第十二讲函数列与函数项级数
函数列与函数项级数
法
2021/6/21
n=2y3=x.^6;y4=x.^100;
plot(x,y1,x,y2,x,y3,'b',x,y4,'r','linewidth',2)
2021/6/21
19
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
1 2.
0 ，
2021/6/21
7
所以该函数列是不一致收敛的。 例 函数列 {xn}在[0,1]上不一致收敛，但在 [0, ] , 1 上一致收敛。 先看看该函数列的图象
clf,x=0:1/100:1; y1=x.^4;y2=x.^10;y3=x.^50; plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2)
对定义在区间 I 上的函数列{ fn (x) }, x E ，设 x0 E ，若数列 { fn (x0 ) } 收 敛，则称函数列{ fn (x) }在点 x0 收敛， x0 称为函数列{ fn (x) }收敛点；若数列 { fn (x0 ) }发散，则称函数列{ fn (x) }在点 x0 发散。
clf,x=0:1/100:1; y1=8*x./(1+64*x.^2); y2=20*x./(1+400*x.^2); y3=50*x./(1+2500*x.^2); plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2) hold on plot([-0.1,1],[0,0],'b',[0,0],[-0.1,0.6],'b') axis([-0.1,1.2,-0.1,0.6]) legend('y1,n=8','y2,n=20','y3,n=50')
(NEW)华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第12章 数项级数12.1 复习笔记12.2 课后习题详解12.3 名校考研真题详解第13章 函数列与函数项级数13.1 复习笔记13.2 课后习题详解13.3 名校考研真题详解第14章 幂级数14.1 复习笔记14.2 课后习题详解14.3 名校考研真题详解第15章 傅里叶级数15.1 复习笔记15.2 课后习题详解15.3 名校考研真题详解第16章 多元函数的极限与连续16.1 复习笔记16.2 课后习题详解16.3 名校考研真题详解第17章 多元函数微分学17.1 复习笔记17.2 课后习题详解17.3 名校考研真题详解第18章 隐函数定理及其应用18.1 复习笔记18.2 课后习题详解18.3 名校考研真题详解第19章 含参量积分19.1 复习笔记19.2 课后习题详解19.3 名校考研真题详解第20章 曲线积分20.1 复习笔记20.2 课后习题详解20.3 名校考研真题详解第21章 重积分21.1 复习笔记21.2 课后习题详解21.3 名校考研真题详解第22章 曲面积分22.1 复习笔记22.2 课后习题详解22.3 名校考研真题详解第23章 向量函数微分学23.1 复习笔记23.2 课后习题详解23.3 名校考研真题详解第12章 数项级数12.1 复习笔记一、级数的收敛性1．相关定义（1）给定一个数列{u n}，对它的各项依次用“＋”号连接起来的表达式u1＋u2＋…u n＋… （12-1）称为常数项无穷级数或数项级数（也常简称级数），其中u n称为数项级数（12-1）的通项或一般项．数项级数（12-1）也常写作或简单写作∑u n．（2）数项级数（12-1）的前n项之和，记为 （12-2）称它为数项级数（12-1）的第n个部分和，也简称部分和．（3）若数项级数（12-1）的部分和数列{S}收敛于S（即），则称数项级数（12-1）收敛，称S为数项级数（12-1）的和，记作或S＝∑u n．若{S n}是发散数列，则称数项级数（12-1）发散．2．重要定理。
函数项级数和函数列的区别
函数项级数和函数列的区别函数项级数和函数列是数学中的两种重要概念，它们在数学分析和数值计算中有着广泛的应用。
虽然它们都涉及到无穷项的求和，但在定义和性质上有一些不同之处。
我们来看函数项级数。
函数项级数是指一系列函数按照一定的顺序进行求和的过程。
具体地说，给定一个函数项序列{an(x)}，其中an(x)表示第n个函数项，函数项级数可以写成S(x) = a1(x) + a2(x) + a3(x) + ...的形式。
在函数项级数中，每一项都是一个函数，而求和的结果也是一个函数。
函数项级数的求和可以通过逐项求和的方式进行，即对每个函数项分别求和，并将结果相加得到函数项级数的和。
函数项级数的收敛性和性质可以通过一系列定理进行研究和判断。
与函数项级数相比，函数列是一系列函数按照一定的顺序排列的序列。
给定一个函数列{fn(x)}，其中fn(x)表示第n个函数，我们可以将函数列写成f1(x), f2(x), f3(x), ...的形式。
函数列的性质和收敛性可以通过逐点收敛和一致收敛来刻画。
逐点收敛是指对于每个x值，函数列在该点处的极限存在，而一致收敛是指函数列在整个定义域上的极限存在且收敛速度足够快。
从定义上看，函数项级数和函数列有一些相似之处。
它们都是一系列函数按照一定的顺序排列的序列。
然而，它们的主要区别在于求和的方式和求和的结果。
函数项级数的求和结果是一个函数，而函数列的求和结果是一个极限值。
此外，函数项级数的求和是逐项进行的，而函数列的求和是对整个函数列进行的。
在应用上，函数项级数和函数列都有着重要的作用。
函数项级数在数学分析中常用于研究函数的性质和逼近问题，如泰勒级数和傅里叶级数。
函数列在数值计算中常用于逼近函数的值和求解方程，如插值方法和迭代法。
函数项级数和函数列是数学中的两个重要概念。
它们在定义和性质上有所不同，但在应用上具有相似之处。
函数项级数和函数列在数学分析和数值计算中有着广泛的应用，对于理解和研究函数的性质和逼近问题具有重要意义。
函数表示列数
函数表示列数函数表示列数 1函数表示列数 1函数列指的是 { S n ( x ) } \{S_n(x)\} {Sn(x)} 这样的序列，等价于数列，而函数项级数指的是将函数列 { u n ( x ) } \{u_n(x)\} {un(x)}进行累加得到的∑ u n ( x ) \sum u_n(x) ∑un(x) ，等价于数项级数。
虽然我们一般都有等式S n ( x ) = ∑ n u k ( x ) S_n(x)=\sum^n u_k(x) Sn(x)=∑nuk(x)，讨论收敛性，或者是收敛后的分析性质时，描述的东西本质上是一样的，但是在处理方法上大有区别。
比如说对于函数列的一致收敛，我们一般用β \beta β上界判别法，或者用柯西收敛原理。
对于函数项级数的一致收敛，我们一般用Dirichlet判别法或者Abel判别法或者柯西收敛原理进行判定，如果判定不了，还可以对函数项级数进行求和转化成函数列（这点尤为重要）。
所以区分函数列和函数项级数是很有必要的。
1.2 逐点收敛应该意识到最重要的事情：逐点收敛是数的收敛，一致收敛是函数的收敛。
但是即使这么说也要强调，收敛、绝对收敛、条件收敛描述的都是数项级数，也就是说描述的是逐点收敛，而不是一致收敛。
再详细的说，收敛就是逐点收敛，千万不能产生概念辨析上的困难。
要想学好这一章，最重要的就是区分这些概念的辖域。
在逐点收敛中，自变量x不再是一个自变量，而是数项级数中一个参量，就像 1 n p \frac{1}{n^p} np1 中的p一样。
对于逐点收敛的处理，其实就是对数项级数的处理，方法也是沿用数项级数的处理方法。
在逐项收敛中，有一个重要的概念就是和函数，对应的还有和函数的收敛域。
注意这两个概念都是逐点性质。
所谓的逐点，就是在一开始就给出了自变量x的值，比如求S n ( x ) = n α x e − n x S_n(x)=n^\alpha x e^{-nx} Sn(x)=nαxe−nx若要求 S ( x ) S(x) S(x) ，不能令 x = 1 n x=\frac{1}{n} x=n1 ，因为 x x x 在n之前取值，所以不能写作n的函数。
一致收敛函数列与函数项级数的性质
1 n 1
12n
2
(2n 2n2x)dx
而
1
lim
0 n
1
1 0dx
n
fn (x)dx
1 2
0
不相等
(2) 定理的条件是充分的, 但不必要
例3 fn (x) nxenx n 1, 2,... 在区间[0,1]上讨论.
f
(x)
lim
n
fn (x)
lim nxenx
n
0
x [0,1]
但在[0,1]上, fn(x) nxenx n 1, 2,...不一致收敛. 事实上,
{ fn(x)}的每一项在[a,b]上有连续的导数, 且{ fn(x)}在[a,b]上一致收敛,
则
d dx
f
(x)
d (lim dx n
fn (x))
lim n
d dx
fn (x)
3. 可微性
定理13.10 设{ fn (x)}为定义在[a,b]上的函数列, x0 [a,b]为{ fn(x)}的收敛点,
f (x)
f (x0 )
lim lim
xx0 n
fn (x)
f (x0 )
又 lim n
fn (x0 )
f (x0 )
lim
x x0
fn (x)
fn (x0 )
lim lim
n xx0
fn (x)
f (x0 )
所以
lim lim
xx0 n
fn
(x)
lim
n
lim
x x0
fn (x)
★ 在一致收敛条件下, 关于x与n极限可以交换极限顺序
fn (x) nxenx 在[0,1]的最大值为:
13.2一致收敛函数列与函数项级数级数的性质
因为函数列 { fn } 在 [a , b]上一致收敛于 f ，所以
对任给的ε> 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时，对一切
x ∈ [a , b]，
都有
| fn ( x ) － f ( x ) | < ε
b
于是当 n > N 时有
| f n ( x ) dx f ( x ) dx |
由柯西准则知数列 { an } 收敛．
设
lim a n A ,
n
x x0
下面证明： lim f ( x ) A . 因为{ fn } 一致收敛于 f ，数列 { an } 收敛于 A ， 因此对任给的ε > 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时， 对任何 x ∈(a , x0 )∪(x0 , b) 有 | fn(x) – f (x) | <ε/3 和 | an – A | <ε/3 同时成立．特别取 n = N +1，有 | fN+1(x) – f (x) | <ε/3 和 | aN+1 – A | <ε/3
n
( iii ) lim f n ( a ) 不存在，
n
则{ f n ( x )} 在 ( a , b )内不一致收敛
定理 13.9（连续性） 设函数列 { fn } 在区间 I 上一致收敛于 f ，且 fn ( n = 1, 2, . . . ) 在 I 上连续， 则 f在 I 上也连续．
证 要证：对任何 x0 ∈I , lim f ( x ) f ( x 0 ) .
x x0
由定理 13.8， lim lim lim f ( x ) x x lim f n ( x ) lim x x f n ( x ) n n
数学分析课件一致收敛函数列与函数项级数的性质
对于一致收敛的函数列或函数项级数 ，在每个点的某个邻域内，函数列或 级数的每一项都是有界的。这意味着 在每个点的附近，函数列或级数的变 化范围是有限的。
性质三：局部连续性
总结词
局部连续性是指一致收敛的函数列或函 数项级数在每个点的邻域内都是连续的 。
VS
详细描述
对于一致收敛的函数列或函数项级数，在 每个点的某个邻域内，函数列或级数的每 一项都是连续的。这意味着在每个点的附 近，函数列或级数的值是平滑变化的，没 有突然的跳跃或断点。
03
一致收敛函数列与函数项 级数的应用
应用一：微积分学中的一致收敛概念
要点一
总结词
要点二
详细描述
理解一致收敛在微积分学中的重要性
一致收敛是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数列 或函数项级数在某个区间上的收敛性质。在微积分学中， 一致收敛的概念对于研究函数的极限行为、连续性、可微 性和积分等性质至关重要。通过理解一致收敛，可以更好 地理解函数列和级数的收敛性质，从而更好地应用微积分 学中的相关定理和性质。
应用二：实数完备性的证明
总结词
利用一致收敛证明实数完备性
详细描述
实数完备性是实数理论中的重要性质，它表 明实数具有某些理想的完备性。利用一致收 敛的性质，可以证明实数完备性的一些重要 定理，如确界定理、区间套定理和闭区间套 定理等。这些定理在实数理论中起着至关重 要的作用，为实数性质的研究提供了重要的 理论支持。
05
一致收敛函数列与函数项 级数的扩展知识
扩展知识一：一致收敛的判定定理
01
柯西准则
对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当
$n,m>N$时，对所有的$x$，有$|f_n(x)-f_m(x)|<varepsilon$。
一致收敛函数列与函数项级数级数的性质.ppt
又
lim
x x0
fN1( x) aN1
,
所以存在δ > 0 , 当0 < | x – x0 | <δ时，
| fN+1(x) – aN+1 | <ε/3
这样当0 < | x – x0 | <δ时，
| f (x) A|
| f ( x) f N 1( x) | | f N 1( x) aN 1 | | aN 1 A |
? lim
x x0
n1
un ( x)
n1
lim
x x0
un
(
x)
注：对函数序列{Sn ( x)}而言，应为
? lim
x x0
lim
n
Sn
(
x
)
lim
n
lim
x x0
Sn
(
x)
2.求导运算与无限求和运算交换次序问题
? d
dx n1 un ( x)
d n1 dx un ( x)
lim lim
x x0 n
fn
(
x)
lim
n
lim
x x0
fn(x) .
这表明在一致收敛的条件下，极限可以交换顺序．
证 先证数列 { an } 收敛．因为{ fn } 一致收敛，
故对任给的ε > 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时，对任何 正整数 p ，对一切 x ∈(a , x0 )∪(x0 , b) 有
| fn(x) – f n+p(x) | <ε
从而
lim
x x0
|
数学分析之函数列与函数项级数
n
xD
或
f n ( x ) f ( x ) ( n ) , x D.
函数列极限的 N 定义: 对每一固定的 x D , 任 给正数 , 总存在正数N(注意: 一般说来N值与 和
x 的值都有关, 所以有时也用N( , x)表示三者之间
的依赖关系), 使当 n N 时, 总有
| f n ( x ) f ( x ) | .
使函数列 { f n } 收敛的全体收敛点集合, 称为函数列
{ f n } 的收敛域.
例1 设 f n ( x ) x n , n 1,2, 为定义在(-, ) 上的 函数列, 证明它的收敛域是 (1, 1] , 且有极限函数 0, | x | 1, f ( x) 1, x 1. 证 任给 0 (不妨设 1), 当 0 | x | 1 时, 由于
函数列 f n 在 D 上不一致收敛于 f 的正面陈述是:
存在某正数 0 , 对任何正数 N, 都有某一点 x0 D 和
某一正整数 n0 N( 注意: x0 与 n0 的取值与 N 有关 ),
使得
f n0 ( x0 ) f ( x0 ) 0 .
n x 在 (0, 1) 上不可能一致收敛于 0. 由例1 中知道,
下面来证明这个结论.
1 事实上, 若取 0 , 对任何正整数 N 2, 取正整 2
1 数 n0 N 及 x0 1 (0, 1), 就有 N 1 1 n0 x0 0 1 . N 2
1 N
函数列{ f n ( x)}在区间D上一致收敛于f ( x)的 几何意义: 对任意给定的正数 , 存在正整数N , 对于一 切序号大于N的曲线y f n ( x), n N 1, N 2,... 都落在以曲线y f ( x) 与y f ( x) 为边的 带型区域内.
函数列
(1)
(2)
设x0 E,以x0代入函数列(1)可得数列(2)
若数列(2)收敛, 则称函数列(1) 在点x0收敛 x0称为函数列(1)的 收敛点 若数列(2)发散, 则称函数列(1) 在点x0发散
若函数列(1)在数集I E上每一点都收敛, 则称函数列(1)在
0, N N , n N ,
x I
s.t.
f n ( x) f ( x) .
则称函数列 { f n ( x)}在区间I
或
一致收敛 一致收敛于极限函数f ( x).
记作
f n ( x)
f ( x)
(n ), x I
点态收敛 与 一致收敛 的 区别
注 : 一般 N值的确定与和x有关, 所以也用 N( , x)表示他们之间的依赖关系.
收敛点与收敛域
f1 ( x) , f 2 ( x) ,, f n ( x) , (1) 设x0 E,以x0代入函数列(1)可得数列(2)
f1 ( x0 ) , f 2 ( x0 ) ,, f n ( x0 ) , (2)
f n ( x) f m ( x) .
或 0, N N , n N , p N , x I , s.t.
f n p ( x) f n ( x) .
I
I
I
I I
I
定理5、函数列一致收敛的充要条件
函数列 { f n ( x)}在区间I一致收敛
(i ) 对固定的 x I ,
0, N N , n N , s.t.
f n ( x) f ( x) பைடு நூலகம் .
考研高数讲解新高等数学下册辅导讲解第十二章
第十二章无穷级数【本章网络构造图】第一节常数项级数概念与性质一、常数项级数收敛与发散给定一个数列将各项依次相加, 简记为，即，称该式为无穷级数，其中第项叫做级数一般项,级数前项与称为级数局部与。
假设存在，那么称无穷级数收敛，并称为级数与,记作；假设不存在，那么称无穷级数发散。
当级数收敛时, 称差值为级数余项。
显然。
【例1】〔93三〕级数与为 .【答案】结论：等比〔几何〕级数：收敛当时发散当时二、收敛级数与假设收敛，那么其与定义为。
三、无穷级数根本性质学习笔记：〔1〕假设级数收敛于，即，那么各项乘以常数所得级数也收敛，其与为。
注：级数各项乘以非零常数后其敛散性不变（2）设有两个收敛级数，，那么级数也收敛, 其与为。
注：该性质说明收敛级数可逐项相加或相减相关结论：〔1〕假设两级数中一个收敛一个发散,那么必发散。
〔2〕假设二级数都发散，不一定发散。
【例】取，，而。
〔3〕在级数前面加上或去掉有限项，不会影响级数敛散性。
〔4〕收敛级数加括弧后所成级数仍收敛于原级数与。
推论：假设加括弧后级数发散，那么原级数必发散。
注：收敛级数去括弧后所成级数不一定收敛。
【例】，但发散。
【例2】判断级数敛散性：【解析与答案】学习笔记：不存在故原级数发散四、级数收敛必要条件必要条件：假设收敛，那么。
逆否命题：假设级数一般项不趋于0，那么级数必发散。
【例】，其一般项为，当时，不趋于0，因此这个级数发散。
注：并非级数收敛充分条件【例】调与级数，虽然，但是此级数发散。
事实上，假设调与级数收敛于，那么，但，矛盾！所以假设不真。
【例3】判断以下级数敛散性，假设收敛求其与：〔1〕〔2〕【答案】〔1〕发散；〔2〕发散五、两个重要级数：几何级数与p级数敛散性学习笔记：〔1〕几何级数：，当时收敛；当时发散.〔2〕级数(或对数级数)：，当时收敛，当时发散。
【重点小结】1、常数项级数收敛与发散定义2、常数项级数敛散性质3、常数项级数收敛必要条件4、常用两个常数项级数第二节常数项级数审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数：假设，那么称为正项级数。
第十二章---无穷级数
无穷级数内容概要和重难点提示常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与p -级数及其收敛性；正项级数收敛性的判别法、任意项级数的绝对收敛与条件收敛、交错级数与莱布尼茨定理。
幂级数及其收敛半径、收敛区间〔指开区间〕和收敛域；幂级数的和函数、幂级数在其收敛区间内的基本性质，简单幂级数的和函数的求法、初等函数的幂级数展开式。
对数一，要理解狄利克雷收敛定理以及付式展开式。
考试要求1．了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念。
2．了解级数的基本性质及级数收敛的必要条件，掌握几何级数及p -级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法、比较判别法的极限形式 和比值判别法。
3．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法。
4．会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域。
5．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质〔和函数的连续性、逐项求导和逐项积分〕，会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数。
6．了解函数的麦克劳林〔Maclaurin 〕展开式〔牢记5个公式〕。
难点 判断数项级数的敛散性 剖析级数与数列的关系 求和函数 理解狄利克雷定理考试知识要点讲解一、 常数项级数的概念与基本性质 （一） 基本概念1、 设有数列}{12:,,...,,...n n u u u u ，将它们依次相加 12......n u u u ++++称为由数列}{n u 构成的无穷级数，记为1n n u ∞=∑。
2、 假设12......n u u u s ++++=〔定数〕，则称级数1n n u ∞=∑收敛，且收敛于总和s ；假设12......n u u u ++++=∞〔或者不定〕，则称级数1n n u ∞=∑发散。
〔通俗的定义〕3、 令12...n n u u u s +++=，称n s 为级数前n 项部分和。
显然数列}{n u 与 }{n s 有：12...n n s u u u =+++ ⇔ 1n n n u s s -=-。
函数列与函数项级数
三角级数
三角级数定义
三角级数是形如 (a_0 + a_1cos x + a_2cos 2x + ldots) 的无限项和，其中 (a_0, a_1, a_2, ldots) 是常数，(x) 是自变 量。
三角级数的性质
三角级数具有周期性，可以表示为傅里叶级数的形式。
全局收敛
如果存在某个定义域内的所有点，都有$lim_{n to infty} f_n(x) = f(x)$，则称该函数列在定义域内全局收 敛于$f(x)$。
02 函数项级数的定义与性质
函数项级数的定义
函数项级数
由一列函数构成的数列，记作 ${ f_n(x) }$，其中 $n=1,2,3,ldots$。
函数列与函数项级数
目 录
• 函数列的定义与性质 • 函数项级数的定义与性质 • 函数列与函数项级数的应用 • 特殊类型的函数列与函数项级数 • 函数列与函数项级数的扩展概念
01 函数列的定义与性质
函数列的定义
函数列：由一簇函数构成的集合，通 常表示为$f_n(x)$，其中$n$是指标， $x$是自变量。
每个函数$f_n(x)$都有定义域，并且 对于固定的$n$，所有函数$f_n(x)$的 定义域相同。
函数列的性质
连续性
如果函数列在某一点连续，则该 点是该函数列的收lim_{n to infty} f_n(x) = f(x)$， 则称该函数列在全域上一致收敛
04 特殊类型的函数列与函数 项级数
幂级数
幂级数定义
幂级数是形如 (a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots) 的无限项和， 其中 (a_0, a_1, a_2, ldots) 是常数，(x) 是自变量。
13_2 一致收敛函数列与函数项级数的性质
上极限函数,
且其极限
下面证明函数列 {
f n } 在区间 [ a , b ] 上收敛,
函数的导数存在且等于g. 由定理条件, 对任一
x [ a , b ],
总有
fn ( x ) fn ( x0 )
x x0
f n ( t )d t .
当 n 时 , 右 边 第 一 项 极 限 为 A, 第 二 项 极 限 为
§2 一致收敛函数列与 函数项级数的性质
一致收敛性的重要性在于可以将通
项函数的许多解析性质遗传给和函数，
如连续性、可积性、可微性等，这在
理论上非常重要.
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定理13.8 ( 极限交换定理 ) 设函数列 {
(a , x0 ) ( x0 , b )
x x0
fn }
在
上一致收敛于
n
定理13.10 (可积性) 若函数列 { 敛, 且每一项都连续, 则
lim
n
fn }
在 [ a , b ] 上一致收
b a
fn( x ) dx
b a n
lim f n ( x ) d x .
(3)
证 设 f 为函数列 {
f n } 在 [ a , b ] 上的极限函数.
由定理
13.9知 f 在 [ a , b ] 上连续, 从而
2 2
ln (1 n x ),
2 2
n 1, 2 ,
与
f n ( x )
,
n 1, 2 ,
在 [ 0 , 1 ] 上都收敛于0, 由于
lim m a x | f n ( x ) f ( x ) |
函数列与函数项级数
§3.2 函数列与函数项级数一、主要知识点和方法1、基本概念函数列 收敛域 极限函数设{()}n f x 是定义在数集E 上的函数列，若存在x E '∈，使得数列{()}f x '收敛，则称函数列{()}n f x 在点x '收敛。
所有收敛点的集合称为收敛域，记为D 。
{()}n f x 在D 上每点的极限（是D 上的函数），称为极限函数，记为()f x 。
于是对任意x D ∈有lim ()()n n f x f x →∞=，或记为()()Dn f x f x −−→，称{()}n f x 在D 上收敛于()f x 。
函数列一致收敛性若0ε∀>，N ∃，当n N >时，对任意x D ∈都有()()n f x f x ε-<，则称{()}n f x 在D 上一致收敛于()f x ，记为()()Dn f x f x −−−→一致。
函数列一致有界性若存在常数0M >，使得对任意的自然数n 以及任意的x D ∈有()n f x M ≤，则称{()}n f x 在D 上一致有界。
函数项级数 和函数设{()}n u x 是E 上的函数列，称1()n n u x ∞=∑为E 上的函数项级数。
若其部分和函数列{()}n S x 在D 上收敛于收敛于极限函数()S x ，则称1()n n u x ∞=∑在D 上收敛于和函数()S x ，记为1()()n n u x S x ∞==∑。
函数项级数级数一致收敛性 设{()}n S x 是1()nn u x ∞=∑的部分和函数列，若()()DnS x S x −−−→一致，则称级数在D 上一致收敛（于()S x ）。
柯西一致收敛准则{()}n f x 在D 上一致收敛的充分必要条件是：0ε∀>，N ∃，当,m n N >时，对任意x D ∈都有()()n m f x f x ε-<。
1()n n u x ∞=∑在D 上一致收敛的充分必要条件是：0ε∀>，N ∃，当m n N ≥>时，对任意x D ∈都有()mk k nu x ε=<∑。
第十二讲函数列与函数项级数
第十二讲函数列与函数项级数第十二讲函数列与函数项级数12 . 1 函数列与函数项级数的收敛与一致收敛一、函数列（一）函数列的收敛与一致收敛 1 ．逐点收敛 函数列(){}I x x fn∈,，若对I x ∈∀，数列(){}x f n 都收敛，则称函数列在区间 I 上逐点收敛，记 ()()I x x f x f nn ∈=∞→,lim ，称()x f 为(){}x f n的极限函数．简记为 ()()()I x n x f x f n∈∞→→,2 ．逐点收敛的N -ε定义 对I x ∈∀ ，及 0>∀ε，()0,>=∃εx N N ，当N n > 时，恒有()()ε<-x f x f n3 ．一致收敛 若函数列(){}x fn与函数()x f 都定义在区间I 上，对,0>∃>∀N ε，当N n > 时，对一切I x ∈恒有()()ε<-x f x f n，则称函数列(){}x f n在区间 I 上一致收敛于()x f ．记为()()()I x n x f x fn∈∞→⇒, . 4 ．非一致收敛0>∃ε，对Nn N >∃>∀0,0，及Ix∈∃0，使得()()0ε≥-x f x f n例 12 . 1 证明()nnx x f =在[]1,0逐点收敛，但不一致收敛．证明：当[]1,0∈x 时，()0lim lim ==∞→∞→nx nn x x f，当1=x 时，()11lim =∞→n n f ，即极限函数为()[)⎩⎨⎧=∈=1,11,0,0x x x f ．但 ()x f n 非一致收敛，事实上，取0310>=ε。
对0>∀N ，取NN n >+=10，取()1,021010∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x ·此时()()00002100ε>==-n x x f x f n ， 即()()()[]1,0,∈∞→≠>x n x f x fn5 ．一致收敛的柯西准则函数列(){}x f n在 I 上一致收敛⇔对 0,0>∃>∀N ε，当 n , m > N 时，对一切I x ∈，恒有()()ε<-xmnf x f6 ．非一致收敛的柯西准则 函数列(){}x fn在 I 上非一致收敛0>∃⇔ε，对Nn m N >∃>∀00,,0，及Ix∈∃0，使得()()0ε≥-x f x f m n例12 . 2 用柯西准则证明：()()()1...2,1sin ==n nxx fn在[]l l ,-上一致收敛；( 2 )在()+∞∞-,上非一致收敛．证明： ( 1 ）对0>∀ε，取02>=εlN ，当 Nn m >>时 ·对一切[]l l x ,-∈ 有ε<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤-≤-mlm n x m x n x m x n x 211sin sin即()nxx fnsin =在[]l l x ,-∈上一致收敛 ·( 2 ）取041>=ε，对>∀N ，取0002,1n m N N n=>+=，取()+∞∞-∈=,200πn x ，则有()()000000000412114sin2sinsin sin εππ=>-=-=-=-m x n x x f x f m n即()nxx fnsin =在()+∞∞-∈,x 上非一致收敛 ·7 ．充要条件 函数列(){}x f n 在 I 上一致收敛于()()()0sup lim =-⇔∈∞→x f x f x f n Ix n ·注：这是一个非常重要的定理，判断函数列一致收敛性，用它方一便快捷． 例 12.3 讨论函数列()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++≤≤++-=111,0110,11x n n x x n x f n 的一致收敛性’解： ① 求极限函数．当(]1,0∈x 时，()()0lim ==∞→x f x f nn ，当0=x 时．()()10lim 0==∞→nn ff ，即极限函数为()(]⎩⎨⎧∈==1,0,00,1x x x f②[]()()()()()∞→≠=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥-∈n n f n f x f x f n nx 021211121121sup 1,0即()()()∞→≠>n x f x f n（二）极限函数的性质 1 ．连续性 若满足：( 1 ）对每一个n ，()x f n在区间 I 上都连续； ( 2 ) ()()()Ix n x f x f n ∈∞→⇒,; 则()x f 在 I上连续，即()()()()000lim lim lim lim lim x f x f x f x f nx x n n n x x x x ===→∞→∞→→→注：其逆否命题：若nf 都连续，但极限函数f 不连续，则必不一致收敛．可用此命题再对例12.1及例 12 . 3 进行判断． 2 ．可积性 若满足：（ 1 ）对每一个 n ,()x f n 在区间[]b a ,上都连续；( 2 ）()()()[]b a x n x f x f n,,∈∞→⇒；则()x f 在[]b a ,上可积，且()()()⎰⎰⎰∞→∞→==b aba ban n n n dx x f dx x fdx x f lim lim 3 ．可微性 若满足：( 1 ）对每一个 n ，()x f n在区间[]b a ,上都连续；( 2 ）[]b a x ,0∈∃使()()()∞→→n x f x fn;( 3 ）()()()[]b a x n x g x f n,,'∈∞→⇒.则()x f 在[]b a ,上可导，且()()x g x f ='，即()()()()x f x f dxd x f nn nn ''lim lim ∞→∞→== 注：以上三个定理的条件仅为充分条件． 4 ．狄尼定理 若函数列(){}x fn对每一个 n ,(){}x f n 都在[]b a x ,∈上连续，对每一点[]b a x ,∈，(){}x f n为单调的，且()()[]b a x x f x f nn ,,lim ∈=∞→，则()x f 在[]b a ,连续的充要条件是()()()[]b a x n x f x f n ,,∈∞→⇒．证明：充分性显然，下证必要性． （反证法）假设()()()[]b a x n x f x fn,,∈∞→≠>．由定义，0>∃ε，对0>∀N ， Nn >∃0及[]b a x ,0∈，使得()()0000ε≥-x f x f n ．特别地，当取,...,...,2,1k N =k 时，分别存在kn k>，及[]b a x k,∈使得()()0ε≥-k k nk x f x f（ * ) 并且不妨设... (21)<<<<k n n n由已知，(){}x fn对固定的x 是单调的，不妨设为单调递增．且()()[]b a x x f x f nn ,,lim ∈=∞→，即()()()()x f x f x f x f n≤≤≤≤≤......21．于是式（ * )可写为()()0ε≥-k n k x f x f k（ ** )由于{}[]b a x k,⊂为有界数列，必有收敛子列，不妨仍设为{}kx ，即[]b a x x kn ,lim '∈=∞→.因 ()()''lim x f x f nn =∞→，对上述的0,00>∃>N ε，当N n > 时．恒有()()0''ε<-x f x f n.特别地，有()()0'1'ε<-+x f x f N（*** ) 当NN nk>+≥1时，由单调性及式（ ** )有()()()()01ε≥-≥-+kn kkN kx f x f x f x f k注意到()x f 及()x fN 1+的连续性，令∞→k 取极限得()()'1'ε≥-+x f x f N ．此与（*** )式矛盾，即nf 必一致收敛于f. 二、函数项级数（一）函数项级数的逐点收敛与一致收敛 1 ．逐点收敛(){}x u n 为定义在区间I 上的函数列，称()∑∞=∈1,n n I x x u 为函数项级数．若对I x ∈∀，级数()∑∞=1n nx u都收敛．则称函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间 I 上逐点收敛，称()()∑∈=Ix x u x f n ,为和函数．称()()∑==nk k n x u x S 1为部分和函数，()()∑∞==1n k nx u x R 为第n 项余项函数 ·()∑∞=1n n x u 逐点收敛于 ()()()I x x f x S x f nn ∈=⇔∞→,lim2 ．一致收敛若()()()I x n x f x S n∈∞→⇒,，则称函数项级数()∑∞=1n nx u在区间I 上一致收敛于和函 数()x f ．()∑∞=1n n x u 一致收敛于()()()I x n x R x f n∈∞→⇒⇔,03 ．一致收敛柯西准则函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间 I 上一致收敛⇔对,0>∃>∀N ε，当N n >时，对任意的自然数p ，及对一切I x ∈，恒有()()()ε<++++++x u x u x up n n n (21)注：由此可得到函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间 I 上一致收敛的必要条件：一般项(){}x u n一致收敛于零．逆否命题：若一般项(){}x u n不致收敛于零．则函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间 I 上必不一函数项级数收敛。
函数列与函数项级数
Ch 13 函数列与函数项级数 （ 1 2 时 ）§ 1 一致收敛性（ 6 时 ）一． 函数列及极限函数：对定义在区间I 上的函数列)}({x f n ，介绍概念：收敛点，收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ），极限函数等概念.逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“N -ε”定义.例1 对定义在) , (∞+∞-内的等比函数列)(x f n =nx , 用“N -ε”定义验证其收敛域为] 1 , 1 (-, 且∞→n lim )(x f n = ∞→n lim nx =⎩⎨⎧=<. 1 , 1 , 1 || , 0 x x 例2 )(x f n =nnxsin . 用“N -ε”定义验证在) , (∞+∞-内∞→n lim )(x f n =0.例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: ) (∞→n .⑴ )(x f n =xx xx nn n n --+-. )(x f n →,sgn x R ∈x . ⑵ )(x f n =121+n x . )(x f n →,sgn x R ∈x .⑶ 设 ,,,,21n r r r 为区间] 1 , 0 [上的全体有理数所成数列. 令)(x f n =⎩⎨⎧≠∈=.,,, ] 1 , 0 [ , 0,,,, , 12121n n r r r x x r r r x 且 )(x f n →)(x D , ∈x ] 1 , 0 [.⑷ )(x f n =2222x n xen -. )(x f n →0, R ∈x .156⑸ )(x f n =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤<≤-<≤--+ . 121 , 0 ,2121 ,42,210 ,4111x x x x x n n n n n n n有)(x f n →0, ∈x ] 1 , 0 [, ) (∞→n . （ 注意⎰≡11)(dx x f n .）二. 函数列的一致收敛性:问题: 若在数集D 上 )(x f n →)(x f , ) (∞→n . 试问: 通项)(x f n 的解析性质是否必遗传给极限函数)(x f ? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但∞→n lim()⎰⎰∞→≠110)(lim )(dx x f dx x f n n n .用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一 种手段. 对这种函数, ∞→n lim )(x f n 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果.定义 ( 一致收敛 )一致收敛的几何意义.Th1 (一致收敛的Cauchy 准则 ) 函数列}{n f 在数集D 上一致收敛,⇔N , 0∃>∀ε, , , N n m >∀⇒ ε<-n m f f .( 介绍另一种形式ε<-+n p n f f .)证 )⇒ ( 利用式 .f f f f f f n m n m -+-≤-)157)⇐ 易见逐点收敛. 设∞→n lim )(x f n =)(x f ,……,有 2|)()(|ε<-x f x f n m .令∞→m , ⇒ εε<≤-2|)()(|x f x f n 对∈∀x D 成立, 即)(x f n −→−−→−)(x f ,) (∞→n ，∈x D .系1 在D 上nf −→−−→−f , ) (∞→n ，⇔ 0|)()(|sup lim =-∞→x f x f n Dn .系2 设在数集D 上 )(x f n →)(x f , ) (∞→n . 若存在数列}{n x ⊂D , 使0 |)()(|→/-n n n x f x f , 则函数列)}({x f n 在数集D 上非一致收敛 .应用系2 判断函数列)}({x f n 在数集D 上非一致收敛时, 常选 n x 为函数=)(x F n )(x f n ―)(x f 在数集D 上的最值点.验证函数一致收敛性: 例4 )(x f n nnxsin =. 证明函数列)}({x f n 在R 内一致收敛. 例5 )(x f n 2222x n xe n -=. 证明在R 内 )(x f n →0, 但不一致收敛.证 显然有)(x f n →0, |)()(|x f x f n -= )(x f n 在点n x =n21处取得极大值022121→/=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ne n f n ,) (∞→n . 由系2 , )}({x f n 不一致收敛. 例6 221)(xn xx S n +=. 证明在) , (∞+∞-内)(x S n −→−−→−0, ) (∞→n .证 易见 ∞→n lim .0)()(==x S x S n 而nnx x n n x n x x S x S n 21)(1||2211|||)()(|222≤+⋅=+=- 在) , (∞+∞-内成立.由系1 , ⇒ ……例7 对定义在区间] 1 , 0 [上的函数列158⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<=≤<-≤≤=. 11 , 0), , 2 , 1 ( , 121 ,22,210 , 2)(22x n n n x n x n n n x x n x f n证明: ∞→n lim )(x f n =0, 但在] 1 , 0 [上不一致收敛. [1]P 38—39 E3, 参图.证 10≤<x 时, 只要1->x n , 就有)(x f n =0. 因此, 在] 1 , 0 (上有)(x f =∞→n lim )(x f n =0. 0)0(=n f , ⇒ )0(f =∞→n lim )0(n f =0.于是, 在] 1 , 0 [上有)(x f =∞→n lim )(x f n =0. 但由于021|)()(|max ]1,0[→/=⎪⎭⎫⎝⎛=-∈n n f x f x f n n x , ) (∞→n ,因此 , 该函数列在] 1 , 0 [上不一致收敛. 例8 )(x f n =12sin2+n x . 考查函数列)}({x f n 在下列区间上的一致收敛性:⑴ )0( , ] , [>-l l l ; ⑵ ) , 0 [∞+.Ex [1]P 44—46 1⑴—⑸，2，9⑴； P 53—54 1⑴，2，3⑴.三. 函数项级数及其一致收敛性:1． 函数项级数及其和函数：，∑)(x un, 前n 项部分和函数列)}({x S n ，收敛点，收敛域, 和函数, 余项.例9 定义在) , (∞+∞-内的函数项级数( 称为几何级数 )+++++=∑∞=n n nx x x x201159的部分和函数列为 ) 1 ( 11)(≠--=x xx x S nn , 收敛域为) 1 , 1 (-.2. 一致收敛性: 定义一致收敛性.Th2 ( Cauchy 准则 ) 级数∑)(x un在区间D 上一致收敛, ⇔ N ,0∃>∀ε,, , N ∈∀>∀p N n ⇒ ε |)()()(|21<++++++x u x u x u p n n n 对∈∀x D 成立.系 级数∑)(x u n在区间D 上一致收敛, ⇒ n u )(x −→−−→−0, ) (∞→n .Th3 级数∑)(x un在区间D 上一致收敛, ⇔∞→n lim =∈|)(|sup x R n x D∞→n lim 0|)()(|sup =-∈x S x S n x D.例10 证明级数∑∞=-+-121) 1(n n nx在R 内一致收敛 .证 令n u )(x =nx n +--21) 1(, 则 ∞→n 时≤++-+-++=+++++++ |) 1(11||)()()(|21221pn x n x x u x u x u p p n n n011112→+≤++≤n n x 对∈∀x R 成立. ……例11 几何级数∑∞=0n nx在区间] , [a a -)10(<<a 上一致收敛；但在) 1 , 1(-内非一致收敛.证 在区间] , [a a -上 , 有011sup |)()(|sup ],[],[→-=--=---a a ax x S x S nn a a n a a , ) (∞→n . ⇒ ∑一致收敛 ;而在区间) 1 , 1(-内 , 取∈+=1n nx n ) 1 , 1(-, 有160∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥-=----1)1,1()1,1(1111 1sup |)()(|sup n nn n n n n nn n n x x x S x S , ) (∞→n . ⇒∑非一致收敛.( 亦可由通项nn x x u =)(在区间) 1 , 1(-内非一致收敛于零,⇒∑非一致收敛.)几何级数∑∞=0n nx虽然在区间) 1 , 1(-内非一致收敛 , 但在包含于) 1 , 1(-内的任何闭区间上却一致收敛 . 我们称这种情况为“闭一致收敛”. 因此 , 我们说几何级数∑∞=0n nx在区间) 1 , 1(-内闭一致收敛 .Ex [1]P 44—45 1 ⑹⑺， 4，6.四. 函数项级数一致收敛判别法:1.M - 判别法:Th 4 ( Weierstrass 判别法 ) 设级数∑)(x un定义在区间D 上, ∑n M 是收敛的正项级数.若当n 充分大时, 对∈∀x D 有||)(x u n n M ≤, 则∑在D 上一致收敛 .证 , |)(| )(1111∑∑∑∑==+=++=+=≤≤p i pi i n p i i n i n pi in M M x u x u然后用Cauchy 准则.亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数∑nM是级数∑)(x un的一个优级数. 于是Th 4 可以叙述为: 若级数∑)(x u n 在区间D 上存在优级数 , 则级数∑)(x un在区间D 上一致收敛 . 应用时, 常可试取|})({|sup x u M n Dx n ∈=.但应注意, 级数∑)(x un在区间D 上不存在优级数 , ⇒/ 级数∑)(x u n 在区间D 上非一致收敛. 参阅[1]P 45 8.161注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在.例12 判断函数项级数 ∑∞=i n n nx 2sin 和 ∑∞=in n nx2cos 在R 内的一致收敛性 . 例13 设) , 2 , 1 ( )( =n x u n 是区间] , [b a 上的单调函数. 试证明 : 若级数∑)(a un与∑)(b u n 都绝对收敛, 则级数∑)(x u n 在区间] , [b a 上绝对并一致收敛 .简证 , 留为作业. |)(||)(| |)(|b u a u x u n n n +≤.……2. Abel 判别法:Th 5 设 ⅰ> 级数∑)(x un在区间I 上收敛; ⅱ> 对每个∈x I , 数列)}({x v n单调 ; ⅲ> 函数列)}({x v n 在I 上一致有界, 即0 >∃M , 使对I ∈∀x 和n ∀, 有M x v n |)(|≤. 则级数∑)()(x v x u n n 在区间I 上一致收敛 . ( [1]P 43 )2. Dirichlet 判别法: Th 6 设ⅰ> 级数∑)(x un的部分和函数列∑==nk k n x u x U 1)()(在区间I 上一致有界;ⅱ> 对于每一个∈x I , 数列)}({x v n 单调; ⅲ> 在区间I 上函数列)}({x v n 一致收敛于零. 则级数∑)()(x v x un n在区间I 上一致收敛 .例14 判断函数项级数∑++-1)() 1(n nn n n x 在区间] 1 , 0 [上的一致收敛性.解 记nn n n n x x v n x u ⎪⎭⎫⎝⎛+=-=1)( , ) 1()(. 则有ⅰ> 级数∑)(x u n 收敛;ⅱ> 对每个∈x ] 1 , 0 [, )(x v n ↗；ⅲ> e n x x v nn ≤⎪⎭⎫⎝⎛+=1|)(| 对 ∀∈x ] 1 , 0 [和n ∀成立. 由Abel 判别法,∑在区间] 1 , 0 [上一致收敛.162例15 设数列}{n a 单调收敛于零 . 试证明 : 级数∑nx ancos 在区间] 2 , [απα- )0(πα<<上一致收敛.证 由本教案Ch12§3例4 ，在] 2 , [απα-上有212sin21 21|2sin |21 212sin 2) 21sin(|cos |1+≤+≤-+=∑=αx x xn kx nk . 可见级数∑nx cos 的部分和函数列在区间] 2 , [απα-上一致有界 . 取nx x u n cos )(= , n n a x v =)( . 就有级数∑)(x un的部分和函数列在区间] 2 , [απα-上一致有界, 而函数列)}({x v n 对每一个∈x ] 2 , [απα-单调且一致收敛于零.由Dirichlet 判别法,级数∑nx ancos 在区间] 2 , [απα-上一致收敛.其实 , 在数列}{n a 单调收敛于零的条件下, 级数∑nx ancos 在不包含) , 2 , 1 , 0 ( 2 ±±=k k π的任何区间上都一致收敛.Ex [1]P 45—46 3，5，7，8，9*⑹⑺.习 题 课 ( 2 时 )例1 设)(x f n →)(x f ,) (∞→n , ∈x D . 0>n a 且0→n a ,) (∞→n . 若对每个自然数 n 有|)(x f n ―)(x f |≤n a 对∈∀x D 成立, 则函数列{)(x f n }在D 上一致收敛于函数)(x f .例2 证明函数列}{nx 在区间] 1 , 0 [上非一致收敛. 例3 )(x f n =221xn nx+, ∈x ] 1 , 0 [. 讨论函数列{)(x f n }的一致收敛性. 解 ∞→n lim )(x f n = 0, ∈x ] 1 , 0 [. |)(x f n ― 0|=)(x f n . 可求得16310max ≤≤x )(x f n =,0 21) 1 (→/=n f n ) (∞→n . ⇒ 函数列{)(x f n }在区间] 1 , 0 [上非一致收敛.例4 设函数)(1x f 在区间] , [b a 上连续 . 定义 ⎰=+xann dt t fx f )()(1. 试证明函数列{)(x f n }在区间] , [b a 上一致收敛于零.证法一 由)( , ],[)(11x f b a C x f ∈有界 . 设在区间] , [b a 上|)(1x f |M ≤ . |)(2x f |⎰⎰-≤-≤≤=xaxaa b M a x M f f )()(||||11;|)(3x f |⎰⎰-≤-≤≤=xaxaa b M a x M f f 2222)(21)(2||||; ……………………… |)(1x f n +|⎰⎰-≤-≤≤=xan n n xan a b M n a x n M f f )(!1)(!||||. 注意到对∑→-⇒+∞<∀0!)( , !|| , n a b M n c c nn , ) (∞→n . ⇒ nf −→−−→−0, ) (∞→n , ∈x ] , [b a .证法二 , 0 )()( , )()(11=='='++a f a f x f x f n n n n, 0)()( , )()(1111==''=''-+-+a f a f x f x f n n n n)()( ,1)(1x f x f n n =+ .],,[)(1b a C x f ∈ )(1x f 有界. 设在区间] , [b a 上|)(1x f |M ≤. 把函数)(1x f n +在点a 展开成具Lagrange 型余项的1-n 阶Taylor 公式 , 注意到0)()()()1(111===''='-+++a f a f a f n n n n ,就有 n n n n a x n f x f )(!)(|)(|)(11-=++ξ b a ≤≤ξ,1640!)( )(!|)(|1→-≤-=n a b M a x n f n nξ, ) (∞→n , ∈x ] , [b a . 所以 , nf −→−−→−0, ) (∞→n , ∈x ] , [b a .例5 设),(],[ :b a b a f →. 0>n ε且0→n ε, ) (∞→n . 令)()(1x f x f = , ()() , )()()(12x f f x f f x f == ,()()层复合n n n x f f f x f f x f )(()()(1==-. …….试证明: 若对n ∀ 和 ∈∀y x ,] , [b a , 有 || )()(y x y f x f n n n -≤-ε , 则函数列 {)(x f n }在区间] , [b a 上一致收敛 .证 对 , 0>∀ε取 N , 使N n >时, 有ab n -<εε. 于是对任何自然数p 和∈∀x ] , [b a , 有()|)(| |)()(| |)()(|≤-≤-=-+x f x x f f x f x f x f p n p n n p n n εεε<-)(a b n . 由Cauchy 收敛准则 , 函数列{)(x f n }在区间] , [b a 上一致收敛 .例6 设在数集D 上函数列{)(x f n }一致收敛于函数)(x f . 若每个)(x f n 在 数集D 上有界 , 则函数列{)(x f n }在数集D 上一致有界 .证 ( 先证函数)(x f 在数集D 上有界 ) 设在D 上有|)(x f n |≤n M .对1=ε,由函数列{)(x f n }在数集D 上一致收敛,N ∃,当N N >0时 , 对∈∀x D ,有 |)(x f ||)(|0x f N -≤ |)(x f 1 |)(0<-x f N ,⇒ |)(x f |< +1G M x f DefN N ===+≤001 |)(|. 即函数)(x f 在数集D 上有界.( 次证函数列{)(x f n }在数集D 上一致有界 ) N n >时, 对∈∀x D ,有165|)(x f n |―|)(x f |≤ |)(x f n ―)(x f |< 1, ⇒ |)(x f n |≤ 1+G .取 }, 1 , , , , m ax {21+=G M M M M n 易见对∈∀x D 和n ∀有|)(x f n |≤M . 即 函数列{)(x f n }在数集D 上一致有界 .例7 设{)(x f n }为定义在区间] , [b a 上的函数列, 且对每个n , 函数)(x f n 在点a 右连续 , 但数列{)(a f n } 发散. 试证明: 对a b -<>∀δδ ( 0), 函数列{)(x f n }在区间) , (δ+a a 内都不一致收敛.证 反设0>∃δ, 使{)(x f n }在区间) , (δ+a a 内一致收敛. 则对N ∈∀>∀∃>∀p N n N , , , 0ε, 有2|)()(|1ε<-++x f x f p n n 对∈∀x ) , (δ+a a 成立.⇒ +→++=-ax p n n a f a f lim |)()(|1εε<≤-++2|)()(|1x f x f p n n .⇒{)(a f n }为Cauchy列,即{)(a f n }收敛. 与已知条件矛盾.§ 2一致收敛函数列和函数项级数的性质（ 4 时 ）一. 一致收敛函数列极限函数的解析性质:1.连续性:166Th 1 设在D 上nf −→−−→−)(x f ,且对∀n ,函数)(x f n 在D 上连续 , ⇒ )(x f 在D 上连续.证 ( 要证 : 对∈∀0x D , )(x f 在点0x 连续 . 即证: 对0>∀ε, 0>∃δ, 当 |δ<-|0x x 时, ⇒ ε<-|)()(|0x f x f . )|)()(||)()(||)()(| |)()(|0000x f x f x f x f x f x f x f x f n n n n -+-+-≤-. 估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项可以任意小; 而由函数)(x f n 在点0x 连续, 第二项|)()(|0x f x f n n -也可以任意小 . ……系 设在D 上)(x f n →)(x f . 若)(x f 在D 上间断 ，则函数列{)(x f n }在D 上 一致收敛和所有)(x f n 在D 上连续不能同时成立.註 Th1表明: 对于各项都连续且一致收敛的函数列{)(x f n }, 有 )(lim lim )(lim lim 00x f x f n x x n n n x x →∞→∞→→=.即极限次序可换 . 2. 可积性:Th 2 若在区间] , [b a 上函数列{)(x f n }一致收敛 , 且每个)(x f n 在] , [b a 上连续. 则有()⎰⎰∞→∞→=b a ban n nn dx x f dx x f )(lim )(lim .证 设在] , [b a 上nf −→−−→−)(x f , 由Th1, 函数)(x f 在区间] , [b a 上连续,因此可积. 我们要证 ⎰⎰=∞→baban n dx x f dx x f )()(lim. 注意到167⎰⎰⎰-≤-ban b aban f f f f ||, 可见只要ab x f x f n -<-ε|)()(|在] , [b a 上成立.Th2的条件可减弱为: 用条件“)(x f n 在] , [b a 上( R )可积”代替条件“)(x f n 在] , [b a 上连续”. 证明可参阅 江泽坚著《数学分析》上册P 350.关于函数列逐项积分条件的减弱有一系列的工作. 其中之一是:Th 设{)(x f n }是定义在区间] , [b a 上的函数列. 若{)(x f n }在] , [b a 上收敛且一致可积 , 则其极限函数)(x f 在] , [b a 上( R )可积 , 且有 ⎰⎰=∞→baban n f f lim.参阅: 马振民 , ( R )可积函数列逐项积分条件的减弱 , 西北师范大学学报（自然 科学版）1988.№4. 3. 可微性:Th 3 设函数列{)(x f n }定义在区间] , [b a 上, 在某个点∈0x ] , [b a 收敛. 对n ∀,)(x f n 在] , [b a 上连续可导, 且由导函数构成的函数列{)(x f n '}在] , [b a 上一致收敛,则函数列{)(x f n }在区间] , [b a 上收敛, 且有())(lim )(lim x f dx d x f dx d n n n n ∞→∞→=.证 设)(0x f n →A ，) (∞→n . )(x f n '−→−−→−)(x g , ) (∞→n .对∈∀x ] , [b a , 注意到函数)(x g 连续和 )(x f n =)(0x f n +⎰'xx n dt t f 0)(, 就有∞→n lim )(x f n =∞→n lim )(0x f n + ∞→n lim⎰'xx n dt t f 0)(= （ 对第二项交换极限与积分次序）168= A +()d t t f xx n n ⎰'∞→0)(lim = A +⎰==xx dt t g 0)(令)(x f .(估计 |)(0x f n +⎰'x x n dt t f 0)( ― A ― ⎰≤xx dt t g 0|)(≤|)(0x f n ―A | + |()⎰-'xx ndt t g t f 0|)()(, 可证得)(x fn−→−−→−)(x f .))(x f '=='⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰x x dt t g A 0)()(x g =∞→n lim =')(x f n ∞→n lim )(x f dxd n .即()=∞→)(lim x f dx d n n ∞→n lim )(x f dxdn . 亦即求导运算与极限运算次序可换. 例1 [1]P 49 E1 ( 说明定理的条件是充分的, 但不必要. )例2 [1]P 50 E2 ( 说明定理的条件是充分的, 但不必要. )Ex [1] P 52 1，2.二. 一致收敛函数项级数和函数的解析性质:把上述Th1—3表为函数项级数的语言，即得关系于和函数解析性质的相应结果. 参阅[1]P 51 Th13.11—13.13.例3 [1]P 51 E3例4 证明函数)(x f =∑∞=-1n nxne在区间) , 0 (∞+内连续.169证 ( 先证∑∞=-1n nxne在区间) , 0 (∞+内闭一致收敛.)对+∞<<<∀b a 0，有nanxnene--≤≤0，∈x ] , [b a ；又∑+∞<-nane，⇒∑∞=-1n nx ne 在] , [b a 一致收敛.( 次证对∈∀0x ) , 0 (∞+, )(x f 在点0x 连续 ) 对∈∀0x ) , 0 (∞+, 由上段讨论 ,∑∞=-1n nx ne 在区间] 2 , 2[00x x 上一致收敛; 又函数nx ne -连续, ⇒ )(x f 在区间] 2 , 2[00x x 上连续, ⇒ )(x f 在点0x 连续. 由点0x 的任意性, )(x f 在区间) , 0 (∞+内连续.例5 =)(x S ∑∞=-11n n nnx , ∈x ] 1 , 1 [-. 计算积分⎰xdt t S 0)(.Ex [1]P 52—53 3—8，9⑴，10 .。
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第十二讲函数列与函数项级数12 . 1 函数列与函数项级数的收敛与一致收敛一、函数列（一）函数列的收敛与一致收敛 1 ．逐点收敛函数列(){}I x x f n ∈,，若对I x ∈∀，数列(){}x f n 都收敛，则称函数列在区间 I 上逐点收敛，记 ()()I x x f x f n n ∈=∞→,lim ，称()x f 为(){}x f n 的极限函数．简记为()()()I x n x f x f n ∈∞→→,2 ．逐点收敛的N -ε定义对I x ∈∀ ，及 0>∀ε，()0,>=∃εx N N ，当N n > 时，恒有()()ε<-x f x f n 3 ．一致收敛若函数列(){}x f n 与函数()x f 都定义在区间 I 上，对 0,0>∃>∀N ε，当N n > 时，对一切I x ∈恒有()()ε<-x f x f n ，则称函数列(){}x f n 在区间 I 上一致收敛于()x f ．记为()()()I x n x f x f n ∈∞→⇒, . 4 ．非一致收敛00>∃ε，对N n N >∃>∀0,0，及I x ∈∃0，使得()()0000ε≥-x f x f n例 12 . 1 证明()nn x x f =在[]1,0逐点收敛，但不一致收敛．证明：当[]1,0∈x 时，()0lim lim ==∞→∞→nx n n x x f ，当1=x 时，()11lim =∞→n n f ，即极限函数为()[)⎩⎨⎧=∈=1,11,0,0x x x f ．但 ()x f n 非一致收敛，事实上，取0310>=ε。
对0>∀N ，取N N n >+=10，取()1,021010∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x · 此时()()00002100ε>==-nx x f x f n ，即()()()[]1,0,∈∞→≠>x n x f x f n 5 ．一致收敛的柯西准则函数列(){}x f n 在 I 上一致收敛⇔对 0,0>∃>∀N ε，当 n , m > N 时，对一切I x ∈，恒有()()ε<-x mn f x f6 ．非一致收敛的柯西准则函数列(){}x f n 在 I 上非一致收敛00>∃⇔ε，对N n m N >∃>∀00,,0，及I x ∈∃0，使得()()00000ε≥-x f x f m n例12 . 2 用柯西准则证明：()()()1...2,1sin==n nxx f n 在[]l l ,-上一致收敛； ( 2 )在 ()+∞∞-,上非一致收敛．证明： ( 1 ）对0>∀ε，取02>=εlN ，当 N n m >>时 ·对一切[]l l x ,-∈ 有ε<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤-≤-mlm n x m x n x m x n x 211sin sin即()nxx f n sin =在[]l l x ,-∈上一致收敛 · ( 2 ）取0410>=ε，对 0>∀N ，取0002,1n m N N n =>+=，取()+∞∞-∈=,200πn x ，则有()()000000000412114sin2sinsin sin εππ=>-=-=-=-m xn x x f x f m n即()nxx f n sin =在()+∞∞-∈,x 上非一致收敛 · 7 ．充要条件函数列(){}x f n 在 I 上一致收敛于()()()0sup lim =-⇔∈∞→x f x f x f n Ix n ·注：这是一个非常重要的定理，判断函数列一致收敛性，用它方一便快捷．例 12.3 讨论函数列()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++≤≤++-=111,0110,11x n n x x n x f n 的一致收敛性’解： ① 求极限函数．当(]1,0∈x 时，()()0lim ==∞→x f x f n n ，当0=x 时．()()10lim 0==∞→n n f f ，即极限函数为()(]⎩⎨⎧∈==1,0,00,1x x x f②[]()()()()()∞→≠=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥-∈n n f n f x f x f n n x 021211121121sup 1,0即 ()()()∞→≠>n x f x f n（二）极限函数的性质1 ．连续性 若满足：( 1 ）对每一个n ，()x f n 在区间 I 上都连续； ( 2 ) ()()()I x n x f x f n ∈∞→⇒,;则 ()x f 在 I 上连续，即 ()()()()0000lim lim lim lim lim x f x f x f x f n x x n n n x x x x ===→∞→∞→→→注：其逆否命题：若n f 都连续，但极限函数f 不连续，则必不一致收敛．可用此命题再对例12.1及例 12 . 3 进行判断． 2 ．可积性 若满足：（ 1 ）对每一个 n , ()x f n 在区间[]b a ,上都连续； ( 2 ）()()()[]b a x n x f x f n ,,∈∞→⇒； 则()x f 在[]b a ,上可积，且()()()⎰⎰⎰∞→∞→==bab a ban n n n dx x f dx x f dx x f lim lim3 ．可微性 若满足：( 1 ）对每一个 n ，()x f n 在区间[]b a ,上都连续； ( 2 ）[]b a x ,0∈∃使()()()∞→→n x f x f n ; ( 3 ）()()()[]b a x n x g x fn,,'∈∞→⇒.则()x f 在[]b a ,上可导，且()()x g x f ='，即 ()()()()x f x f dx dx f n n n n ''lim lim ∞→∞→==注：以上三个定理的条件仅为充分条件．4 ．狄尼定理若函数列(){}x f n 对每一个 n , (){}x f n 都在[]b a x ,∈上连续，对每一点[]b a x ,∈，(){}x f n 为单调的，且()()[]b a x x f x f n n ,,lim ∈=∞→，则()x f 在[]b a ,连续的充要条件是()()()[]b a x n x f x f n ,,∈∞→⇒．证明：充分性显然，下证必要性．（反证法）假设()()()[]b a x n x f x f n ,,∈∞→≠>．由定义，00>∃ε，对0>∀N ，N n >∃0及[]b a x ,0∈，使得()()0000ε≥-x f x f n ．特别地，当取,...,...,2,1k N =k 时，分别存在k n k >，及[]b a x k ,∈使得()()0ε≥-k k nk x f x f （ * )并且不妨设......21<<<<k n n n 由已知，(){}x f n 对固定的x 是单调的，不妨设为单调递增．且()()[]b a x x f x f n n ,,lim ∈=∞→，即()()()()x f x f x f x f n ≤≤≤≤≤......21．于是式（ * )可写为()()0ε≥-k n k x f x f k （ ** )由于{}[]b a x k ,⊂为有界数列，必有收敛子列，不妨仍设为{}k x ，即[]b a x x k n ,lim '∈=∞→.因 ()()''lim x f x f n n =∞→，对上述的0,00>∃>N ε，当N n > 时．恒有()()0''ε<-x f x f n .特别地，有()()0'1'ε<-+x f x f N （*** )当N N n k >+≥1时，由单调性及式（ ** )有()()()()01ε≥-≥-+k n k k N k x f x f x f x f k注意到 ()x f 及()x f N 1+的连续性，令∞→k 取极限得 ()()0'1'ε≥-+x f x f N ．此与（*** )式矛盾，即n f 必一致收敛于f.二、函数项级数（一）函数项级数的逐点收敛与一致收敛 1 ．逐点收敛(){}x u n 为定义在区间 I 上的函数列，称()∑∞=∈1,n n I x x u 为函数项级数．若对I x ∈∀，级数()∑∞=1n nx u 都收敛．则称函数项级数()∑∞=1n nx u 在区间I 上逐点收敛，称()()∑∈=I x x u x f n ,为和函数．称 ()()∑==nk k n x u x S 1为部分和函数，()()∑∞==1n k n x u x R 为第n 项余项函数 ·()∑∞=1n n x u 逐点收敛于 ()()()I x x f x S x f nn ∈=⇔∞→,lim2 ．一致收敛若()()()I x n x f x S n ∈∞→⇒,，则称函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间 I 上一致收敛于和函数()x f ．()∑∞=1n nx u 一致收敛于()()()I x n x R x f n∈∞→⇒⇔,03 ．一致收敛柯西准则 函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间 I 上一致收敛⇔对0,0>∃>∀N ε，当N n >时，对任意的自然数p ，及对一切I x ∈，恒有()()()ε<++++++x u x u x u p n n n ...21 注：由此可得到函数项级数()∑∞=1n nx u 在区间 I 上一致收敛的必要条件：一般项(){}x u n一致收敛于零．逆否命题：若一般项(){}x u n 不致收敛于零．则函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间 I 上必不一函数项级数收敛。
4 ．非一致收敛柯西准则 函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间 I 上非一致收敛,00>∃⇔ε对N n N >∃>∀0,0及 0p 和I x ∈0 ，使得()()()0000020010...ε≥++++++x u x u x u p n n n例 12 . 4 讨论函数项级数∑∞=0n nx在下列区间上的一致收敛性： ①[]()101,0<<a ; ②[)1,0.解法 l （用定义）：显然()x x x S n n --=11当10<≤x 时，()()x x S x f n n -==∞→11lim 则① []()()[]()∞→→-=-=-∈∈n a a xx x f x S nn a x n a x 011supsup ,0,0②[]()()[]()∞→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥-=--∈∈n n n n nn n n x x x f x S n nn a x n a x 1,0,011111sup sup .所以，函数项级数∑∞=0n nx在 ① 一致收敛；在 ② [)1,0上非一致收敛．解法 2 （用柯西准则）： ① 因为0lim ,10=<<∞→nn a a ，对0,0>∃>∀N ε，当N n >.时，()εa a n -<1于是对任意的自然数 p ，有ε<-<--=+++≤+++++++++++aa a a aa a a x x x n p n p n n n p n n n 111 (1)12121由柯西准则，∑∞=0n nx在 ① []a ,0上一致收敛．② 因 e n n n n 11lim 1=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→，所以0>∃N ，当N n >时，en n n 2111>⎪⎭⎫⎝⎛++．取0210>=e ε对0>∀K ，取 {}K N n ,m ax 0>，取[)1,1,01000=∈+=p n n x ，则 0100121100εε=>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++n n nn x 由柯西准则知，∑∞=0n nx在[)10，上非一致收敛． （二）函数项级数一致收敛判别法1 . M 判别法若()()I x ,,...2,1n M x u n n ∈∀=≤，而∑nM收敛，则()∑x u n在区间 I 上一致收敛，且绝对收敛． 2 ．阿贝尔判别法 若满足： ( l ）()∑x u n在区间 I 上一致收敛； ( 2 ）对固定的(){}x v ,I x n∈单调，且一致有界：即存在常数 M ，使()(),,...2,1n I x M x v n =∀∈∀≤，，则()()x v x u nn∑在 I 一上一致收敛．3 ．狄利克雷判别法若满足： ( 1 )()();,...2,1n ,I x M x u n1k k=∀∈∀≤∑=; ( 2 ) (){}x v n单调且在I 上一致收敛于零，则()()x v x u nn∑在 I 上一致收敛例 12 . 5 讨论下列函数项级数在所给区间上的一致收敛性：( 1 ）()()∑+∞∞-∈>,,1sin x p x nx p; ( 2 ）()()[]1,0,11∈+-∑+x n n x n nn解： ( 1 ）因()()+∞∞-∈∀≤,1sin x n x nx p p ，而()∑>11p np收敛，由 M 判别法， ()()∑+∞∞-∈>,,1sin x p n nxp 一致收敛( 2 ）记()()()[]1,0,1,1∈⎪⎭⎫⎝⎛+=-=x n x x v nx u n n nn ，则()∑-nn 1收敛．，从而关于[]b a x ,∈ 一致收敛，对固定[](){}x v b a x n ,,∈单调递增且有界：()e x v n ≤≤1，对[]1,0,...,2,1∈∀=∀x n ．由阿贝尔判别法知，()()[]1,0,11∈+-∑+x n n x n n n 一致收敛．（三）和函数的性质 1 ．连续性()()∑∈=I x x u x f n ,．若满足： ( 1 ）对每一个()x u n n ,在区间 I 上连续； ( 2 ）函数项级数卜致收敛的，则和函数()x f 在 I 上连续，即 ()()()∑==→0lim x f x u x f nx x .注：逆否命题：若()x u n 都连续，而和函数 f 不连续，则必不一致收敛． 2 ．可积性()()[]b a x x u x f n ,,∈=∑条件同上，则()x f 在[]b a ,上可积，且()()⎰∑⎰=baban dx x u dx x f3 ．可微性()()∑∈=I x x u x f n ,．满足： ( l ）对每一个()()x u x u n n ',,在区间 I 上连续； ( 2 ）存在I x ∈0，使()∑0x u n收敛； ( 3 ）()∑x u n'在 I 上一致收敛．则 ()x f 可导，且()I x x u n∈∑,'注：以上条件仅为充分条件． 4 ．狄尼定理若对每一个()x u n n ,在区间 I 上连续且非负，()()∑∈=I x x u x f n,，则()x f 连续()∑⇔x u n 在 I 上一致收敛．证明：充分性显然，下面证明必要性．由于对每一个()x u n n ,在区间 I 上连续且非负，所以 ()()∑==nk k n x u x S 1在I 上连续，且关于n 是单调递增．则由前面证明的函数列的狄尼定理立即可得。