初等超越函数超越性的证明云利英

例如函数 y=a +bx+c；y= ；
y=
等都是有理函数。
而函数 y=
； y= 等都是无理函数。
定义3：凡能由基本初等函数 (x)=x和 (x)=c，经过有限次 加、减、乘的运算得到有理函数叫做有理整函数，非有理整函 数的有理函数，叫做有理分函数。
例如：函数y=kx+b；y=a +bx+c等为有理整函数。
如
， 就是一例。
函数的实质是对应关系，初等函数都可用解析表达式表
示，判定一个初等函数究竟属于哪一类，不能只观察解析表达
式的形式，而应从对应关系的实质看。
例如函数y=2 不是超越函数，事实上它的解析表达式可化简为Y=1+ 。 所以它是代数函数。
再例如函数y= ，不是无理函数，因为它的解析表达式 可化简为y= ，所以它是有理整函数。
用二分法列表给出分列表如下：
二、各类初等函数的定义 定义1：凡能由基本初等函数f1(x)=x和f2(x)=c经过有限次的代
数运算(加，减，乘，除，乘方，开方)，得到的函数，叫做初等 代数函数。非代数函数的初等函数叫做初等超越函数。
例如y=2x2+2x+1；y= +x y= 等都是初等代数函数
而 y=
互为反函数，因此，必有P( , y)=0，
也就是说 是代数方程P(x, y)=0的根，这与前面证明是矛
参考文献： [1]李文荣.根据函数方程判断基本初等函数的超越性[J].数学通
报,1979(01). [2]胡含林.数π超越性的一个新证明[J].南昌大学学报(理科
版),1996(01).
The proof of the transcendence of elementary transcendental function
∴指数函数y= 在a>0且a≠1时不是代数函数，而是超越函 y)=0，中x与y的次数，因而它的根应是有限个。所以三角函数
数。
不是代数函数而是超越函数。反三角函数都是超越函数。
推论：对指数函数y=
(a>0，a≠1)是超越函数。
这是显然的，事实上若y= 数方程：
是代数函数，它必满足代
P(x,
)=0，
但x= 与y=
例如函数 y= ，满足代数方程 -x=0； 函数y=2x-1， 满足代数方程y-(2x-1)=0；
函数y= + y=
，满足代数方程
-2(2x+5) +25=0 ;
Fra Baidu bibliotek
函数y= ，( 是分式 )，
满足代数方程Q(x) -P(x)=0 故它们都是代数函数。 定义2：凡能由基本初等函数 (x)=x和 (x)=c经过有限次 加、减、乘、除四则运算得到的初等代数函数，叫做有理函 数，非有理函数的初等函数，叫做无理函数。
因此当a>1时，y= 不是代数函数。
当0<a<1时，可令 的情况。
<1，并用 代替 ，证明过程同a>1
如果三角函数是代数函数，则必满足代数方程： P(x, y)=0 或者说，它是由这个方程所确定的，其中P(x, y)是关于x与y 的多项式。 因为三角函数是周期函数，假设对于x的无限多个值，(但 不是x的所有的一切值)y的值都等于a，则代数方程： P(x, a)=0 不是关于x的恒等式，而又有无限多个根，这是不可能的。 因为方程P(x, a)=0是x的代数方程，其次数不能超过方程P(x,
Yun Li-ying (Jining Teachers College, Wulanchabu Inner Mongolia, 012000, China)
关键词：超越函数；初等代数函数；初等超越函数 中图分类号：O174 文献标识码：A 文章编号：1008-6757（2013）02-0111-02
一、初等函数的定义及其分类 定义由基本初等函数经过有限次的求出函数复合所构成
的，并能用一个解析式表达的函数，叫初等函数。 初等函数可根据求出函数值所用到的运算种类进行分类，
而函数y= 等为有理分函数。
根据以上定义和分类，我们可以清楚地看到，有理整条 数，又叫多项式。一般地可表示为：
p(x)=
…….+
负整数，(i=0，1，2……….n)为常数。
有理分函数又叫有理分式，一般表示为
. 其中n为非
y=R(x)=
Q(x)≠0，而p(x)，Q(X) 都是x的多项式。 对于用方程(※)所确定的函数，在许多情况下，并非初等代 数函数，如高等代数里已证过的高于五次的代数方程，在一般 情况下未必能用根式来解，所以像这样所得到的函数，只能是 代数函数，而不是初等代数函数了。
；
y=
；
y= ； y=a r ct g ，
等都是初等超越函数。
从广义上讲，上述的定义也可以这样叙述：
定义如果函数y满足这样的代数方程
P(x，y)= (x) + (x) +……+ (x)y+ (x)=0…(※) 其中n为正整数， (x)≠0， (x) (q=0，1，2，3，……n) 为X的多项式，则称为代数函数。换句话说，代数函数是由 代数方程(※)所确定的函数。 非代数函数的一切函数，称为超越函数，也就是说，不满 足代数方程(※)的函数，便是超越函数。
三、指数函数的超越性
定理指数函数y= 当底a＞0,
时是超越函数。
证明(用反证法)
设 y= (a＞0,
)是代数函数，则它必满足上节方程
(※)即：
P(x, y) = (x)
(x) =0. (※)
设＞1，将上式左边提出因式
，便得
收稿日期：2013-01-14 作者简介：云利英（1968-），女，内蒙古呼和浩特人，副教授，从事数学教育、数学史方向的研究。
Vol.28 No.2
南昌教育学院学报 中小学教育
2013年
初等超越函数超越性的证明
云利英
（集宁师范学院幼师学院 内蒙古乌兰察布 012000）
摘 要：在中学数学里，仅研究初等超越函数，但对其证明没有涉及，作为教师，应该掌握初等函数超越性的证明。文章首先介绍了 初等函数的定义及其分类，进而分析了各类初等函数的定义，接着探讨了指数函数的超越性、三角函数、反三角函数的超越性等问题。
2013年
云利英：初等超越函数超越性的证明
第28卷 第2期
盾的。故对数函数不是代数函数而是超数函数。
四、三角函数、反三角函数的超越性 定理三角函数都是超越函数
显然这个等式是不成立的：
证明(用反证法)
∴当时 x→+∞时
。
类似可证当x→-∞的情况。
∴对于足够大的 ，它不能为0，故 不可能是方程(※)的 解。