声波的辐射

d sin 2
并考虑到两个小球源相距很近，当声源的频率满足kd<<1，上式可进 一步简化为： Akd p(r , , t ) j sin e j wt kr r Akd p ( r , ) sin 的球面发散波。 上式表示了一个具有声压振幅为
r

它与脉动球源一样其振幅都是随距离成反比的减少。但与脉动球源辐射特 性的一个重要区别是偶极源辐射与θ角有关。即在声场中同一距离不同方 向的位置上，它的声压是不同的。偶极声源辐射的声压振幅分布如下图。
F 4 r02 p(r0 , t )
解得:
2 2 k r0 1 3 Ff 4 r02 c u 4 r u 0 2 2 2 2 1 k r0 1 k r0
--- ju u
显然，上式的右边第一项具有“损耗”阻力的意义，表示球体对媒质所作的 功。不过它不是把能量转化成热，而是代表着能量以声波的形式辐射。可以 用下式计算辐射的声功率：
现实意义，如安装在大障板上的扬声器，在低频时，其振
膜的振动就可以近似地认为作活塞振。另外，低频时带有 边缘的管子的声辐射问题，也可近似地视为活塞声源。
1.无限大障板上的点源辐射

在讨论活塞声源之前，先讨论无限大障板上或离障板非常近的 点源辐射，如下图所示。对计算无限大障板上活塞声源的辐射 是很有用的。
当脉冲球源半径与频率关系满足kr0<<1的条件，我们就可把它作为 点声源来处理。可直接写出点源表示式
p j
k c Q0e j (t kr ) 4 r
如果考虑该点源置于无限大（障板的线度比波长大得多）且具有 刚性的障板前（或在障板上），离开障板的距离满足条件l<<λ。于是
点源辐射的声波经障板反射后，反射波的声压相位和振幅都与入射点
RMR c(kr0 ) 4 r X MR ckr0 4 r02 4 3 M MR 3( r0 ) 3
2 2 0
如果球源的半径较大或者频率比较高时，即当 kr0 1，则得：
RMR c 4 r02 X MR 0 M MR 0
第三章 声波的辐射
3.1脉动球源辐射 3.2偶极声源 3.3无限大障板上圆形活塞
的辐射
3.1 球源辐射
• 脉动球源是产生声波的一种最简单的声源，它
只是在球源表面上的各点沿着径向作同振幅、 同相位的振动。
• 1.声场特性 设有一半径为r0的球体，在附近沿径向以微 小量dr作简谐振动。它向空间辐射的显然是均 匀球面波。理论上可算得声波的波动方程为：
• 如果考虑球面波是向各向同性均匀的无限大的媒质中传播， 因而无反射波，这时上式中的常数 B 0,因而得：
p A j (t kr ) e r
A r
上式说明，声压振幅随径向距离 成反比地减少，即在球面声场中， 离声源愈远的地方，声音愈弱， 见右图。这是球面声场的一个重 要特征，常利用来作为鉴定消声 室是否符合自由声场的依据。
2 (rp) 1 2 (rp) 2 2 r c t 2
r0
dr
r
对作简谐振动的球面对称声源，解上式可得简谐球面波的声压复数 形式为： A B p e j (t kr ) e j (t kr ) r r 式中右边第一项代表向外辐射的球面波，第二项代表向球心会聚的 球面波。
k c Q0e j (t kr ) 4 r
• 由以上结论知，球面声源的声压幅值不仅与球源的振速uA有关，而且还与
辐射声波的频率、球源半径有关。
当
kr0 1 ，即球源半径较小或声波频率较低，这时：
A kr 1 ckr02u A
0
当
kr0 1 ，即球源半径较大或声波频率较高，这时 ： A kr0 1 cr0u A
（Ⅲ） 障板尺寸的计算 无障板的扬声器低频的辐射本领是很差的。为了提高扬声器低 频的辐射本领，亦即隔开媒质两面因疏密引起的抵消，必须把扬声 器安装在障板上或箱体中。障板的几何图形及其等效偶极源见下图。 理想的障板当然是无限大的好，但实际上是不可能，也没有必要。
L
a Ae jt
2a
R
Ae jt
P
P

180
90
0
90
180
（a）卡的逊坐标表示
（b）极坐标表示
2. 辐射声功率
对作简谐振动的偶极源，可求得其相应的质点振动速度为：
vr
2A 1 j wt kr 1 jkr sin kd sin e 2 cr 2
由上式和总声压公式可求得偶极源辐射的声强为
源Ⅰ、源Ⅱ
P
d 2
Δr2
Δr1

d 2
于是可求得（r, θ）点的总声压为：
A e jk r1 e jk r2 j wt kr p p1 p2 e r 1 r1 / r 1 r2 / r
r1

r r 2
如考虑远场情况，r>>d，从上图可求得 r1 r2
此时球源的辐射阻达到极大值。
下图表示脉动球源辐射阻抗随 kr0 值的变化关系
3.2 偶极声源
•
偶极声源辐射 就是由两个相距很近（与波长相比）并以相
同的振幅和相反的位相振动着的小脉动球组成的声源所产 生的辐射。例如，没有放置在障板（或箱体中）的小纸盆
扬声器和活塞振动等，在低频时都属于此类声源。
1.声压特性
我们引入一个辐射抗 X MR ,则其应等于： X MR M MR 对脉动球声源，其辐射抗为：X MR c
RMR
kr0 2 4 r 0 1 (kr0 )2
和
jX MR 之和称声源的辐射力阻抗 ZMR
ZMR RMR jX MR
如果球源比较小或者振动频率比较低，于是有 kr0 1 ，则得：
sin kd ) 与kd 的关系曲线如图 kd
• 下面对上式及图形作如下几点讨论：
（Ⅰ）当kd<1，从图中可知因子很小，辐射声功率也很小。这时偶极 声源是一个很差的辐射声源 ，展开因子可得：
sin kd kd kd 1 ... kd 6 120
2 4
将上式与脉动球源的 | A |代入到平均声功率式中，并忽略高次 项，可得低频时的偶极声源的辐射平均声功率为：
o
r r+dr
r
• 简谐球面波其相应的质点振动速度为：
vr 1 p A 1 j (t kr ) (1 )e j r r c jkr
式中常数A取决于边界条件，也就是取决于球面的振动情况，设 球源表面的振动速度为： u uAe j (t kr ) 式中 uA 为振速幅值。
• 设有两个脉动球源，相距为d，它们的振动频率相同，振幅相等且位相相
反，如下图所示，因为我们所考虑的是小振幅声波，声波振动方程是线性
的，所以可分别求出每个球源在空间产生的声压，然后把它们叠加起来。

根据脉动球源的计算公式θ可直接写出 在（r ,θ）处的声压为： A p1 e j[ wt k ( r r1 )] r r1 A p2 e j[ wt k ( r r2 )] r r2
的声源声压相同。于是在障板前的半空间中由点源所产生的声压，应 该是点源在空间所产生的声压再加上由障板反射产生的声压之和，即
Q0 k j (t kr ) p(r , t ) j c e 2 r
• 2.无限大障板上活塞辐射的近声场特性

设在无限大平面障板上嵌有一半径为a的圆形平面活塞，静止时活塞表
1 I T

T
0
2 | A |2 21 Re p Re vr dt sin kd sin cr 2 2
于是可求得通过以r为半径的球面的平均声功率为
W 0
S
4 | A |2 sin kd (1 ) IdS c kd
（3-2-1）
因子(1
0
在球源表面处的媒质质点速度应等于球源表面的振动速度，即满 (vr )r r0 u 足：
联立上式得：
A
式中
ckr02
1 (kr0 )
j u ( kr j ) A e A 0 2
A
ckr02u A
1 (kr0 ) 2
p j
tg 1 (
1 ) kr0
当球源半径较声波波长小得多时，可将球面波声压表示成 ：
R B
a
根据（Ⅱ）的讨论，偶极源只要满足条件 kd 或d > 就能获得好 的辐射特性，对照上图，可得障板的最小尺寸为：a=
1 2 1 。式中 为希 4
望辐射的最低频率所对应的波长，通常这频率取在扬声器共振频率附
近。
3.3无限大障板上圆形活塞的辐射
•
无限大障板上圆形活塞声源，即指在无限大刚性平面 障板上嵌进一圆形振动板。它的振动像活塞一样，沿平面 的法线方向，整体以同振幅同位相振动。这种声源有许多
2 ( kr ) 1 1 2 0 W Re( Ff u* ) 4 r02 uA 2 2 1 (kr0 ) 2
式中 u 是
*
u 的共轭数。
来自百度文库
• 脉动球声源的辐射力阻 RMR 等于： k 2 r02 RMR c 4 r02 2 2 1 k r0
力的惯性项，可以写成：
4 3 3 du r0 3 1 (kr0 )2 dt
2 2 W o cr0 4 k 4 d 2u A 3
此式表明平均声功率与r无关，这正符合能量守恒定律。 上式与（3-1-1）式之比为 W0 1 2 kd W 3 因kd<<1，所以在低频时偶极声源辐射本领比小脉动球源要差得多。
（Ⅱ）当kd>> 时，亦即d>>
1 2
时，从上图可知，曲线在1附近摆动。令
因现在pA与r成反比，因而声强不再处处相等，而是随距离r的平方成反比地
减少。因所考虑的球面声场是各向均匀对称的，所以平均声功率应等于声 强乘以半径为r的球面面积，即：
W I 4 r 2 2 2 A c
（3-1-1）
2. 脉动球源的辐射阻抗
•
脉动球源在媒质中振动时，使媒质发生了疏密交替的形变，从而辐射了声 波；另一方面，声源本身也必然受到媒质中声场对它的反作用力，这个力 的大小决定了脉动球对媒质所作的功，如下式所示：
比较上两式可知，当球源以恒定速度振动时， A kr0 1 A kr0 1 ，这说明球源半 径小、振动频率低比球源半径大、振动频率高所辐射的声压小得多。 求出p与vr后，就可根据下式求得球面声波的声强 I ：
1 I T

T
0
2 pA R e p R e vr dt 2c
上式说明，球面波的声强与声压幅值的关系形式上仍与平面声场一样。但
则整个活塞在点的辐射总声压为
k c e j (i kr) p( r , , t ) j u A ds 2 r S
（3-3-1）
只考虑沿活塞中心轴线上的声场，那么计算就较容易，而在实际应用 上也很有意义。如扬声器、传声器的频率响应也都沿中心轴线测量的。
kd= ，代入（3-2-1）式，并令kr0 <<1，得此时平均声功率为：
2 W 0 4cr04k 4d 2uA
此式与单个脉动球源的平均声功率（3-1-1）式比较，说明当偶极声源
1 振动的频率比较高或偶极声源中两脉动球源的距离d= 2 ，此时偶极
源辐射的平均声功率相当于脉动球源所辐射平均声功率的两倍。
面与障板在同一平面上。当活塞以 u uAe jt 振动时，就向障板前面的 y
半空间辐射声波。活塞的几何图形和坐标如图

P
r
ds
O

z
a
x
设想将活塞表面分成无限多个小面元，每个小面元都看成一个点源， 每个点源的体积速度为 dQ0 uAds ，则该面元在观察点p产生的声压根 据上式可写为
dp j k c u A dse j (t kr ) 2 r
式中 dt 是加速度，所以其前面的系数相当于一个质量。这个质量是由声源的 辐射引起的，称为辐射质量 M MR 。它是附加于振动的声源上，随球源一起振 动，因此这部分附加质量也称同振质量，其值为： 4 3 M MR r03 3 1 (kr0 )2
du
所以为了使球源表面振动，尚需要克服这部分附加惯性力而作功。 但这部分能量不是向外辐射声能而是贮藏在系统中。