函数与方程-2021届高三数学一轮高考总复习课件

1.函数的零点 (1)方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有__交__点___ ⇔函数 y＝f(x)有零点. (2)如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的， 且有 f(a)·f(b)__＜____0，那么函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点. 一般把这一结论称为零点存在性定理.
答案：2
图 D13
(3)(2017 年江淮十校联考)已知函数 f(x)＝5x2|x＋－1|4－x＋1，4，x≥x<00，， 则关于 x 的方程 f 2(x)－5f(x)＋4＝0 的实数根的个数为( )
A.2 个
B.3 个
C.6 个
D.7 个
解析：方法一，由f 2(x)－5f(x)＋4＝0，得f(x)＝1或4.若f(x)
思想与方法
⊙运用函数与方程的思想判断方程根的分布
例题：(2019 年浙江)已知 a，b∈R，函数 f(x)＝
x，x<0， 13x3－12a＋1x2＋ax，x≥0，
若函数 y＝f(x)－ax－b 恰有三
个零点，则( ) A.a<－1，b<0 C.a>－1，b<0
B.a<－1，b>0 D.a>－1，b>0
A.[－2.1，－1] C.[4.1,5]
图 2-12-1 B.[1.9,2.3] D.[5,6.1]
2.函数 f(x)＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a
的取值范围是( C )
A.(1,3)
B.(1,2)
C.(0,3) D.(0,2)
解析：∵函数 f(x)＝2x－2x－a 在区间(1,2)上单调递增，
图 D14 方法二，由f 2(x)－5f(x)＋4＝0，得f(x)＝1或4.作出f(x)的 图象如图 D14.由 f(x)的图象，可知 f(x)＝1 有 4 个根，f(x)＝4 有 3 个根.∴方程 f2(x) －5f(x)＋4＝0 有 7 个根.故选 D. 答案：D
【规律方法】判断函数y＝f(x)在某个区间上是否存在零点， 常用以下三种方法：①当对应方程易解时，可通过解方程，看 方程是否有根落在给定区间上[如第(3)题]；②利用函数零点的 存在性定理进行判断[如第(1)题]；③通过函数图象，观察图象 在给定区间上的交点来判断[如第(2)题].
x
－1
0
1
2
3
f(x)
－0.677
3.011
5.432
5.980
7.651
g(x)
－0.530
A.(－1,0)
3.451
4.890
5.241
6.892
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,3)
解析：当 x＝－1 时，f(－1)－g(－1)＜0； 当 x＝0 时，f(0)－g(0)＜0； 当 x＝1 时，f(1)－g(1)＞0； 当 x＝2 时，f(2)－g(2)＞0； 当 x＝3 时，f(3)－g(3)＞0， 且函数 f(x)与 g(x)的图象在 R 上不间断， 由零点存在性定理可得，函数 y 在(0,1)内存在零点. 故选 B. 答案：B
现在我们来估算 g(x)＝4x＋2x－2 的零点，∵g(0)＝－1，g12 ＝1，∴g(x)的零点 x∈0，12.又函数 f(x)的零点与 g(x)＝4x＋2x －2 的零点之差的绝对值不超过 0.25，只有 f(x)＝4x－1 的零点 适合.
答案：A
(2)已知函数 f(x)＝ln x＋2x－6. ①求证：函数 f(x)在其定义域上是增函数； ②求证：函数 f(x)有且只有一个零点； ③求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超 过14.
考点 2 根据函数零点的存在情况，求参数的值
例 2：(1)(2017 年新课标Ⅲ)已知函数 f(x)＝x2－2x＋ a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则 a＝( )
A.－12
1 B.3
1
C.2
D.1
解析：f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝0， ∴a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x， －x2＋2x＝－x－12＋1≤1. 而 ex－1＋e－x＋1≥2 ex－1·e－x＋1＝2， ∴2a＝1，a＝12.故选 C. 答案：C
③解：由(2)知，f(x)的零点 x0 在(2,3)上，取 x1＝52， ∵f52＝ln 52－1<0，∴f52·f(3)<0.∴x0∈52，3. 取 x2＝141，∵f141＝ln 141－12>0， ∴f52·f141<0.∴x0∈52，141. ∵141－52＝14≤14， ∴52，141即为符合条件的零点所在区间.
答案：C
图 D15
(3)(2019 年江苏)设 f(x)，g(x)是定义在 R 上的两个周期函数， f(x)的周期为 4，g(x)的周期为 2，且 f(x)是奇函数.当 x∈(0,2] 时，f(x)＝ 1－x－12，g(x)＝k－x12＋，21<，x≤0<2x，≤1， 其中 k>0. 若在区间(0,9]，关于 x 的方程 f(x)＝g(x)有 8 个不同的实数根， 则 k 的取值范围是________.
＝1，当x≥0时，即5|x－1|－1＝1,5|x－1|＝2，解得x＝1±log52；当 x<0时，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－1或－3.若f(x)＝4，当x≥0 时，5|x－1|－1＝4，|x－1|＝1，解得x＝0或2；当x<0时，即x2＋ 4x＝0，解得x＝－4.故所求实根个数共有7个.故选D.
综上可知，满足 f(x)＝g(x)在(0,9]上有 8 个实根的 k 的取值
范围为13，
2
4
.
答案：13，
2
4
【规律方法】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程
的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，
根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的
临界交点个数，从而确定参数的取值范围.
分析：当 x<0 时，y＝f(x)－ax－b＝x－ax－b＝(1－a)x－b 最多一个零点；当 x≥0 时，y＝f(x)－ax－b＝13x3－12(a＋1)x2＋ ax－ax－b＝13x3－12(a＋1)x2－b，利用导数研究函数的单调性， 根据单调性画函数草图可求解.
解析：当 x<0 时，y＝f(x)－ax－b＝x－ax－b＝(1－a)x－b ＝0，得 x＝1－b a.y＝f(x)－ax－b 最多一个零点；
又函数
f(x)＝2x－
2 x
－a
的一个零点在区间(1,2)内，则有
f(1)·f(2)＜0，
∴(－a)(4－1－a)＜0，即 a(a－3)＜0.∴0＜a＜3.
3.(2017 年山东济南历城区统测)已知函数 f(x)与 g(x)的图象 在 R 上不间断，由表知函数 y＝f(x)－g(x)在下列区间内一定有 零点的是( )
答案：A
(2)(2015 年湖北)函数 f(x)＝2sin xsinx＋π2－x2 的零点个数 为__________.
解析：函数 f(x)＝2sin xsinx＋π2－x2 的零点个数等价于方程 2sin xsinx＋π2－x2＝0 的根的个数，即函数 g(x)＝2sin xsinx＋π2 ＝2sin xcos x＝sin 2x 与 h(x)＝x2 的图象交点个数.分别画出两函 数图象，如图 D13，由图可知，函数 g(x)与 h(x)的图象有 2 个 交点.故零点个数为 2.
(2)(2018 年新课标Ⅰ)已知函数 f(x)＝elnx，x，x≤x>00，， g(x)＝
f(x)＋x＋a.若 g(x)存在 2 个零点，则实数 a 的取值范围是( )
A.[－1,0)
B.[0，＋∞)
C.[－1，＋∞)
D.[1，＋∞)
解析：g(x)＝f(x)＋x＋a＝0，得 f(x)＝－x－a.若 g(x)存在 2 个零点，即直线 y＝－x－a 与 f(x)的图象有 2 个交点.如图 D15， 实数 a 的取值范围是－a≤1，a≥－1.
①证明：函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， 设x1<x2，则ln x1<ln x2，2x1<2x2. ∴ln x1＋2x1－6<ln x2＋2x2－6. ∴f(x1)<f(x2).∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数. ②证明：∵f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0， ∴f(2)·f(3)<0.∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点. 又由(1)知，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，因此 f(x)＝0 至多 有一个根，从而函数 f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点.
第12讲 函数与方程
课标要求 1.结合二次函数的图象，判断一元二 次方程根的存在性及根的个数，从而 了解函数的零点与方程根的联系. 2.根据具体函数的图Leabharlann Baidu，能够借助计 算器用二分法求相应方程的近似解， 了解这种方法是求方程近似解的常 用方法
考情风向标
高考试题对该部分内容考 查的主要角度有两种：一 种是找函数零点个数；一 种是判断零点的范围.另 外备考中应该特别注意运 用导数来研究函数零点
考点 3 二分法的应用 例 3：(1)若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差 的绝对值不超过 0.25，则 f(x)可以是( )
A.f(x)＝4x－1
B.f(x)＝(x－1)2
C.f(x)＝ex－1
D.f(x)＝lnx－12
解析：f(x)＝4x－1 的零点为 x＝14，f(x)＝(x－1)2 的零点为 x＝1，f(x)＝ex－1 的零点为 x＝0，f(x)＝lnx－12的零点为 x＝32.
2.二分法 如果函数 y＝f(x)在区间[m，n]上的图象是一条连续不断的 曲线，且 f(m)·f(n)<0，通过不断地把函数 y＝f(x)的零点所在的 区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零 点近似值的方法叫做二分法.
1.如图 2-12-1 所示的是函数 f(x)的图象，它与 x 轴有 4 个不 同的公共点.给出下列四个区间，不能用二分法求出函数 f(x)零 点的区间是( B )
)
A.(a，b)和(b，c)内
B.(－∞，a)和(a，b)内
C.(b，c)和(c，＋∞)内
D.(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析：f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c) ＝(c－b)(c－a)＞0，f(a)f(b)＜0，f(b)f(c)＜0，∴两个零点分别位 于区间(a，b)和(b，c)内.故选 A.
【规律方法】(1)二分法是求方程根的近似值的一种计算方
法，它只能用来求函数的变号零点.
(2)给定精度ε，用二分法求函数y＝f(x)的零点近似值的步骤 如下：
①确定区间[m，n]，验证f(m)·f(n)<0，给定精度ε； ②求区间[m，n]的中点x1； ③计算f(x1)：ⅰ)若f(x1)＝0，则x1就是函数y＝f(x)的零点； ⅱ) 若 f(m)·f(x1)<0 ， 则 令 n ＝ x1[ 此 时 零 点 x0 ∈ (m ， x1)] ； ⅲ) 若 f(x1)·f(n)<0，则令m＝x1[此时零点x0∈(x1，n)]； ④判断是否达到精度ε：若|m－n|≤ε，则得到零点近似值 m(或n)；否则重复步骤②～④.
解析：当 x∈(0,2]时，f(x)＝ 1－x－12，即(x－1)2＋y2＝1， y≥0.
又 f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为 4，如图 D16，要使 f(x)＝g(x)在(0,9]上有 8 个实根，只需二者图象有 8 个交点即可.
图 D16
当 g(x)＝－12时，函数 f(x)与 g(x)的图象有 2 个交点； 当 g(x)＝k(x＋2)时，g(x)的图象为恒过点(－2,0)的直线，只 需函数 f(x)与 g(x)的图象有 6 个交点.当 f(x)与 g(x)图象相切时， 圆心(1,0)到直线 kx－y＋2k＝0 的距离为 1，即 |k1＋＋2kk2| ＝1，得 k＝ 42，函数 f(x)与 g(x)的图象有 3 个交点；当 g(x)＝k(x＋2)过 点(1,1)时，函数 f(x)与 g(x)的图象有 6 个交点，此时 1＝3k，得 k＝13.
4.已知函数 f(x)＝6x－log2x，在下列区间中，包含 f(x)的零点
的区间是( C )
A.(0,1) C.(2,4)
B.(1,2) D.(4，＋∞)
考点 1 函数零点的判定
例 1：(1)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－
c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(