用换元法解不等式

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用换元法解不等式

【摘要】换元法是数学中的一个基本方法。在不等式的证明过程中，按照所证不等式的

结构特点，将不等式中的变量作适当的代换，可使不等式的结构明朗，从而使不等式变得容易证明，这种方法称为换元法。换元的目的是把合命题化简、化熟，把复杂的、不熟悉的命题化为简单的、熟悉的命题。

换元法在许多实际问题的解决中可以起到化难为易、化繁为简的作用，有些问题直接证明较为困难，但若通过换元的思想与方法来解就很方便，换元法多用于条件不等式的证明中，换元法一般有增量换元、三角换元、代数换元等几种方法。

【关键词】 换元法 三角换元 代数换元

做任何事情都要讲究方法。方法对头，事半功倍；方法不当，事倍功半。解答数学问题关键也在于掌握思考问题的方法，思维方确，问题就容易解决。波利亚说过：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。”

换元法是数学中的一个基本方法之一。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进

新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量围的选取，一定要使新变量围对应于原变量的取值围，不能缩小也不能扩大。下面通过几个例题介绍几种换元的思想和方法。

一、增量换元

若一变量在某一常量附近变化时，可设这一变量为该常量加上另一变量。 例1 设()1,0,,∈z y x 并且它们的和为2 ，求证 3

4

1≤

++≤zx yz xy . 分析与证明 由条件()1,0,,∈z y x 可令3211,1,1a z a y a x -=-=-=，且()1,0,,321∈a a a ，则

1321=++a a a .

()()()()()()133221111111a a a a a a zx yz xy --+--+--=++∴ ()()1332213212-3a a a a a a a a a +++++= 11133221>+++=a a a a a a

又 ()1332213-1a a a a a a ++()()1332212

3213a a a a a a a a a ++-++=

=1332212

32221a a a a a a a a a ---++ ()()()[]

02

1

213223221≥++++-=

a a a a a a ， 3

1

133221≤++∴a a a a a a .

1332211a a a a a a zx yx xy +++=++ ，

34

3111=+≤++<∴zx yz xy .

例 2 已知2,2>>b a ，求证 ab b a <+. 证 设n b m a +=+=2,2，显然0,0>>n m .

则()()n m n m ab b a ++-+++=-+2222 mn n m n m ----++=2244 0<---=mn n m 故ab b a <+.

注 增量换元的目的，在于从不等式b a ≥转化为x b a +=这个等式。再应用这个不等式往不等转化，以达到证题的目的。

二、三角换元

在解某些不等式，迭用适当的三角函数换元，把代数问题转化为三角问题，从而充分利用函数的性质解决问题。

例3 若1=++r q p ，且1,,0≤≤r q p ，求证：3≤++r q p .

分析 由1=++r q p ，可令α2cos =p ，βα22cos sin =q ，βα22cos sin =r ，其中α，

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. . . .

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∈20πβ，.则

βαα222cos sin cos +=++r q p βα22sin sin + βαβααsin sin cos sin cos ++= ()ββααsin cos sin cos ++=

⎪⎭⎫ ⎝⎛

++=4sin sin 2cos πβαα

ααsin 2cos +≤

322tan

arc sin 3≤⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+=α 例4 已知:,1>a ,0>b ,1=-b a 求证:11110<⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<

b b a a a . 分析:由于,1>a ,0>b ,1=-b a 并且不等式中有,,b a

因此我们联想三角函数平方关系:1tan sec 22=-θθ .经过对比,发现a 相当于θ2sec ， b 相

当于θ2tan ，因而可令：,sec 2θ=a ⎪⎭⎫ ⎝⎛

<<=20tan 2πθθb .

证明:令,sec 2θ=a ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

<<=20tan 2πθθb , 则

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b b a a a 111 =θ

θθθθtan 1

tan sec 1sec sec 1222+- θsin =1<

可见原不等式成立。

104sin 105-≤⎪⎭

⎫

⎝⎛+≤∴θπ

原不等式成立。

从例3，例4可以看出，证明不等式时，我们可以结合已知条件或不等式的结构与三角

函数的性质进行分析，利用三角函数换元，从而借助三角函数的性质来证明不等式

三、代数换元

对于那些具有一定结构特点的代数式，可以巧设某些代数式换元，则能化难为易，简洁明快地解决问题。

例5 解不等式03223222<+⋅-+x x .

解：设t x =2，则原不等式可化为032122<+-t t ，

解之得84<

即824<

根据指数函数的单调性，原不等式的解集为{}32<8 。

证明 令x z c z y b y x a +=+=+=,,，其中0,0,0>>>z y x ，则 ()z y x c b a s ++=++=

2

1

. 所以不等式等价于()()()xyz y x z x z y 8≥+++ 因为yz z y 2≥+，xz z x ≥+，xy y x ≥+. 上述三式相乘，得

()()()xyz xy xz yz y x x z z y 8222=⋅⋅≥+++ 故原不等式得证。

四、均值换元

使用均值换元法能达到减元的目的，使证明更加简捷直观有效。

例7 n 个正数,,,21n x x x 它们的和是1,求证: +++++ 322

2

2121x x x x x x

2

112121

≥+++--x x x x x x n n n n n .