鸽巢原理
鸽巢原理
给下列每个格子涂上红色或者蓝色，观察每一列，你有什么发现，至少有几列的 涂法是相同的？
每列的涂法共有8中，把这巢原理（一）可知，至少有两列涂法相同。 9÷8=1......1 1+1=2 答：至少有两列的涂法相同。
鸽巢原理
鸽巢原理（一）
鸽巢原理（一）
鸽巢原理（一）
鸽巢原理（一）也叫抽屉原理：把（n+1）个物体放在n个 鸟巢中，一定有一个鸽巢中至少放进了2两个物体。
1.把5个苹果放进4个篮子里，不管怎么放，总有一个篮子至少放进（）苹果。
鸽巢原理（二）
• 把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。
解决问题
盒子里有同样大小的红球和篮球各4个，要想摸出的球一定有2个同色， 至少要摸出几个球？
分析：把红色和蓝色视为2个鸽巢，摸出的球数视为分放的物体，有鸽巢原理（一）可知道， 分放的物体比鸽巢多1，才能符合要求。 2+1=3 答：至少摸出3个球才可以一定有两个同色的。
解决问题
有红色，黄色，蓝色，黑色、的小球各6个，装在一个不透明的 袋子里，为了保证摸出的小球有3个颜色相同，至少摸出几个？
图书馆里有甲、乙、丙、丁、四类图书，规定每名同学最少借一 本书，最多可以借2本，至少有多少名同学借书，才能保证有两 人所借的图书类别相同？
分析：借书情况有甲、乙、丙、丁、甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁等共 10种情况，把这10种情况视为鸽巢，借书人数视为分发的物体，由鸽巢原理 （一）可知，
鸽巢原理的应用示范
鸽巢原理的应用示范什么是鸽巢原理？鸽巢原理是一种计算机科学中的概念，也被称为抽屉原理或鸽笼原理。
它是指当把多个物体放在有限数量的容器中时，如果物体的数量超过容器的数量，那么至少会有一个容器中会放入多个物体。
这个原理可以在很多领域中找到应用，特别是在计算机科学和信息技术中。
在计算机科学中，鸽巢原理通常用来解决问题的正确性、算法的复杂性以及数据结构的设计等方面的问题。
鸽巢原理告诉我们，当解决某个问题时，如果问题的实例数量超过了可用解空间的数量，那么必然会出现解决方案中的某个元素会在不同的实例中重复出现的情况。
鸽巢原理的应用示范下面将通过几个示例来展示鸽巢原理的实际应用：示例一：生日悖论生日悖论是鸽巢原理的一个经典应用示例。
假设有一个房间里有23个人，那么至少有两个人的生日会在同一天。
这是因为每个人的生日有365种可能，但总共只有23个人，所以在这个例子中，存在更多的生日可能性(365^23)而要插入的位置只有365个，必然会有两个人拥有相同的生日。
示例二：散列算法散列算法是计算机科学中经常用到的一种技术，它通常用于将大量的输入数据转化为一个固定长度(通常是一个较短的字符串或数字)的输出。
在实际应用中，散列算法常常用于快速查找和比较大量数据。
然而，由于鸽巢原理，不同的输入数据可能会产生相同的散列值。
这称为散列碰撞。
虽然发生碰撞的概率非常低，但由于输入数据的数量远远超过散列算法生成的散列值的数量，必定会有一些数据会具有相同的散列值。
示例三：互联网地址分配在互联网的设计中，鸽巢原理也有很大的应用。
互联网的 IP 地址是分配给全球范围内的设备使用的。
采用 IPv4 地址系统时，IP 地址是由32位数字组成的，共有2^32个不同的可能性。
然而，由于全球范围内的设备数量已经远远超过了2^32个，IPv4 地址系统已经无法满足需求。
因此，采用了新的 IPv6 地址系统，它使用128位数字来表示 IP 地址，提供了2^128个不同的可能性。
鸽巢原理及其应用
2. 如果8个点有一个点在圆心，可将圆分成6个相等的扇形，如图， A2 由于圆上相邻两点Ai,Aj间的弦长恰好为圆的半径，所以 A 1 取扇形OA1A2不包含OA2,扇形OA2A3不包含OA3,…,
A3 o A6 A4
扇形OA6A1不包含OA1, 由鸽巢原理，余下的7个点
至少有两个在在同一个扇形内，则这两点之间的距
路易· 波萨是匈牙利数学家, 在他11岁时匈牙利大数学家厄杜斯给他出
了个问题:
“如果你手头上有n+1个整数，这些整数是小于或等于2n的，那么你一 定会有一对数是互素的。你知道这是什么原因吗？” 波萨仅思考了半分钟就巧妙地回答了这个问题。
3.2 利用划分图形构造“鸽巢”
例1 边长为1的正方形中，任意放入9个点，求证这9个点中任 取3个点组成的三角形中，至少有一个的面积不超过
这个问题的一般提法 任意给定n+2个整数，它们之中必有2 个数，其和或差是2n的倍数。
类似这样的例子也有不少。
1.任取n+1个正整数，求证在这n+1 个数中必有两个数它们之差被n整除.
,a , a ,证明必存在正整数 k , （ l0 kl 2 0 1 1 ) , 2.任意给出2011个正整数 a 1 2 2 0 1 1
2011.11.22
主要内容
引言 2. 鸽巢原理 3.鸽巢的构造及其应用 4.鸽巢原理在国内外数学竞赛中的应用 5.鸽巢原理的推广——Ramsey定理(介绍）
1.
1. 引言
鸽巢原理为组合学中的一个重要原理。鸽巢原理 最早是由19世纪的德国数学家迪里赫莱（Dirichlet）运 用于解决数学问题而提出来的，所以又称为“迪里赫莱 原理”，也有称“抽屉原理”的。应用它可以解决许多 有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。它常 被用来证明一些存在性的数学问题，并且在数论和密码 学中也有着广泛的应用。对于一些比较特殊的问题，若 用一般的数学方法去研究，很复杂或根本解决不了，但 用鸽巢原理往往能起到事半功倍的效果，所以鸽巢原理 也是国际国内数学竞赛中的重要内容，在数学竞赛中具 有很大的应用意义。
3.2 鸽巢原理
例.在100个人中至少有 ������������������/������������ =9个人生在同一个月。
3.2.2
广义鸽巢原理
例.如果有5个可能的成绩A、B、C、D、F，那么在一 个班里至少要多少个学生才能保证至少6个学生得到
有150个正整数都小于149，根据鸽巢原理至少有2个整数相等。
由于所有的������������ 不相等，所有的������������ +24 也不相等，所以对某个i>j, 有������������ =������������ +24,∴在第j+1到第i小时之间恰有24场比赛。
服务器
������������ ������������ … ������������������
10条线
������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ 每台连 接到所有10个服务器
������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ 每台连接到所有10个服务器 如果������������ —������������������ 中有1台不在组里，那么必定有 ������������������ — ������������������ 中的1台在组里，所以������������������ — ������������������ 的每台都连接 到10台服务器，才可满足题意。 证明至少60条连线：假设连线少于60，则某服务器至多连接
六年级下数学广角-鸽巢问题知识点
第五单元：数学广角－鸽巢问题【知识点一】“鸽巢原理”（一）“鸽巢原理”（一）：把ｍ个物体任意分放进ｎ个鸽巢中（ｍ和ｎ是非０自然数，且ｍ＞ｎ），那么一定有一个鸽巢中至少放进了２个物体。
【知识点二】“鸽巢原理”（二）“鸽巢原理”（二）：把多于ｋｎ个物体任意分进ｎ个鸽巢中（ｋ和ｎ是非０自然数），那么一定有一个鸽巢中至少放进了（ｋ＋１）个物体。
【知识点三】应用“鸽巢原理”解决简单的实际问题应用“鸽巢原理”解题的一般步骤（１）分析题意，把实际问题转化成“鸽巢问题”，即弄清楚“鸽巢”（“鸽巢”是什么，有几个鸽巢）和分放的物体。
（２）设计“鸽巢”的具体形式。
（３）运用原理得出某个“鸽巢”中至少分放的物体个数，最终解决问题。
【误区警示】误区一：判断：因为１１÷３＝３．．．．２，所以把１１本书放进３个抽屉中，总有一个抽屉里至少放５本书。
（√）错解分析此题错在把这个抽屉至少放的书的本数用“３（商）＋２（余数）”计算了，应该是“３（商）＋１”。
错解改正×误区二：有红、绿、蓝三种颜色的小球各５个，至少取出几个能保证有２个同色的？５×３÷３＝５（个）错解分析此题错在把小球的总数作为要分放物体的数量了，求得的结果也是与问题要求不符。
本题属于已知鸽巢数量（３中颜色即３个鸽巢）和分的结果（保证一个鸽巢里至少有２个同色的），求要分放物体的数量，各种颜色小球的数量并与参与运算。
错解改正３＋１＝４（个）【方法运用】运用逆推法解决鸽巢问题典型例题把２５个玻璃球最多放进几个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有５个玻璃球？思路分析由“鸽巢原理”（二）可知，用分放的物体总数除以鸽巢数量求出平均每个鸽巢里所放物体的数量和余数，其中至少有一个鸽巢中有（平均每个鸽巢里所放物体的数量＋１）个物体。
此题可以把玻璃球的总数看成分放的物体总数，把盒子数看成鸽巢数，要使其中一个鸽巢里至少有５个玻璃球，则玻璃球的个数至少要比鸽巢数的（５－１）倍多１个。
鸽巢原理知识点总结
鸽巢原理知识点总结一、什么是鸽巢原理1.1 定义鸽巢原理（Pigeonhole Principle），也叫抽屉原理或鸽笼原理，是一种常用的数学原理。
它指出，如果有n+1个物体被放入n个容器中，那么至少有一个容器必然包含两个或更多的物体。
1.2 表述鸽巢原理可以用一句话来表述：如果有m个鸽子进入n个巢穴，并且m > n（鸽子的数量多于巢穴的数量），那么至少有一个巢穴中会有多于一个只鸽子。
二、鸽巢原理的应用2.1 数学领域鸽巢原理在数学领域有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：（1）抽屉原理抽屉原理是鸽巢原理的一种特殊情形，它指出：如果有n个物体被放入m个容器中，其中n > m，则至少有一个容器中会有两个或更多的物体。
这个原理常用于证明存在性问题。
（2）鸽巢模型鸽巢模型是鸽巢原理的一种应用模型。
它主要用于解决排列与选择问题，如数学中的鸽巢函数、离散数学中的排列与组合问题等。
（3）整数划分鸽巢原理可以用于整数划分问题的证明。
例如，如果将1到9的整数划分为四组，并且至少有一组会包含两个或更多的整数。
2.2 计算机科学领域鸽巢原理在计算机科学领域也有着重要的应用。
以下是几个常见的应用场景：（1）哈希算法哈希算法中的哈希冲突问题可以借鉴鸽巢原理的思想进行解决。
在哈希表中，如果有n个键被映射到m个槽位中，其中n > m，则至少有一个槽位会包含两个或更多的键，这时可以通过使用冲突解决方法来解决哈希冲突。
（2）抽屉排序抽屉排序（Pigeonhole Sort）是一种基于鸽巢原理的排序算法。
该算法的基本思想是将待排序的元素根据其值的范围分配到对应的鸽巢中，然后按照鸽巢的顺序收集元素得到有序序列。
（3）数据分析在数据分析领域，鸽巢原理常用于解决去重、分组和统计等问题。
例如，在一组数据中，如果有n个数据被映射到m个分组中，其中n > m，则至少有一个分组会包含两个或更多的数据。
三、使用鸽巢原理的注意事项3.1 确定条件在使用鸽巢原理解决问题时，需要明确问题中的限制条件，包括鸽子的数量、巢穴的数量以及其他相关条件。
第二章 鸽巢原理
第二章 鸽巢原理我们在本章考虑一个重要而又初等的组合学原理，它能够用来解决各种有趣的问题，常常得出一些令人惊奇的结论。
这个原理有许多的名字，但最普通的名字叫鸽巢原理，也叫做鞋盒原理。
有关于鸽巢的原理阐释，粗略地说就是如果有许多鸽子飞进不足够多的鸽子巢内，那么至少要有一个鸽巢被两个或多个鸽子占据。
更精确的叙述在下面给出。
2.1 鸽巢原理的简单形式鸽巢原理的简单的形式可以描述如下：定理2.1.1 如果n+1个物体被放进n 个盒子，那么至少有一个盒子包合两个或更多的物体。
证明：如果这n 个盒子中的每一个都至多含有一个物体，那么物体的总数最多是n 。
既然我们有n ＋1个物体，于是某个盒子就必然包含至少两个物体。
注意，无论是鸽巢原理，还是它的证明，对于找出含有两个或更多物体的盒子都没有任何帮助。
它们只是简单地断言，如果人们检查每一个盒子，那么他们会发现有的盒子里面放有多于一个的物体：鸽巢原理只是保证这样的盒子存在。
因此，无论何时鸽巢原理被用来证明一个排列或某种现象的存在性，除了考察所有可能性之外，它都不能对任何构造排列或寻找现象的例证给出任何指示。
我们可以把将物体放入盒子改为用n 种颜色中的一种颜色对每一个物体涂色：此时，鸽巢原理断言，如果n ＋1个物体用n 种颜色涂色，那么必然有两个物体被涂成相同的颜色。
下面是两个简单的应用。
应用1 在13个人中存在两个人，他们的生日在同一个月份里。
应用2 设有n 对已婚夫妇。
为保证能够有一对夫妇被选出，至少要从这2n 个人中选出多少人?为了在这种情形下应用鸽巢原理，考虑n 个盒子，其中一个盒子对应一对夫妇。
如果我们选择n ＋1个人并把他们中的每一个人放到他们对偶所在的那个盒子中去，那么就有同一个盒子含有两个人；也就是说，我们已经选择了一对已婚夫妇。
选择n 个人使他们当中一对夫妻也不没有的两种方法是选择所有的丈夫或选择所有的妻子。
因此，n ＋1是保证能有一对夫妇被选中的最小的人数。
鸽巢原理在生活上的应用
鸽巢原理在生活上的应用1. 什么是鸽巢原理鸽巢原理是指在一定范围内，如果有n+1个物体要放入n个容器中，那么至少有一个容器必定至少放有两个物体。
2. 鸽巢原理的应用场景鸽巢原理常常在生活中出现，尤其是在以下几个方面的应用上：2.1. 邮政投递在邮政投递中，鸽巢原理可以解释为：如果邮递员需要将n+1封信件投递到n 个邮箱中，那么至少有一个邮箱必定会收到多封信件。
这是因为在大多数情况下，有些人会收到多封信件，而有些人可能不会收到任何信件。
2.2. 电梯调度在一个大楼内，如果有n+1个人要乘坐n部电梯，那么至少有一部电梯会有多个人乘坐。
这是因为鸽巢原理告诉我们，在繁忙的时间段，不同的电梯会同时有人要乘坐。
2.3. 会场座位安排当一个会场需要安排n+1个人进入n个座位时，至少有一个座位会有多个人坐。
这是因为在座位有限的情况下，无法给每个人都分配一个独立的座位，因此必然会有人共用一个座位。
2.4. 赛事报名在一项赛事报名时，如果报名人数超过了参赛名额，那么至少有一个参赛号码会有多个人使用。
这是因为人数超过名额限制导致参赛号码有限，而部分参赛者可能会使用相同的号码。
3. 鸽巢原理的意义鸽巢原理在生活中的应用有助于我们理解一些普遍现象，并为我们在解决问题时提供指导。
鸽巢原理告诉我们，在资源有限的情况下，不同的对象会出现竞争和共享的现象。
这个原理的理解能帮助我们更好地规划和安排资源，以避免出现资源的浪费和不公平的分配。
4. 总结鸽巢原理是一个简单而重要的数学原理，它在生活中的应用非常广泛。
通过理解和应用鸽巢原理，我们可以更好地解决实际问题，并合理地利用有限的资源。
在不断发展的社会中，鸽巢原理的应用将会越来越重要，我们应该持续学习和理解这个原理，以便更好地适应和应对现实生活中的各种挑战。
六年级鸽巢原理的实际应用
六年级鸽巢原理的实际应用什么是鸽巢原理？鸽巢原理是一种建筑结构原理，源于鸟类筑巢时的巧妙构造。
鸟类在筑巢时，会根据需要选择不同材料并进行巧妙搭建，以达到稳定、舒适和适应环境的目的。
鸽巢原理通过学习鸟类筑巢的方法，将其应用于建筑结构中，以提高建筑物的稳定性和效能。
实际应用1. 建筑结构设计鸽巢原理在建筑结构设计中有着广泛的应用。
通过学习鸟类筑巢的结构和构造方式，可以在建筑设计中运用相应的原理，使建筑物更加稳定和坚固。
例如，在高楼建筑中，可以利用鸟巢结构的特点来设计楼层间的支撑结构，以增强建筑物的稳定性。
2. 物流和仓储系统鸽巢原理还广泛应用于物流和仓储系统中。
鸟类在筑巢时会根据需要分隔巢内的不同区域，将蛋和雏鸟放置在相应的位置，以实现更高效的繁殖和保护。
在物流和仓储系统中，可以参考鸽巢的分隔结构，将货物根据不同属性或需求进行分区存储，以提高物流效率和商品管理。
3. 交通运输工具设计鸽巢原理被应用于交通运输工具设计中，以提高车辆的安全性和舒适性。
鸟类筑巢时，会选择合适的材料并用巧妙的结构建造巢穴，以保护鸟雏免受外界冲击和环境变化的影响。
在汽车、火车和飞机等交通工具设计中，可以借鉴鸽巢原理，设计车身结构和座椅布局，以提供更好的保护和舒适性。
4. 能源和环境系统鸽巢原理还可以应用于能源和环境系统中，以提高能源利用效率和环境保护。
鸟类在构筑巢时，会利用材料的密集度和空气流通性来保持温度和通风。
在能源系统中，可以参考鸟巢的绝热和通风原理，设计建筑物的隔热和通风系统，以减少能源浪费和提高建筑物的能效性。
5. 生物学和医学研究鸽巢原理在生物学和医学研究中也有一定的应用。
通过学习鸟类筑巢的结构和材料选择，可以帮助改进生物医学材料和组织工程的设计。
例如，研究发现，鸟巢中的材料具有一定的抗菌和渗透性能，这些特性可以被应用于创伤修复材料和细胞培养基质的开发。
总结六年级学生可以通过学习鸽巢原理，了解到建筑结构、物流系统、交通工具、能源系统和生物学医学等方面的应用。
鸽巢原理及其应用
3.2 利用划分图形构造“鸽巢” 利用划分图形构造“鸽巢”
例1 边长为1的正方形中，任意放入9个点，求证这9个点中任 边长为1的正方形中，任意放入9个点，求证这9 取3个点组成的三角形中，至少有一个的面积不超过 个点组成的三角形中，
1 8
.
解：将边长为1的正方形等分成边长为1/2的四个小正方形，视这四 将边长为1的正方形等分成边长为1/2的四个小正方形， 1/2的四个小正方形 个正方形为鸽巢， 个点任意放入这四个正方形中， 个正方形为鸽巢，9个点任意放入这四个正方形中，由鸽巢原理必有三 点落入同一个正方形内.现特别取出这个正方形来加以讨论. 点落入同一个正方形内.现特别取出这个正方形来加以讨论. 把落在这个正方形中的三点记为D 把落在这个正方形中的三点记为D、E、F.如图1， F.如图1 如图 通过这三点中的任意一点（ 通过这三点中的任意一点（如E）作正方形边平行线 S△DEF＝S△DEG＋S△EFG
如果8个点有一个点在圆心，可将圆分成 个相等的扇形，如图， 分成6个相等的扇形 2. 如果8个点有一个点在圆心，可将圆分成 个相等的扇形，如图， A2 由于圆上相邻两点A 间的弦长恰好为圆的半径， 由于圆上相邻两点Ai,Aj间的弦长恰好为圆的半径，所以 A 1 取扇形OA 不包含OA 扇形 扇形OA 不包含OA 取扇形 1A2不包含 2,扇形 2A3不包含 3,…, 扇形OA 不包含OA 由鸽巢原理，余下的 个点 扇形 6A1不包含 1, 由鸽巢原理，余下的7个点 至少有两个在在同一个扇形内， 至少有两个在在同一个扇形内，则这两点之间的距 离小于半径。 离小于半径。
使得2011/(ak +1 + ak + 2 + L + al ).
l 2.任意给出2011个正整数 a1 , a2 ,L a2011 , 证明必存在正整数 k ,（0 ≤ k ≤ l ≤ 2011),
组合数学第一节鸽巢原理
第1章鸽巢原理鸽巢原理〔又叫抽屉原理〕指是一件简单明了事实：为数众多一群鸽子飞进不多巢穴里，那么至少有一个巢穴飞进了两只或更多鸽子。
这个原理并无深奥之处，其正确性也是显而易见，但利用它可以解决许多有趣组合问题，得到一些很重要结论，它在数学历史上起了很重要作用。
1.1 鸽巢原理简单形式鸽巢原理简单形式可以描述为：定理1.1.1 如果把个物品放入个盒子中，那么至少有一个盒子中有两个或更多物品。
证明如果每个盒子中至多有一个物品，那么个盒子中至多有个物品，而我们共有个物品，矛盾。
故定理成立。
鸽巢原理只断言存在一个盒子，该盒中有两个或两个以上物品，但它并没有指出是哪个盒子，要想知道是哪一个盒子，那么只能逐个检查这些盒子。
所以，这个原理只能用来证明某种安排存在性，而对于找出这种安排却毫无帮助。
例1 共有12个属相，今有13个人，那么必有两人属相一样。
例2 在边长为1正方形内任取5点，那么其中至少有两点，它们之间距离不超过。
证明把边长为1正方形分成4个边长为小正方形，如图1.1.1所示，在大正方形内任取5点，那么这5点分别落在4个小正方形中。
由鸽巢原理知，至少有两点落在某一个小正方形中，从而这两点间距离小于或等于小正方形对角线长度。
例3 给出个整数，证明：必存在整数，使得证明构造局部与序列那么有如下两种可能：〔i〕存在整数，使得，此时，取即满足题意。
〔ii〕对任一整数i，均有，令，那么有，这样，个余数均在1到m-1之间。
由鸽巢原理知，存在整数，使得。
不妨设，那么综合〔i〕与〔ii〕，即知题设结论成立。
例4 一个棋手有11周时间准备锦标赛，他决定每天至少下一盘棋，一周中下棋次数不能多于12次，证明：在此期间连续一些天中他正好下棋21次。
证明令分别为这11周期间他每天下棋次数，并作局部与根据题意，有且所以有〔1.1.1〕考虑数列它们都在1与之间，共有154项，由鸽巢原理知，其中必有两项相等，由〔1.1.1〕式知这77项互不相等，从而这77项也互不相等，所以一定存在，使得因此这说明从第天到第天这连续天中，他刚好下了21盘棋。
组合数学第二章鸽巢原理课件
组合数学
利用鸽巢原理解决组合数 学中的计数问题，如排列、 组合等。
概率论
在概率论中，利用鸽巢原 理研究随机事件的独立性 和概率计算。
离散数学
离散数学中的图论、离散 概率等分支也广泛应用鸽 巢原理。
鸽巢原理在其他领域的应用
计算机科学
在计算机科学中，鸽巢原 理被广泛应用于算法设计 和数据结构分析。
信息理论
在过去的几十年里，鸽巢原理在数学、计算机科学和其他领 域得到了广泛的应用和发展。它已经成为组合数学和离散概 率论的一个重要组成部分。
鸽巢原理的应用场景
计算机科学
在算法设计和数据结构中，鸽 巢原理可以用于解决各种问题 ，如数组和列表的操作、图的
着色等。
离散概率论
在离散概率论中，鸽巢原理可 以用于研究随机事件的独立性 和相互排斥性，以及概率分布 的性质。
详细描述
反证法是一种常用的证明方法，尤其适用于证明否定形式的命题。在证明鸽巢原理时，可以先假设存 在不符合鸽巢原理的情况，然后推导出矛盾，从而证明原命题。这种方法的关键在于找到合适的反证 假设，并从中推导出矛盾。
构造证明法
总结词
通过构造具体的实例或反例来证明命题。
详细描述
构造证明法是一种直观、具体的证明方法。 在证明鸽巢原理时，可以通过构造具体的实 例或反例来证明命题。例如，可以构造一个 具体的鸽巢和物品的例子，通过实例来证明 鸽巢原理的正确性。这种方法可以直观地展 示命题的正确性，但需要注意构造的实例或 反例是否具有一般性。
直接证明法
总结词
通过直接逻辑推理，从已知条件出发，逐步推导结论。
详细描述
直接证明法是数学中最常用的证明方法之一。它基于已知条件和数学公理、定理等，通过逻辑推理逐步推导出结 论。在证明鸽巢原理时，可以从已知条件出发，按照逻辑顺序推导出结论，无需引入其他假设或反证。
数学广角-鸽巢原理
数学广角——鸽巢问题1、鸽巣原理是一个重要而又基本的组合原理, 在解决数学问题时有非常重要的作用①什么是鸽巣原理, 先从一个简单的例子入手, 把3个苹果放在2个盒子里, 共有四种不同的放法, 如下表无论哪一种放法, 都可以说“必有一个盒子放了两个或两个以上的苹果”。
这个结论是在“任意放法”的情况下, 得出的一个“必然结果”。
类似的, 如果有5只鸽子飞进四个鸽笼里, 那么一定有一个鸽笼飞进了2只或2只以上的鸽；如果有6封信, 任意投入5个信箱里, 那么一定有一个信箱至少有2封信。
我们把这些例子中的“苹果”、“鸽子”、“信”看作一种物体，把“盒子”、“鸽笼”、“信箱”看作鸽巣, 可以得到鸽巣原理最简单的表达形式②利用公式进行解题：物体个数÷鸽巣个数=商……余数至少个数=商+12、摸2个同色球计算方法。
①要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多1。
物体数＝颜色数×（至少数－1）＋1②极端思想：用最不利的摸法先摸出两个不同颜色的球，再无论摸出一个什么颜色的球，都能保证一定有两个球是同色的。
③公式：两种颜色：2＋1＝3（个）三种颜色：3＋1＝4（个）四种颜色：4＋1＝5（个）1、填一填：（1）鱼岳三小六年级有30名学生是二月份（按28天计算）出生的，六年级至少有（）名学生的生日是在二月份的同一天。
（2）有3个同学一起练习投篮，如果他们一共投进16个球，那么一定有1个同学至少投进了（）个球。
（3）把6只鸡放进5个鸡笼，至少有（）只鸡要放进同1个鸡笼里。
（4）某班有个小书架，40个同学可以任意借阅，小书架上至少要有（）本书，才可以保证至少有1个同学能借到2本或2本以上的书。
学生独立思考解答，集体交流纠正。
2、解决问题。
（1）（易错题）六（1）班有50名同学，至少有多少名同学是同一个月出生的？（2）书籍里混装着3本故事书和5本科技书，要保证一次一定能拿出2本科技书。
一次至少要拿出多少本书？（3）把16支铅笔最多放入几个铅笔盒里，可以保证至少有1个铅笔盒里的铅笔不少于6支？3、拓展应用1、把27个球最多放在几个盒子里，可以保证至少有1个盒子里有7个球？教师引导学生分析：盒子数看作抽屉数，如果要使其中1个抽屉里至少有7个球，那么球的个数至少要比抽屉数的（7-1）倍多1个，而（27-1）÷（7-1）=4...2，因此最多放进4个盒子里，可以保证至少有1个盒子里有7个球。
第1章 鸽巢原理
证明 如图 1.2.1 所示，使大小两盘中心重合，固定大盘， 转动小盘，则有 200 个不同位置使小盘上的每个小扇形含在大 盘上的小扇形中. 由于大盘上的 200 个小扇形中有 100 个漆成黑色，100 个 漆成白色，所以小盘上的每个小扇形无论漆成黑色或白色，在 200 个可能的重合位置上恰好有 100 次与大盘上的小扇形同色， 因而小盘上的 200 个小扇形在 200 个重合位置上共同色 100× 200=20000 次，平均每个位置同色 20000÷20=100 次。 由鸽巢原理知，存在着某个位置，使同色的小扇形数大于 等于 100 个。
例2
1个实数 a1 , a 2 , a3 ,, an2 1
任意 n
2
（1.2.1）
组成的序列中，必有一个长为 n 个长为 n
1的非降子序列，或必有一
1的非升子序列。
在证明本例之前先看一个具体的例子， 对于序列（n=3） 5，3，16，10，15，14，9，11，6，7， 从中可以选出如下几个递减子序列： {5，3}，{16，10，9，6}，{16，15，14，11，7}，….
则存在整数 qi ,
q j ，使得 im a qi n r ， jm a q j n r 同时成立。
两式相减可得 ( j i )m (q j qi )n 。因此 n 是 ( j i)m 的一个因子。 但由条件知 m、n 互素，它们的最大公因子是 1.因此，n 是 j i 的因子。 而 0 i j n 1，所以 0 j i n 1 ，从而 n 不可能是 j i 的因子，矛
• 思考题？ • 在边长为3的正三角形中至少放入几个 点，其中必有两点距离不大于1？
第一章 鸽巢原理
第2章 鸽巢原理
1
2
n1
a k a k ... a k
1 2
它们构成一长为 n 1的递减子序列。否则，若有某个 j , (1 j n ) 使得 a k a k ，那么以 a k 为首项的最长递增子序列加上 a k ， 就得到一个以 a k 为首项的递增子序列，由 m k 定义知，
j Байду номын сангаас1 j1 j
鸽巢原理
定理1 若有n+1只鸽子飞回n个鸽巢,则至 少有两只鸽子飞入了同一个鸽巢. 这个原理的证明非常容易, 只要使用 反证法马上就可以得到结论. 这个原理也可以表述为: 如果把n+1件东西放入n个盒子中, 则至少有一个盒子里面有不少于两件 的东西.
鸽巢原理不能用来寻找究竟是哪个盒 子含有两件或更多件东西. 该原理只能证明某种安排或某种现象 存在,而并未指出怎样构造这种安排或 怎样寻找这种现象出现的场合. 从鸽巢原理出发, 对于许多实际问题, 我们可以导出非常有趣的结果. 利用鸽巢原理解决实际问题的关键是 要看出这是一个鸽巢问题, 建立“鸽 巢”，寻找“鸽子”.
n1
这与 m k m k 矛盾。因此，a k a k ... a k 成立。 这是一个长度为n+1的递减子序列，故结论成立。
j j1
mk mk
j
j
j1
1
1 2 n1
j
例12、将1, 2, …, 10随机地摆成一圆，则必有某相邻三数之 和至少是17。 证明：设 m i ( i 1, 2 , ..., 1 0表示该圆上相邻三个数之和（i居中）。 ) 这样的和共有10个。而1,2,…,10中的每一个都出现在这十个和的 三个之中，故
1928年, 年仅24岁的英国杰出数学家 Ramsey发表了著名论文《论形式逻辑 中的一个问题》, 他在这篇论文中, 提 出并证明了关于集合论的一个重大研 究成果, 现称为Ramsey定理. 尽管两年后他不幸去世, 但是他开拓的 这一新领域至今仍十分活跃, 而且近年 来在科技领域获得了成功的应用. 本讲主要介绍鸽巢原理、Ramsey数及 性质、 Ramsey定理及应用.
鸽巢原理
第一节鸽巢原理关于鸽巢原理的阐释，粗略地说就是如果有许多鸽子飞进不够多的鸽巢内，那么至少要有一个鸽巢被两个或多个鸽子占据。
一、鸽巢原理的简单形式1、定理1：如果要把n+1个物体放进n个盒子，那么至少有一个盒子包含两个或更多的物体。
证明：用反证法进行证明。
如果这n个盒子中的每一个都至多含有一个物体，那么物体的总数最多是n，这与有n+1个物体矛盾。
所以某个盒子至少有两个物体。
2、定理1的说明：无论是鸽巢原理还是它的证明，都不能具体找出含有两个或更多物体的盒子。
它只是证明这样的盒子存在，即如果人们检査每一个盒子.那么他们会发现有的盒子里面放有多个物体。
另外，当只有n个（或更少）物体时，是无法保证鸽巢原理的结论的。
这是因为可以在n个盒子的每一个里面放进一个物体。
所以鸽巢原理成立的条件是至少为n+1个物体。
3、鸽巢原理的两个简单应用应用1：在13个人中存在两个人，他们的生日在同一个月份里。
应用2：设有n对己婚大妇。
至少要从这2n个人中选出多少人才能保证能够选出一对夫妇？为了在这种情形下应用鸽巢原理，考虑n个房间，其中一个房间对应一对夫妇。
如果选择n十1个人并把他们中的每一个人放到他们夫妻所对应的那个房间中去，那么就有一个房间含有两个人；也就是说，已经选择了一对已婚夫妇。
选择n个人使他们当中一对夫妻也没有的两种方法是选择所有的丈夫和选择所有的妻子，因此，n+1是保证能有一对夫妇被选中的最小的人数。
4、从应用2得出的两个推论推论1：如果将n个物体放入n个盒子并且没有一个盒子是空的，那么每个盒子恰好有一个物体。
说明：以应用2为例，选择n个人，如果其中有一对夫妻，那么必然有一个房间是空的，为了保证没有空房间，则必须从每对夫妻中选一个人，即恰好从每对夫妻中选一个人。
推论2:如果将n个物体放入n个盒子并且没有盒子被放入多于一个的物体，那么每个盒子里恰好有一个物体。
说明：以应用2为例，选择n个人，每个房间只能是夫妻中的一个人，2n个人，恰好每个从每对夫妻当中选择一个人。
3-2+鸽巢原理
例9 把1到67的整数集合任意分成4个子集，必存在 一个子集，满足其中有一个数是另外两个数的差。
用反证法。假定命题不真，即存在某种划分方式： P1∪ P2∪P3∪P4=[1,67]，并且满足，对每一个Pi， 都不存在某个数是另两个数的差。
r x1, x1 r x2, x2 r x3,
xn1 r xn.
2. Ramsey数
1928年，年仅24岁的英国杰出数学家Ramsey发表 了著名论文《论形式逻辑中的一个问题》。他在 这篇论文中提出并证明了关于集合论的一个重大 研究成果，现称为Ramsey定理。尽管两年后他不 幸去世， 但是他开拓的这一新领域至今仍十分活 跃，而且近年来在科技领域获得了成功的应用。
在与这些蓝边相关联的R(a,b-1)个顶点构成的完全图 KR(a,b-1)中，根据定义，必有一红色Ka或蓝色Kb-1。 若有蓝色Kb-1，则它加上顶点x以及x与Ka-1之间的蓝 边，即构成一个蓝色Kb；否则，就有一个红色Ka。 综合(1)(2)，可知R(a,b)≤N。
定理3 对任意正整数a≥2，b≥2，有
推论3 设n个整数满足(a1+a2+…+an)/n>r-1，则这n个 整数中至少有一个不小于r。
例7 设A=a1a2···a20是由10个0和10个1 组成的二进制 数，B=b1b2···b20是任意的20位二进制数。 C= b1b2···b20b1b2···b20=c1c2···c40，则必存在某个i， 使得cici+1···ci+19与a1a2···a20至少有10位对应相等。
鸽巢原理-精品文档
资源分配与调度
总结词
优化资源分配，提高资源利用率
详细描述
鸽巢原理在资源分配和调度中可以用于制定更加合理的资源分配方案，确保每个 任务都能得到必要的资源，同时减少资源浪费和冲突。
城市规划与交通管理
总结词
优化城市规划，缓解交通拥堵
详细描述
鸽巢原理可以用于制定更加合理的城市规划方案，确保城市各项设施能够高 效运转，同时减少交通拥堵和环境污染。
鸽巢原理
xx年xx月xx日
目 录
• 鸽巢原理概述 • 鸽巢原理的核心概念 • 鸽巢原理的数学表达 • 鸽巢原理的实际应用 • 鸽巢原理的优缺点及改进方案 • 总结与展望
01
鸽巢原理概述
鸽巢原理的定义
• 鸽巢原理又称抽屉原理，它是一个简单但非常强大的数学概念，表述的是当n个鸽子飞进n个鸽巢时，如果存在一个鸽巢 中至少有两只鸽子，那么至少有一个鸽巢中含有两只或以上的鸽子。
鸽巢原理的应用范围
1
鸽巢原理在数学、逻辑学、计算机科学等领域 都有广泛的应用，它提供了一种解决存在性问 题的有效方法。
2
在数学中，鸽巢原理可以帮助我们证明一些关 于存在性的定理，例如在数论中关于素数分布 的定理。
3
在计算机科学中，鸽巢原理可以用于设计数据 结构和算法，例如在解决哈希冲突问题时。
鸽巢原理的基本思想
一组具有某种特定属性的元素组成的整体。
子集
一个集合中的所有元素都属于另一个集合，则称该集合为另一个集合的子集 。
元素与位置的关系
元素
集合中的每一个成员称为元素。
位置
元素在集合中的位置，通常指元素在序列或空间中的排列顺序。
空间填充与离散分布
空间填充
将一个整体分割成若干个小的部分，并使这些部分尽可能地 接近，以减少空间的浪费。
鸽巢原理的生活实际应用
鸽巢原理的生活实际应用什么是鸽巢原理？鸽巢原理，也称为鸽洞原理、鸽巢原则，是指当一种物品的数量超过其可以容纳的数量时，必然会出现重复。
这个原理得名于鸽巢，鸽巢在一定的空间中容纳鸽子的数量是有限的，因此当鸽子的数量超过巢的容量时，就会出现鸽子之间的重叠。
鸽巢原理的应用领域鸽巢原理在许多领域都有实际应用，以下是一些例子：1.数据库设计：在数据库设计中，鸽巢原理可以用于确保数据的唯一性。
例如，在用户表中，可以使用鸽巢原理来确保每个用户都拥有一个唯一的用户名，从而避免重复或冲突。
2.项目管理：在项目管理中，鸽巢原理可以用于合理安排资源。
例如，如果一个团队上级将多个任务指派给一个人，而这个人的能力有限，那么就会发生资源重叠的问题。
通过应用鸽巢原理，可以将任务分配给多个合适的人员，避免资源的浪费和冲突。
3.电子邮件：在电子邮件中，鸽巢原理可以用于避免邮件的重复发送。
例如，当用户点击发送按钮后，系统可以检查邮件的内容和收件人列表，如果与之前已经发送的邮件完全相同，则可以提示用户该邮件已发送过，避免重复发送。
4.文件管理：在文件管理中，鸽巢原理可以用于避免文件的重复存储。
例如，当用户上传一个文件时，系统可以通过对文件进行哈希计算来判断该文件是否已经存在，如果存在则可以直接引用已有的文件，避免重复存储。
5.商品管理：在电商平台中，鸽巢原理可以用于避免商品的重复上架。
例如，当商家上架一个商品时，系统可以通过商品的唯一标识符来判断该商品是否已经上架，如果已经上架，则可以提醒商家该商品已存在，避免重复上架。
应用鸽巢原理的优势应用鸽巢原理的生活实际应用有以下优势：•节省资源：通过避免重复和冗余的数据或任务，鸽巢原理可以节省时间、空间和其他资源的浪费。
•提高效率：鸽巢原理可以帮助我们更好地组织和安排工作，避免资源的重叠，从而提高工作效率。
•确保准确性：通过应用鸽巢原理，我们可以确保数据的唯一性和准确性，避免因重复数据带来的错误和混乱。
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6
需要注意以下事实： 1、如果某台计算机不与其它机器相连，那么没有一台计算 机连接到所有其它5台机器。（取0取不到5）。 2、如果一台计算机连接到所有其它5台机器，那就没有不 与其它机器相连的计算机。（取5取不到0）。
例5的证明 的证明 证明：因为有6台计算机，连接到同一台 计算机的其它机器的数在0～5之间，但 是0和5不能同时出现。 于是1台计算机相连的机器数最多有5 种可能，由鸽巢原理知在6台计算机中至 少有两台连接的其它机器数相等。
鸽洞原理
信息安全所 明俊峰
1
3.3 鸽巢原理
组合数学中解决计数问题 计数问题的一个工具。 计数问题 假定一群鸽子飞入一组巢安歇，如果鸽子 比鸽巢多，那么一定至少有一个鸽巢里有两只 或两只以上的鸽子。 这个原理除了鸽子和鸽巢外也可用于其它 对象，因此也称为（狄利克莱，德国，19世纪） 抽屉原理、鞋盒原理 鞋盒原理等。 抽屉原理 鞋盒原理
b
f 若将 7 个点放入正三角形 bcd中， 由鸽巢原理知： 在 bcf、 cdf、 c a bdf内，至少有一个三角形中存在 三个点。 取这3个点构成的小三角形的面积一 定不会超过 ( 3 / 12 ) a 2 。
a
a d
10
例7 某比赛，在30天内总共安排了45场比 赛，每天至少赛一场。证明一定存在有 连续的若干天内一共恰好比赛了14场。
17
结
束
18
15
a
（1）a连接的5条边中一定有3条黑色或 连接的5条边中一定有3 红色的，不妨设有三条黑色的。
16
a
b d
a
b d
c c 图 1 图 2 （2）如果与a连接的三角形b c d中 有一条黑边， 那么即可构成一个黑色三角形abc ，这表明a、b、 c三人不认识，如图1。 否则b、c、d本身一定构成一个红色三角形， 这表明a、b、c三人互相认识，如图2。 证明完毕。
4
推广的鸽巢原理
表述形式一 当盒子仅有 N 个，而物体的数目大于 m×N时，则必有一个盒子中至少有 m＋1 或 多于 m＋1 个物体。 表述形式二 如果 m 个物体放入N个盒子，那么至少 有一个盒子包含了至少 m / N 个物体。
5
推广的鸽巢原理 的例题 例4：在 100 个人中至少有 100/12 = 9 个人 出生在同一个月。 例5：假定某计算机网络由6台计算机组 成。每台计算机直接连接到0台或者更多 的其它计算机。证明网络中至少有两台 计算机直接相连相同数目的其它计算机。
7
鸽巢原理的巧妙运用
难点： 构造 放入的 物体 和 存放物体的盒子 盒子。 盒子
8
例6 在边长为 a 的正三角形内，任取7个 点，证明其中必有3个点连成的小三角形 其面积不超过 ( 3 / 12 ) a 2 。
9பைடு நூலகம்
证明：将正三角形重心记为 f 。 则图中 bcf、 cdf、 bdf 面积相等。 且Sbcf＝1/3 Sbcd= ( 3 / 12 ) a 2
2
鸽巢原理
如果 K＋1 个或更多的物体放入 K 个 盒子，那么至少有一个盒子含 2 个或更多 的物体。
3
鸽巢原理例题
例1：在一组367个人中一定至少有2个人生日相同。 这是由于只有最多只有366个可能的生日。 例2：任取 27 个英文单词，一定至少有2个单词的首字 母相同。 因为英文字母表中只有26个字母。 例3：如果考试成绩是从 0 到 100 的整数，那么在102 个学生中一定至少有两个学生成绩相同。
11
证明：令 ai 是本月第 i 天前（包括第i天）所打场 数的总和。 则 a1、a2、a3 …a30 是由不同正整数构 成的一个严格递增的数列,其中 1 ≤ a i ≤ 45 构造另外一个数列： ai＋14 。 从而： a 1 + 14 、 a 2 + 14 、 a 3 + 14 a 30 + 14 也是一个严格递增的数列，并且： ≤ a i＋14 ≤ 59 15 两个数列中的60个正整数，全都小于或等于 59。因此，由鸽巢原理知：必有两个正整数相等。 又因为ai （i＝1、2… 30）都不相同，并且 ai ＋14 （i＝1、2… 30）也都不相同，因此一定存在下标 i 和 j ，满足 a j = a i + 14 。这意味着从第 i＋1 天起，到第 j 天恰好打了14 场球。 推广 12
练习题
把132个球放入到77个盒子内，盒子排成 一行，每个盒子至少放一个球。证明无 论如何怎样放，一定存在着相邻的某几 个盒子内恰好放有21个球。
13
例8 证明：在任意6个人中，要么有3个人 互相认识，要么有3个人互相不认识。
14
a
b
证明：每个人用一个点表示，如果 ， 认识 认识， 证明：每个人用一个点表示，如果a，b认识，用红线 连接，否则黑线链接。 连接，否则黑线链接。 那么就是要证明上图中存在 红色或黑色的三角形。 红色或黑色的三角形。