2017_2018学年高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法教学案新人教A版选修2_2

2.3 数学归纳法预习课本P92～95，思考并完成下列问题(1)数学归纳法的概念是什么？适用范围是什么？(2)数学归纳法的证题步骤是什么？[新知初探]1．数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．2．数学归纳法的框图表示[点睛] 数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n 0，这个n 0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点．(2)递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．(3)利用假设是核心在第二步证明n ＝k ＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n ＝k 时命题成立”作为条件来导出“n ＝k ＋1”，在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k )中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( ) (2)数学归纳法的第一步n 0的初始值一定为1.( ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√2．如果命题p (n )对所有正偶数n 都成立，则用数学归纳法证明时须先证n ＝________成立．答案：23．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，f (32)＞72，由此推测，当n ＞2时，有______________．答案：f (2n)＞n ＋22用数学归纳法证明等式[典例] 用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1)(n ∈N *)． [证明] (1)当n ＝1时，121×3＝1×22×3成立．(2)假设当n ＝k (n ∈N *)时等式成立，即有 121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)， 则当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可得对于任意的n ∈N *等式都成立．用数学归纳法证明恒等式应注意的三点用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n 取第一个值n 0时等式两端项的情况；二是弄清从n ＝k 到n ＝k ＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n ＝k ＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n ＝k ＋1证明目标的表达式变形．[活学活用]求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12，左边＝右边．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k， 则当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)，(2)可知，对一切n ∈N *，等式成立．[典例求证：1＋12＋13＋…＋1n＞n ＋1.[证明] (1)当n ＝3时，左边＝1＋12＋13，右边＝3＋1＝2，左边＞右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥3)时，不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋1k＞k ＋1. 当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1 ＞k ＋1＋1k ＋1＝k ＋1＋1k ＋1＝k ＋2k ＋1. 因为k ＋2k ＋1 ＞k ＋2k ＋2＝k ＋2＝(k ＋1)＋1， 所以1＋12＋13＋…＋1k＋1k ＋1＞(k ＋1)＋1.所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)，(2)知对一切n ∈N *，n ＞2，不等式恒成立． [一题多变]1．[变条件，变设问]将本题中所要证明的不等式改为：1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＞56(n ≥2，n ∈N *)，如何证明？ 证明：(1)当n ＝2时，13＋14＋15＋16＞56，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，命题成立． 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＞56. 则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1＞56＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1＞56＋3×13k ＋3－1k ＋1＝56. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)，(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *都成立． 2．[变条件，变设问]将本题中所要证明的不等式改为：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1＞2n ＋12(n ≥2，n ∈N *)，如何证明？ 证明：(1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43，右边＝52.左边＞右边，所以原不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时不等式成立， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1＞2k ＋12. 则当n ＝k ＋1时，左边＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12(k ＋1)－1＞2k ＋12·2k ＋22k ＋1 ＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1＞4k 2＋8k ＋322k ＋1 ＝2k ＋3·2k ＋122k ＋1＝2(k ＋1)＋12.所以，当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)和(2)可知，对一切n ≥2，n ∈N *不等式都成立．用数学归纳法证明不等式的四个关键(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n＞k(k为正整数)，则n0＝k＋1.(2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n 取前n个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．归纳—猜想—证明[典例]2＝2×13×4＝4×1×34×5×6＝8×1×3×55×6×7×8＝16×1×3×5×7你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？[解]由题意得，2＝2×1,3×4＝4×1×3,4×5×6＝8×1×3×5,5×6×7×8＝16×1×3×5×7，…猜想：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…2n＝2n·1·3·5·…·(2n－1)，下面利用数学归纳法进行证明：证明：(1)当n＝1时，显然成立；(2)假设当n＝k时等式成立，即(k＋1)(k＋2)(k＋3)…2k＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，那么当n＝k＋1时，(k＋1＋1)(k＋1＋2)(k＋1＋3)·…·2(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)·…·2k·(2k＋1)·2＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2＝2k＋1·1·3·5·…·(2k＋1)＝2k＋1·1·3·5·…·[2(k＋1)－1]所以当n＝k＋1时等式成立．根据(1)(2)可知对任意正整数等式均成立．(1)“归纳—猜想—证明”的一般环节(2)“归纳—猜想—证明”的主要题型 ①已知数列的递推公式，求通项或前n 项和．②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在． ③给出一些简单的命题(n ＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n 都成立的一般性命题．[活学活用]数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a n n －a n(n ≥2)，求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明．解：∵a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a nn －a n(n ≥2)，∴a 3＝a 22－a 2＝142－14＝17，a 4＝2a 33－a 3＝2×173－17＝110.猜想：a n ＝13n －2(n ∈N *)． 下面用数学归纳法证明猜想正确． (1)当n ＝1,2易知猜想正确．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时猜想正确， 即a k ＝13k －2. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝(k －1)a kk －a k＝(k －1)·13k －2k －13k －2＝k －13k －23k 2－2k －13k －2＝k －13k 2－2k －1 ＝k －1(3k ＋1)(k －1)＝13k ＋1 ＝13(k ＋1)－2∴n ＝k ＋1时猜想也正确．由(1)(2)可知，猜想对任意n ∈N *都正确．层级一 学业水平达标1．设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋ (12)，则S k ＋1为( ) A ．S k ＋12k ＋2B ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2C ．S k ＋12k ＋1－12k ＋2D ．S k ＋12k ＋2－12k ＋1解析：选C 因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)，①得S k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12(k ＋1).② 由②－①，得S k ＋1－S k ＝12k ＋1＋12(k ＋1)－1k ＋1＝12k ＋1－12(k ＋1).故S k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12(k ＋1). 2．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n＝k 变到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k项解析：选D 当n ＝k 时，不等式左边的最后一项为12k －1，而当n ＝k ＋1时，最后一项为12k ＋1－1＝12k －1＋2k ，并且不等式左边和式的分母的变化规律是每一项比前一项加1，故增加了2k项．3．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则( )A．该命题对于n＞2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k取值无关D．以上答案都不对解析：选B 由n＝k时命题成立可推出n＝k＋2时命题也成立，又n＝2时命题成立，根据逆推关系，该命题对于所有的正偶数都成立，故选B.4．对于不等式n2＋n＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k＜k＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2＜(k2＋3k＋2)＋k＋2＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析：选D 在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，故选D.5．设f(n)＝5n＋2×3n－1＋1(n∈N*)，若f(n)能被m(m∈N*)整除，则m的最大值为( ) A．2 B．4C．8 D．16解析：选C f(1)＝8，f(2)＝32，f(3)＝144＝8×18，猜想m的最大值为8.6．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n＞n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是________．解析：∵210＝1 024＞103,29＝512＜93，∴n0最小应为10.答案：107．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n＋1)2＞12－1n＋2，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是____________________________________．解析：观察不等式中分母的变化便知．答案：122＋132＋…＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2＞12－1k＋38．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.解析：当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5；当a＝3且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a ＝5.答案：59．已知n ∈N *，求证1·22－2·32＋…＋(2n －1)·(2n )2－2n ·(2n ＋1)2＝－n (n ＋1)(4n ＋3)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝4－18＝－14＝－1×2×7＝右边．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时成立，即1·22－2·32＋…＋(2k －1)·(2k )2－2k ·(2k ＋1)2＝－k (k ＋1)(4k ＋3)．则当n ＝k ＋1时，1·22－2·32＋…＋(2k －1)·(2k )2－2k ·(2k ＋1)2＋(2k ＋1)·(2k ＋2)2－(2k ＋2)·(2k ＋3)2＝－k (k ＋1)(4k ＋3)＋(2k ＋2)[(2k ＋1)(2k ＋2)－(2k ＋3)2]＝－k (k ＋1)(4k ＋3)＋2(k ＋1)·(－6k －7)＝－(k ＋1)(k ＋2)(4k ＋7) ＝－(k ＋1)·[(k ＋1)＋1][4(k ＋1)＋3]， 即当n ＝k ＋1时成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N *结论成立．10．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，32≤1＋12≤32，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ＞1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ＜12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)，即n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有n ∈N *都成立．层级二 应试能力达标1.凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形对角线的条数f (n＋1)为( )A ．f (n )＋n ＋1B ．f (n )＋nC ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －2解析：选C 增加一个顶点，就增加n ＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f (n ＋1)＝f (n )＋1＋n ＋1－3＝f (n )＋n －1.故应选C.2．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A.13n ＋2B.13n ＋13n ＋1C.13n ＋1＋13n ＋2 D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋2解析：选D f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2.3．设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为f (k )，则f (k ＋1)与f (k )的关系是( )A ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋1B ．f (k ＋1)＝f (k )＋k －1C ．f (k ＋1)＝f (k )＋kD ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋2解析：选C 当n ＝k ＋1时，任取其中1条直线记为l ，则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为f (k )，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点)；又因为任何三条直线不过同一点，所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其他的f (k )个交点也两两不相同，从而n ＝k ＋1时交点的个数是f (k )＋k ＝f (k ＋1)．4．若命题A (n )(n ∈N *)n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( )A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确解析：选C 由题意知n ＝n 0时命题成立能推出n ＝n 0＋1时命题成立，由n ＝n 0＋1时命题成立，又推出n ＝n 0＋2时命题也成立…，所以对大于或等于n 0的正整数命题都成立，而对小于n 0的正整数命题是否成立不确定．5．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1成立时，左边所得的项为____________．解析：当n ＝1时，n ＋1＝2，所以左边＝1＋a ＋a 2. 答案：1＋a ＋a 26．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：①当n ＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时，等式成立，即 1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1.则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由①②知，对任意n ∈N *，等式成立． 上述证明中的错误是________．解析：由证明过程知，在证从n ＝k 到n ＝k ＋1时，直接用的等比数列前n 项和公式，没有用上归纳假设，因此证明是错误的．答案：没有用归纳假设7．平面内有n (n ∈N *)个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成n 2－n ＋2部分．证明：(1)当n ＝1时，n 2－n ＋2＝2，即一个圆把平面分成两部分，故结论成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立，即k 个圆把平面分成k 2－k ＋2部分． 则当n ＝k ＋1时，这k ＋1个圆中的k 个圆把平面分成k 2－k ＋2个部分，第k ＋1个圆被前k 个圆分成2k 条弧，这2k 条弧中的每一条把它所在的平面部分都分成两部分，这样共增加2k 个部分，故k ＋1个圆把平面分成k 2－k ＋2＋2k ＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2部分，即n ＝k ＋1时命题也成立．综上所述，对一切n ∈N *，命题都成立．8．已知某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n ≥2，数列的前n 项之积为n 2. (1)写出这个数列的前5项；(2)写出这个数列的通项公式并加以证明．解：(1)已知a 1＝1，由题意，得a 1·a 2＝22，∴a 2＝22. ∵a 1·a 2·a 3＝32，∴a 3＝3222.同理，可得a 4＝4232，a 5＝5242.因此这个数列的前5项分别为1,4，94，169，2516.(2)观察这个数列的前5项，猜测数列的通项公式应为： a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(n ＝1)，n 2(n －1)2(n ≥2).下面用数学归纳法证明当n ≥2时，a n ＝n 2(n －1)2.①当n ＝2时，a 2＝22(2－1)2＝22，结论成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立， 即a k ＝k 2(k －1).∵a 1·a 2·…·a k －1＝(k －1)2，a 1·a 2·…·a k －1·a k ·a k ＋1＝(k ＋1)2，∴a k ＋1＝(k ＋1)2(a 1·a 2·…·a k －1)·a k ＝(k ＋1)2(k －1)2·(k －1)2k 2＝(k ＋1)2k 2＝(k ＋1)2[(k ＋1)－1]2.这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立．根据①②可知，当n ≥2时，这个数列的通项公式是a n ＝n 2(n －1)2.∴这个数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(n ＝1)，n 2(n －1)2(n ≥2).(时间： 120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．根据偶函数定义可推得“函数f (x )＝x 2在R 上是偶函数”的推理过程是( ) A ．归纳推理 B ．类比推理 C ．演绎推理D ．非以上答案解析：选C 根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C. 2．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理( ) A ．正确B ．推理形式不正确C ．两个“自然数”概念不一致D ．“两个整数”概念不一致解析：选A 三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．3．设a ，b ，c 都是非零实数，则关于a ，bc ，ac ，－b 四个数，有以下说法： ①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数． 则说法中正确的个数有( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B 可用反证法推出①，②不正确，因此③正确． 4．下列推理正确的是( )A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a y B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin y C．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a yD．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)解析：选D (xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．5．已知f(x＋1)＝2f(x)f(x)＋2，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为( )A．f(x)＝42x＋2B．f(x)＝2x＋1C．f(x)＝1x＋1D．f(x)＝22x＋1解析：选B f(2)＝22＋1，f(3)＝23＋1，f(4)＝24＋1，猜想f(x)＝2x＋1.6．求证：2＋3> 5.证明：因为2＋3和5都是正数，所以为了证明2＋3>5，只需证明(2＋3)2>(5)2，展开得5＋26>5，即26>0，此式显然成立，所以不等式2＋3>5成立．上述证明过程应用了( )A．综合法B．分析法C．综合法、分析法配合使用D．间接证法解析：选B 证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．7．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为( )A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9解析：选D 由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知D成立．8．若数列{a n}是等比数列，则数列{a n＋a n＋1}( )A．一定是等比数列B．一定是等差数列C．可能是等比数列也可能是等差数列D．一定不是等比数列解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＋a n ＋1＝a n (1＋q )．∴当q ≠－1时，{a n＋a n ＋1}一定是等比数列；当q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，此时为等差数列． 9．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0D ．不大于0解析：选 D 法一：∵a ＋b ＋c ＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.法二：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a ，b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab <0，排除A 、B 、C ，选D.10．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a ，b ，c解析：选A 令n ＝1,2,3， 得⎩⎪⎨⎪⎧3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.所以a ＝12，b ＝c ＝14.11．已知数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，可归纳猜想出S n 的表达式为( )A ．S n ＝2n n ＋1B ．S n ＝3n －1n ＋1C ．S n ＝2n ＋1n ＋2D ．S n ＝2n n ＋2解析：选A 由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2，∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝64；又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85.由S 1＝22，S 2＝43，S 3＝64，S 4＝85可以猜想S n ＝2n n ＋1.12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2 016＝( )A.1 C ．4D ．5解析：选D x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2 016＝x 4＝5，故应选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知x ，y ∈R，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”．答案：x ，y 都大于1 14．已知a >0，b >0，m ＝lga ＋b2，n ＝lga ＋b2，则m ，n 的大小关系是________．解析：ab >0⇒ab >0⇒a ＋b ＋2ab >a ＋b ⇒ (a ＋b )2>(a ＋b )2⇒a ＋b >a ＋b ⇒a ＋b2>a ＋b2⇒lga ＋b2>lga ＋b2.答案：m >n 15．已知 2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝ 4415，…， 6＋a b ＝6ab，a ，b 均为正实数，由以上规律可推测出a ，b 的值，则a ＋b ＝________.解析：由题意归纳推理得6＋a b ＝6a b，b ＝62－1 ＝35，a ＝6.∴a ＋b ＝6＋35＝41. 答案：4116．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．解析：解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为a 38.答案：a 38三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2；(2)6＋10>23＋2. 证明：(1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ，∴lg a ＋b2≥lg ab ，∴lga ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b2. (2)要证 6＋10>23＋2， 只要证(6＋10)2>(23＋2)2， 即260>248，这是显然成立的， 所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)若a 1>0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n1＋a n (n ＝1,2，…)．(1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2，a 3，a 4，a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n (不要求证明)．解：(1)证明：若a n ＋1＝a n ，即2a n1＋a n ＝a n ，解得a n ＝0或1.从而a n ＝a n －1＝…＝a 2＝a 1＝0或1， 这与题设a 1>0，a 1≠1相矛盾， 所以a n ＋1＝a n 不成立． 故a n ＋1≠a n 成立．(2)由题意得a 1＝12，a 2＝23，a 3＝45，a 4＝89，a 5＝1617，由此猜想：a n ＝2n －12n －1＋1.19．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处．(1)求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.(2)已知 2 和 3 都是无理数，试证：2＋3也是无理数．证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．(3)已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，用反证法证明：关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．证明：假设方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0有实根．由已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)＜0，解得－2＜m ＜－12，而关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0的判别式Δ＝4(m 2－4)，∵－2<m <－12，∴14＜m 2＜4，∴Δ<0，即关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根． 解：(1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形． (2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．20．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ； (2)设b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)由(1)得b n ＝S n n＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ， 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0，∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0.∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列． 21．(本小题满分12分)设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)．求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)． 证明：当n ＝2时，左边＝f (1)＝1，右边＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立．假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1]，那么，当n ＝k ＋1时，f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k ) ＝(k ＋1)f (k )－k＝(k ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (k ＋1)－1k ＋1－k ＝(k ＋1)f (k ＋1)－(k ＋1) ＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时结论仍然成立．∴f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)．22．(本小题满分12分)已知f (x )＝bx ＋1(ax ＋1)2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠－1a ，a ＞0，且f (1)＝log 162，f (－2)＝1.(1)求函数f (x )的表达式；(2)已知数列{x n }的项满足x n ＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (n ))，试求x 1，x 2，x 3，x 4； (3)猜想{x n }的通项公式，并用数学归纳法证明．解：(1)把f (1)＝log 162＝14，f (－2)＝1，代入函数表达式得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1(a ＋1)2＝14，－2b ＋1(1－2a )2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧4b ＋4＝a 2＋2a ＋1，－2b ＋1＝4a 2－4a ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，(舍去a ＝－13)，∴f (x )＝1(x ＋1)2(x ≠－1)．(2)x 1＝1－f (1)＝1－14＝34，x 2＝34(1－f (2))＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－19＝23，x 3＝23(1－f (3))＝23×⎝⎛⎭⎪⎫1－116＝58，x 4＝58×⎝⎛⎭⎪⎫1－125＝35.(3)由(2)知，x 1＝34，x 2＝23＝46，x 3＝58，x 4＝35＝610，…，由此可以猜想x n ＝n ＋22(n ＋1).证明：①当n ＝1时，∵x 1＝34，而1＋22(1＋1)＝34，∴猜想成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，x n ＝n ＋22(n ＋1)成立，即x k ＝k ＋22(k ＋1)，则n ＝k ＋1时，x k ＋1＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (k ))·(1－f (k ＋1))＝x k ·(1－f (k ＋1))＝k ＋22(k ＋1)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1＋1)2＝k ＋22(k ＋1)·(k ＋1)(k ＋3)(k ＋2)2＝12·k ＋3k ＋2＝(k ＋1)＋22[(k ＋1)＋1].∴当n ＝k ＋1时，猜想也成立，根据①②可知，对一切n ∈N *，猜想x n ＝n ＋22(n ＋1)都成立．。