苏教版数学高二-苏教数学选修2-2 函数的和、差、积、商的导数

1．2.2 函数的和、差、积、商的导数

一、基础过关

1．下列结论不正确的是________．(填序号)

①若y ＝3，则y ′＝0；

②若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3；

③若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x

＋1； ④若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x .

2．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )＝__________.

3．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________.

4．设曲线y ＝x ＋1x －1

在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 5．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f ′(－1)＝0，则a ＝________.

6．若某物体做s ＝(1－t )2的直线运动，则其在t ＝1.2 s 时的瞬时速度为________．

7．求下列函数的导数：

(1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)；

(2)y ＝(x －2)2；

(3)y ＝x －sin x 2cos x 2

. 二、能力提升

8．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝

f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．

9．曲线y ＝x (x －1)(x －2)…(x －6)在原点处的切线方程为__________．

10．若函数f (x )＝13

x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________. 11．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的表达式．

12．设函数f (x )＝ax －b x

，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；

(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．

三、探究与拓展

13．已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1和C 2都相切，求直线l 的方

程．

答案

1．④

2．3x 2＋3x ·ln 3

3．－2

4．－2

5.12

6．0.4 m/s

7．解 (1)方法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′

＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)

＝18x 2－4x ＋9.

方法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)

＝6x 3－2x 2＋9x －3，

∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′

＝18x 2－4x ＋9.

(2)∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4，

∴y ′＝x ′－(4x )′＋4′＝1－4·12x －12＝1－2x －12

. (3)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12

sin x ， ∴y ′＝x ′－(12sin x )′＝1－12

cos x . 8．4

9．y ＝720x

10．6

11．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .

又已知f ′(x )＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋c .

又方程f (x )＝0有两个相等实根，∴判别式Δ＝4－4c ＝0，

即c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1.

12．(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74

x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12

，① 又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝74

，② 由①，②得⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74

.解之得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝1

b ＝3. 故f (x )＝x －3x .

(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为

y －y 0＝(1＋3x 20

)(x －x 0)， 即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20

)(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0

)． 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．

所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x 0

||2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.

13．解 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．

对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为

y －x 21＝2x 1(x －x 1)，

即y ＝2x 1x －x 21.①

对于C 2：y ′＝－2(x －2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为

y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，

即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.②

因为两切线重合，

所以由①②，得⎩

⎪⎨⎪⎧ 2x 1＝－2(x 2－2)，－x 21＝x 22－4 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，x 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧

x 1＝2，x 2＝0.

所以直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.