插值与最小二乘法

《数值分析》 主讲教师
5
插值与最小二乘法
§1插值问题与插值多项式 §2 Lagrange插值 §3 均差与Newton插值公式 §4 差分与Newton前后插值公式 §5 Hermite插值 §6 分段低次插值 §7 三次样条插值 §8 曲线拟合的最小二乘法
《数值分析》 主讲教师
6
j j
i i
, i,
j
0,1,,
n
《数值分析》 主讲教师
14
若记 n1(x)(x x0)(x x1)(x xn)则
'n1(xi )(xi x0)(xi xi1)(xi xi1)(xi xn )
于是l
i(x)可改写为l
i(x)(
x
n1(x) xi )'n1(
x
i
)
从而Ln (x)可改写为表达式：
§1插值问题与插值多项式
设给定函数y f (x)在区间[a,b]上的一个列表 (xi , yi )(i 0,1, , n), 其中a x0 x1 xn b, 且f (x)在区间[a,b]上是连续的，要求用一个简单的、
便于计算的解析表达式(x)在区间[a,b]上近似f (x)， 使(xi ) yi ,i 0,1, , n
l1 ( x)
(x ( x1
x0 )( x x2 ) x0 )( x1 x2 )
l2 (x)
(x ( x2
x0 )( x x1) x0 )( x2 x1)
称为关于点 x0 , x1, x2的二次插值基函数，
它满足li
(x
j
)
1, 0,
j j
i i
,
i,
j
0,1,2
二次插值多项式可表示 为
的运行测量和计算中逐步得到发展.元代郭守敬的 平立定三差法(招差法)标志着中国古代历法计算从二次 到高次插值方法的演变.通过中外比较,有些成果比西方 国家早400～1 000年.
《数值分析》 主讲教师
3
è历史
等距节点内插公式是由我国隋朝数学家 刘焯(公元544-610年)首先提出的;
不等距节点内插公式是由我国唐朝数学 家张遂(公元683-727年)提出的;
Ln (x)
n i0
n1 ( x) (x xi )'n1 (xi )
f (xi )
并 有 以 下 关 于 插 值 多 项式 的
隐 含 唯 一 性 的 误 差 估 《数值分析》 主讲教师 计。
15
§2.3插值余项与误差估计
x0n x1n
为Vandermonde矩阵，A非奇异,
xnn
方程有唯一解。由Cramer法则可直接.但求解太烦且
运算量大。利用Cramer法则直接插值多项式,称为
代数插值方法.
《数值分析》 主讲教师
10
§2 Lagrange多项式插值
§2.1 线性插值与二次插值---导引 §2.2 Lagrange插值多项式 §2.3插值余项与误差估计
插值与最小二乘法（拟合）
《数值分析》 主讲教师
1
æ 问题的提出
设某个未知函数关系y=f(x)的一些测量值列表如 下:
x
1
1.5
2
3
y
2.3 3.4 -1.7 5.6
那么对 x x xi ,(i=0,1,2,...,n) 应该如何估值
f (x)?
《数值分析》 主讲教师
2
内插法肇始于<周髀算经>中关于晷长的计算,后经 东汉、隋、唐、元等朝代天文学家在日、月、五星
《数值分析》 主讲教师
11
§2.1 线性插值与二次插值
对两点(x0, f (x0 ))、(x1, f (x1))，通过此两点的插值多 项式是一条直线，即两 点式：
L1(x)
x x1 x0 x1
f x0
x x0 x1 x0
f x1
这里L1(x)就是线性插值，
若记l0(x)
x x1 x0 x1
用插值基函数方法可得 ：Ln (x) li (x) f (xi )
i0
其中li (x)
(x x0 )(x (xi x0 )(xi
xi1)(x xi1)(x xn ) xi1)(xi xi1)(xi xn )
称为关于x0, x1,, xn的n次插值基函数它满足：
li
(x
j
)
1, 0,
，
l1(x)
x x0 x1 x0
则称l0(x),l1(x)为x0与x1的线性插值基函数。
《数值分析》 主讲教师
12
§2.1 线性插值与二次插值
当n 2，给出三点(x0, f (x0 )),(x1, f (x1)),(x2, f (x2 ))
l0 (x)
(x ( x0
x1)( x x2 ) x1)( x0 x2 )
L2 (x) l0 (x) f (x0 ) l1(x) f (x1) l2 f (x2 )
《数值分析》 主讲教师
13
§2.2 Lagrange插值多项式
拉格朗日利用n 1个插值节点(xi , yi )来构造出插值多
项式Ln (x)，使Ln (xi ) f (xi ),i 0,1,, n
n
a0 a1x0 a2 x02 a0 a1x1 a2 x12
an x0n y0 an x1n y1
a0 a1xn a2 xn2 an xnn yn
《数值分析》 主讲教师
9
由线性方程组理论，未知数个数等于方程个数，
此时系数方阵为
1
A
1
x0 x1
x02 x12
1 xn xn2
就称(x)为f (x)的插值函数，点x0, , xn称为插值 节点，包含插值节点的区间[a, b]称为插值区间。
《数值分析》 主讲教师
ห้องสมุดไป่ตู้
7
多项式插值有着简单、应用广泛、 实用的特点，并且有较完备的理论体系。 因此本课主要介绍多项式插值。
《数值分析》 主讲教师
8
设y f (x)是x的实函数，过给定n 1个点(x0, y0 ), ，(xn, yn ) 试求多项式p(x)使得：p(xi ) yi ( f (xi )), (i 0,1, , n) 设p(x) a0 a1x a2x2 an xn 按p(x)满足的约束条件获得其系数a0, a1, , an应受的约束。
比西欧学者发表相应结果早一千余年.
《数值分析》 主讲教师
4
●问题的解决---插值方法概述
寻求较简单的连续函数 (x)，使它在给
定的n+1个点满足测量值，在其他点处估计 未知函数值。
若将连续函数 (x)取为多项式函数，则
称为多项式(Polynomial)插值Pn(x)；当然还 有三角插值、有理插值等形式。