实变函数题目整合集答案解析

实变函数试题库及参考答案 本科

一、题

1．设,A B 为集合，则()

\A B B =A B （用描述集合间关系的符号填写）

2．设A 是B 的子集，则A ≤B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是闭集 4．有限个开集的交是开集 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E ≤12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写）

6．设n

E ⊂

是可数集，则*

m E =0

7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1

a ∀∈，()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦是可测集，则称()f x 在E 上可测

8．可测函数列的上极限也是可测函数

9．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x +⇒()()f x g x + 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上可积 11．设,A B 为集合，则()\B A A ⊃A （用描述集合间关系的符号填写）

12．设{}211,2,A k k =-=，则A =a （其中a 表示自然数集N 的基数）

13．设n

E ⊂

，如果E 中没有不属于E ，则称E 是闭集

14．任意个开集的并是开集

15．设1E 、2E 是可测集，且12E E ⊂，则1mE ≤2mE 16．设E 中只有孤立点，则*

m E =0

17．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1

a ∀∈，()E x f x a ⎡⎤<⎣⎦是可测，则称()f x 在E 上可测

18．可测函数列的下极限也是可测函数

19．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x ⇒()()f x g x 20．设()n x ϕ是E 上的单调增收敛于()f x 的非负简单函数列，则()E

f x dx =⎰()lim n

E

n x dx ϕ→∞⎰

21．设,A B 为集合，则()

\A B B ⊃B

22．设A 为有理数集，则A =a （其中a 表示自然数集N 的基数）

23．设n

E ⊂

，如果E 中的每个点都是内点，则称E 是开集

24．有限个闭集的交是闭集 25．设n

E ⊂，则*

m E ≥0

26．设E 是

n

中的区间，则*

m E =E 的体积

27．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1

a ∀∈，()E x f x a ⎡⎤≤⎣⎦是可测集，则称()f x 在E 上可测

28．可测函数列的极限也是可测函数

29．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒..a e ，则()n f x ⇒()g x

30．设()n f x 是E 上的非负可测函数列，且单调增收敛于()f x ，由勒维定理，有

()E

f x dx =⎰()lim n E

n f x dx →∞⎰

31．设,A B 为集合，则()

\B A B A =A B

32．设A 为无理数集，则A =c （其中c 表示自然数集[]0,1的基数） 33．设n

E ⊂

，如果E 中没有不是内点的点，则称E 是开集

34．任意个闭集的交是闭集 35．设n

E ⊂

，称E 是可测集，如果n

T ∀⊂

，()*

*

m T m T

E =+()*c m T E

36．设E 是外测度为零的集合，且F E ⊂，则*

m F =0 37．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1

a ∀∈，()E x a f x

b ⎡⎤≤<⎣⎦是可测，

（a b ≤）则称()f x 在E 上可测

38．可测函数列的上确界也是可测函数

39．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒..a e ，则()()n n f x g x ⇒()()f x g x

40．设()()n f x f x ⇒，那么由黎斯定理，(){}

n f x 有子列()k n f x ，使()()k n f x f x →..a e 于E

41.设,A B 为两个集合,则__c A B A

B -.（等于）

42.设n

E R ⊂,如果E 满足E E '⊆(其中E '表示E 的导集),则E 是闭.

43.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i)(a,b)G ⊆ (ii),a G b G ∉∉ 44.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 答案：≥

45.设12,E E 为可测集, 2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 答案：≥ 46.设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,若对任意实数a ,都有[()]E x f x a >是可测集E 上的可测函数.

47.设0x 是E (R ⊆)的内点,则*

__0m E . 答案>

48.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ⇒∈,则由____黎斯__定理可知得,存在{}()n f x 的子列

{}

()k

n f

x ,使得.()()

()k a e

n f x f x x E →∈.

49.设()f x 为可测集E (n

R ⊆)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值不一定存在且|()|f x 在E 上不一定L 可积. 50.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有界变差函数. 51．设,A B 为集合，则___(\)A

B B A A 答案=

52．设n E R ⊂，如果E 满足0E E =（其中0E 表示E 的内部），则E 是开集

53．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ⊆且,a G b G ∉∉，则(,)a b 必为G 的构成区间 54．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数=a (其中a 表示自然数集N 的基数) 55．设,A B 为可测集，B A ⊆且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 答案 =

56．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是可测集 57．若()E R ⊆是可数集，则__0mE 答案=

58．设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果.()()

()a e

n f x f x x E →∈，则

()()n f x f x ⇒ x E ∈不一定成立

59． 设()f x 为可测集()n

E R ⊆上的非负可测函数，则()f x 在E 上的L 积分值一定存在

60．若()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，则()f x 必可表示成两个递增函数的差（或递减函数的差） 多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =

中无理数，则（ ACD ）

A E 是不可数集

B E 是闭集

C E 中没有内点

D 1m

E =

2．设n

E ⊂

是无限集，则（ AB ）

A E 可以和自身的某个真子集对等

B E a ≥（a 为自然数集的基数）