广东省广州市白云区广外外校2019-2020学年九年级(上)期中数学试卷 解析版

2019-2020学年广东省广州市白云区广外外校九年级（上）期中数学试卷
一．选择题（共10小题）
1．方程2x2+6x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2等于（）
A．﹣6B．6C．﹣3D．3
2．将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）
A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x﹣2）2+3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x+2）2﹣3
3．下列事件中，是必然事件的是（）
A．购买一张彩票，中奖
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
4．下列说法：（1）等弧所对的圆周角相等；（2）过三点可以作一个圆；（3）平分弦的直径垂直于弦；（4）半圆是一条弧，其中正确的是（）
A．（1）（2）（3）（4）B．（1）（2）（3）
C．（2）（3）（4）D．（1）（4）
5．一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是（）A．48πB．45πC．36πD．32π
6．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）
A．B．
C．D．
7．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝﹣ax2﹣b的大致图象是（）
A．B．
C．D．
8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（）
A．c＜0
B．b2﹣4ac＜0
C．a﹣b+c＜0
D．图象的对称轴是直线x＝3
9．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF 的位置．若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为（）
A．4B．2C．6D．2
10．如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB ＝60°，则点C的纵坐标为（）
A．+B．2+C．4D．2+2
二．填空题（共6小题）
11．若二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，则a0（填“＝”或“＞”或“＜”）．12．若关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．13．小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是．
14．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是．
15．如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为．
16．如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与A是对应点，点B′与B是对应点，点B′落在边AC上，连接A′B，若∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，则A′B的长为．
三．解答题（共9小题）
17．x为何值时，两个代数式x2+1，4x+1的值相等？
18．已知：在△ABC中，AB＝AC．
（1）求作：△ABC外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝．
19．小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动．该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用A、B、C表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用D、E表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．用画树状图或列表的方法列出小明参加项目的所有等可能的结果，并求小明恰好抽中B、D两个项目的概率．
20．2019年1月14日，国新办举行新闻发布会，海关总署新闻发言人李魁文在会上指出：在2018年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为30万亿元人民币．有望继续保持全球货物贸易第一大国地位．预计2020年我国外贸进出口总值将达36.3万亿元人民币．求这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率．
21．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
22．如图所示，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0）．（1）求抛物线的解析式并写出顶点M的坐标；
（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积．
23．如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交AB于P，CP＝BC．（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知∠BAO＝25°，点Q是上的一点．
①求∠AQB的度数；
②若OA＝18，求的长．
24．如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上．
（1）填空：∠CDE＝（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，若α＝60°，请补全图形，再过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若α＝90°，AC＝5，且点G满足∠AGB＝90°，BG＝6，直接写出点C到AG 的距离．
25．已知抛物线y＝2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．
（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；
（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围．
（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好
，求m，n的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．方程2x2+6x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2等于（）
A．﹣6B．6C．﹣3D．3
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由于△＞0，
∴x1+x2＝﹣3，
故选：C．
2．将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）
A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x﹣2）2+3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x+2）2﹣3
【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2+3，
故选：B．
3．下列事件中，是必然事件的是（）
A．购买一张彩票，中奖
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
【分析】先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
【解答】解：A．购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意；
B．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意；
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意；
D．任意画一个三角形，其内角和是180°，属于必然事件，符合题意；
故选：D．
4．下列说法：（1）等弧所对的圆周角相等；（2）过三点可以作一个圆；（3）平分弦的直径
垂直于弦；（4）半圆是一条弧，其中正确的是（）
A．（1）（2）（3）（4）B．（1）（2）（3）
C．（2）（3）（4）D．（1）（4）
【分析】利用确定圆的条件、圆的有关性质及定义分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：（1）等弧所对的圆周角相等，正确；
（2）过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故原命题错误；
（3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误；
（4）半圆是一条弧，正确，
其中正确的是（1）（4），
故选：D．
5．一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是（）A．48πB．45πC．36πD．32π
【分析】首先利用圆的面积公式即可求得侧面积，利用弧长公式求得圆锥的底面半径，得到底面面积，据此即可求得圆锥的全面积．
【解答】解：侧面积是：πr2＝×π×82＝32π，
底面圆半径为：，
底面积＝π×42＝16π，
故圆锥的全面积是：32π+16π＝48π．
故选：A．
6．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形外心的定义，三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图和选项进行判断．
【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．
故选：C．
7．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝﹣ax2﹣b的大致图象是（）A．B．
C．D．
【分析】可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】解：A、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＞0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2﹣b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标﹣b大于零，故A正确；
B、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＜0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2﹣b的图
象应该开口向上，顶点的纵坐标﹣b大于零，故B错误；
C、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＜0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2+b的图象
应该开口向上，故C错误；
D、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＞0，﹣b＞0，此时抛物线y＝﹣ax2﹣b的顶点
的纵坐标大于零，故D错误；
故选：A．
8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（）
A．c＜0
B．b2﹣4ac＜0
C．a﹣b+c＜0
D．图象的对称轴是直线x＝3
【分析】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
②抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
【解答】解：A．由于二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴，所以c＞0，故A 错误；
B．二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴由2个交点，所以b2﹣4ac＞0，故B错误；
C．当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＞0，故C错误；
D．因为A（1，0），B（5，0），所以对称轴为直线x＝＝3，故D正确．
故选：D．
9．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF 的位置．若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为（）
A．4B．2C．6D．2
【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．
【解答】解：∵△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．
∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于20，
∴AD＝DC＝2，
∵DE＝2，
∴Rt△ADE中，AE＝＝2
故选：D．
10．如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB ＝60°，则点C的纵坐标为（）
A．+B．2+C．4D．2+2
【分析】连接P A，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥OC于E，根据圆周角定理得到∠APB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠P AB＝∠PBA＝30°，由垂径定理得到AD ＝BD＝3，解直角三角形得到PD＝，P A＝PB＝PC＝2，根据勾股定理得到CE＝＝＝2，于是得到结论．
【解答】解：连接P A，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥OC于E，
∵∠ACB＝60°，
∴∠APB＝120°，
∵P A＝PB，
∴∠P AB＝∠PBA＝30°，
∵A（﹣5，0），B（1，0），
∴AB＝6，
∴AD＝BD＝3，
∴PD＝，P A＝PB＝PC＝2，
∵PD⊥AB，PE⊥OC，∠AOC＝90°，
∴四边形PEOD是矩形，
∴OE＝PD＝，PE＝OD＝2，
∴CE＝＝＝2，
∴OC＝CE+OE＝2+，
∴点C的纵坐标为2+，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．若二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，则a＜0（填“＝”或“＞”或“＜”）．【分析】由二次函数y＝ax2+bx图象的开口向下，可得a＜0．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，
∴a＜0．
故答案是：＜．
12．若关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．【分析】根据“关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于m的一元一次方程，解之即可．
【解答】解：根据题意得：
△＝1﹣4×2m＝0，
整理得：1﹣8m＝0，
解得：m＝，
故答案为：．
13．小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是．
【分析】画出树状图得出所有情况，让从左向右恰好成上、中、下的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【解答】解：画树状图如图：
共有6个等可能的结果，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有1个，∴从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率为；
故答案为：．
14．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是2．
【分析】连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，由直角三角形的性质得出AC＝2CH＝2，AC＝BC＝2，AB＝2BC，得出BC＝2，AB＝4，求出OA＝2即可．
【解答】解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，
∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，
∵∠A＝30°，
∴AC＝2CH＝2，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，
∴BC＝2，AB＝4，
∴OA＝2，
即⊙O的半径是2；
故答案为：2．
15．如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77m2，设道路
的宽为xm，则根据题意，可列方程为（12﹣x）（8﹣x）＝77．
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
【解答】解：∵道路的宽应为x米，
∴由题意得，（12﹣x）（8﹣x）＝77，
故答案为：（12﹣x）（8﹣x）＝77．
16．如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与A是对应点，点B′与B是对应点，点B′落在边AC上，连接A′B，若∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，则A′B的长为．
【分析】由旋转的性质可得AC＝A'C＝3，∠ACB＝∠ACA'＝45°，可得∠A'CB＝90°，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，
∴AC＝A'C＝3，∠ACB＝∠ACA'＝45°
∴∠A'CB＝90°
∴A'B＝＝
故答案为
三．解答题（共9小题）
17．x为何值时，两个代数式x2+1，4x+1的值相等？
【分析】根据题意列出方程，利用因式分解法求解可得．
【解答】解：由题意知x2+1＝4x+1，
整理，得：x2﹣4x＝0，
∵x（x﹣4）＝0，
∴x＝0或x﹣4＝0，
解得x＝0或x＝4．
答：当x＝0或x＝4时，两个代数式x2+1，4x+1的值相等．
18．已知：在△ABC中，AB＝AC．
（1）求作：△ABC外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝25π．
【分析】（1）过点A点作BC的垂线，作BC的垂直平分线，它们的交点为O，然后以O 点为圆心，OA为半径作圆即可；
（2）连接OB，延长AO交BC于D，如图，设⊙O的半径为r，先判断AD垂直平分BC 得到OD＝4，BD＝CD＝3，然后利用勾股定理计算出OB，从而利用圆的面积公式求解．【解答】解：（1）如图，⊙O为所作；
（2）连接OB，延长AO交BC于D，如图，设⊙O的半径为r，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AD垂直平分BC，
∴OD＝4，BD＝CD＝3，
在Rt△OBD中，OB＝＝5，
∴S⊙O＝π•52＝25π．
故答案为25π．
19．小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动．该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用A、B、C表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用D、E表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．用画树状图或列表的方法列出小明参加项目的所有等可能的结果，并求小明恰好抽中B、D两个项目的概率．
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：画树状图如下
由树状图知共有6种等可能结果，其中小明恰好抽中B、D两个项目的只有1种情况，所以小明恰好抽中B、D两个项目的概率为．
20．2019年1月14日，国新办举行新闻发布会，海关总署新闻发言人李魁文在会上指出：在2018年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为30万亿元人民币．有望继续保持全球货物贸易第一大国地位．预计2020年我国外贸进出口总值将达36.3万亿元人民币．求这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率．
【分析】根据a（1﹣x）2＝b增长率公式建立方程30（1+x）2＝36.3，解方程即可．【解答】解：设平均增长率为x，根据题意列方程得
30（1+x）2＝36.3
解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（舍）
答：我国外贸进出口总值得年平均增长率为10%．
21．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4k≥0，然后解不等式即可；‘
（2）利用（1）中的结论得到k的最大整数为2，解方程x2﹣3x+2＝0解得x1＝1，x2＝2，
把x＝1和x＝2分别代入一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0求出对应的m，同时满足m﹣1≠0．
【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣3）2﹣4k≥0，
解得k≤；
（2）k的最大整数为2，
方程x2﹣3x+k＝0变形为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，
∴当x＝1时，m﹣1+1+m﹣3＝0，解得m＝；
当x＝2时，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，解得m＝1，
而m﹣1≠0，
∴m的值为．
22．如图所示，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0）．（1）求抛物线的解析式并写出顶点M的坐标；
（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积．
【分析】（1）列出交式即可求得；
（2）根据S四边形AMBC＝S△ABM+S△ABC即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0）．
∴函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝（x2﹣4x﹣5）＝x2﹣x﹣，
点M坐标为（2，﹣3）；
（2）当x＝8时，y＝（x+1）（x﹣5）＝9，即点C（8，9），
因为AB＝5+1＝6，
且△ABM、△ABC的高分别是点M、点C纵坐标的绝对值，
所以S四边形AMBC＝S△ABM+S△ABC＝+＝36．
23．如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交AB于P，CP＝BC．（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知∠BAO＝25°，点Q是上的一点．
①求∠AQB的度数；
②若OA＝18，求的长．
【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA，∠CPB＝∠PBC，等量代换得到∠APO＝∠CBP，根据三角形的内角和得到∠CBO＝90°，于是得到结论；
（2）①根据等腰三角形和直角三角形的性质得到∠ABO＝25°，∠APO＝65°，根据三角形外角的性质得到∠POB＝∠APO﹣∠ABO＝40°，根据圆周角定理即可得到结论；
②根据弧长公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵PC＝CB，
∴∠CPB＝∠PBC，
∵∠APO＝∠CPB，
∴∠APO＝∠CBP，
∵OC⊥OA，
∴∠AOP＝90°，
∴∠OAP+∠APO＝90°，
∴∠CBP+∠ABO＝90°，
∴∠CBO＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：①∵∠BAO＝25°，
∴∠ABO＝25°，∠APO＝65°，
∴∠POB＝∠APO﹣∠ABO＝40°，
∴∠AQB＝（∠AOP+∠POB）＝130°＝65°；
②∵∠AQB＝65°，
∴∠AOB＝130°，
∴的长＝的长＝＝23π．
24．如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上．
（1）填空：∠CDE＝（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，若α＝60°，请补全图形，再过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若α＝90°，AC＝5，且点G满足∠AGB＝90°，BG＝6，直接写出点C到AG 的距离．
【分析】（1）由旋转的性质可得CD＝CE，∠DCE＝α，即可求解；
（2）由旋转的性质可得AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°，可证△CDE是等边三角形，由等边三角形的性质可得DF＝EF＝，即可求解；
（3）分点G在AB的上方和AB的下方两种情况讨论，利用勾股定理可求解．
【解答】解：（1）∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE ∴△ACD≌△BCE，∠DCE＝α
∴CD＝CE
∴∠CDE＝
故答案为：
（2）AE＝BE+CF
理由如下：如图，
∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角60°得到△CBE
∴△ACD≌△BCE
∴AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°
∴△CDE是等边三角形，且CF⊥DE
∴DF＝EF＝
∵AE＝AD+DF+EF
∴AE＝BE+CF
（3）如图，当点G在AB上方时，连接CG，过点C作CE⊥AG于点E，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，AB＝10
∵∠ACB＝90°＝∠AGB
∴点C，点G，点B，点A四点共圆
∴∠AGC＝∠ABC＝45°，且CE⊥AG
∴∠AGC＝∠ECG＝45°
∴CE＝GE
∵AB＝10，GB＝6，∠AGB＝90°
∴AG＝＝8
∵AC2＝AE2+CE2，
∴（5）2＝（8﹣CE）2+CE2，
∴CE＝7（不合题意舍去），CE＝1
若点G在AB的下方，过点C作CF⊥AG'于F，连接CG’
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，AB＝10
∵∠ACB＝90°＝∠AGB
∴点C，点G'，点B，点A四点共圆
∴∠AG'C＝∠ABC＝45°，且CE⊥AG'
∴∠AG'C＝∠ECG'＝45°
∴CF＝G'F
∵AB＝10，G'B＝6，∠AG'B＝90°
∴AG'＝＝8
∵AC2＝AF2+CF2，
∴（5）2＝（8﹣CF）2+CF2，
∴CF＝7或CF＝1（不合题意舍去），
∴点C到AG的距离为1或7．
25．已知抛物线y＝2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；
（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围．
（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好
，求m，n的值．
【分析】（1）利用抛物线的顶点坐标和二次函数解析式y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）可知，y＝﹣2（x﹣1）2+1，易得b、c的值；
（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），代入函数解析式，经过化简得到c＝2x02+2020，易得c＞2020；
（3）由题意知，抛物线为y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1，则y≤1．利用不等式的性质推知：≤y，易得1≤m＜n．由二次函数图象的性质得到：当x＝m时，y最大值
＝﹣2m2+4m﹣1．当x＝n时，y最小值＝﹣2n2+4n﹣1．所以，通过解
方程求得m、n的值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）的顶点坐标为（1，1），抛物线解析式是：y＝﹣2（x﹣1）2+1＝﹣2x2+4x﹣1．
∴．
∴b＝6，c＝2019．
（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），代入解析式可得：．
∴两式相加可得：﹣4x02+2（c﹣2020）＝0．
∴c＝2x02+2020，
∴c＞2020；
（3）由（1）可知抛物线为y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1．
∴y≤1．
∵0＜m＜n，当m≤x≤n时，恰好，
∴≤y．
∴≤1，即m≥1．
∴1≤m＜n．
∵抛物线的对称轴是x＝1，且开口向下，
∴当m≤x≤n时，y随x的增大而减小．
∴当x＝m时，y最大值＝﹣2m2+4m﹣1．
当x＝n时，y最小值＝﹣2n2+4n﹣1．
又≤y，
∴．
将①整理，得2n3﹣4n2+n+1＝0，
变形，得2n2（n﹣1）﹣（2n+1）（n﹣1）＝0．
∴（n﹣1）（2n2﹣2n﹣1）＝0．
∵n＞1，
∴2n2﹣2n﹣1＝0．
解得n1＝（舍去），n2＝．
同理，由②得到：（m﹣1）（2m2﹣2m﹣1）＝0．
∵1≤m＜n，
∴2m2﹣2m﹣1＝0．
解得m1＝1，m2＝（舍去），m3＝（舍去）．综上所述，m＝1，n＝．。