人教版数学高二选修2-2教案几个常用函数的导数
1.2几个常用函数的导数(高中数学人教A版选修2-2)
变式训练
1.求下列函数的导数 : (1)y＝ sinx－2x2; (2)y＝ cosx· lnx; ex (3)y＝ . sinx
解 :(1)y′＝ (sinx－2x2)′ ＝ (sinx)′－ (2x2)′ ＝ cosx－ 4x. (2)y′＝ (cosx· lnx)′ ＝ (cosx)′·lnx＋ cosx· (lnx)′ cosx ＝－ sinx· lnx＋ . x
(6)y′＝2cosx·(cosx)′＝－2cosx·sinx＝－sin2x [ 点评 ] 法则可简单叙述成：复合函数对自变量的导数，
等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变
量的导数．
2．复合函数求导
对于复合函数的求导法则，需注意以下几点： (1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当 选定中间变量． (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要 特别注意的是中间变量的系数．如 (sin 2x)′≠cos 2x. 2x)′ ＝ 2cos 2x ，而 (sin
语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两 个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数 的导数乘上第二个函数，加上第一个函 数乘上第二个函数的导数
两个函数的商的导数，等于分子的导数
乘上分母减去分子乘上分母的导数，再 除以分母的平方
2.复合函数的求导法则
复合函数
的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通 过变量u，y可以表示成 x的函数 ，那么称这个函 数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作 y＝f(g(x)).
x 2
x
（5） y ln(4 x)
[例 1] 指出下列函数是由哪些基本初等函数复合成的． ①y＝a
人教A版高二数学选修2-2 第一章 第二节 1.2.1几个常见函数的导数(同步教案)
§1.2.1几个常见函数的导数教学目标：1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式； 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式； 教学难点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式． 教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．【教师过渡】 ：“为解决这一问题，我们先研究一些生活中的具体实例”(二)、探究新知，揭示概念探究1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x y y x ∆→∆→∆'===∆ 函数 导数y c = 0y '=0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．探究2．函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00lim lim11x x y y x ∆→∆→∆'===∆函数 导数y x = 1y '=1y '=表示函数y x =图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．探究3．函数2()y f x x ==的导数 因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00lim lim(2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆ 函数 导数2y x = 2y x '=2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ． 探究4．函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x -∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x-+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim()x x y y x x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆ 函数 导数1y x = 21y x'=-探究5．函数()y f x x ==的导数 因为()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ ()()()x x x x x x x x x x +∆-+∆+=∆+∆+ ()()x x x x x x x +∆-=∆+∆+ 所以0011lim lim 2x x y y x x x x x∆→∆→∆'===∆+∆+ 函数 导数y x =12y x '=（2）推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=（四）、知识应用，深化理解例1. 求下列函数的导数．⑴3x ⑵21x ⑶x 解：⑴=')(3x 133-x 23x =⑵='⎪⎭⎫ ⎝⎛21x )(2'-x 32--=x 32x -= ⑶=')(x )(21'x 12121-=x 2121-=x .21x = 求下列函数的导数。
人教新课标版数学高二-(人教A)选修2-2学案 常见几个函数的导数
1.2.1几个常用函数的导数【学习目标】会用导数的定义求几个常用函数的导数；利用公式解决简单的问题。
【学习重点】推导几个常用函数的导数；【学习难点】推导几个常用函数的导数；【问题导学】1.回顾导数的定义，归纳求函数)(x f y =导数的方法步骤及导数的几何意义？曲线)(x f y =上一点),(00y x 的切线方程的方法步骤？2.阅读教材P12，根据函数为常数）c c x f y ()(==与x x f y ==)(的导数的推导过程，在同一坐标系中画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义求出它们的导数（1）从图象看它们的导数分别表示什么；（2）这三个函数中，哪个增加的最快，哪个增加的最慢？（3）函数(0)y kx k =≠的导函数是什么，它的增减快慢与什么有关？3.画出2)(x x f y ==的图像，并用定义推导函数2)(x x f y ==的导数，当0>x 时，随着x 的增大导数发生什么样的变化？对应的函数图像发生什么样的变化？当0<x 呢？若)0(2>=x x y 表示路程关于时间的函数，如何解释？4.阅读教材P13，结合函数x 1y =导数的推导过程，画出函数x1y =的图象，根据图像，描述它的变化情况，并求出曲线在点（1,1）处的切线方程。
5.归纳：xx f x x f x x f c x f 1)(,)(,)(,)(2====的导数分别是什么？【实践演练】1.用定义求函数3x y =的导数：2.用定义求函数x x y 1+=的导数，并求曲线x x y 1+=上一点)25,2(A 处的切线方程。
3.画出曲线221y x =-+的图像，用导数来分析函数图像的变化情况？基础练习1．已知函数3()f x x =的切线的斜率等于1，则切线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定2．与直线x+2y+4=0垂直的抛物线y=x 2的切线方程是（ ）A ． 2x-y+3=0B ．2 x-y-3=0C ．2 x-y+1=0D ．2 x-y-1=03．曲线2y x =在点P 处的切线斜率为1，则点P 的坐标为________4.已知.2ax y =,,且 x 'y =,则 a=5．利用导数定义求函数b ax x y ++=2（a 、b 为常数）的导数．6．已知P （-1，1），Q （2，4）是曲线2x y =上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y=2x 的切线方程。
人教版高中数学选修2-2学案：第一章1.2第一课时几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式
导数的计算第一课时几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式预习课本P12～ 14，思虑并达成以下问题－1，y＝ x2，y＝x的导数分别是什么？可否得出y＝ x n的导数(1) 函数 y＝ c，y＝ x，y＝ x公式？(2)正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式是什么？[新知初探 ]1．几种常用函数的导数函数导数f(x)＝ c(c 为常数 )f′(x)＝ 0f( x)＝ x f′(x)＝ 1f(x)＝ x2f′(x)＝ 2xf( x)＝1f′(x)＝－1 x x2f(x)＝ x f′(x)＝1x2[点睛 ]对几种常用函数的导数的两点说明(1)以上几个常用函数的导数是求解其余函数的导数的基础，都是经过导数的定义求得的，都属于幂函数的导数．(2)以上几个常有的导数公式需记牢，在求导数时，可直策应用，不用再用定义去求导．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝ c( c 为常数 )f′(x)＝ 0α* )α－1f(x)＝ x (α∈ Q f′(x)＝αx 原函数导函数f(x)＝ sin x f′(x)＝ cos_x f (x)＝ cos x f′(x)＝－ sin_xf (x)＝ a x(a>0 且 a≠ 1)f′(x)＝ a x ln_af(x)＝ e x f′(x)＝ e x1f (x)＝ log a x(a>0 且 a≠ 1)f′(x)＝xln a1f( x)＝ ln x f′(x)＝x[小试身手 ]1．判断 (正确的打“√”，错误的打“×”)1(1) 若 y＝ 2，则 y′＝2×2＝ 1.()(2) 若 f′(x)＝ sin x，则 f(x)＝ cos x． ()13(3) f(x)＝x3，则 f′(x)＝－x4.()答案： (1) × (2) × (3) √2．以下结论不正确的选项是()A．若 y＝ 0，则 y′＝ 0B．若 y＝ 5x，则 y′＝ 5C．若 y＝ x1，则 y′＝－ x－2D．若 y＝x1，则 y′＝1x1－222答案： D2π)3．若 y＝ cos，则 y′＝ (331A．－2B．－21C． 0 D.2答案： C4．函数 y＝1， 1处切线的倾斜角为 () x在点42ππA. 6B.4π3πC. 3D. 4答案： B利用导数公式求函数导数[典例 ]求以下函数的导数．12153 x(1) y ＝ x ； (2)y ＝ x 4； (3)y ＝ x ； (4) y ＝ 3 ； (5) y ＝ log 5x.[解 ] (1)y ′＝ (x 12 11 ) ′＝ 12x .1 － 4 － 54′＝ 4 ′＝) ′＝－ 4x ＝－ 5x (x x.(2) y5 33325(3) y ′＝ ( x ) ′＝ (x 5) ′＝ 5x .(4) y ′＝ (3x ) ′＝ 3x ln 3.1(5) y ′＝ (log 5x) ′＝ xln 5.求简单函数的导函数有两种基本方法(1) 用导数的定义求导，但运算比较繁琐；(2) 用导数公式求导，能够简化运算过程、降低运算难度．解题时依据所给问题的特点，将题中函数的构造进行调整，再选择适合的求导公式．[活学活用 ]求以下函数的导数：(1) y ＝ lg x ； (2) y ＝1 xx ；1 x.2 ； (3)y ＝ x(4)y ＝ log3解： (1)y ′＝ (lg x) ′＝ ln x1ln 10′＝ xln 10. 1 x1 x1＝－ 1 xln 2.(2) y ′＝ 2 ′＝ 2 ln 2233 1 3(3) y ′＝ (x x) ′＝ (x 2) ＝′ 2x 2＝ 2 x.′＝1 1 ＝－ 1log x′＝1xln3.(4) y3xln 3利用导数公式求切线方程1[典例 ]已知曲线 y ＝ x .(1) 求曲线在点 P(1,1)处的切线方程；(2) 求曲线过点 Q(1,0)处的切线方程．1 ，∴ y ′＝－ 1[解 ] ∵ y ＝ x x 2.1(1) 明显 P(1,1) 是曲线上的点，因此P 为切点，所求切线斜率为函数y ＝ x 在点 P(1,1) 的导数，即 k ＝ f ′(1)＝－ 1.因此曲线在 P(1,1) 处的切线方程为 y － 1＝－ (x － 1)，即为 y ＝－ x ＋ 2.1(2) 明显 Q(1,0) 不在曲线 y ＝ x 上，则可设过该点的切线的切点为A a ，1a，那么该切线斜率为k ＝ f ′(a)＝－ a 12.11则切线方程为 y － a ＝－ a 2( x －a)．①将 Q(1,0)代入方程： 0－ 1＝－12aa (1－ a)．将得 a ＝1，代入方程①整理可得切线方程为y ＝－ 4x ＋ 4.2利用导数的几何意义解决切线问题的两种状况(1) 若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)假如已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．[活学活用 ]当常数 k 为什么值时，直线 y ＝ x 与曲线 y ＝ x 2＋ k 相切？恳求出切点．2x 0＝ 1，解： 设切点为 A(x 0， x 02＋ k)．∵ y ′＝ 2x ，∴x 02＋ k ＝x 0，x 0 ＝1，∴2 故当 k ＝ 1时，直线 y ＝ x 与曲线 y ＝ x 2＋ k 相切，且切点坐标为1， 11422 .k ＝ 4，导数的简单综合应用π[典例 ] (1) 质点的运动方程是S ＝ sin t ，则质点在 t ＝ 时的速度为 ________；质点运动3的加快度为 ________．(2) 已知两条曲线 y ＝ sin x ， y ＝cos x ，能否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线相互垂直？并说明原因．[分析 ] (1) v(t)＝ S ′(t)＝ cos t ，π 1∴ v 3 ＝cos 3＝ 2.π即质点在π1 t ＝ 时的速度为32.∵ v(t)＝ cos t ，∴加快度 a(t)＝ v ′(t)＝ (cos t) ′＝－ sin t.答案： 1－ sin t2(2) 解：因为 y ＝ sin x ，y ＝ cos x ，设这两条曲线的一个公共点为P(x 0， y 0)．∴两条曲线 在 P(x 0， y 0)处的斜率分别为 k 1＝ cos x 0， k 2＝－ sin x 0.若使两条切线相互垂直，一定cos x 0·(－ sin x 0)＝－ 1，即 sin x 0·cos x 0＝ 1，也就是 sin 2x 0＝ 2，这是不行能的．∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线相互垂直．导数的综合应用的解题技巧(1) 导数的几何意义为导数和分析几何的交流搭建了桥梁，好多综合问题我们能够数形联合，奇妙利用导数的几何意义，即切线的斜率成立相应的未知参数的方程来解决，常常这是解决问题的重点所在．(2) 导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、分析几何、不等式等知识联合出现综合大题．碰到解决一些与距离、面积有关的最值、不等式恒成立等问题．能够联合导数的几何意义剖析．[活学活用 ]曲线 y ＝ x 2在点 (1,1)处的切线与x 轴、直线 x ＝ 2 所围成的三角形的面积为()35 8 25 4A. 3B.9C.12D. 12分析：选C可求得 y ′＝21，即 y ′|＝＝ 2，切线方程为2x － 3y ＋ 1＝ 0，与 x 轴的交3x － 3x 13点坐标为－1，0 ，与 x ＝ 2 的交点坐标为2 ，5，围成三角形面积为1 ＋ 1 5＝ 25 ×232× 2 12.3层级一 学业水平达标 1．已知函数 f (x)＝ x 3 的切线的斜率等于 3，则切线有 () A ．1条 B ．2 条 C ．3条D ．不确立分析：选B∵ f ′(x)＝ 3x 2＝ 3，解得 x ＝ ±1.切点有两个，即可得切线有 2 条．2．曲线 y ＝ e x 在点 A(0,1)处的切线斜率为 () A ． 1B ． 21 C ． eD.e分析：选Ax＝ 0＝ 1.由条件得 y ′＝ e ，依据导数的几何意义，可得 k ＝ y ′|x0＝ e 3．已知 f(x)＝－ 3x 5，则 f ′(2 2)＝ ()32A ． 10B ．－ 5x 3C ． 5D ．－ 10分析：选D2 3 2∵ f ′(x)＝－ 5x ，∴ f ′(22) ＝－ 5×2 × ＝－ 10，应选 D.32 34．已知 f(x)＝ x α，若 f ′(－1)＝－ 2，则 α的值等于 () A ． 2B ．－ 2C ． 3D ．－ 3分析：选A若 α＝ 2，则 f(x)＝ x 2，∴ f ′(x)＝ 2x ，∴ f ′(－1)＝ 2×(－ 1)＝－ 2 适合条件．故应选 A.5. 曲线 y ＝ 1x 3 在 x ＝ 1 处切线的倾斜角为 ()3πA ． 1B ．－ 4 π 5π C. 4D. 4分析：选C 2∵ y ′＝ x ，∴ y ′|x1＝ 1，＝π ∴切线的倾斜角 α知足 tan α＝ 1，∵ 0≤α<π，∴ α＝.46．曲线 y ＝ ln x 在点 M (e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为 ____________．1 ，∴ y ′|＝ 1分析： ∵ y ′＝ (ln x) ′＝e .＝1∴切线方程为y － 1＝ e (x － e)，即 x － ey ＝ 0.1x － ey ＝ 0答案： e 7．已知 f(x)＝ a 2(a 为常数 )， g(x)＝ ln x ，若 2x[f ′ ( x)＋ 1]－g ′(x)＝ 1，则 x ＝ ________.1分析： 因为 f ′(x)＝ 0， g ′(x)＝ ，因此 2x[f ′ (x)＋ 1]－ g ′(x)＝ 2x －1x ＝ 1.解得 x ＝ 1 或 x ＝－ 1，因为 x ＞ 0，因此 x ＝ 1.2 答案： 18．设坐标平面上的抛物线 C ： y ＝ x 2，过第一象限的点 (a ， a 2)作抛物线 C 的切线 l ，则直线 l 与 y 轴的交点 Q 的坐标为 ________．分析： 明显点 (a ， a 2)为抛物线 C ： y ＝ x 2 上的点，∵ y ′＝ 2x ，∴直线l 的方程为 y － a 2＝2a( x－ a)．2，∴直线 l 与 y 轴的交点的坐标为2令 x＝ 0，得 y＝－ a(0，－ a )．答案： (0，－ a2)9．求以下函数的导数：(1) y＝ x8； (2)y＝ 4x； (3)y＝ log3x；＝sin x＋π； (5)y＝ e2(4) y2.解： (1)y′＝ (x8) ′＝8x8－1＝ 8x7 .(2) y′＝ (4x) ′＝ 4x ln 4.1(3)y′＝ (log3x) ′＝xln 3.(4)y′＝ (cos x) ′＝－ sin x.(5)y′＝ (e2) ′＝ 0.10．已知 P(－ 1,1)， Q(2,4)是曲线 y＝ x2上的两点，(1)求过点 P， Q 的曲线 y＝ x2的切线方程．(2)求与直线 PQ 平行的曲线 y＝ x2的切线方程．解： (1)因为 y′＝ 2x， P(－ 1,1)， Q(2,4)都是曲线y＝ x2上的点．过 P 点的切线的斜率k ＝ y′|＝－1＝－ 2，1x过 Q 点的切线的斜率k2＝ y′|x2＝ 4，＝过 P 点的切线方程：y－ 1＝－ 2(x＋ 1)，即2x＋ y＋ 1＝ 0.过 Q 点的切线方程：y－ 4＝ 4(x－ 2)，即4x－ y－ 4＝ 0.4－1(2)因为y′＝ 2x，直线 PQ 的斜率 k＝2＋1＝ 1，切线的斜率 k＝ y′|x＝ x0＝ 2x0＝ 1，因此 x0＝1，因此切点 M1， 1，224与 PQ 平行的切线方程为：y－1＝ x－1，即 4x－ 4y－ 1＝ 0.42层级二应试能力达标1．质点沿直线运动的行程s 与时间 t 的关系是 s＝5t，则质点在 t＝ 4 时的速度为 ()A.1B.155 2231023 253 1 53C. 52D.102分析：B1 4 ，∵ s ′＝t － .∴当 t ＝ 4551 1 ＝1 .s ′＝ ·55 543410 212．直 y ＝ 2x ＋ b 是曲 y ＝ ln x(x ＞ 0)的一条切 ， 数b 的 ()A ． 2B ． ln 2＋ 1C ． ln 2－ 1D ． ln 2分析：C∵ y ＝ ln x 的 数 y ′＝ 1，x∴令 1＝ 1，得 x ＝ 2，∴切点 (2， ln 2)．x2代入直 y ＝ 1x ＋ b ，得 b ＝ ln 2－ 1.2133．在曲 f(x)＝ x 上切 的 斜角 4π的点的坐 ()A ． (1,1)B ． (－ 1，－ 1)C ． (－ 1,1)D ． (1,1)或 (－ 1，－ 1)113分析：D因 f (x)＝ x ，因此 f ′(x)＝－ x 2，因 切 的 斜角4π，因此切 斜率－ 1，即 f ′(x)＝－ x 12＝－ 1，因此 x ＝ ±1，当 x ＝ 1 ， f(1) ＝1；当 x ＝－ 1 ， f(1) ＝－ 1， 点坐(1,1)或 (－ 1，－ 1)．n ＋ 1*x n ， x 1·x 2 ·⋯·x n4． 曲 y ＝ x (n ∈ N )在点 (1,1) 的切 与 x 的交点的横坐的 ()11A. nB.n ＋ 1nC.n ＋ 1D ． 1分析：Bn ＋1*)求 得 ny ＝ x(n ∈ N y ′＝ (n ＋ 1)x . 令 x ＝ 1，得在点 (1,1) 的切 的斜率 k ＝ n ＋ 1，∴在点 (1,1) 的切 方程y －1＝ (n ＋ 1)(x － 1)．令 y ＝ 0，得 x ＝n，nnn ＋ 11 2 3 n － 1 × n＝1，故 B.∴ x 1·x 2·⋯ ·x n ＝ × × ×⋯× ＋23 4n＋1n 1 n5．与直 2x － y － 4＝0 平行且与曲 y ＝ ln x 相切的直 方程是 ________．分析： ∵直 2x － y － 4＝ 0 的斜率 k ＝ 2，1 11 又∵ y ′＝ (ln x) ′＝，∴ ＝ 2，解得 x ＝ .x x21∴切点的坐标为2，－ ln 2 .1故切线方程为 y ＋ ln 2＝ 2 x － 2 . 即 2x － y － 1－ ln 2＝ 0.答案： 2x － y － 1－ ln 2＝ 06．若曲线 y ＝x 在点 P(a ， a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是 ________________．分析： ∵ y ′＝1，∴切线方程为y － a ＝1a，令 y ＝ 0，2 x2 a (x － a)，令 x ＝0，得 y ＝ 2得 x ＝－ a ，由题意知 1 a2 · ·a ＝ 2，∴ a ＝ 4.2答案： 427．已知曲线方程为y ＝ f(x)＝ x ，求过点 B(3,5)且与曲线相切的直线方程．2解： 设切点 P 的坐标为 (x 0， x 0)．2∵ y ＝ x ，∴ y ′＝ 2x ，∴ k ＝ f ′(x 0)＝ 2x 0， ∴切线方程为 y － x 20＝ 2x 0(x － x 0)．将点 B(3,5) 代入上式，得 5－ x 20＝ 2x 0(3－ x 0)， 即 x 20－ 6x 0＋ 5＝ 0，∴ (x 0－ 1)(x 0－ 5)＝0，∴ x 0＝ 1 或 x 0＝ 5，∴切点坐标为 (1,1)或 (5,25) ，故所求切线方程为 y － 1＝ 2(x － 1)或 y － 25＝ 10(x － 5)，即 2x － y － 1＝ 0 或 10x － y － 25＝ 0.28．求证：双曲线 xy ＝ a 上随意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．2a 22∵ y ′＝′＝－a2x x .y － y ＝－a2 ∴过点 P 的切线方程为2(x － x 0)．x 0令 x ＝ 0，得 y ＝2a2；令 y ＝ 0，得 x ＝ 2x 0.x 0则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为1 2a 22 S ＝ 2·x 0 ·|2x 0|＝ 2a .即双曲线xy＝ a2上随意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.。
选修2-2 几种常见函数的导数教案
§3.2几种常见函数的导数教学目的使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数的导数公式，掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．教学重点和难点掌握并熟记四种常见函数的求导公式是本节的重点．正整数幂函数及正、余弦函数的导数公式的推导是本节难点．教学过程一、复习提问1．按定义求导数有哪几个步骤？2．用导数的定义求下列各函数的导数：(1)y＝x5；(2)y＝c．二、新课1．引言：由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，本节课根据导数定义先来证明几个常见函数的导数公式．2．几个常见函数的导数公式．(1)设y=c(常数)，则y'=0．此公式前面已证．下面我们还可以用几何图象对公式加以说明(图2－6)．因为y=c的图象是平行于x轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0．此公式可叙述成“常数函数的导数为零”．(2)(x n)'＝nx n-1(n为正整数)．“正整数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的(n－1)次幂的乘积”．(3)(sinx)'=cosx．证明：y＝f(x)=sinx，在学生推导过程中，教师要步步追问根据及思路．如：此公式可叙述成“正弦函数的导数等于余弦函数”．(4)(cosx)'=－sinx．此公式证明由学生仿照公式(3)独立证明．此公式可叙述成“余弦函数的导数等于正弦函数前面添一个负号”．三、练习(课文练习)四、小结 四种常见函数的导数公式1．(c)'＝0(c 为常数)， 2．(x n )'＝nx n -1， 3．(sinx)'＝cosx ， 4．(cosx)'=－sinx ． 五、布置作业瞬时变化率—导数教学目标：(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处 的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？下面我们来看一个动画。
2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2学案：几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式
1.2.1几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则[目标] 1.会根据导数的定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数.2.能够记住基本初等函数的导数公式和导数运算法则.3.会运用基本初等函数的导数公式及运算法则，求简单函数的导数．[重点] 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则．[难点] 函数的求导法则及其应用．知识点一基本初等函数的导数公式[填一填][答一答]1．函数y ＝e x 的导数与函数y ＝a x 的导数有何关系？ 提示：(e x )′＝e x 是(a x )′＝a x ln a ，当a ＝e 时的特殊情况． 2．若f ′(x )＝e x ，则f (x )＝e x 这种说法正确吗？提示：不正确．由导数定义可知f (x )＝e x ＋C (其中C 为任意实数)，都有f ′(x )＝e x .3．当α∈R 时，公式2成立吗？提示：成立．由于(x －1)′＝(1x )′＝－1x 2，我们可以认为α∈R 时，公式2也是成立的，但不要求证明．4．以下两个求导结果正确吗？为什么？ ①(3x )′＝x ·3x －1； ②(x 4)′＝x 4ln4.提示：这两个求导结果皆错．①中函数y ＝3x 是指数函数，其导数应为(3x )′＝3x ln3；②中函数y ＝x 4是幂函数，其导数为(x 4)′＝4x 3. 知识点二 导数的运算法则[填一填]1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．3.⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )](g (x )≠0)．[答一答]5．如果f (x )的导数为f ′(x )，c 为常数，那么如何求函数f (x )＋c 与cf (x )的导数？提示：由于常函数的导数为0，即(c )′＝0，由导数的运算法则1、2，得[f (x )＋c ]′＝f ′(x )，[cf (x )]′＝cf ′(x )．6．两个函数的和(差)的导数运算法则能否推广到多个函数的和(差)的导数情形？提示：能推广．容易证明：[f 1(x )＋f 2(x )＋…＋f n (x )]′＝f ′1(x )＋f ′2(x )＋…＋f ′n (x )．7．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )和[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g ′(x )是否成立？提示：根据导数运算法则可知，这两个式子一般情况下是不成立的．分类记忆基本初等函数的导数公式第一类为幂函数，即y ′＝(xα)′＝αxα－1(α≠0)(注意幂指数α可推广到不为零的全体实数)．对解析式为根式形式的函数，首先应把根式化为分数指数幂的形式，再求导数；第二类为三角函数，可记正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数．注意余弦函数的导数，不要漏掉前面的负号；第三类为指数函数，即y′＝(a x)′＝a x ln a(a>0且a≠1)，当a＝e 时，(e x)′＝e x；第四类为对数函数，即y′＝(log a x)′＝1x ln a(a>0且a≠1，x>0)，也可记为：(log a x)′＝1x log a e，当a＝e时，(ln x)′＝1x.类型一利用导数公式求导【例1】(1)y＝10x；(2)y＝；(3)y＝4x3；(4)y＝⎝⎛⎭⎪⎫sinx2＋cosx22－1.【解】(1)y′＝(10x)′＝10x ln10.(2)y′＝()′＝1x ln12＝－1x ln2.(4)∵y ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x 2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .求函数的导数，一般不再用定义，而主要应用导数公式，这就要求必须熟记常见的求导公式，应用公式时一般遵循“先化简，再求导”的基本原则.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误.给出下列命题：①y ＝ln2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227； ③y ＝2x，则y ′＝2x·ln2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln2.其中正确命题的数目为( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：仅①不正确．类型二 利用导数的运算法则求函数的导数【例2】 求下列函数的导数： (1)y ＝x 3·e x ； (2)y ＝x －sin x 2cos x 2；(3)y ＝x 2＋log 3x ； (4)y ＝e x ＋1e x －1.【解】 (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x . (2)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x .(3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln3.(4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式.在不宜直接应用导数公式时，应先对函数进行化简，然后求导.这样可以减少运算量，优化解题过程.求下列函数的导数： (1)y ＝x4x ＋ln2； (2)y ＝(x ＋2)(1x －2)；(3)y ＝x ln x 1＋x ；(4)y ＝2x tan x .解：(1)y ′＝(x4x )′＋(ln2)′＝x ′4x －x (4x )′(4x )2＝1－x ln44x .(3)y ′＝(x ln x1＋x )′＝(x ln x )′(1＋x )－x ln x (1＋x )′(1＋x )2＝ln x ＋1＋x(1＋x )2.(4)y ′＝(2x )′tan x ＋2x (sin x cos x )′＝2tan x ＋2xcos 2x . 类型三 导数几何意义的应用【例3】 (1)已知P ，Q 为抛物线y ＝f (x )＝12x 2上两点，点P ，Q 横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的坐标为________．(2)已知两条曲线y ＝f (x )＝sin x ，y ＝g (x )＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．【解析】 (1)y ′＝x ，k P A ＝f ′(4)＝4，k QA ＝f ′(－2)＝－2. ∵P (4,8)，Q (－2,2)，∴P A 的直线方程为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8， QA 的直线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x －8，y ＝－2x －2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－4.∴A (1，－4)．(2)解：设存在一个公共点(x 0，y 0)使两曲线的切线垂直，则在点(x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝f ′(x 0)＝cos x 0，k 2＝g ′(x 0)＝－sin x 0，要使两切线垂直，必须k 1k 2＝cos x 0(－sin x 0)＝－1，即sin2x 0＝2，这是不可能的．∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直． 【答案】 (1)(1，－4) (2)见解析根据导数的几何意义，可直接得到曲线上某一点处的切线的斜率.当问题中涉及相切但未出现切点坐标时要设出切点坐标，然后根据已知条件求出切点坐标.已知函数y ＝kx 是曲线y ＝f (x )＝ln x 的一条切线，则k ＝1e . 解析：设切点(x 0，y 0)， 由题意得：f ′(x 0)＝1x 0＝k ，①又y 0＝kx 0，② 而且y 0＝ln x 0，③由①②③可得：x 0＝e ，y 0＝1，则k ＝1e .导数运算法则的应用【例4】 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的图象过点(1,5)，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，求f (x )的解析式．【思路分析】【解】 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 因为f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，f (1)＝5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＋c ＝012a ＋4b ＋c ＝0a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－9c ＝12.故f (x )的解析式是f (x )＝2x 3－9x 2＋12x .【解后反思】 已知一个具体函数，我们可以用导数公式和运算法则求函数的导数；对于含有参数的函数，我们可以通过已知的某一个(或多个)点的导数值或函数值反过来确定参数或参数间的关系，此即逆向思维的体现．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )的导数为F ′(x )．(1)解不等式F ′(x )<0；(2)若函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])在任意一点P (x 0，y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解：(1)因为F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋ax (x >0)， 所以F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2(x >0)． 因为a >0，由F ′(x )<0⇒0<x <a ， 所以不等式F ′(x )<0的解集为(0，a )．(2)F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3)，k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立⇔a ≥(－12x 20＋x 0)max ，当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12，所以a ≥12， 所以a min ＝12.1．若f (x )＝cos π4，则f ′(x )为( C ) A ．－sin π4 B ．sin π4 C ．0D ．－cos π4解析：f (x )＝cos π4＝22，故f ′(x )＝0.2．若f (x )＝x ln x ，且f ′(x 0)＝2，则x 0＝( B ) A ．e 2 B ．e C.ln22D ．ln2解析：∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1， 由已知得ln x 0＋1＝2，即ln x 0＝1，解得x 0＝e.3．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为2x －y ＋1＝0. 解析：由y ＝x 3－x ＋3得y ′＝3x 2－1，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝3×12－1＝2，∴切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.4．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，且f ′(－1)＝4，则a ＝103.解析：f ′(x )＝3ax 2＋6x ，则3a －6＝4，故a ＝103. 5．求下列函数的导数：(1)f (x )＝2x x 2＋1； (2)f (x )＝x 2＋sin x 2cos x 2. 解：(1)f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x 2＋1′ ＝(2x )′(x 2＋1)－2x (x 2＋1)′(x 2＋1)2＝2－2x 2(x 2＋1)2. (2)f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋sin x 2cos x 2′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12sin x ′ ＝2x ＋12cos x .莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
高中数学选修2-2 几个常见函数的导数教学设计
几种常见函数的导数教学设计教学目的使学生应用由定义求导数的三个步骤推导常见函数的导数公式，掌握并能运用公式正确求常见函数的导数．教学重点和难点1． 能利用定义求几个见到函数的导数，加深对导数概念的理解；2． 能利用公式求简单函数的导数，并结合导数的几何意义解决一些几何问题；3． 体会建立数学理论的过程，感受学习数学和研究数学时常用到的由特殊到一般的数学思想，进一步发展学生的思维能力；4． 正整数幂函数及正、余弦函数的导数公式的推导是本节难点．学情分析本节内容重点是求常见函数的导数，根据导数的定义求导数是基本的方法.导数的运算最终归结为求极限，而本教材并没有给出极限的严格定义，也没有介绍相关知识，学生也没不具备推导中需要的相关知识，因此在教学中对指数函数对数函数的导数，只能作为公式直接介绍给学生；另一方面，本班学生数学学习能力较高，已经掌握了二项式定理，因此，在教学中没有采取教材中的由y x =、2y x =、1y x =、y =3y x =的导数归纳总结出幂函数的求导公式的做法，而是让学生直接推导正整数指数幂的求导公式，符合学生的学情特点，也能激起学生的探知欲.教学过程一、复习提问1.导数的定义是什么?2.导数的几何意义是什么？3.按定义求导数有哪几个步骤？二、新课1．引言：导数定义给出了求导数的最基本的方法，但利用定义来求导数是一个非常繁琐机械的过程，因此，我们要思考的问题是能否求出一些常见函数的导数，并将这些函数的导数公式化，得出更简便的求导方法.2.探究问题：我们常见的函数有哪几类？尝试用导数的定义求它们的导数.探究1:求函数()f x kx b =+的导数.特别的，若0k =，()0C '=.探究2：求函数()()f x x αα=是常数的导数. 说明：当学生用定义求导数时，()()()y f x x f x x x x x x xαα∆+∆-+∆-==∆∆∆，对式子()x x α+∆无法变形处理，因此引导学生先处理特殊问题，培养学生形成在解决问题时由特殊到一般的思维方式.探究3：求函数*()()n f x x n N =∈的导数 说明：学生已经学习了二项式定理，因此有能力解决这个问题.由特殊到一般，猜想：1()x x ααα-'=探究4：求函数()sin f x x =的导数.说明：在证明中涉及到和差划积公式和α与sin α的关系。
人教版高中数学选修2-2：1.2.1几个常用函数的导数 讲案 (教师用)
课题： 1.2.1几个常用函数的导数 课时：第1课时【学习目标】1. 能够用导数的定义求几个常用函数的导数 2．掌握函数的求导方法，会利用它们解决简单的问题．第一环节：导入学习 一、导数的几何意义与物理意义导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．二、几个常用函数的导数公式1：c ′＝0(c 为常数) 公式2：x ′＝1公式3：2'()2x x = 公式4：211x x ⎛⎫⎪⎝⎭'＝－注意：（1）利用导数定义求导的一般步骤是：①求yx∆∆，变成关于x 与Δx 的表达式； ②取极限y ′＝ 0lim x yx∆→∆∆(2)以上四个公式可在解题中直接运用． 三、求直线的斜率的方法有两种(1)利用两点的斜率公式求斜率，即若已知直线上两点(x1，y1)，(x2，y2)，则直线的斜率为k ＝y2－y1x2－x1.(2)利用导数的几何意义来求，即曲线在某一点(x0，y0)处切线的斜率为k ＝f ′(x0) 四、求切线方程的类型 Ⅰ.明确切点型：切点在已知线上，求导得该点切线的斜率，代入切线方程：y －y0＝f ′(x0)(x －x0)． Ⅱ.待定切点型：切点不在已知线上，首先应设出切点坐标，进而列出切线的点斜式方程，然后将条件代入，列出一个方程，即可求出切点，进而确定切线方程． 第二环节：（一）自主学习（利用常用函数的导数公式求函数的导数）1.求下列函数的导数并求对应函数值．(1)若f(x)＝2x ，求f ′(x)及f ′(3)；(2)若f(x)＝1x ，求f ′(x)及f ′(2)． 解： (1)f ′(x)＝(2x )′＝2x. ∴f ′(3)＝2×3＝6.(2)f ′(x)＝(1x )′＝21x－ ∴f ′(2)＝－1/4 2、给出下列结论：① 若y ＝31x ，则y ′＝43x -； ②若y，则y② 若y ＝21x，则y ′＝32x --； ④若f(x)＝3x ，则f ′(1)＝3.其中正确的个数是( C )A ．1B ．2C ．3D ．4 3、曲线y ＝3x －x ＋3在点(1，3)处的切线方程为__ y ＝2x ＋1 解：∵y ′＝23x －1，∴切线的斜率k ＝3－1＝2， ∴切线方程是y －3＝2(x －1)．即y ＝2x ＋1.4、已知曲线方程为1y x =，（1）求在点A(1，1)处与曲线相切的直线方程． 答案2y x =-+（2）求过点B(1，0)且与曲线相切的直线方程．答案44y x =-+（二）深入学习5、已知P(－1，1)，Q(2，4)是曲线2y x =上的两点，求与直线PQ 平行的曲线2y x =的切线方程。
最新人教版高中数学选修2-2第一章《几个常用函数的导数》教学设计
教学设计1.2导数的计算1．2.1几个常用函数的导数整体设计教材分析《几个常用函数的导数》是《导数的计算》的起始课，导数的计算这一节主要是介绍求函数导数的方法．但是，由于最终总会归结为求极限，而新教材没有介绍极限的知识，因此教科书只是采用了利用定义方法计算了y＝c、y＝x、y＝x2、y＝1x、y＝x这五个常用函数的导数，意在让学生感受根据导数定义求导数的这种方法，强化根据定义求导数的步骤，其他不作过多的要求．只对它们所表示的几何意义和物理意义作一个简单的掌握，对于以后求其他函数的导数时，这五个函数的导数可以直接拿来用．课时分配1课时．教学目标1．知识与技能目标(1)能够用定义求五个常见函数的导数，并熟悉求导数的三个步骤．(2)掌握五个常用函数y＝c、y＝x、y＝x2、y＝1x、y＝x的导数公式，会利用它们解决简单的问题．2．过程与方法目标通过本节的学习，掌握利用导数的定义求导数的方法．3．情感、态度与价值观(1)通过本节的学习，进一步体会导数与物理知识之间的联系，提高数学的应用意识．(2)通过本节的学习，培养学生对问题的分析能力与认知能力，进一步明白数学在研究整个自然科学中的重要位置．重点难点重点：五个常用函数y ＝c 、y ＝x 、y ＝x 2、y ＝1x 、y ＝x 的导数公式及应用．难点：五个常用函数y ＝c 、y ＝x 、y ＝x 2、y ＝1x 、y ＝x 的导数公式．教具准备 多媒体课件教学过程引入新课我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数y ＝f(x)，如何求它的导数呢？导数定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难．为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究求导数的比较简捷的方法，下面我们求几个常见函数的导数．探究新知提出问题问题1：请同学们回忆：根据导数定义求导数的步骤． 活动设计：学生不准看书，独立思考． 活动结果：(板书)1．先求函数的增量Δf ＝Δy ＝f(x ＋Δx)－f(x)； 2．求函数的平均变化率Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ；3．取极限f ′(x)＝0lim x ∆→f (x ＋Δx )－f (x )Δx.活动成果：学生熟悉了根据定义求导数的三个步骤，仍要对三个步骤重点强调． 设计意图根据上述步骤，对以下求常用函数的导数就有法可寻．虽然以后注重的是计算，但方法才是本质的东西．(既然知道用定义求导数的三个步骤，接下来就求一下函数y ＝f(x)＝c 的导数)(板书) 1．函数y ＝f(x)＝c 的导数(板书)根据导数定义，因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝c －cΔx＝0，(第一步求函数值的增量Δf ＝Δy ＝f(x ＋Δx)－f(x)；第二步Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx .这两步可以合为一步来做)所以y ′＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→0＝0. (板书突出成果)活动设计：学生不准看书，独立思考．问题2：y ′＝0表示的几何意义是什么？(给学生一二分钟)结论：y ′＝0表示函数y ＝c 图象(如上图)上每一点处的切线的斜率都为0. 问题3：若y ＝c 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0表示的物理意义是什么？ 结论：y ′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 学情预测：有些学生说的不对或是不恰当，老师应给予帮助和鼓励，有助于下一步的教学．设计意图学以致用，让学生去思考更多的问题，让他们从中深刻体会导数的作用与意义，并对一些现象要会做合理的解释．(让学生体会到成功的喜悦，并及时将问题转入下一个函数) 2．函数y ＝f(x)＝x 的导数(板书) 活动设计：让学生集体来说，老师写． 设计意图 活跃课堂气氛．活动成果：因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝x ＋Δx －xΔx ＝1，所以y ′＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→1＝1.(板书突出成果)提出问题：问题：y′＝1表示的几何意义和物理意义是什么？活动成果：y′＝1表示函数y＝x图象(如上图所示)上每一点处的切线的斜率都为1.若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．设计意图学以致用，让学生去思考更多的问题，让他们从中深刻体会导数的作用与意义，并对一些现象要会做合理的解释．理解新知探究1：在同一平面直角坐标系中，画出y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象，并根据导数的定义，求它们的导数．(1)从图象上看，它们的导数分别怎样表示？学情预测：它们的导数分别是2、3和4.(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？学情预测：y＝4x增加得最快；y＝2x增加得最慢．(3)函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？学情预测：与系数k有关．问题1：仔细观察能得到什么结论？从图象上看，它们的导数分别表示什么？活动成果：都是一次项的系数；直线的斜率．问题2：通过这几个函数导数的学习，你知道y＝f(x)＝kx的导数是多少吗？若知道，试根据用定义求导数的三个步骤推导以下结论正确吗？按求导数的三个步骤，你能否推导出y ＝f(x)＝kx ＋b 的导数？ 活动成果：y ＝f(x)＝kx 的导数和y ＝f(x)＝kx ＋b 的导数都是k. 设计意图通过一系列的提问与活动，让学生能总结出一般性的结论来，并对几何意义与物理意义做出合理的解释，同时也加强学生的自主学习能力和触类旁通的学习意识．(及时将问题转入下一个函数) 3．函数y ＝f(x)＝x 2的导数(板书) 提出问题：问题1：函数y ＝f(x)＝x 2的导数是多少呢？活动成果：因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝x 2＋2xΔx ＋(Δx )2－x2Δx＝2x ＋Δx ，所以y ′＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→ (2x ＋Δx)＝2x.问题2：y ′＝2x 表示的几何意义和物理意义是什么？ 活动设计：给学生充分的时间去思考．活动成果：y ′＝2x 表示函数y ＝x 2图象(如上图所示)上点(x ，y)处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x<0时，随着x 的增加，函数y ＝x 2减少得越来越慢；当x>0时，随着x 的增加，函数y ＝x 2增加得越来越快．若y ＝x 2表示路程关于时间的函数，则y ′＝2x 可以解释为某物体作变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x.设计意图明白二次函数的导数是一次函数，学会对二次函数的几何意义做出解释． 变式1：求y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的导数．学情预测：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的导数是y ′＝2ax ＋b.问题3：凡导数是一次函数的函数，其原函数就是二次函数吗？ 变式2：若y ′＝2x ＋3，且原函数过(1,9)，求原函数的解析式． 设计意图对这类函数每求一次导数，次数就降低一次，为以后幂函数求导埋下伏笔． 4．函数y ＝f(x)＝1x的导数(板书)活动设计：整个过程中，要注意引导学生动手来做，要注意纠正运算中存在的错误和不足．活动成果：因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝1x ＋Δx －1x Δx ＝x －(x ＋Δx )x (x ＋Δx )Δx ＝－1x 2＋x·Δx ，所以y ′＝0lim x ∆→Δy Δx ＝0lim x ∆→ (－1x 2＋x·Δx)＝－1x 2.5．函数y ＝f(x)＝x 的导数(板书)(学生自己去推导)活动成果：因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝x ＋Δx －x Δx (要学会分子有理化)＝(x ＋Δx －x )(x ＋Δx ＋x )Δx (x ＋Δx ＋x )＝(x ＋Δx )－xΔx (x ＋Δx ＋x )，所以y ′＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→ 1x ＋Δx ＋x ＝12x.推广：若y ＝f(x)＝x α(α∈Q *)，则f ′(x)＝αx α－1. 注意：这里n 可以是全体实数．运用新知例2(1)求曲线y ＝f(x)＝1x在点(1,1)处的切线方程．思路分析：按照导数的几何意义，只要求出函数y ＝1x在点x ＝1处的导数，即为该曲线在点(1,1)处的切线斜率，再利用直线的点斜式方程即可求出切线方程．解：根据导数的几何意义可知，所求切线斜率为k ＝f ′(1)．由于f ′(x)＝y ′＝(1x )′＝－1x2，因此k ＝f ′(1)＝－1.于是所求的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)求过点(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程．思路分析：与(1)一样，只要求出函数y ＝1x 在切点处的导数，即为该曲线在该点处的切线斜率，再利用直线的点斜式即可求出切线方程．但此题(2,0)点不是切点．我们就得设出切点，切点处的导数就是切线斜率，而切点与(2,0)点的连线的斜率就等于切点处的导数，因此问题迎刃而解．解：设切点为(x 0，y 0)，令f(x)＝y ＝1x ，根据导数的几何意义可知，所求切线斜率为k＝f ′(x 0)，由于y ′＝(1x )′＝－1x 2，因此k ＝－1x 20＝y 0－0x 0－2，且y 0＝1x 0.所以解得x 0＝1，y 0＝1.于是所求切线的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(3)求曲线f(x)＝y ＝x 2过点(2,3)的切线方程．解：因为点(2,3)不在曲线y ＝x 2上，故设切点坐标为(x 0，y 0)．根据导数的几何意义可知，所求切线的斜率为k ＝f ′(x 0)．由于f ′(x)＝y ′＝(x 2)′＝2x ，因此k ＝2x 0＝y 0－3x 0－2且y 0＝x 20.所以解得x 0＝1或x 0＝3. 当x 0＝1时，切线方程为2x －y －1＝0；当x 0＝3时，切线方程为6x －y －9＝0. 设计意图在三个小题中，主要是求过曲线上一点的切线方程和过曲线外一点的切线方程．求过曲线上一点的切线方程比较好求，按照导数的几何意义，只要求出函数在这点处的导数，即为曲线在该点处的切线斜率，再利用直线的点斜式即可求出切线方程．过曲线外一点的切线方程，我们就得先设出切点，利用切点处的导数等于切线斜率，而切点与已知点的连线的斜率也等于切点处的导数，从而列出方程，解出切点的横坐标，再求切线的斜率．巩固练习已知点M(0，－1)，F(0,1)，过点M 的直线l 与曲线y ＝13x 3－4x ＋4在x ＝－2处的切线平行．(1)求直线l 的方程；(2)求以点F 为焦点，l 为准线的抛物线C 的方程． 解：(1)∵f ′(－2)＝0lim x ∆→f (－2＋Δx )－f (－2)Δx＝0，∴直线l 的斜率为0，其方程为y ＝－1.(2)∵抛物线以点F(0,1)为焦点，y ＝－1为准线，设抛物线的方程为x 2＝2py ，则p2＝1，p ＝2.故抛物线C 的方程为x 2＝4y.变练演编已知曲线y ＝13x 3上一点P(2，83)，求：(1)点P 处的切线的斜率；(2)点P 处的切线的方程．解：(1)令f(x)＝y ＝13x 3，∵y ＝13x 3，∴f ′(x)＝y ′＝x 2，f ′(2)＝22＝4.∴点P 处的切线的斜率等于4.(2)点P 处的切线的方程是y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.点评：(1)小题利用所学求得函数的导数，即得到了切线的斜率；(2)小题利用点斜式求得切线的方程．达标检测1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝5，则y ′＝0B ．y ＝3x ，则y ′|x ＝2＝3C ．y ＝－x 3，则y ′＝3x 2D ．y ＝13x 3，则y ′|x ＝－1＝12．函数y ＝2x 2＋3在x ＝1处的导数等于( ) A ．5 B ．4 C ．7 D ．3 答案：1.C 2.B课堂小结本节课主要学习了(1)(2)求过曲线上一点的切线方程和过曲线外一点的切线方程的方法．布置作业已知：曲线y＝x2－1与y＝x3＋1在x0处的切线互相垂直，求x0的值．拓展练习1．已知曲线y＝x2上有两点A(1,1)，B(2,2)．求：(1)割线AB的斜率；(2)点A处的切线的斜率；(3)点A处的切线方程．2．过点P(0，－3)作曲线y＝x4的切线，求此切线的方程．答案：1.(1)1；(2)2；(3)2x－y－1＝0.2．4x－y－3＝0或4x＋y＋3＝0.设计说明本节内容是在学习了“导数的概念和导数的几何意义”等知识的基础上学习的，对于我们经常用的几个函数，利用定义求导数的三个步骤进行了研究，由于新教材未涉及极限，于是结合求导数的三个步骤和函数的图象，求出了几个常用函数的导数．在设计过程中不断地分析课本以及课本以外的知识，让学生通过动手作图，了解几个常用函数的导数，并能掌握它们的几何意义与物理意义．将求过曲线上一点的切线方程和过曲线外一点的切线方程作为学习的重点，使学生学得更加深刻．本节课注重以学生为主体，以教师为主导，每一个知识、每一个发现与对题目的分析，总设法由学生自己得出，课堂上给予学生充足的思考时间和空间，让学生在动手操作、动笔作图等活动后，再组织讨论，教师只是在关键处加以引导．备课资料求曲线y＝x3上哪些点的切线平行于直线y＝3x－3?思路启迪：根据导数的几何意义，求曲线y＝f(x)上的切线平行于已知直线，即是求函数y＝f(x)在哪些点的导数与已知直线的斜率相等．规范解法解：设切点坐标为(x，y)，已知直线y＝3x－3的斜率k＝3，函数y＝x3的导数y′＝3x2.令3x2＝3，得x＝±1.当x＝1时，y＝1；x＝－1时，y＝－1.故所求的点是(1,1)或(－1，－1)．点评：解此题的关键是能正确理解并掌握导数的几何意义．(设计者：马永刚)。
高中数学选修2-2学案9：1.2.1 几个常用函数的导数
1.2.1 几个常用函数的导数学习目标：（1）能根据导数定义,求几个常用函数的导数，并归纳出幂函数的求导公式.（2）会利用导数的几何意义求曲线的切线方程.一、导学我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．二、导练例1：根据导数的定义求下列函数的导数；（1）C x f y ==)((C 为常数); (2) 3)(x x f y ==例2：已知函数1()f x x =满足(1)1f '=-，求曲线1y x=在点(1,1)处的切线方程.三、课堂检测1．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.122．已知①y ＝f (x )，②y ＝g (x )，③y ＝h (x )都是路程y 关于时间x 的函数，且f ′(x )＝1，g ′(x )＝2，h ′(x )＝3，则运动速度最快的是________(填序号)．3．已知y ＝13x 3－x －1＋1，则其导函数的值域为________． 4．若曲线y ＝x 3的某一切线与直线y ＝12x ＋6平行，则切点坐标是________．5．已知函数y ＝a sin x ＋b 的图象过点A (0，0)，B ⎝⎛⎭⎫－π2，－1，试求过原点的函数的切线方程．6．求曲线y ＝1x和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．四、课堂小结——★ 参 考 答 案 ★——二、导练例1：（1）y =0 (2) y =3x 2例2：y =-x +2三、课堂检测1．[解析]y ′＝12x －3x ，由12x －3x ＝12， 得x ＝3或x ＝－2，由于x ＞0，所以x ＝3.[答案]A2．[解析]由导数的几何意义知，y ＝f (x )的瞬时速度为1，y ＝g (x )的瞬时速度为2，y ＝h (x )的瞬时速度为3，且都是匀速运动，故最快的是③.[答案]③3．[解析]y ′＝x 2＋x －2≥2x 2·x －2＝2，所以y ′∈[2，＋∞)． [答案][2，＋∞)4．[解析]设切点坐标为(x 0，x 30)，因为y ′＝3x 2，所以切线的斜率k ＝3x 20，又切线与直线y ＝12x ＋6平行，所以3x 20＝12，解得x 0＝±2，故切点为(2，8)或(－2，－8)． [答案](2，8)或(－2，－8)5．解：因为y ＝a sin x ＋b 的图象过点A (0，0)，B ⎝⎛⎭⎫－π2，－1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧0＝b ，－1＝a sin ⎝⎛⎭⎫－π2＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0， 所以y ＝sin x .又因为y ′＝cos x ，所有y ′|x ＝0＝1，所以切线方程为y ＝x .6．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ，y ＝x 2得交点A 的坐标为(1，1)． 由y ＝x 2得y ′＝2x ，所以y ＝x 2在点A (1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.由y ＝1x ，得y ′＝－1x 2， 所以y ＝1x在点A (1，1)处的切线方程为y －1＝－(x －1)， 即y ＝－x ＋2.又直线y ＝2x －1与x 轴交点为B ⎝⎛⎭⎫12，0，直线y ＝－x ＋2与x 轴交点为C (2，0)，所以所求面积S ＝12×⎝⎛⎭⎫2－12×1＝34.。
【整合】人教a版高二数学选修2-2第一章第二节121几个常见函数的导数(同步教案).doc
§1. 2.1几个常见函数的导数教学目标:1.使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y = c、y = x、y = y =-的导数公式;X2.掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数.教学重点：四种常见函数y = c. y = x . y = x2.歹=丄的导数公式；x9 1教学难点：四种常见函数y二c、y二兀、y二兀〈丿二一的导数公式.教学过程设计(一)、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么，对于函数y = /(x),如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很因难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数.【教师过渡】:“为解决这一问题，我们先研究一些生活屮的具体实例”(二)、探究新知，揭示概念探究1.函数y = f(x) = c的导数根据导数定义，因为冬=介+心)-/(—口 = 0Ax Ax Ax所以= lim — = lim 0 = 0A XT() /\ r A XT()y = 0表示函数y = c图像(图3. 2-1) ±每一点处的切线的斜率都为0.若)表示路程关于时间的函数, 则y = 0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止状态.探究2.函数y = f(x) = X的导数_ /(x +Ax)-/(x) _ x + 心一兀Ax Ax A Y因为所以y = lim — = lim 1 = 1Ax->o A r 心->0)/ = 1表示函数y = x 图像(图3. 2-2)上每一点处的切线的斜率都为1 .若y = x 表示路程关于时间的函数,则)/ = 1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.探究3.函数y = f(x) = x 2的导数因为_ /(% +Ax)-/(x) _ (x +Ax)2 -x 2A¥A X A X x 2 + 2xAx + (Ar)2 - x 2Ar=2x +Ax所以 y = lim —= 心->0 Axlim(2x +Ar) = 2xA XT O/ = 2x 表示函数y = F 图像(图3.2-3)上点(兀』)处的切线的斜率都为2厂 说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当xvO 时，随着兀的增加,函数y = x 2减少得越來越慢；当x>0时，随着兀的增加，函数y = F 增加得越來越快.若y = x 2表示路程关于时间的函数，则j/ = 2x 可以解释为某物体做变速运动，它在时刻兀的瞬时速度为2兀・ 探究4.函数y = /(x)=丄的导数x1 1因为乞=/(兀+心)一/(兀)=兀+心一匚Ar Ar Av_ x-(x +A.r) _ 1x(x +x 2 +x ・ Ax所以)/ = lim —— = lim (— ----------- )=——△1—()探究5・函数y = f(x) = ^的导数/(x +A Y )-/(X ) _ A /X + A A -- Vx Ax Ax Ax_ (yJx + Ax - V X )(A /X 4-A X + >/x) A T (J H +Ax + Vx) _(x + Av)-x心(>/兀+ A Y +仮)函数导数y = 4x,1(2)推广：若 y = fM = x\neQ^f 则 f\x) = nx^1(四入知识应用，深化理解 例1.求下列函数的导数.(l)x 3(2)丄 (3)7XX求下列函数的导数。
高中数学选修2-2学案7：1.2.1 几个常用函数的导数
1.2.1 几个常用函数的导数一、学习目标1.能根据导数定义,求函数x y x y x y x y x y c y ======,1,,,,32的导数; 2.熟记基本初等函数的导数公式.二、复习引入导数的几何意义和物理意义分别是什么?三、例题精讲例1：根据导数的定义求下列函数的导数,并说明(1)(2)所求结果的几何意义和物理意义.（1）C x f y ==)((C 为常数); (2)x x f y ==)((3)2)(x x f y == (4) 3)(x x f y ==(5)1)(-==x x f y (6)x x f y ==)( 对任意幂函数αx y =,当Q ∈α时,都有')(αx =1xαα-. 例2：利用上述结论,求下列函数的导数:(1)15x y = (2)3-=xy )0(≠x (3))0(45>=x x y (4) )0(132≠=x x y例3：求曲线xy 1= (1)在点(1,1)处的切线方程;(2)求曲线2x y =过点(2,3)的切线方程.四、课后巩固1．函数101)(=x f 的导数是___________.2．函数3x y =在1=x 处的导数为_____________3．物体的运动方程为5t s =,则物体在2=t时的瞬时速度为______. 4．函数x y ln =在1=x 处的切线方程为_______________________.5.过点)3,0(-P 作曲线4x y =的切线,求此切线的方程.——★ 参 考 答 案 ★——三、例题精讲例1：根据导数的定义求下列函数的导数,并说明(1)(2)所求结果的几何意义和物理意义.(1)y =0 (2) y =1(3) y =2x (4) y =3x 2(5) y =-x -2 (6) y =1212x - 例2：利用上述结论,求下列函数的导数:(1) y =15x 14 (2) y =-3x -4(3)y =1454x (4) 5323y x -=- 例3：求曲线x y 1=(1) y =-x +2(2) y =4x -5四、课后巩固1．02．133．804．y =x5. y =-3。
人教版数学高二-(人教版)高二数学选修2-2学案 1-1 几个常用函数的导数
（1）求函数的改变量
（2）求平均变化率
（3）取极限，得导数 ＝ =
【问题展示合作探究】
探究任务一：函数 的导数.
问题：如何求函数 的导数
新知： 表示函数 图象上每一点处的切线斜率为.
若 表示路程关于时间的函数，则 ，可以解释为
即一直处于静止状态.
试试：求函数 的导数
3.在曲线 上的切线的倾斜角为 的点为（）
A． B． C． D．
4.过曲线 上点 且与过这点的切线垂直的直线方程是
5.物体的运动方程为 ，则物体在 时的速度为，在 时的速度为.
【知识梳理归纳总结】
1.利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：，，
2.利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.
课题：§3.2.1几个常用函数导数
学习目标：1.掌握四个公式，理解公式的证明过程；2.学会利用公式，求一些函数的导数；
3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.学习过程：【学情 Nhomakorabea查情境导入】
复习1：导数的几何意义是：曲线 上点（ ）处的切线的斜率.因此，如果 在点 可导，则曲线 在点（ ）处的切线方程为
若 表示路程关于时间的函数，则 ，可以解释为
探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数 的图象，并根据导数定义，求它们的导数.
（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？
（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？
（3）函数 增（减）的快慢与什么有关？
例1求函数 的导数
变式：求函数 的导数
小结：利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：作差，求商，取极限.
人教版高中数学选修2-2第一章1.2.1几个常用函数的导数
旧知回顾函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.00()();f x x f xyx x+∆-∆=∆∆lim.xyyx∆→∆'=∆（1）求增量（2）算比值（3）求极限新课导入我们知道，导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么，对于函数y=f(x)，如何求它的导数呢？上节内容，我们讲述了导数的定义，可以根据定义求导数. 这节课我们求几个常见函数的导数.3.2 导数的计算导数的计算常见函数导数基本初等函数的导数公式导数运算法则3.2.1 几个常见函数的导数教学目标知识与能力（1）深刻理解导数的几何意义.（2）根据导数定义求基本函数的导数.过程与方法（1）通过分析实例，了解求导数的方法. （2）掌握几个基本函数的导数.情感态度与价值观根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式，更好的学习导数等概念.教学重难点 重点难点 根据导数定义求解导数方法.21y =c,y =x,y =x ,y =,y =x x 会根据导数的定义求五个函数的导数.知识要点根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.1.函数y=f(x)=c的导数.0lim .x ∆→''= y =f(x)=C,ΔyΔy=f(x+Δx)-f(x)=C -C,=0ΔxΔy ∴f (x)=C =0Δx证明:概念理解若 y=c （如图）表示路程关于时间的函数，则y′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.知识拓展公式1: C=0(C为常数)2. 函数y=f(x)=x 的导数 00lim lim 111x x δδ→→==='证明：Δyf(x +Δx)-f(x)∵==Δx Δx Δy ∴y Δx概念理解若 y=x（如图1.2–2）表示路程关于时间的函数，则y′=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.探究2,3,4y x y x y x===在同一直角坐标系中，画出函数的图像，并根据导数定义，求它们的导数.2040608010012345678910111213141516171819202122xy=2x y=3x y=4x（1）从图像上看，它们的导数分别表示什么？2,3,4y x y x y x === 从图像上看，函数的导数分别表示这些直线的斜率.（2）这三个函数中，哪一个增加的最快？哪一个增加的最慢？在这三个函数中，y=4x增加的最快，y=3x增加的最慢.（3）函数y=kx(k≠0)增（减）的快慢与什么有关？解：函数增加的快慢与k有关系，即与函数的导数有关系，k越大，增加的越快，反之，越慢.3. 函数y=f(x)= 的导数 2x 00lim lim x x δδ→→==22222'证明：Δy f(x +Δx)-f(x)(x +Δx)-x∵==Δx Δx Δxx +2x Δx +(Δx)-x =Δx=2x +ΔxΔy ∴y (2x +Δx)=2x.Δx ×概念理解 0510152025301234567891011系列2 若 表示路程关于时间的函数，则 可以解释为某物体做变速速度，它在时刻x 的瞬时速度为2x. 2y x ='2y x =4. 函数y=f(x)= 的导数 1x证2'22δx→0δx→0明：Δy f(x +Δ'x)-f(x)x -(Δx)∵==Δx Δx x(x +Δx)Δx 1=-x +xΔxΔy11∴y =lim =lim (-)=-Δx x +xΔx x探究1画出函数y=的图像，x根据图像，描述它的变化情况，并求出曲线在点（1，1）处的切线方程.结合函数图像及其导数发现，当x<0时，随着x 的增加，函数 减少的越来越快；当x>0时，函数减少的越来越慢.'21y x =-1y x='x=1' 点（1，1）处的切线的斜率就是y |=-1,故斜率为-1，过点(1,1)的切线方程y =-x +2.5. 函数y=f(x)= 的导数x 'δx →0δx →0证明：Δy f(x +Δx)-f(x)x +Δx -x∵==Δx Δx Δx1=x +Δx +xΔy 11∴y =lim =lim =Δx x +Δx +x 2x知识拓展公式2: . )()(1Q n nx x n n ∈='- 请注意公式中的条件是 ,但根据我们所掌握的知识,只能就 的情况加以证明.这个公式称为幂函数的导数公式.事实上n 可以是任意实数. n Q ∈*n N ∈例 13(1) (x ) 2(2) 3x 3'21(x )=3x 解：（）2' (2)3x )=6x（课堂小结1.根据定义求常用函数的导数.21 ,,,, y c y x y x yx ====课堂小结2. 根据定义求导数的具体步骤（1）计算 ，并化简. y x ∆∆（2）观察当△x 趋近于0时， 趋近于哪个定值.y x ∆∆（3） 趋近于的定值就是函数f=f(x)的函数.y x ∆∆3.认识导数不同方面的意义，建立不同意义方面的联系，能够在不同意义间进行转换.(2007浙江文)32曲线y =x -2x -4x+2在点(1,-3)处的切线方程是 .520x y +-=高考链接(2007江西理)设函数f(x)是R上以5为周期的可导函数，则函数曲线在x=5处的切线的斜率为（）B1A. -B. 051C. D. 55随堂练习1..3'1f'(x)f(x)=x+2x+12f(-1)是的导函数，则的值是311,,111.y x x y y x ⎧==⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎩解：联立方程组解得故交点为（，） 求双曲线 与抛物线 交点处切线的夹角. 1y x =y x =2.211111,,1|1,(1,1)1;x y y x xk y y xk ='==-'∴==-==-双曲线故双曲线在交点处的 切线斜率为121121,,21|,(1,1)21;2x y x y x k y y x k -='=='∴==== 抛物线故抛物线在交点处的切线斜率为1212112tan |||| 3.111(1)2k k k k θ---===++-⋅arctan 3.θ∴=夹角由夹角公式：0||,()0,,1lim 1;x y x y x x xx y x x xy x ∆→=∆+∆-∴>===∆∆∆∴=∆当时则3.解：利用导数的定义求函数y=|x|（x≠0）的导数.00()(),1,lim 1;x x y x x x y x x xy x∆→<∆-+∆--=-==-∆∆∆∴=-∆当时10.10x y x >⎧'∴=⎨-<⎩。
高中数学选修2-2人教A教案导学案1.2.1几个常用函数的导数
1. 2.1几个常用函数的导数课前预习学案一．预习目标1．会由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 二．预习内容1.用导数定义求函数在一点处的导数的一般步骤是： （1） （2） （3）2．利用上述步骤求函数()f x x =当1x =时的导数，并说明其几何意义。
. 三．提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一． 学习目标1．会应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数二． 学习过程（一）。
复习回顾用导数定义求函数在一点处的导数的一般步骤是： （1） （2） （3）（二）。
提出问题，展示目标我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．（三）、合作探究1．利用导数定义求函数()y f x c ==的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。
2．利用导数定义求函数()y f x x ==的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。
3．利用导数定义求函数2()y f x x ==的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。
4．利用导数定义求函数1()y f x x==的导数。
5．利用导数定义求函数y x =的导数。
6．你能从一般角度推广函数*()()ny f x x n Q ==∈的导数吗？（四）例题精析例题：在同一坐标系中画出函数2,3,4y x y x y x ===的图像，并根据导数的定义，求出它们的导数。
高中数学选修2-2教学设计5：1.2.1 几个常用函数的导数教案
1.2.1 几个常用函数的导数教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式；2、能利用导数公式求简单函数的导数.教学重难点：能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用. 教学过程：合作探究：探究任务一：函数()y f x c ==的导数.问题：如何求函数()y f x c ==的导数新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为0.若y c =表示路程关于时间的函数，则y '=0，可以解释为速度为0，即一直处于静止状态. 试试：求函数()y f x x ==的导数反思：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为1.若y x =表示路程关于时间的函数，则y '=1，可以解释为速度为1.探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数.（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？（3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？[答案]（1）y =2,y =3,y =4（2）y =4x y =2x（3）斜率典型例题1．推导函数的导数：()f x c =. 解：()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆，'00()lim lim 00x x y f x x ∆→∆→∆===∆ 2. 求()f x x =的导数. 解：()()1y f x x f x x x x x x x ∆+∆-+∆-===∆∆∆，'00()lim lim 11x x y f x x ∆→∆→∆===∆.'1y =表示函数y x =图象上每一点处的切线的斜率都为1.若y x =表示路程关于时间的函数，则'1y =可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.思考：(1)从求y x =，2y x =，3y x =，4y x =的导数如何来判断这几个函数递增的快慢？(2)函数(0)y kx k =≠增的快慢与什么有关？可以看出，当k >0时，导数越大，递增越快；当k <0时，导数越小，递减越快.3. 求函数2()y f x x ==的导数. 解：22()()()2y f x x f x x x x x x x x x∆+∆-+∆-===+∆∆∆∆， ''00()lim lim (2)2x x y y f x x x x x ∆→∆→∆===+∆=∆. '2y x =表示函数2y x =图象上每点（x ,y ）处的切线的斜率为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化：(1) 当x <0时，随着 x 的增加，2y x =减少得越来越慢；（2）当x >0时，随着 x 的增加，2y x =增加得越来越快.4. 求函数1()y f x x==的导数. 解：211()()()1()y f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x-∆+∆--+∆+∆====-∆∆∆+∆∆+⋅∆， ''220011()lim lim ()x x y y f x x x x x x∆→∆→∆===-=-∆+⋅∆ 思考：(1)如何求该曲线在点（1，1）处的切线方程？'(1)1k f ==-，所以其切线方程为2y x =-+.(2)改为点（3，3），结果如何？(3)把这个结论当作公式多好呀，，既方便，又减少了复杂的运算过程.5. 推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx-'= 反思总结1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的步骤.2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.当堂检测1.()0f x =的导数是（ ）A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定2.已知2()f x x =,则(3)f '=（ ）A ．0B ．2xC ．6D ．93. 在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点为（ ）A ．(0,0)B ．(2,4)C ．11(,)416D ．11(,)244. 物体的运动方程为3s t =，则物体在1t =时的速度为 ，在4t =时的速度为 .[答案]1.A2. C3. B4. 2 48。
人教课标版高中数学选修2-2《几个常用函数的导数》教学课件
1 2
,
5) 4
的切线方
例2：求过点P ( 5 , 6) 作曲线y x2 的切线方程。
2
例3：对任意的x R,
f
'( x)
1 x2
,
且f (1) 0,求f (x)
O
x
图1.2 3
所以 y` lim y lim 2x x 2x.
x0 x x0
y` 2x 表示函数 y x2 图象上点 x, y处
切线的斜率为2x
y' 2x 表明: 当x 0时,随着x 的增加, y x2减少得越来越慢; 当x 0时,随着x的增加, y x2增加得越来越快. 若y x2表示路程关于时间的函数, 则 y' 2x,可以解释为某物体作变速运动, 它在时刻x的瞬时速度为2x.
y 无限趋近于f '(x） x
f '(x）
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
3、导函数：
如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导， 就说f(x)在开区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导 数 f '(x0)，这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函 数，我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的 导函数，简称为导数，记作
4. 函数 y f x 1 的导数
因为y
x
f x x f x
11
x x x
x
x
x
x x x
1
xx xx x2 x x ,
所以
y`
lim
x0
y x
高中数学教案选修2-2《1.2.1 常见函数的导数》
教学目标：1．能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式；2．能利用导数公式求简单函数的导数．教学重点：基本初等函数的导数公式的应用．教学过程：一、问题情境1．问题情境．（1）在上一节中，我们用割线逼近切线的方法引入了导数的概念，那么如何求函数的导数呢？ （2）求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：给定函数()y f x ＝计算()()y f x x f x x x∆∆∆∆＋－＝令x ∆无限趋近于0xy ∆∆无限趋近于)(x f ' )(x f '①求出P 点的坐标；②利用切线斜率的定义求出切线的斜率；③利用点斜式求切线方程．（3）函数导函数的概念2．探究活动．用导数的定义求下列各函数的导数：思考 由上面的结果，你能发现什么规律？二、建构数学1．几个常用函数的导数： 思考 由上面的求导公式（3）～（7），你能发现什么规律？2．基本初等函数的导数：（1）()kx b k '＋＝；（2）0C '＝（C 为常数）；（3）()1x '＝；（4）2()2x x '＝；（5）32()3x x '＝；（6）211()x x '＝－； （7）1()2x x '＝．三、数学运用例1 利用求导公式求下列函数导数．（1）5y x -＝； （2）y ； (3)πsin 3y ＝； （4）4x y ＝； （5）3log y x ＝； （6）πsin()2y x ＝＋； （7）cos(2π)y x ＝－． 例2 若直线y x b ＝－＋为函数1y x＝图象的切线，求b 及切点坐标． 点评 求切线问题的基本步骤：找切点—求导数—得斜率．变式1 求曲线2y x ＝在点(1，1)处的切线方程．变式2 求曲线2y x ＝过点 (0，－1)的切线方程．点评 求曲线“在某点”与“过某点”的切线是不一样的．变式3 已知直线l ：1y x ＝－，点P 为2y x ＝上任意一点，求P 在什么位置时到直线l 的距离最短．练习：1．见课本P20练习．第3题： ；第5题：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．2．见课本P26．第4题：（1） ；（2） ．3．见课本P27第14题（2）．(4)f ＝ ；(4)f ＝ ．四、回顾小结（1）求函数导数的方法．（2）掌握几个常见函数的导数和基本初等函数的导数公式．五、课外作业1．课本P26第2题．2．补充．（1）在曲线24y x ＝上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°． （2）当常数k 为何值时，直线y x ＝才能与函数2y x k ＝＋相切？并求出切点．。
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1.2.1 几个常用函数的导数
教学目标：
1. 能够用导数的定义求几个常用函数的导数；
2． 利用公式解决简单的问题.
教学重点和难点
1．重点：推导几个常用函数的导数；
2．难点：推导几个常用函数的导数.
教学方法：
自己动手用导数的定义求几个常用函数的导数，感知、理解、记忆.
教学过程：
一、复习
1、函数在一点处导数的定义；
2、导数的几何意义；
3、导函数的定义；
4、求函数的导数的步骤.
二、新课
1. 求()f x x =的导数. 解：
()()1y f x x f x x x x x x x
∆+∆-+∆-===∆∆∆， '00()lim lim 11x x y f x x ∆→∆→∆===∆. '1y =表示函数y x =图象上每一点处的切线的斜率都为1.若y x =表示路程关于时间的函数，则'1y =可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.
思考：(1).从求y x =，2y x =，3y x =，4y x =的导数如何来判断这几个函数递增的快慢？
(2).函数(0)y kx k =≠增的快慢与什么有关？
可以看出，当k >0时，导数越大，递增越快；当k <0时，导数越小，递减越快.
2. 求函数2
()y f x x ==的导数.
解： 22
()()()2y f x x f x x x x x x x x x
∆+∆-+∆-===+∆∆∆∆， ''00
()lim lim (2)2x x y y f x x x x x ∆→∆→∆===+∆=∆. '2y x =表示函数2y x =图象上每点（x ,y ）处的切线的斜率为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化：
（1）当x <0时，随着 x 的增加，2y x =减少得越来越慢；
（2）当x >0时，随着 x 的增加，2y x =增加得越来越快.
3. 求函数1()y f x x
==的导数. 解： 211()()()1()y f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x
-∆+∆--+∆+∆====-∆∆∆+∆∆+⋅∆， ''220011()lim lim ()x x y y f x x x x x x
∆→∆→∆===-=-∆+⋅∆ 思考：(1)如何求该曲线在点（1，1）处的切线方程？
'(1)1k f ==-，所以其切线方程为2y x =-+.
(2)改为点（3，3），结果如何？
三 、例题
例1
：试求函数()y f x ==
的导数.
解：
()()y f x x f x x x ∆+∆-==∆∆=
''0()lim lim x x y y f x x ∆→∆→∆====∆ 例2：已知点P （-1，1），点Q （2，4）是曲线2y x =上的两点，求与直线PQ 平行的曲线的切线方程.
解：'2y x =，设切点为00(,)M x y ，则0'
02.x x y x == 因为PQ 的斜率411,21
k -==+又切线平行于PQ ， 所以021k x ==，即012x =，切点11(,)24
M ， 所求直线方程为4410x y --=.
四、练习
1.如果函数()5f x =，则'(1)f =（ ）
A. 5
B. 1
C. 0
D.不存在
2.曲线2
21y x =-+在点（0，1）的切线斜率是（ ）
A.-4
B.0
C.2
D. 不存在 3.曲线212y x =在点1(1,)2
处切线的倾斜角为（ ） A. 4π- B. 1 C. 4π D. 54π 【答案】1.C 2.B 3.C
五、小结
1.记熟几个常用函数的导数结论，并能熟练使用；
2.在今后的求导运算中，只要不明确要求用定义证明，上述几个结论直接使用.
六、作业布置。