新教材人教B版高中数学必修2精品教学课件：第五章 5.3.5 随机事件的独立性

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所以P（AB）＝P（A）·P（B），所以事件A与B相互独立.
【归纳总结】 判断两个事件相互独立的步骤
（1）写出样本空间Ω以及A，B；
（2）利用古典概型计算P（A），P（B）；
（3）写出AB，并计算P（AB）；
（4）若P（AB）＝P（A）P（B），则A与B相互独立，否则A与B不相互独立.
训练题1. ［2019·湖北武汉华中师大第一附中高二期中］分别抛掷2枚质地均 匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，“2枚 结果相同”为事件C，有下列三个命题： ①事件A与事件B相互独立；②事件B与事件C相互独立； ③事件C与事件A相互独立. 以上命题中，正确的个数是 （ ） A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】设甲中靶为事件A，则P（A）＝ 8 ＝ 4 ，设乙中靶为事件B，则P（B）＝ 7 .
10 5
10
甲、 乙两人同时射击，他们相互没有影响，所以事件A，B为相互独立事件，则他们
同时中靶为事件AB.则P（AB）＝P（A）·P（B）＝ 4 × 7 ＝ 14 . 5 10 25
【答案】 A
【归纳总结】在运用概率乘法公式解决概率问题时，注意对事件的正确分析，弄清 楚哪些相互独立事件同时发生.若事件本身比较复杂，还要进行合理拆分，将其分解 为几个互斥事件的和事件；
＝1-［1-P（A）］·［1-P（B）］
A，B至少有一个不发生 P［（A B）+（A）B +（ ）AB］＝1-P（AB）＝1-P（A）P（B）
常考题型
题型一 相互独立事件的判断
【例1】判断下列各对事件是否为相互独立事件. （1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙 两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从 乙组中选出1名女生”； （2）容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1 个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是 白球”； （3）掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”.
如果A与B相互独立，则必有P（AB）＝P（A）P（B）.
2. 相互独立事件的性质
若事件 A 与 B 相互独立，则 A 与 B，A 与 B ， A 与 B 也是相互独立的.
两个事件是否相互独立的判断方法： （1）直观分析法：由事件本身的性质直观分析两个事件的发生是否相互影响； （2）定义法：若P（AB）＝P（A）P（B），则A与B相互独立；
n个独立事件和的概率公式：设事件A1，A2，…，An相互独立，则 （1）“A1，A2，…，An至少有一个发生”的概率为：
P（A1+A2+…+An）＝1- P( A1)P( A2 )L P( An ) . （2）“A1，A2，…，An至少有一个不发生”的概率为：
P（ A1 A2 L An ）＝1- P( A1)P( A2 )L P( An )
【解题提示】 （1）利用相互独立概念的直观解释进行判断. （2）计算概率判断两事件是否相互独立. （3）利用事件的独立性定义判断.
【解】（1）“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选 出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件.
（2）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率是 5 ，若这一事件 8
第五章 统计与概率
5.3 概 率 5.3.5 随机事件的独立性
学习目标
1. 理解事件相互独立的概念，会判断两个事件是否相互独立. 2.掌握相互独立事件的积的概率公式. 3.能综合利用相互独立事件的积的概率解决实际问题.
重点：事件相互独立的概念，相互独立事件的积的概率公式. 难点：相互独立事件的积的概率公式的应用.
（3）相互独立事件的性质法：若A，B相互独立，则 A 与B，A与 B ， A 与 B 也相互独立.
如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概 率的积，即P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An），并且上式中任意多个事件Ai换成 其对立事件后等式仍成立，如P（A1 A2 … An1 An）＝P（A1）P（ A2 ）…P（ An1 ）P（An）.
题型二 相互独立事件的概率计算
例2.［2019·四川雅安中学高二检测］打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每 打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是 （ ）
A. 14
B. 12
C. 3
D. 3
25
25
4
5
【解题提示】先判断两个事件是否独立，再根据独立事件同时发生的概率公式进行计算.
4.常见相关事件的概率求法：若A，B相互独立，则
相ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ事件
概率求法
A，B同时发生
P（AB）＝P（A）P（B）
A，B都不发生
P（A）B ＝［1-P（A）］·［1-P（B）］
A，B恰有一个发生
P［（AB）+（ ）AB］＝P（A）·［1-P（B）］+ ［1-P（A）］·P（B）
A，B至少有一个发生
P［（AB）+（AB）+（A）B ］＝1-P（ A）B
发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”的概率是 4 ； 7
若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为 5 .可见，前一事件是否发
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生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件. （3）记事件A：出现偶数点，事件B：出现3点或6点，则A＝{2，4，6}，B＝
{3，6}，AB＝{6}，所以P（A）＝ 3 ＝ 1 ，P（B）＝ 2 ＝ 1 ，P（AB）＝ 1 .
训练题2. （1）［2019·吉林延边一中高二月检］袋中装有红、黄、蓝3种颜色的球各1个，从中
知识梳理
1.相互独立事件与互斥事件
一般地，当P（AB）＝P（A）P（B）时，就称事件A与B相互独立（简称独 立）.事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概 率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率.
相互独立事件是针对两个事件而言的.对于事件A，B，如果A与B的积事件， 即A与B同时发生的概率等于事件A与事件B的概率的乘积，那么它们就是相互独 立事件.即：如果P（AB）＝P（A）P（B），那么A与B相互独立.