第十二讲函数列与函数项级数

第十二讲函数列与函数项级数

12 . 1 函数列与函数项级数的收敛与一致收敛

一、函数列

（一）函数列的收敛与一致收敛 1 ．逐点收敛

函数列(){}I x x f n ∈,，若对I x ∈∀，数列(){}x f n 都收敛，则称函数列在区间 I 上逐点收敛，记 ()()I x x f x f n n ∈=∞

→,lim ，称()x f 为(){}x f n 的极限函数．简记为

()()()I x n x f x f n ∈∞→→,

2 ．逐点收敛的N -ε定义

对I x ∈∀ ，及 0>∀ε，()0,>=∃εx N N ，当N n > 时，恒有()()ε<-x f x f n 3 ．一致收敛

若函数列(){}x f n 与函数()x f 都定义在区间 I 上，对 0,0>∃>∀N ε，当N n > 时，对一切I x ∈恒有()()ε<-x f x f n ，则称函数列(){}x f n 在区间 I 上一致收敛于()x f ．记为()()()I x n x f x f n ∈∞→⇒, . 4 ．非一致收敛

00>∃ε，对N n N >∃>∀0,0，及I x ∈∃0，使得

()()0000ε≥-x f x f n

例 12 . 1 证明()n

n x x f =在[]1,0逐点收敛，但不一致收敛．

证明：当[]1,0∈x 时，()0lim lim ==∞

→∞

→n

x n n x x f ，当1=x 时，()11lim =∞

→n n f ，即极限函数

为()[)⎩⎨⎧=∈=1,11,0,0x x x f ．但 ()x f n 非一致收敛，事实上，取031

0>=ε。对0>∀N ，取

N N n >+=10，取()1,02101

0∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛=n x · 此时()()00002100ε>==-n

x x f x f n ，

即()()()[]1,0,∈∞→≠>x n x f x f n 5 ．一致收敛的柯西准则

函数列(){}x f n 在 I 上一致收敛⇔对 0,0>∃>∀N ε，当 n , m > N 时，对一切I x ∈，

恒有()()

ε<-x m

n f x f

6 ．非一致收敛的柯西准则

函数列(){}x f n 在 I 上非一致收敛00>∃⇔ε，对N n m N >∃>∀00,,0，及I x ∈∃0，使得()()00000ε≥-x f x f m n

例12 . 2 用柯西准则证明：()()()1...2,1sin

==n n

x

x f n 在[]l l ,-上一致收敛； ( 2 )在 ()+∞∞-,上非一致收敛．

证明： ( 1 ）对0>∀ε，取02>=

ε

l

N ，当 N n m >>时 ·对一切[]l l x ,-∈ 有

ε<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤-≤-m

l

m n x m x n x m x n x 211sin sin

即()n

x

x f n sin =在[]l l x ,-∈上一致收敛 · ( 2 ）取04

1

0>=ε，

对 0>∀N ，取0002,1n m N N n =>+=，取()+∞∞-∈=,200πn x ，则有

()()0000000004

1

2

114

sin

2

sin

sin sin επ

π

=>-

=-=-=-m x

n x x f x f m n

即()n

x

x f n sin =在()+∞∞-∈,x 上非一致收敛 · 7 ．充要条件

函数列(){}x f n 在 I 上一致收敛于()()()0sup lim =-⇔∈∞→x f x f x f n I

x n ·

注：这是一个非常重要的定理，判断函数列一致收敛性，用它方一便快捷．

例 12.3 讨论函数列()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

<++≤≤++-=11

1,01

10,11x n n x x n x f n 的一致收敛性’

解： ① 求极限函数．

当(]1,0∈x 时，()()0lim ==∞

→x f x f n n ，当0=x 时．()()10lim 0==∞

→n n f f ，即极限函数为

()(]

⎩⎨

⎧∈==1,0,00

,1x x x f

②[]()()()()()∞→≠=-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥-∈n n f n f x f x f n n x 021

211121121sup 1,0即 ()()()∞→≠>n x f x f n

（二）极限函数的性质

1 ．连续性 若满足：

( 1 ）对每一个n ，()x f n 在区间 I 上都连续； ( 2 ) ()()()I x n x f x f n ∈∞→⇒,;

则 ()x f 在 I 上连续，即 ()()()()00

00

lim lim lim lim lim x f x f x f x f n x x n n n x x x x ===→∞→∞

→→→

注：其逆否命题：若n f 都连续，但极限函数f 不连续，则必不一致收敛．可用此命题再对例12.1及例 12 . 3 进行判断． 2 ．可积性 若满足：

（ 1 ）对每一个 n , ()x f n 在区间[]b a ,上都连续； ( 2 ）()()()[]b a x n x f x f n ,,∈∞→⇒； 则()x f 在[]b a ,上可积，且()()()⎰

⎰⎰∞→∞

→==b

a

b a b

a

n n n n dx x f dx x f dx x f lim lim

3 ．可微性 若满足：

( 1 ）对每一个 n ，()x f n 在区间[]b a ,上都连续； ( 2 ）[]b a x ,0∈∃使()()()∞→→n x f x f n ; ( 3 ）()()()[]b a x n x g x f

n

,,'∈∞→⇒.

则()x f 在[]b a ,上可导，且()()x g x f ='

，即 ()()()

()x f x f dx d

x f n n n n ''lim lim ∞→∞

→==

注：以上三个定理的条件仅为充分条件．

4 ．狄尼定理

若函数列(){}x f n 对每一个 n , (){}x f n 都在[]b a x ,∈上连续，对每一点[]b a x ,∈，

(){}x f n 为单调的，且()()[]b a x x f x f n n ,,lim ∈=∞

→，则()x f 在[]b a ,连续的充要条件是

()()()[]b a x n x f x f n ,,∈∞→⇒．

证明：充分性显然，下证必要性．