的运算，利用|a|2＝a 2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算．

(2)坐标表示下的运算，若a ＝(x ，y )，则|a|＝.x 2＋y 2[再练一题]

2．已知向量a ＝(2x ＋3，2－x )，b ＝(－3－x ，2x )(x ∈R )，则|a ＋b|的取值范围为________.

解：∵a ＋b ＝(x ，x ＋2)，

∴|a ＋b|＝＝x 2＋（x ＋2）22x 2＋4x ＋4≥，2（x ＋1）2＋22∴|a ＋b|∈[，＋∞)．2【答案】　[，＋∞)

2[探究共研型]

向量的夹角与垂直问题

探究1　设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？

【提示】　cos θ＝＝

.

a ·b

|a ||b |探究2　已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，当a 与b 的夹角α为钝

角时，λ的取值范围是什么？

【提示】　∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，∴|a |＝，|b |＝，a ·b ＝λ－1.21＋λ2∵a ，b 的夹角α为钝角，