数论历届高中数学联赛真题分类汇编含详细答案

数论部分

2018A 四、（本题满分50分）数列{}n a 定义如下：1a 是任意正整数，对整数1≥n ，1+n a 与∑=n

i i

a

1

互

素，且不等于n a a a ,.,,21 的最小正整数，证明：每个正整数均在数列{}n a 中出现。

★证明：显然11=a 或者12=a .下面考虑整数1>m ，设m 有k 个不同的素因子，我们对k 归纳证明

m 在{}n a 中出现.记n n a a a S +++= 21，1≥n .

1=k 时，m 是素数方幂，记αp m =，其中0>α，p 是素数.假设m 不在{}n a 中出现.由于{}n a 各

项互不相同，因此存在正整数N ，当N n ≥时，都有α

p a n >.若对某个N n ≥，n S p |/

，那么αp 与n S 互素，又n a a a ,.,,21 中无一项是αp ，故有数列定义知αp a n ≤+1，但是αp a n >+1，矛盾！

因此对每个N n ≥，都有n S p |.又1|+n S p ，可得1|+n a p ，从而1+n a 与n S 不互素，这与1+n a 的定义矛盾！

假设2≥k ，且结论对1-k 成立.设m 的标准分解为k k p p p m α

α

α

2121=.假设m 不在{}n a 中出现，于

是存在正整数/N ，当/

N n ≥时，都有m a n >.取充分大的正整数121,,-k βββ ，使得

n N n k a p p p M k /1211121max ≤≤->=-βββ .

我们证明，对/

N n ≥，有M a n ≠+1.

对于任意/

N n ≥，若n S 与k p p p 21互素，则m 与n S 互素，又m 在n a a a ,.,,21 中均未出现，而

m a n >+1，这与数列的定义矛盾，因此我们得到：对于任意/N n ≥，n S 与k p p p 21不互素*， ⑴若存在i （11-≤≤k i ），使得n i S p |，则()1,1=+n n S a ，故1|+/n i a p ，从而M a n ≠+1（因为M p i |）。 ⑵若对每个i （11-≤≤k i ），均有n i S p |/，则由*知，必有n k S p |.于是1|+/n k a p ，进而1|++/n n k a S p ，即1|+/n k S p .故由*知：存在0i （110-≤≤k i ），使得1|0+n i S p ，再由n n n a S S +=+1及前面的假设n i S p |/

，可知1|0+/n i a p ，故M a n ≠+1。

因此，对1/+≥N n ，均有M a n ≠，而n N n k a p p p M k /1211121max ≤≤->=-β

ββ ，故M 不在{}n a 中出

现，这与假设矛盾！因此，若m 有k 个不同的素因子，则m 一定在数列{}n a 中出现.

由数学归纳法知，所以正整数均在数列{}n a 中出现。

2018B 四、（本题满分50分）给定整数2≥a 。证明：对任意正整数n ，存在正整数k ，使得连续n

个数1+k a ，,,2 +k

a n a k

+均是合数。

★证明:设r i i i <<< 21是n ,,2,1 中与a 互素的全体整数，则n i ≤≤1，{}r i i i i ,,,21 ∉，无论正整数k 如何取值，i a k +均与a 不互素且大于a ，故i a k

+为合数。 对任意r j ,,2,1 =，因1>+j i a ，故j i a +有素因子j p .

我们有()

1,=a p j （否则，因j p 是素数，故j p a |，但j p j i a +|，从而j p |j i ，即a 与j i 不互素，与j i 的取法矛盾）.因此，由费马小定理知，()i p p a

mod 11

≡-

现取()()()111121+---=r p p p k ，对任意r j ,,2,1 =，注意到()

1mod 1-≡j p k ，故有

()j j j k p i a i a mod 0≡+=+.又j j j k p i a i a ≥+>+，故j k i a +为合数。

综上所述，当()()()111121+---=r p p p k 时，1+k a ，,,2 +k

a n a k

+均是合数。

2017A 4、若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”，则平稳数的个数 是 ◆答案： 75

★解析：考虑平稳数abc 。

①若0=b ，则1=a ，{}1,0∈c ，有2个平稳数；

②若1=b ，则{

}2,1∈a ，{}2,1,0∈c ，有632=⨯个平稳数； ③若[]8,2∈b ，则a ，{}1,,1+-∈b b b c ，有63337=⨯⨯个平稳数； ④若9=b ，则{}9,8,∈c a ，有422=⨯个平稳数；

综上可知，平稳数的个数为7546362=+++。

2017B 8、若正整数c b a ,,满足c b a 1000100102017≥≥≥，则数组),,(c b a 的个数为 ◆答案：574

★解析：由条件知2017

[

]21000

c ≤=，当1c =时，有1020b ≤≤，对于每个这样的正整数b ，由10201b a ≤≤知，相应的a 的个数为20210b -，从而这样的正整数组的个数为

20

10

(1022)11

(20210)5722

b b =+⨯-=

=∑， 当2c =时，由201720[

]100b ≤≤，知，20b =，进而2017

200[]20110

a ≤≤=， 故200,201a =，此时共有2组(,,)a

b

c .

综上所述，满足条件的正整数组的个数为5722574+=.

2016A 8、设4321,,,a a a a 是100,,3,2,1 中的4个互不相同的数，满足

()()

2433221242322232221)(a a a a a a a a a a a a

++=++++，则这样的有序数组),,,(4321a a a a 的个数

为 ◆答案：40

★解析：由柯西不等式知，2

433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++≥++++，等号成立的充

分必要条件是

4

3

3221a a a a a a ==，即4321,,,a a a a 成等比数列．于是问题等价于计算满足{1,2,3,},,,{4321⊆a a a a …,100}的等比数列4321,,,a a a a 的个数．设等比数列的公比1≠q ，且q 为

有理数．记m

n

q =

，其中n m ,为互素的正整数，且n m ≠． 先考虑m n >的情况．

此时331314)(m n a m n a a ==，注意到3

3,n m 互素，故3

1m a l =为正整数． 相应地，4321,,,a a a a 分别

等于l n l mn nl m l m 3

2

2

3

,,,，它们均为正整数．这表明，对任意给定的1>=

m

n

q ，满足条件并以q 为