新教材人教B版高中数学必修2精品教学课件：第五章 5.3.5 随机事件的独立性
新教材高中数学第五章统计与概率5.3.5随机事件的独立性课件新人教B版必修第二册
(1)两人都能破译的概率； (2)两人都不能破译的概率； (3)恰有一人能破译的概率． 【解】 设“甲能破译”为事件 A，“乙能破译”为事件 B，则 A，B 相互独立，从而 A 与－B 、－A 与 B、－A 与－B 均相互独立． (1)“两人都能破译”为事件 AB，则 P(AB)＝P(A)·P(B)＝13×14＝112.
(1)求相互独立事件发生的概率的步骤是 ①首先确定各事件之间是相互独立的； ②确定这些事件可以同时发生； ③求出每个事件的概率，再求乘积． (2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式 的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．
相互独立事件的应用
求：
甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为13和14.
第五章 统计与概率
5．3.5 随机事件的独立性
第五章 统计与概率
考点
学习目标
在具体情境中，了解两个事件相 独立性的概念
互独立的概念
能利用相互独立事件同时发生的
独立性的应用 概率公式解决一些简单的实际应
用问题
核心素养 数学抽象
数学抽象、 数学运算
问题导学 预习教材 P114－P116 的内容，思考以下问题： 1．事件 A 与 B 相互独立的概念是什么？ 2．如果事件 A 与 B 相互独立，则－A 与 B，－B 与 A，－A 与－B 也相 互独立吗？ 3．两事件互斥与两事件相互独立是一个意思吗？
解析：选 A.把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的， 其结果不受先后影响，故 A 是相互独立事件；B 中是不放回地 摸球，显然 A 事件与 B 事件不相互独立；对于 C，其结果具有 唯一性，A，B 应为互斥事件；D 中事件 B 受事件 A 的影响．
相互独立事件概率的求法
5.3.5随机事件的独立性高一下学期数学人教B版必修第二册课件
数学人教B版 必修第二册
(2)从一副牌(52 张)中任取一张，抽到老 K 就不可能抽到 J， 抽到 J 就不可能抽到老 K，故事件 C 与事件 A 不可能同时发生， A 与 C 互斥，又抽不到老 K 不一定抽到 J，故 A 与 C 并非对立事 件．
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题型二 相互独立事件及互斥事件的概率
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【解析】 (2)记“空气质量为轻度污染”为事件 B，由题意 知 P(B)＝130，则 P(－B )＝170，
记“三天中恰有一天空气质量轻度污染”为事件 C， 则 P(C)＝130×170×170＋170×130×170＋170×170×130＝0.441. 故三天中恰有一天空气质量为轻度污染的概率为 0.441.
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数学人教B版 必修第二册
【讲评】 事实上①组为对立事件，②组为互斥事件，③组 为独立事件，但不互斥，④组既不互斥也不独立．由此可知，独 立事件一定不互斥，互斥事件一定不独立．
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数学人教B版 必修第二册
探究 1 如何判定两事件相互独立： (1)由定义，若 P(AB)＝P(A)·P(B)，则 A，B 相互独立，即如 果 A，B 同时成立时的概率等于事件 A 的概率与事件 B 的概率的 积，那么可得出事件 A，B 为相互独立事件． (2)有些事件根本没有必要通过概率的计算就能判定其独立 性，如有放回的两次抽奖，掷 5 次同一枚硬币等等，由事件本身 的性质就能直接判定出是否相互影响，从而得出相互独立与否．
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【解析】 ①∵P(A)＝12，P(B)＝12，P(AB)＝0， ∴A 与 B 不独立． ②∵P(A)＝12，P(B)＝16，P(AB)＝0， ∴A 与 B 不独立． ③∵P(A)＝12，P(B)＝13，P(AB)＝16， ∴P(AB)＝P(A)·P(B)，∴A 与 B 独立． ④∵P(A)＝12，P(B)＝12，P(AB)＝16， ∴P(AB)≠P(A)·P(B)，∴A 与 B 不独立．
(原创)人B版(2019)数学-必修第二册-第五章+概率与统计-§3.5随机事件的独立性PPT
探究点2 独立事件的概率乘法公式
（1）若 A 与 B 相互独立， 则 P( AB) P( A)P(B) ，
同时 P( AB) P( A)P(B) ， P( AB) P( A)P(B) ， P( AB) P( A)P(B) ;
(2) 若 A1, A2,..., An 两两独立， 则 P( A1A2...An ) P( A1)P( A2 ) ... P( An ) .
(2)事件 A＝{2,4,6}，事件 B＝{3,6}，事件 AB＝{6}，基本事件空 间Ω＝{1,2,3,4,5,6}．所以 P(A)＝36＝12，P(B)＝26＝13，P(AB)＝16＝12×13， 即 P(AB)＝P(A)P(B)，因此，事件 A 与 B 相互独立．当“出现 6 点”时， 事件 A，B 同时发生，所以 A，B 不是互斥事件．选 B.
（1）三道题都猜对可以表示为 A1A2A3 ，又因为 A1, A2, A3 相互独立，因
此：
P( A1A2 A3)
P( A1 )P( A2 )P( A3 )
1 4
1 4
1 4
1 64
.
（2）“至少猜对一道题“的对立事件时“三道都猜错”，后者可以表
示为
A1
A2
A3
，所以：
P(
A1
A2
A3 )
P(
A1)P(
名三好学生，两班各派 1 名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好
学生的概率是( C )
A．254
B．152
C．214
D．38
解析 两班各自派出代表是相互独立事件，设事件 A，B 分别为甲班、
乙班派出的是三好学生，则事件 AB 为两班派出的都是三好学生，则
P(AB)＝P(A)P(B)＝396×366＝214.
5.随机事件的独立性-【新】人教B版高中数学必修第二册PPT全文课件
符号
记作：AB
生，记作：A∪B(或 A＋B)
计算 公式 P(AB)＝P(A)P(B)
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
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2．n 个事件相互独立 对于 n 个事件 A1，A2，…，An，如果其中_任一个事件 _________发生的概 率不受其他事件是否发生的影响，则称 n 个事件 A1，A2，…，An 相 互独立． 3．独立事件的概率公式 (1)若事件 A，B 相互独立，则 P(AB)＝P(A)P(B)． (2) 若 事 件 A1 ， A2 ， … ， An 相 互 独 立 ， 则 P(A1A2…An) ＝ P(A1)·P(A2)…P(An)．
(3)恰有两人合格的概率： P2＝P(AB C )＋P(A B C)＋P( A BC) ＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2630. 恰有一人合格的概率： P1＝1－P0－P2－P3＝1－110－2630－110＝2650＝152. 综合(1)(2)可知 P1 最大． 所以出现恰有一人合格的概率最大．
相互独立事件的判断 【例 1】 判断下列各对事件是否是相互独立事件． (1)甲组 3 名男生，2 名女生；乙组 2 名男生，3 名女生，现从甲、 乙两组中各选 1 名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出 1 名男生” 与“从乙组中选出 1 名女生”； (2)容器内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球，“从 8 个球中任 意取出 1 个，取出的是白球”与“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个， 取出的还是白球”； (3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现 3 点或 6 点”．
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新教材高中数学第五章统计与概率3.5随机事件的独立性课件新人教B版必修第二册课件
解析 设甲胜A为事件D,乙胜B为事件E,丙胜C为事件F,则 D, E , F 分别表示A胜 甲、B胜乙、C胜丙. 因为P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5, 所以由对峙事件的概率公式知P( D)=0.4,P( E )=0.5,P( F )=0.5. (1)红队中有且只有一名队员获胜的事件有D∩ E ∩ F , D∩E∩ F , D∩ E ∩F,以上 3个事件彼此互斥且相互独立. 所以红队中有且只有一名队员获胜的概率P1=P[(D∩ E ∩ F )∪( D∩E∩ F )∪( D ∩ E ∩F)]=P(D∩ E ∩ F )+P( D∩E∩ F )+P( D∩ E ∩F)=0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+ 0.4×0.5×0.5=0.35. (2)解法一:红队中至少有两名队员获胜的事件有D∩E∩F,D∩E∩ F ,D∩ E ∩F, D ∩E∩F,由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立, 因此红队中至少有两名队员获胜的概率P2=P(D∩E∩F)+P(D∩E∩ F )+P(D∩ E
=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]
=
1
1 5
×1
1 4
×1
1 3
=4×3×2=2.
5435
(3)“他们能够研制出疫苗”的对峙事件为“他们都失败”,结合对峙事件间的
概率关系可得所求事件的概率P=1-P( A∩ B∩C )=1- 2 = 3 .
55
方法总结 求相互独立事件同时产生的概率的步骤:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
出该疫苗,依题意可知,事件A,B,C相互独立,且P(A)= 1,P(B)= 1 ,P(C)= 1.
5
4
3
人教B版高中数学必修第二册5-3-5随机事件的独立性课件
必修第二册 人教B版
5.3.5 随机事件的独立性
知识 清单破
知识点 随机事件的独立性
1.事件相互独立的定义 一般地,当P(AB)=P(A)P(B)时,就称事件A与B相互独立(简称独立).事件A与B相互独立的
直观理解是,事件A是否发生不会影响事件B发生的概率,事件B是否发生也不会影响事件A发 生的概率. 2.事件相互独立的性质 (1)如果事件A与B相互独立,则 A与B,A与 B, A与 B也相互独立. (2)如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件都发生的概率等于每个事件发生的概率的 积,即P(A1∩A2∩…∩An)=P(A1)P(A2)…P(An).并且此式中任意多个事件Ai换成其对立事件 Ai后 等式仍成立.
知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.若任意两个事件A,B互斥,则P(A∩B)=P(A)P(B). ( ✕ ) 2.如果两个事件相互独立,那么这两个事件一定互斥.( ✕ ) 3.掷一枚质地均匀的硬币两次,记A=“既有正面向上,也有反面向上”,B=“最多有一次反面 向下”,则A,B相互独立. ( ✕ )
P(A∪B)
P(A)+P(B)
A,B都发生
AB
P(AB)
0
A,B都不发生
AB
P( A B)
1-[P(A)+P(B)]
A,B中只有一个 A B∪ AB 发生
P(A B∪ AB)
P(A)+P(B)
A,B中至多有一 A B∪ AB∪ A B P(A B∪ AB∪ A 1
个发生
B)
A,B相互独立 1-P( A)P( B)
(1)直接法:直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.
人教B版高中数学必修第二册-5.3.5-随机事件的独立性【课件】
5 ．3 概率 5．3．5 随机事件的独立性
1
PART ONE
15分钟对点练
知识点一 随机事件独立性的判定
1．袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用 A1 表
示第一次摸得黑球，A2 表示第二次摸得黑球，则 A1 与－A2是( )
A．相互独立事件
B．不相互独立事件
C．互斥事件
知识点三 相互独立事件概率的综合应用 5．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随 机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
P(C) ＝ P(A －B ＋ －A B) ＝ P(A －B ) ＋ P( －A B) ＝ P(A)P( －B ) ＋ P( －A )P(B) ＝ 0.96×0.05＋0.04×0.95＝0.086.
(3)由于事件 AB 与 C 互斥， 所以至少有一件是正品的概率为 P(D)＝P(AB＋C)＝P(AB)＋P(C)＝0.912＋0.086＝0.998.
2．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别
为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一
个一等品的概率为( )
A．12
B．152
C．14
D．16
解析 设事件 A：甲实习生加工的零件为一等品，事件 B：乙实习生
加工的零件为一等品，则 P(A)＝23，P(B)＝34，所以这两个零件中恰有一个
5.3.5随机事件的独立性课件数学人教B版必修第二册
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
金版点睛 1求相互独立事件同时发生的概率的步骤是 ①首先确定各事件之间是相互独立的； ②确定这些事件可以同时发生； ③求出每个事件的概率，再求积. 2使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条 件，即各个事件是相互独立的，而且它们可以同时发生.
随堂水平达标
课后课时精练
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)甲、乙两水文站同时进行水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确 率为 0.8 和 0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为__0_.5_6_．
(2)一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为 a，第二道 工序的次品率为 b，则该产品的正品率为__(1_－__a_)_(1_－__b_)___．
(3)已知 A，B 是相互独立事件，且 P(A)＝12，P(B)＝23，则 P(A－B )＝ ______16__；P(－A －B )＝____16____.
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
2
PART TWO
核心素养形成
题型一 事件独立性的判断 例 1 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令 A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对 下述两种情形，讨论 A 与 B 的独立性： (1)家庭中有两个小孩；
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
解 (2)记事件“三列火车没有一列正点到达”的概率为 P2，由题意得 A， B，C 之间相互独立，则
P2＝P(－A －B －C )＝P(－A )P(－B )P(－C )＝0.2×0.3×0.1＝0.006. 所以三列火车至少有一列正点到达的概率为 1－P2＝0.994.
新教材人教B版必修第二册 5.3.5 随机事件的独立性 课件(35张)
(3)甲组3名男生、2名女生，乙组2名男生、3名女生，现从甲、乙两 组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组 中选出1名女生”；
(4)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，从“8个球中任意取出1 个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白 球”．
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则 C＝A1A2A3 A 4∪ A 1A2A3A4，且 A1A2A3 A4 与 A 1A2A3A4 是互斥事件．
由于 A1，A2，A3，A4 之间相互独立，
所以 Ai 与 A j(i，j＝1,2,3,4，且 i≠j)之间也相互独立．
由于 P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝23，
故 P(C)＝P(A1A2A3 A 4∪ A 1A2A3A4)
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第五章 统计与概率
数学（必修·第二册 RJB）
[解析] (1)P(A)＝542＝113，P(B)＝2562＝12.事件 AB 即为“既抽得 K 又抽 得红牌”，亦即“抽得红桃 K 或方块 K”，故 P(AB)＝522＝216，因此事件 P(A)P(B)＝P(AB)，因此事件 A 与 B 相互独立．
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第五章 统计与概率
数学（必修·第二册 RJB）
对点训练
2．(1)甲、乙两人各用篮球投篮一次，若两人投中的概率都是 0.7，则
恰有一人投中的概率是
(A)
A．0.42
B．0.49
C．0.7
D．0.91
(2)已知 A、B 是相互独立事件，且 P(A)＝12，P(B)＝23，则 P(A B )＝ ___16___；P(－A －B )＝__16____．
数学（必修·第二册 RJB）
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第五章 统计与概率
5.3.5随机事件的独立性教学课件高中数学人教B版必修第二册
一个事件的产生与否对另一个
事件产生的概率没有影响
两个事件不可能同时产生，即 = ∅
概率公式
若事件A与事件B相互独立，则
若事件A与事件B互斥，则( ∪ ) =
() + ()，此时() = 0
P(AB)= ()()
02
探索新知
(2)已知事件A，B产生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论：
题型突破
例1. (2)甲、乙两名射手同时向一目标射击,设事件A:“甲击中目标”,事件B:“乙击中目标”,则事件A
与事件B(
)
A.相互独立但不互斥
B.互斥但不相互独立
C.相互独立且互斥
D.既不相互独立也不互斥
解析：向同一目标射击,甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的,所以事件A与B相互独立;向同一目
标射击,甲、乙两射手可能同时击中目标,也就是说事件A与B可能同时产生,所以事件A与B不是互斥事
1
4
每道题他猜对的概率均为 .
（1）求该同学三道题都猜对的概率；
（2）求该同学至少猜对一道题的概率．
解：“至少猜对一道题“的对峙事件时“三道都猜错”，后者可以表示为1 2 3 ，所以
3 3 27
(1 2 3 ) = (1 )(2 )(3 ) = (1 − ) =
4
64
因此所求概率为1 − (1 2 3 ) = 1 −
中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天．记事件A：甲选的是第一天，B：乙选
的是第一天．
问题1：如果用（i，j）表示甲选的是第i天，乙选的是第j天，请写出样本空间；
如果用（i，j）表示甲选的是第i天，乙选的是第j天，则样本空间可以记为：
Ω＝{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2）}
5.3.5 随机事件的独立性(课件)高一数学(人教B版2019必修第二册)
教材例题
【典例 2】已知甲运动员的投篮命中率为 0.7, 乙运动员的投篮命中率为 0.8. （1）若甲、乙各投篮一次，则都命中的概率为多少? （2）若甲投篮两次，则恰好投中一次的概率为多少?
【解析】(1)记事件 :甲投中, :乙投中,因为 与 相互独立,所以 即都命中的概率为 0.56.
教材例题
课堂练习
【解析】A 中，M，N 是互斥事件，不相互独立；B 中，M，N 不是相互独立 事件；C 中，P(M)＝12，P(N)＝12，P(MN)＝14，P(MN)＝P(M)P(N)，因此 M， N 是相互独立事件；D 中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此 M，N 是相互独立事件.故选 CD.
课堂练习
一般地,当
时,就称事件 与 相互独立(简称独立).事件 与
相互独立的直观理解是, 事件 是否发生不会影响事件 发生的概率,事件 是
否发生也不会影响事件 发生的概率.
可以证明,如果事件 与 相互独立,则 与 与 与 也相互独立.
新知探索 知识点一：随机事件的独立性
相互独立事件的定义和性质： 定义：一般地，当 P(AB)＝P(A)P(B)时，就称事件 A 与 B 相互独立(简称独立). 性质：如果事件 A 与 B 相互独立，则与 B，A 与，与也相互独立. n 个事件相互独立： “A1，A2，…，An 相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的 概率都等于它们各自发生的概率之积”.
【解析】(1)三道题都猜对可以表示为
, 又因为
相互独立,因此
教材例题
(2)“至少猜对一道题”的对立事件是 “三道都猜错”,后者可以表示为
,
所以
因此所求概率为
课堂练习
【训练 1】一袋中装有 5 只白球，3 只黄球，在有放回地摸球中，用 A1 表示第 一次摸得白球，A2 表示第二次摸得白球，则事件 A1 与 是( ) A.相互独立事件 B.不相互独立事件 C.互斥事件 D.对立事件
新教材2020人教B版数学必修第二册教师用书：第5章 5.3.5 随机事件的独立性
5.3.5 随机事件的独立性1．相互独立事件的定义和性质(1)定义：设A，B为两个事件，一般地，当P(AB)＝P(A)P(B)时，就称事件A与事件B相互独立．(简称独立)(2)性质：如果A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．思考：互斥事件与相互独立事件的区别是什么？[提示]对于n个事件A1，A2，…，A n，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，A n相互独立．3．独立事件的概率公式(1)若事件A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )；(2)若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)×P (A 2)×…×P (A n )．1．设A 与B 是相互独立事件，下列命题中正确的有( )①A 与B 对立；②A 与B 相互独立；③A 与B 互斥；④A －与B 相互独立；⑤P (AB )＝P (A )·P (B )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．5个C [由相互独立事件的性质及概率公式可知②④⑤正确．]2．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解对的概率为P 1，乙解对的概率为P 2，那么至少有1人解对的概率是( )A ．P 1＋P 2B ．P 1·P 2C ．1－P 1P 2D ．1－(1－P 1)(1－P 2)D [设甲解对为事件A ，乙解对为事件B ，则P (A )＝P 1，P (B )＝P 2.则P ＝1－P (A －·B )＝1－(1－P 1)(1－P 2)．]3．一个学生通过一种英语能力测试的概率是12，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是( )A.14B.13C.12D.34C [由题意知，恰有一次通过的概率为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝12.] 4．在某道路A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．35192[由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为512，712，34.在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为P＝512×712×34＝35192.]【例1】(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．[思路探究]由题目可获取以下主要信息：(1)给出各对事件共三组；(2)要求判断各对事件是不是相互独立事件．解答本题可先看两个事件中的一个事件发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响，再判断两个事件是否相互独立．[解](1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB ＝{6}，所以P(A)＝36＝12，P(B)＝26＝13，P(AB)＝16.所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立．判断事件是否相互独立的方法(1)定义法：事件A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)·P(B).(2)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.1．(1)下列事件中，A，B是相互独立事件的是()A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”D．A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁”(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B()A．相互独立但不互斥B．互斥但不相互独立C．相互独立且互斥D．既不相互独立也不互斥(1)A(2)A[(1)把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；对于D，事件B受事件A的影响．故选A.(2)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A 与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A 与B 可能同时发生，所以事件A 与B 不是互斥事件．故选A.]【例全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85.求：(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？[思路探究] 先明确已知事件间的关系，再把所求事件的概率表示成已知事件的概率，最后选择公式计算．[解] 分别记该生语文、数学、英语考试成绩排名全班第一的事件为A ，B ，C ，则A ，B ，C 两两相互独立，且P (A )＝0.9，P (B )＝0.8，P (C )＝0.85.(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用A － B C －表示，P (A － B C －)＝P (A －)P (B )P (C )＝[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003，即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(A －BC )∪(A B C )∪(AB C )表示．由于事件A －BC ，A B C 和AB C 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的概率公式，所求的概率为P (A －BC )＋P (A B C )＋P (AB C )＝P (A －)P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (B )＝[1－P (A )]P (B )P (C )＋P (A )[1－P (B )]P (C )＋P (A )P (B )[1－P (C )]＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329，即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤(1)首先确定各事件是相互独立的；(2)再确定各事件会同时发生；(3)先求每个事件发生的概率，再求其积．2．公式P(AB)＝P(A)P(B)可推广到一般情形，即如果事件A1，A2，…，A n 相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)．2．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，则求：(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大．[解]记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝25，P(B)＝34，P(C)＝13.设恰有k人合格的概率为P k(k＝0,1,2,3)．(1)三人都合格的概率：P3＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝25×34×13＝110.(2)三人都不合格的概率：P0＝P(A B C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝35×14×23＝110.(3)恰有两人合格的概率：P2＝P(AB C)＋P(A B C)＋P(A BC)＝2 5×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360.恰有一人合格的概率：P1＝1－P0－P2－P3＝1－110－2360－110＝2560＝512.综合(1)(2)可知P1最大．所以出现恰有一人合格的概率最大．[1．甲、乙二人各进行一次射击比赛，记A＝“甲击中目标”，B＝“乙击中目标”，试问事件A与B是相互独立事件，还是互斥事件？事件A B与A B呢？[提示]事件A与B，A与B，A与B均是相互独立事件，而A B与A B是互斥事件．2．在探究1中，若甲、乙二人击中目标的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人击中目标的概率？[提示]“甲、乙二人恰有1人击中目标”记为事件C，则C＝A B＋A B.所以P(C)＝P(A B＋A B)＝P(A B)＋P(A B)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＝(1－0.6)×0.6＋0.6×(1－0.6)＝0.48.【例3】在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．[思路探究]该线路是并联电路，当且仅当三个开关都不闭合时，线路才不通，故本题可采用对立事件求解．[解]分别记这段时间内开关J A，J B，J C能够闭合为事件A，B，C.由题意知这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响．根据相互独立事件概率的乘法公式，得这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P(A B C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027.所以在这段时间内线路正常工作的概率是1－P(A B C)＝1－0.027＝0.973.概率问题中的数学思想(1)正难则反.灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P(A)＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法.(2)化繁为简.将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系.“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为相互独立事件).(3)方程思想.利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解.3．设事件A 与B 相互独立，两个事件中只有A 发生的概率和只有B 发生的概率都是14，求事件A 和事件B 同时发生的概率．[解] 在相互独立事件A 和B 中，只有A 发生即事件A B 发生，只有B 发生即事件A B 发生．∵A 和B 相互独立，∴A 与B ，A 和B 也相互独立．∴P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝14， ①P (A B )＝P (A )·P (B )＝[1－P (A )]·P (B )＝14. ②①－②得P (A )＝P (B )．③联立①③可解得P (A )＝P (B )＝12.∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝12×12＝14.(教师独具)1．本节课的重点是相互独立事件概率的求法，难点是互斥事件与相互独立事件的区分．2．学习本节课，需要掌握的规律与方法(1)能够判断两个事件是互斥事件还是相互独立事件．(2)应用相互独立事件的公式正确求出概率．3．本节课的易错点是不能正确区分相互独立事件与互斥事件而致误．1．思考辨析(1)若事件A ，B 相互独立，则P (A － B －)＝P (A )P (B )．( )(2)若事件A 与B 相互独立，则B 与B 相互独立．( )[答案] (1)√ (2)×2．坛中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则A 1与A 2是( )A ．相互独立事件B ．不相互独立事件C ．互斥事件D ．对立事件A [由概率的相关概念得A 1与A 2是互不影响的两个事件，故是相互独立的事件．]3．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同．其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取一个球，则取出的两球都是红球的概率为________．(答案用分数表示)19 [从甲袋中取出一个红球的概率为46＝23，从乙袋中取出一个红球的概率为16，故取出的两个球都是红球的概率为23×16＝19.]4．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14.假设他们破译密码是彼此独立的，试求此密码被破译的概率．[解] 用A ，B ，C 分别表示三人破译出密码，则P (A )＝15，P (B )＝13，P (C )＝14.且P (A －B －C －)＝P (A －)P (B －)P (C －)＝45×23×34＝25，所以此密码被破译的概率为1－25＝35.。
新教材人教B版高中数学必修2精品教学课件：第五章 样本空间与事件 事件之间的关系与运算
7. 事件的混合运算
事件的三种运算：求两个事件的和，求两个事件的积，求一个事件的对立事件.因 为事件运算的结果仍是事件，因此可以进行事件的混合运算
例如（ AB ）+（ AB ），这表示的是 AB 与 A B的和，实际意义是：A发生且B不发生， 或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生.
常考题型
题型一 样本点和样本空间
例1题将一颗骰子先后抛掷两次，求（1）一共有几个样本点；
（2）“出现点数之和大于7”包含几个样本点.
【解】（方法一 .列举法）（1）用（x，y）表示结果，其中x表示第1次骰子出现的点数，
y表示第2次骰子出现的点数，则试验的所有结果即样本空间为
Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，
2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，
4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，
6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，
2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，共36个样本点.
事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此 （ AB ）+（ A B）可简写为 AB + A B.
一般地，对于任意两个事件A，B，都有 P（A+B）＝P（A）+P（B）-P（AB）， 特别地，当事件A，B为互斥事件时，AB＝Φ，P（AB）＝0，此时 P（A+B）＝P（A）+P（B）.
（2）“出现点数之和大于7”包含以下15个样本点 （2，6），（3，5），（3，6），（4，4）， （4，5），（4，6），（5，3），（5，4）， （5，5），（5，6），（6，2），（6，3）， （6，4），（6，5），（6，6）. （方法二.用表格列表法）： 如图5-3-1所示，坐标平面内的数表示 相应两次抛掷后出现的点数的和，样本点 与所描点一一对应. （1）由图知，样本点总数为36. （2）“出现点数之和大于7”包含15个样本点（已用虚线圈出）.
2020-2021数学人教B版必修第二册教学课件：5.3.5随机事件的独立性1
一、 情景导入 二、 随机事件的独立性 三、当堂检测 四、 小结作业
五一劳动节学校放假三天, 甲乙两名同学都打算去 敬老院做志愿者, 甲同学准备在三天中随机选一天, 乙同 学准备在前两天中随机选一天. 记事件A：甲选的是第一 天，B：乙选的是第一天.
(1) 直觉上，你觉得A事件是否发生会影响B事件发 生的概率吗？ (2)求出P(A)，P(B)，P(AB)的值，观察这三个值之 间的关系？
小结：两个互斥事件不可能同时发生，但相互独立的两个事件
是可以同时发生的，相互独立事件和互斥事件之间没有联系．
(1) 若P(AB)=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立. ( √ ) (2) P(AB)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)=P(A)P(B). ( × ) (3) 若事件A，B相互独立，则 P(AB ) P(A)P(B ). ( √ )
解：令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制 出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且
P(A) 1 , P(B) 1 , P(C) 1
5
4
3
（1） 他们都研制出疫苗，即事件 ABC发生，故
P(ABC) P(A)P(B)P(C) 1 1 1 1 5 4 3 60
111 1 P( A1 A2 A3 ) P( A1)P( A2 )P( A3 ) 4 4 4 64
(2) “至少猜对一道题”的对立事件是“三道都猜错”，后者可以表示为A1 A2 A3 ， 所以
P( A1 A2 A3 )
P( A1)P( A2 )P( A3 )
(1
1)3 4
27 64
因此所求概率为
P( A1 A2 A1 A2 ) P( A1 A2 )P( A1 A2 ) P( A1)P( A2 ) P( A1)P( A2 ) P( A1)[1 P( A2 )] [1 P( A1 )]P( A2 ) 0.7 (1 0.7) (1 0.7) 0.7 0.42
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【解析】设甲中靶为事件A，则P（A）＝ 8 ＝ 4 ，设乙中靶为事件B，则P（B）＝ 7 .
10 5
10
甲、 乙两人同时射击，他们相互没有影响，所以事件A，B为相互独立事件，则他们
同时中靶为事件AB.则P（AB）＝P（A）·P（B）＝ 4 × 7 ＝ 14 . 5 10 25
【答案】 A
【归纳总结】在运用概率乘法公式解决概率问题时，注意对事件的正确分析，弄清 楚哪些相互独立事件同时发生.若事件本身比较复杂，还要进行合理拆分，将其分解 为几个互斥事件的和事件；
62
63
6
所以P（AB）＝P（A）·P（B），所以事件A与B相互独立.
【归纳总结】 判断两个事件相互独立的步骤
（1）写出样本空间Ω以及A，B；
（2）利用古典概型计算P（A），P（B）；
（3）写出AB，并计算P（AB）；
（4）若P（AB）＝P（A）P（B），则A与B相互独立，否则A与B不相互独立.
训练题1. ［2019·湖北武汉华中师大第一附中高二期中］分别抛掷2枚质地均 匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，“2枚 结果相同”为事件C，有下列三个命题： ①事件A与事件B相互独立；②事件B与事件C相互独立； ③事件C与事件A相互独立. 以上命题中，正确的个数是 （ ） A.0 B.1 C.2 D.3
n个独立事件和的概率公式：设事件A1，A2，…，An相互独立，则 （1）“A1，A2，…，An至少有一个发生”的概率为：
P（A1+A2+…+An）＝1- P( A1)P( A2 )L P( An ) . （2）“A1，A2，…，An至少有一个不发生”的概率为：
P（ A1 A2 L An ）＝1- P( A1)P( A2 )L P( An )
知识梳理
1.相互独立事件与互斥事件
一般地，当P（AB）＝P（A）P（B）时，就称事件A与B相互独立（简称独 立）.事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概 率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率.
相互独立事件是针对两个事件而言的.对于事件A，B，如果A与B的积事件， 即A与B同时发生的概率等于事件A与事件B的概率的乘积，那么它们就是相互独 立事件.即：如果P（AB）＝P（A）P（B），那么A与B相互独立.
【解题提示】 （1）利用相互独立概念的直观解释进行判断. （2）计算概率判断两事件是否相互独立. （3）利用事件的独立性定义判断.
【解】（1）“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选 出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件.
（2）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率是 5 ，若这一事件 8
4.常见相关事件的概率求法：若A，B相互独立，则
相关事件
概率求法
A，B同时发生
P（AB）＝P（A）P（B）
A，B都不发生
P（A）B ＝［1-P（A）］·［1-P（B）］
A，B恰有一个发生
P［（AB）+（ ）AB］＝P（A）·［1-P（B）］+ ［1-P（A）］·P（B）
A，B至少有一个发生
P［（AB）+（AB）+（A）B ］＝1-P（ A）B
发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”的概率是 4 ； 7
若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为 5 .可见，前一事件是否发
7
生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件. （3）记事件A：出现偶数点，事件B：出现3点或6点，则A＝{2，4，6}，B＝
{3，6}，AB＝{6}，所以P（A）＝ 3 ＝ 1 ，P（B）＝ 2 ＝ 1 ，P（AB）＝ 1 .
（3）相互独立事件的性质法：若A，B相互独立，则 A 与B，A与 B ， A 与 B 也相互独立.
如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概 率的积，即P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An），并且上式中任意多个事件Ai换成 其对立事件后等式仍成立，如P（A1 A2 … An1 An）＝P（A1）P（ A2 ）…P（ An1 ）P（An）.
＝1-［1-P（A）］·［1-P（B）］
A，B至少有一个不发生 P［（A B）+（A）B +（ ）AB］＝1-P（AB）＝1-P（A）P（B）
常考题型
题型一 相互独立事件的判断
【例1】判断下列各对事件是否为相互独立事件. （1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙 两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从 乙组中选出1名女生”； （2）容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1 个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是 白球”； （3）掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”.
训练题2. （1）［2019·吉林延边一中高二月检］袋中装有红、黄、蓝3种颜色的球各1个，从中
如果A与B相互独立，则必有P（AB）＝P（A）P（B）.
2. 相互独立事件的性质
若事件 A 与 B 相互独立，则 A 与 B，A 与 B ， A 与 B 也是相互独立的.
两个事件是否相互独立的判断方法： （1）直观分析法：由事件本身的性质直观分析两个事件的发生是否相互影响； （2）定义法：若P（AB）＝P（A）P（B），则A与B相互独立；
题型二 相互独立事件的概率计算
例2.［2019·四川雅安中学高二检测］打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每 打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是 （ ）
A. 14
B. 12
C. 3
D. 3
25
25
4
5
【解题提示】先判断两个事件是否独立，再根据独立事件同时发生的概率公式进行计算.
第五章 统计与ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ率
5.3 概 率 5.3.5 随机事件的独立性
学习目标
1. 理解事件相互独立的概念，会判断两个事件是否相互独立. 2.掌握相互独立事件的积的概率公式. 3.能综合利用相互独立事件的积的概率解决实际问题.
重点：事件相互独立的概念，相互独立事件的积的概率公式. 难点：相互独立事件的积的概率公式的应用.