金融中的基本统计方法

¸ÅÂÊÃܶÈp
0.25 0.2
Cauchy
0.15 0.1
0.05
0
−6
−4
−2
0
2
4
6
x
Figure 1: 概率密度函数的比较:正态分布、t-分布、两个正态分布的混合、Cauchy 分布。
120
100
80
60
40
20
0
−0.025 −0.02 −0.015 −0.01 −0.005
0
0.005
√nDn 14.1744* 6.4814* 3.2031* 5.4319* 3.1969* 1.6335* 7.5618* 4.1492* 1.3884* 7.1400* 2.3808*
1.0265 4.1637* 1.4378* 0.8875
数据个数
2331 487 111 2377 487 111 2250 483 111 2330 487 111 2626 487 111
8.13 15.24 1.94 3.29 0.89 2.32 0.47
-29.00 -31.23 -26.19 -44.87 -27.83 -24.91 -26.46
38.28 65.51 35.12 62.50 25.77 51.55 26.08
VW EW I.B.M Intel 3M Microsoft Citi-Grp
数据个数 2331 487 111 2377 487 111 2250 483 111 2330 487 111 2626 487 111
韩元 港元 台币 新加坡元 日元
表4 t(m)的Kolmogorov-检验
数据频率
天
周 月 天
周 月 天
周 月 天
周 月 天 周 月
自由度m 6 6 6 7 7 6 6 6 8 7 7 9 10 11 17
40.06 19.98 15.21 8.81 27.03 19.65 10.68
-18.84 -11.08 -26.09 -35.06 -30.08 -35.83 -24.51
8.31 6.72 12.17 23.41 10.92 16.53 18.86
VW EW I.B.M Intel 3M Microsoft Citi-Grp
金融中的基本统计方法
潘家柱∗
北京大学数学科学学院 2005年9月
关键字: 概率分布；收益率；时间序列；回归分析; 协整；因子模型；误差校正模型
1 收益率的概率分布
先从两个问题出发。
问题1 某公司准备投资1000万元的金融资产(股票、外汇等)，一个月后损失超过10万的 可能性有多大？能以百分之九十的把握保证损失不会超过多少？
天
周 月 天
周 月 天
周 月 天
周 月 天 周 月
分段
4 5 5 7 7 6 7 6 7 8 8 7 7 8 8
拟合优度
52.7189* 292.0615* 81.4105* 391.7784* 9354.058* 630847.5* 1008.572* 185.4453* 37.445* 968.1791* 171.3958* 123.5794* 22486.04* 70.267* 131.571*
假定W 是t = 0时刻的资产额, XT (W ) 表示T 时刻的损失额, p为一个非常小的概率. 考 虑方程
P {XT (W ) > θ} = p.
(1)
那么, 上述两个问题的解为
1. 给定W, T 和θ, 求p; 给定W, T 和p, 求θ.
2. 给定θ, T 和p, 决定W ;
先来研究一下方程(1). 记Pt为t时刻资产的价格, t = 0, 1, · · · , {rt = log Pt − log Pt−1, t = 1, 2, · · · } 为对数收益率序列, 则我们有
26/1 26/1 26/1 72/12 46/2 86/4 86/11
(a)月对数收益率(%) 864 0.83 5.48 -0.53 7.31 -34.25 32.41 864 1.04 7.24 0.34 8.91 -37.44 50.38 864 1.19 6.63 -0.22 2.05 -30.37 30.10 300 2.03 12.63 -0.32 3.20 -59.54 48.55 623 1.15 6.39 -0.14 1.32 -32.61 22.92 141 3.64 10.29 0.29 1.32 -28.64 41.58 134 2.11 9.11 -0.50 1.14 -30.73 23.18
µˆn
=
1 n
n
rt
t=1
样本方差为
σˆn2
=
n
1 −
1
n
(rt − µˆn)2
t=1
样本偏度为
Sˆn
=
(n
1 − 1)σˆn3
n
(xt
t=1
−
µˆn)3
样本峰度为
Kˆ n
=
1 (n − 1)σˆn4
n
(xt
t=1
− µˆn)4
它们分别描述数据分布的中心、关于中心的离散程度、关于中心的对称性和分布尾巴的薄 厚程度。
数据个数 2331 487 111 2377 487 111 2250 483 111 2330 487 111 2626 487 111
其中“*”表示超过了显著水平0.05的临界值，从而要拒绝服从t-分布的假设
3. 两个正态分布的混合: 分布函数为
wΦ(
x
− σ1
a
)
+
(1
−
w)Φ(
x
− σ2
a
)
Dn 0.2980 0.2963 0.3106 0.1151 0.1486 0.1564 0.1635 0.1980 0.1349 0.1524 0.1151 0.1029 0.0882 0.0669 0.0869
√ nDn
14.3870* 6.5381* 3.2724* 5.6101* 3.2804* 1.6477* 7.7578* 4.3521* 1.4214* 7.3584* 2.5392* 1.0839 4.5220* 1.4762* 0.9156
1.2 资产收益率分布的参数模型
1. 正态分布: 预先假定收益率rt有共同的分布密度函数
f (x)
=
√1 2πσ
exp{
x−µ 2σ2
},
−∞ < x < ∞
其中µ, σ2 > 0 是参数。可以根据实际数据来估计µ, σ2 > 0。
3
韩元 港元 台币 新加坡元 日元
表1 正态分布的χ2−检验
数据频率
损失系数”。
2. 这里有三个要素: (1)置信水平； (2)持有期长度; (3)T周期对数收益率的分布。 前两个要素是根据投资者的风险厌恶程度和所持头寸的性质事先给定的，关键的、也 是最复杂的是第三个因素。
1.1 资产收益率数字特征:描述性统计量
设r1, · · · , rn 是收益率的n个观察值，样本均值为
数据个数 均值 标准差 偏度 (a)日简单收益率(%)
8938 0.049 0.798 -1.23 8938 0.083 0.674 -1.09 8938 0.050 1.479 0.01 6329 0.138 2.880 -017 8938 0.051 1.395 -0.55 2985 0.201 2.422 -0.47 2825 0.125 2.124 -0.06
其中“*”表示超过了显著水平0.05的临界值，从而要拒绝服从正态分布的假设
2. t-分布; t分布的形状和正态分布很相似，但尾部要比正态分布厚。
4
韩元 港元 台币 新加坡元 日元
表3
数据频率 天 周 月 天 周 月 天 周 月 天 周 月 天 周 月
t(m)的χ2−检验
分段m 4 5 5 7 6 7 8 6 7 7 8 7 7 7 9
其中0 ≤ w ≤ 1, Φ 是标准正态分布的分布函数, 且σ1 = σ2.
以上几种分布的分布密度函数图如图1。 4. 稳定分布, 其特征函数为
φα(t) = exp{−c|t|α}, 0 ≤ α < 2.
5
0.45 0.4
0.35 0.3
N(0,1) t(2) mixture:µ=0,σ1=1,σ2=2
方程(1)变为
XT (W )
=
P0
− PT P0
W
= [1 − exp{log PT − log P0}]W
T
= [1 − exp{ rt}]W.
t=1
T
P{
t=1
rt
<
log(1
−
θ W
)}
=
p.
∗E-mail: jzpan@math.pku.edu.cn
1
记FT 为
T t=1
rt
的分布函数.那么
自由度 6 6 6 7 7 6 6 6 8 7 7 9 10 11 17
拟合优度 162.1384* 283.4889* 27.1529 226.0737* 50.9351* 59.1251* 367.2995* 196.1875* 21.9267* 885.932* 52.7387* 19.3652* 223.2403* 30.2515* 11.5807
数据个数
2331 487 111 2377 487 111 2250 483 111 2330 487 111 2626 487 111
韩元 港元 台币 新加坡元 日元
表2 正态分布的Kolmogorov-检验
数据频率
天
周 月 天
周 月 天
周 月 天
周 月 天 周 月
统计量Dn 0.2936 0.2937 0.3040 0.1114 0.1449 0.1550 0.1594 0.1888 0.1318 0.1479 0.1079 0.0974 0.0813 0.0652 0.0842
2
股票指数和个股价格的简单收益率和对数收益率的描述性统计量。 收益率的值是百分比，样本的终止时间为1997年12月31日.
VW和EW 分别表示Value-Weighted和Equal-Weighted两个指数。
证券 VW EW I.B.M Intel 3M Microsoft Citi-Grp
起始日期 62/7/3 62/7/3 62/7/3 72/12/15 62/7/3 86/3/14 86/10/30
问题2 如果要求限定一个月后的损失超过10万的可能性不大于百分之一，那么初始投 资额最多应为多少？
这两个问题的一般化即为
1. 风险的预测：判断在持有期末因资产价格的变化造成的损失超出限定额度的概率，并 且以给定的置信度确定持有期末可能损失的最大额度。
2. 投资决策:限定能承受的损失额度,并使得在持有期末的可能损失超过限定额度的概率 低于某个非常低的水平, 然后在这样的要求下决定初始投资额度.
超出峰度 30.06 18.09 11.34 6.76 16.92 12.08 9.16
最小值 -17.18 -10.48 -22.96 -29.57 -25.98 -30.13 -21.7
最大值 8.67 6.95 12.94 26.38 11.54 17.97 20.75
VW EW I.B.M Intel 3M Microsoft Citi-Grp
26/1 26/1 26/1 72/12 46/2 86/4 86/11
(a)月简单收益率(%) 864 0.99 5.49 0.23 864 1.32 7.54 1.65 864 1.42 6.70 0.17 300 2.86 12.95 0.59 623 1.36 6.46 0.16 141 4.26 10.96 0.81 134 2.55 9.17 -0.14
0.01
0.015
0.02
0.025
Figure 2: 日元对美元的汇率的对数收益率的直方图。所用数据的时间区间为: 1/1/2002-30/12/2004.
1.3 资产收益率分布的半参数模型:
极值分布的吸引场（Power Law）
1.4 资产Байду номын сангаас益率分布的非参数模型:
经验分布(见图2)
注释.风险度量模型力图刻画一个资产或一个投资组合价值的预期变化。这基于收益率 随时间演变的机理和任一时间点上收益率的分布。这两点正好是纵向和横向的关系，随时 间演变的规律可以用时间序列模型来刻画，而每个时间点上收益率取各个值的可能性即为 一个时间序列的边缘分布。从投资和统计的观点看收益率比价格数据要好用得多，建模时 也要容易得多。各种风险管理系统自然地要关注对收益率序列的建模。要求从收益率随时 间演变的纵向规律和在各个时间点上可能取值的分布(横向规律性）两个角度来考虑建模问 题。怎样把纵向和横向两方面的特征都体现在同一模型中是当前金融计量经济学的一个课
(1)
⇔
FT (log(1
−
θ W
))
=
p
⇔
log(1
−
θ W
)
=
FT−1(p)
⇔ θ = W [1 − exp{FT−1(p)}]
其中
FT−1(p) = inf{x : FT (x) > p}. 注释. 1. FT−1(p) 通常是负的并且绝对值很小，故θ ≈ −FT−1(p)W . |FT−1(p)| 可以称之为“资本
62/7/3 62/7/3 62/7/3 72/12/15 62/7/3 86/3/14 86/10/30
8938 8938 8938 6329 8938 2985 2825
(b)日对数收益率(%) 0.046 0.803 -1.66 0.080 0.676 -1.29 0.039 1.481 - 0.33 0.096 2.894 -0.59 0.041 1.403 -1.05 0.171 2.443 -1.10 0.102 2.128 -0.44