公平席位的分配

公平席位的分配

数学(2)班学号 0907022029 郭子龙

摘要：讨论公平席位分配的模型已有很多。本文首先用比例加惯例法、Q值法、D’hondt法对问题中名额进行了分配，再对D’hondt法的合理性进行了分析，并在Q值法对绝对尾数（绝对不公平度）的处理方式基础上，提出了相对尾数模型，并讨论了其满足Young公理的1，3，4条

关键词：分配相对尾数 Balinsky & Young不可能定理

正文

1 问题复述

公平的席位分配问题是一个非常有趣而重要的问题，它在政治学、管理学和对策论等领域具有广泛的应用价值。处理这个问题的最早的方法是Hamilton法，即比例加惯例法；后来出现了Q值法；1974年M.L.Balinski和H.P.Young引入了席位分配问题的公理体系研究方法，并于1982年证明了同时满足五个公理的席位分配方法是不存在的；因此，我们只能根据实际建立在一定公平准则下成立并尽量多的满足Young公理的算法。这里，我们需要理解并运用比例加惯例法、Q 值法、D’hondt法对宿舍委员会名额进行分配，继而提出更优的公平分配席位的方法。

2 模型假设

2.1 合理假设

1.比例加惯例法、Q值法等分配模型均为已知；

2.各个宿舍相互独立互不影响，人数保持不变；

3.委员分配以各宿舍人数为唯一权重。

2.2 符号约定

3 模型的建立与求解

3.1按比例加惯例模型分配

根据比例加惯例分配模型的原理表

3.2按Q 值法模型分配

首先用比例分配法对名额进行初步分配，再根据表达式

)1(2

+=

i i i

i m m n Q C B A i ,,=对剩下的名额进行分配

3.3 D ’hondt 模型 3.3.1 模型建立

设n ，m 分别表示宿舍总人数和总分配席位数，i n (1,2,3i =)表示各宿舍人数，

令

i

ij n a j =

(1,2,3,1,2,...i j ==)，则得到一个数列{}ij a ，将该数列按递减顺序重新

排列，得到

{}()k ij

a ，其中()k ij

a

表示

{}()k ij

a 中第k 大的项。取{}()k ij

a 中前m 项，则相应得到

{}{}()k p ij

m a i p =

=(k=1,2,...,m)中的元素的个数(1,2,3p =)，1m ,2m ,3m 即

为按D ’hondt 模型分配的结果。 3.3.2 按D ’hondt 模型分配

根据建立的D ’hondt 模型，编写MATLAB 程序求出结果（附件-程序6，附录-输入及运行结果3）：

3.4 相对尾数模型 3.

4.1 模型准备

讨论一般情况:k 个宿舍人数分别为i n ,1,2,...,i k =,总人数为1...k n n n =++,待分

配的席位为m 个,理想化的分配结果是

i

p (1,2,...,i k =),满足

1k

i

i m p ==∑,记

i

i n q m

n =

(1,2,...,i k =)。显然,若i q 全为整数,应有i q =i p (1,2,...,i k =),当i q 不全

为整数时,需要确定同时满足下面公理的分配方案。 公理一：

[][]i i i q p q -+

≤≤(1,2,...,i k =),即i p

取[]i q -或[]i q +之一,其中

[]i q -=[]i q ,[]i q +=[]1i q +,[]i q 表示i q 的整数部分。

公理二：1212(,,,...,)(1,,,...,)i k i k p m n n n p m n n n ≤+,1,2,...,i k =,即总席位增加时,各宿舍的席位数不应该减少。

公理一显然满足Balinsky & Young 不可能定理 (见附录) 中的公理4（公平分摊性）,公理二满足其的公理1（人口单调性）和公理3（名额单调性）。令

[]i i i i i n n s m m q q n n -

-

⎡⎤=

-=-⎢⎥⎣⎦,称其为对第i 个宿舍的绝对尾数值。令

[]i i i s r q -=,称其为对第i 个宿舍的相对尾数值。 3.4.2 模型建立与求解

由于人数都是整数,为使分配趋于公平,需所有的i r 越小越好,所以趋于公平的分配方案应该是最大的i r 达到最小,即所有的i r 达到最小。

为方便起见,首先考虑只有两个宿舍的情形,即2k =,12n n n =+,且12n n ≠,1q 和

2q 不全是整数(实际上,他们同为整数或小数)。记i p -

,i r -

为总席位增加一席时的分配结

果和相对尾数。给出定理:

定理:以下分配方案满足公理一,二，

若12r r =,且12s s >,则取

111n p m n -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,22n p m n -⎡⎤=⎢⎥

⎣⎦,即按比例加惯例法分配; 若12r r >,则取

111n p m n -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,22n p m n -⎡⎤

=⎢⎥

⎣⎦; 若12r r <,则取11n p m n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,221

n p m n -

⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦。

Balinsky & Young 不可能定理

公理 1 (份额单调性) 一个州人口的增加不会导致它失去席位。

公理 2 (无偏性) 在整个时间上平均, 每个州应得到它自己应分摊的份额。 公理 3 (席位单调性) 总席位增加不会导致某个州名额减少。

公理 4 (公平分摊性) 任何州的席位数都不会偏离其比例的份额数。

公理 5 (接近份额性) 没有从一个州到另一个州的名额转让会使得这两个州都接近它们应得的份额。

按照定理，对三个宿舍的情形进行讨论。设1r ,2r ,3r 全部为零(实际上,如果有一个为零,即是按两个宿舍分配),可以做以下分配:

1)当123r r r ==时,按比例分配取整后,剩余的席位分配给绝对尾数较大的宿舍,即按比例加惯例法分配;

2)当123r r r >=时,按比例分配后,若剩余一个席位,则分配给第一个宿舍,若剩余两个席位,则分配一席给第一个宿舍,另外一席分配给第二三个宿舍中绝对尾数值较大者；

3)当123r r r =>时，按比例分配后，若剩余一个席位分配给第一二个宿舍中绝对尾数值较大者，若剩余两个席位，则分配给第一二宿舍各一席；

4)当123r r r >>时，按比例分配后,若剩余一个席位,则分配给第一个宿舍,若剩余两个席位,则分配给第二个宿舍。

一般地，对k 个宿舍，设1r ,2r ,…，n r

不全为零，且12...k r r r ≥≥≥，则当1t t r r +≠时，