用换元法解不等式
例谈数学解题中的换元法
例谈数学解题中的换元法如果用新的未知量或变量替换原来的未知量或变量，求出新的未知量或变量后，再利用替换关系式求出原来的未知量或变量的方法，叫做辅助元素法，简称换元法。
其中，新的未知量叫做辅助元素，简称辅助元。
某些数学问题通过这种“换元”，往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题途径。
1、若(x-z)2-4(x-y)(y-z)=0，求证：x, y, z成等差数列。
（1979年）分析：作变换a=x-y, b=y-z，问题化为(a+b)2-4ab=0a=b。
问题已变得十分简单明了。
2、设对所有实数x，不等式x2log2＞0恒成立，求a的取值范围。
（1987年）分析：作变换m=log2，则原式变为(3+m)x2-2mx+2m＞0。
其对一切x∈R恒成立的充要条件完全暴露为：。
由此解出0＜a＜1。
3、设复数z1和z2满足关系式=0，其中A为不等于0的复数，证明：（1）|z1+A|·|z2+A|=|A|2；（2）。
（1987年）分析：作变换α=z1+A，β=z2+A，则z1=α-A，z2=β-A，代入条件式，并化简得α=|A|2。
（1）|z1+A||z2+A|=|α||β|=|α|||=|α|=|A|2；（2），∴。
4、求同时满足下列条件的所有复数z：（1）z+∈R且1＜z+≤6；（2）z的实部与虚部均为整数。
（1992年）分析：设t=z+，则t∈R，且1＜t≤6，∴z2-tz+10=0。
由条件知Δ=t2-40＜0。
再由求根公式知z=±。
∵是整数，∴t=2,4, 6。
当t=2时，z=1±3i；当t=4时，z的虚部不为整数，舍去；当t=6时，z=3±i。
故所求的复数是z=1±3i或3±i。
换元法不仅是一个重要的数学解题方法，而且也是解高考题的热点方法之一，掌握它的关键在于通过观察、联想发现与构造出变换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式）。
活用换元法 巧证不等式
１ ３ ＋ ５
等）１ ＋ ＋ 等＋ ＿ ＋ Ｚ等） 古（ ）
证 明：将条件等式变形为 （ ） ：２ 一 ， ＋ ） ，
≥ ４ ６ ×一 ＝ ． ｝×＋ ＋ 一 × ２
【 评析】 对于一些分母 较为复杂、变元较多的问题，我们往
往可 以引入一些新 的变量进行代换 ，以简化其结构 ，优化形 式， 使原来较 复杂的 问题化 繁为简 ，变成我们 熟悉的基本 问题 ，体
＋
＿
１
１
、
三 角换元 。纵横联 系
１ ６ｙ一百 ，
于 是
＝
例 １ 实数 ，Ｙ满足等式 一 ｘ ＋Ｚ２ ２ ２ｙ ｙ＝ ，求证 ：一 ／ ≤ 、 而一
＋Ｙ ≤ ．
＋
分 析 ：本题 关键 是 由条件 等式寻找 实数 ，Ｙ之 间的联 系 ，
三 角换 元是 不 错 的 选择 ．
【 评析】三角函数蕴含 着丰富的公 式和 性质 ，巧妙地运 用这 些性质可以顺利地解决许多综合 问题．如三角函数中有 以下三个
这 （ ｃⅡ ） ｃｎ６ ｚ｝ Ⅱ６ｃ 里 ： ６ 一）， ＋一） ＝ （ 一） 十 ，＝ （ ， ＋
待证不等式等价于（ ＋ ） ｚ ） ， ） （ ＋ ） ＋， ｚ ｙ 。。 ＋ （ 一 ＋ ： ， （— （ ， （ ）
现 了化 归 的 思想 ．
即 （
设
Ｖ ２
嘉 ，
＝ｃｓ ， ｏｎ ０ ）
解得 ＝、 ｃｓ ＋、 ｓ ０ Ｙ ／ ｉ０ ／ ｏ０ ／ ｉ ， ＝、 ｓ ， ｎ ｎ
所以 ＋Ｙ ＝
ｓ ＝＿ ３ ｉ ｎ Ｖ －
一
三、参数换元 。改头换面 例 ３ 设 口 ，ｃ为—个三角形三边的边长 ，证明 （ ｂ ＋ ，ｂ ａ— ） ６ｃ６一ｃ ＋ｃ （ ２（ ） ２ ｃ—ａ ａ ）≥０ ．并指出等号成立 的条件． 分析 ：待证 不等式对三 角形的 边 ａ ，ｃ不仅是 正数 ，而 ，ｂ 且还 满足 Ⅱ ＜ｂ＋Ｃ ，ｂ＜Ｃ ，ｃ ＋ａ ＜ａ＋ ，如何利 用这些条件 ，通 ｂ
换元法
换元法运用换元法解题时，要引入什么样的“新元”和怎样引入“新元”，不同的问题有不同的方法和技巧。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
换元的种类有：等参量换元、非等量换元。
局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如：解不等式：4x +2x －2≥0，先变形为设2x =t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式：2t +t-2≥0求解得：t ≥1,t ≤-2指数函数的单调性求解2x ≥1, 2x ≤-2的问题。
x ≥0,x ≤14三角换元:应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y=21x -的值域时，若x ∈[-1,1]，设x=sin α ，sin α∈[-1,1 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
如变量x 、y 适合条件222x y r +=时(r>0)，则可作三角代换x=rcos θ、y=rsin θ化为三角问题。
均值换元:如遇到x+y=2S 形式时，设x= S+t ，y= S －t 等等。
例1. 分解因式分析：从式子的特征来看，可把各看作一个整体使问题简化，事实上，本题解法较多，下面提供三种方法，供同学们学习参考。
解：法一：对和换元，用换元法解 设则原式法二：用换元法来解设，则原式法三：将原式整理成关于x的二次三项式原式在函数中的应用1、求函数的定义域例2、设函数y=f(x)的定义域是[2,3],求函数y=f(x²)的定义域。
解：设x²=t,则y=f(t)的定义域上[2，3]，即2≦t≦3,因此2≦x²≦3,所以-√3≦x≦-√2或√2≦x≦√3,所求定义域是[-√3,-√2]∪[√2,√3]2、求函数的解析式例3、已知f(x+1)=x²-2x,求f(x)的解析式解：设x+1=t,则x=t-1, 所以f(t)=(t-1)²-2(t-1)=t -4t-1，即f(x)=x²-4x-1。
常见不等式的解法--高考数学【解析版】
专题04 常见不等式的解法所谓常见不等式是指，一元二次不等式、含绝对值不等式、指数对数不等式、函数不等式等，高考中独立考查的同时，更多地是在对其他知识的考查中，作为工具进行考查.正是解不等式的这一基础地位，要求务必做到求解快捷、准确．【重点知识回眸】（一）常见不等式的代数解法1、一元二次不等式：()200ax bx c a ++>≠可考虑将左边视为一个二次函数()2f x ax bx c =++，作出图象，再找出x 轴上方的部分即可——关键点：图象与x 轴的交点2、高次不等式（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于x 的表达式为()f x ，不等式为()0f x >）①求出()0f x =的根12,,x x ② 在数轴上依次标出根③ 从数轴的右上方开始，从右向左画.如同穿针引线穿过每一个根④ 观察图象，()0f x >⇒ 寻找x 轴上方的部分()0f x <⇒ 寻找x 轴下方的部分（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式3、分式不等式（1）将分母含有x 的表达式称为分式，即为()()f xg x 的形式 （2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即()0g x ≠（3）对形如()()0f x g x >的不等式，可根据符号特征得到只需()(),f x g x 同号即可，所以将分式不等式转化为()()()00f xg x g x ⋅>⎧⎪⎨≠⎪⎩ （化商为积），进而转化为整式不等式求解4、含有绝对值的不等式（1）绝对值的属性：非负性（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解：① ()()f x g x >的解集与()()f x g x >或()()f x g x <-的解集相同② ()()f x g x <的解集与()()()g x f x g x -<<的解集相同（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理5、指数、对数不等式的解法：（1）利用函数的单调性：1a >时，x y > log log (,0)x ya a a a x y x y ⇔>⇔>>01a <<时，x y > log log (,0)x y a a a a x y x y ⇔<⇔<>（2）对于对数的两点补充：① 对数能够成立，要求真数大于0，所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于0这个条件，如当1a >时，()()()()()()0log log 0a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇒>⎨⎪>⎩② 如何将常数转化为某个底的对数.可活用“1”：因为1log a a =，可作为转换的桥梁6、利用换元法解不等式利用换元法解不等式的步骤通常为：①选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体 ②求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式③解出新元的范围④在根据新元的范围解x 的范围（二）构造函数解不等式1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、假设()f x 在[],a b 上连续且单调递增，()()00,,0x a b f x ∃∈=，则()0,x a x ∈时，()0f x <;()0,x x b ∈时，()0f x > (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）3、导数运算法则：（1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+ （2）()()()()()()()'''2f x f x g x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4、构造函数解不等式的技巧：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图象只是辅助手段.所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点.那么问题便易于解决了.（三）利用函数性质与图象解不等式：1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系.通常可作草图帮助观察.例如：()f x 的对称轴为1x =，且在()1,+∞但增.则可以作出草图（不比关心单调增的情况是否符合()f x ，不会影响结论），得到：距离1x =越近，点的函数值越小.从而得到函数值与自变量的等价关系2、图象与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个函数的大小关系如()()f x g x <，其中()(),f x g x 的图象均可作出.再由()()f x g x <可知()f x 的图象在()g x 图象的下方.按图象找到符合条件的范围即可.【典型考题解析】热点一 简单不等式的解法【典例1】（2022·全国·高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B =（ ）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}-【答案】B【解析】【分析】求出集合B 后可求A B .【详解】{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B =，故选：B.【典例2】（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.【典例3】（2017·上海·高考真题）不等式11x x ->的解集为________【答案】(,0)-∞【解析】【详解】由题意，不等式11x x ->，得111100x x x->⇒<⇒<，所以不等式的解集为(,0)-∞. 【典例4】（2020·江苏·高考真题）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<． 【答案】2(2,)3- 【解析】【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果【详解】1224x x x <-⎧⎨---<⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-<⎩或0224x x x >⎧⎨++<⎩21x ∴-<<-或10x -≤≤或203x << 所以解集为：2(2,)3- 【典例5】解下列高次不等式：（1）()()()1230x x x --->（2）()()()21230x x x +--< 【答案】（1）()()1,23,+∞；（2）()()1,22,3-. 【解析】（1）解：()()()()123f x x x x =---则()0f x =的根1231,2,3x x x ===作图可得：12x << 或3x >∴不等式的解集为()()1,23,+∞（2）思路：可知()220x -≥，所以只要2x ≠，则()22x -恒正，所以考虑先将恒正恒负的因式去掉，只需解()()13020x x x +-<⎧⎨-≠⎩ ，可得13x -<<且2x ≠∴不等式的解集为()()1,22,3-【名师点睛】在解高次不等式时，穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉，在进行穿根即可.穿根法的原理：它的实质是利用图象帮助判断每个因式符号，进而决定整个式子的符号，图象中的数轴分为上下两个部分，上面为()0f x > 的部分，下方为()0f x <的部分.以例2（1）为例，当3x >时，每一个因式均大于0，从而整个()f x 的符号为正，即在数轴的上方（这也是为什么不管不等号方向如何，穿根时一定要从数轴右上方开始的原因，因为此时()f x 的符号一定为正），当经过3x = 时，()3x -由正变负，而其余的式子符号未变，所以()f x 的符号发生一次改变，在图象上的体现就是穿根下来，而后经过下一个根时，()f x 的符号再次发生改变，曲线也就跑到x 轴上方来了.所以图象的“穿根引线”的实质是()f x 在经历每一个根时，式子符号的交替变化.【规律方法】1.含绝对值的不等式要注意观察式子特点，选择更简便的方法2.零点分段法的好处在于，一段范围可将所有的绝对值一次性去掉，缺点在于需要进行分类讨论，对学生书写的规范和分类讨论习惯提出了要求，以及如何整理结果，这些细节部分均要做好，才能保证答案的正确性.3.引入函数，通过画出分段函数的图象，观察可得不等式的解.热点二 含参数不等式问题【典例6】（2022·浙江·高考真题）已知,a b ∈R ，若对任意,|||4||25|0x a x b x x ∈-+---≥R ，则（ ）A ．1,3a b ≤≥B ．1,3a b ≤≤C ．1,3a b ≥≥D ．1,3a b ≥≤ 【答案】D【解析】【分析】将问题转换为|||25||4|a x b x x -≥---，再结合画图求解．【详解】由题意有：对任意的x ∈R ，有|||25||4|a x b x x -≥---恒成立．设()||f x a x b =-，()51,2525439,421,4x x g x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，即()f x 的图像恒在()g x 的上方（可重合），如下图所示：由图可知，3a ≥，13b ≤≤，或13a ≤<，3143b a ≤≤-≤，故选：D ．【典例7】（2020·浙江·高考真题）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（ ）A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >0【答案】C【解析】【分析】对a 分0a >与0a <两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.【详解】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <，即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <.综上一定有0b <.故选：C【典例8】（2023·全国·高三专题练习）解关于x 的不等式()222R ax x ax a ≥-∈-．【答案】详见解析.【解析】【分析】分类讨论a ，求不等式的解集即可.【详解】原不等式变形为()2220ax a x +--≥．①当0a =时，1x ≤-；②当0a ≠时，不等式即为()()210ax x -+≥，当0a >时，x 2a≥或1x ≤-； 由于()221a a a+--=，于是 当20a -<<时，21x a≤≤-； 当2a =-时，1x =-；当2a <-时，21x a-≤≤． 综上，当0a =时，不等式的解集为(,1]-∞-；当0a >时，不等式的解集为2(,1][,)a-∞-⋃+∞； 当20a -<<时，不等式的解集为2,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为21,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【总结提升】关于含参数不等式，其基本处理方法就是“分类讨论”，讨论过程中应注意“不重不漏”.关于含参数的一元二次不等式问题：(1)当判别式Δ能写成一个式子的平方的形式时，可先求方程的两根，再讨论两根的大小，从而写出解集．(2)三个方面讨论：二次项系数的讨论，根有无的讨论，根大小的讨论．(3)含参数分类讨论问题最后要写综述．热点三 函数不等式问题【典例9】（2018·全国·高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D【解析】【分析】 分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果. 详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .【典例10】（2020·北京·高考真题）已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）． A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】【分析】作出函数2x y =和1y x =+的图象，观察图象可得结果.【详解】因为()21x f x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【典例11】（天津·高考真题（理））设函数f (x )=()212log ,0log ,0x xx x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()()1,00,1-B ．()(),11,-∞-+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃【答案】C【解析】【分析】由于a 的范围不确定，故应分0a >和0a <两种情况求解.【详解】当0a >时，0a -<，由()()f a f a >-得212log log a a>，所以22log 0a >，可得：1a >，当0a <时，0a ->，由()()f a f a >-得()()122log log a a ->-，所以()22log 0a -<，即01a <-<，即10a -<<，综上可知：10a -<<或1a >.故选：C【典例12】（2020·海南·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【典例13】（2023·全国·高三专题练习）设函数()f x '是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，f （﹣1）＝0，当x ＞0时，()()0xf x f x '->，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）B ．（0，1）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D ．（﹣1，0）∪（1，+∞）【答案】D【解析】【分析】构造函数()()f x g x x =，求导结合题意可得()()f x g x x =的单调性与奇偶性，结合()10g -=求解即可 【详解】由题意设()()f x g x x=，则()()()2xf x f x g x x '-'= ∵当x ＞0时，有()()0xf x f x '->，∴当x ＞0时，()0g x '>，∴函数()()f x g x x=在（0，+∞）上为增函数， ∵函数f （x ）是奇函数，∴g （﹣x ）＝g （x ），∴函数g （x ）为定义域上的偶函数，g （x ）在（﹣∞，0）上递减，由f （﹣1）＝0得，g （﹣1）＝0，∵不等式f （x ）＞0⇔x •g （x ）＞0，∴()()01x g x g >⎧⎨>⎩或()()01x g x g <⎧⎨<-⎩， 即有x ＞1或﹣1＜x ＜0，∴使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：D ．【总结提升】关于函数不等式问题，处理方法往往从以下几方面考虑：（1）利用函数的奇偶性、单调性.（2）借助于函数的图象（数形结合法）.（3）涉及抽象函数、导数问题，利用构造辅助函数法，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.【精选精练】一、单选题1．（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.2．（2021·湖南·高考真题）不等式|21|3x -<的解集是（ ）A ．{}2x x <B ．{}1x x >-C ．{}12x x -<<D ．{1x x <-或}2x >【答案】C【解析】【分析】根据绝对值的几何意义去绝对值即可求解.【详解】由|21|3x -<可得：3213x -<-<，解得：12x -<<， 所以原不等式的解集为：{}12x x -<<，故选：C.3．（2021·广东·潮阳一中明光学校高三阶段练习）设集合{}11A x x =-≤≤，{}2log 1B x x =<，则A B =（ ）A ．{}11x x -<≤B ．{}11x x -<<C ．{}01x x <≤D ．{}01x x <<【答案】C【解析】【分析】根据对数函数定义域以及对数函数不等式求解集合B ，再进行交集运算即可.【详解】 由题意得，{}{}2log 102B x x x x =<=<<，所以{}|01A B x x ⋂=<≤，故选：C.4．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知集合{}230A x x x =-<，{}|33x B x =≥，则A B =（ ） A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．(2 D ．()1,3【答案】B【解析】【分析】求出集合A 、B ，再由交集的定义求解即可【详解】 集合{}{}23003A x x x x x =-<=<<，{}1332x B x x x ⎧⎫==≥⎨⎬⎩⎭， 则132A B x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭.故选：B.5.（天津·高考真题（理））设x ∈R ，则“21x -<”是“220x x +->”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.【详解】 由21x -<，可得13x <<，即x ∈(1,3)；由22(1)(2)0x x x x +-=-+>，可得2x <-或1x >，即x ∈(,2)(1,)-∞-+∞；∴(1,3)是(,2)(1,)-∞-+∞的真子集，故“21x -<”是“220x x +->”的充分而不必要条件.故选：A6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），若关于x 的不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），则实数c 的值为（ ）A ．4B ．3C ．9D ．94【答案】C【解析】【分析】根据函数的值域求出a 与b 的关系，然后根据不等式的解集可得()f x c =的两个根为,6m m +，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可.【详解】∵函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），∴f （x ）＝x 2+ax +b ＝0只有一个根，即Δ＝a 2﹣4b ＝0则b 24a =， 不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），即为x 2+ax 24a +＜c 解集为（m ，m +6）， 则x 2+ax 24a +-c ＝0的两个根为m ，m +6 ∴|m +6﹣m |22444a a c c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭6 解得c ＝9故选：C ．7．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()22x f x =-，则不等式()0f x >的解集是（ ）A ．()()1,00,1-B ．()()1,01,-⋃+∞C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()(),11,-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】【分析】根据函数为奇函数求出当0x <时，函数()f x 的函数解析式，再分0x <和0x >两种情况讨论，结合指数函数的单调性解不等式即可.【详解】解：因为函数()y f x =是奇函数，所以()()f x f x -=-，且()00f =当0x <时，则0x ->，则()()22x f x f x --=-=-，所以当0x <时，()22x f x -=-+，则()0220x x f x >⎧⎨=->⎩，解得1x >，()0220x x f x -<⎧⎨=-+>⎩，解得10x -<<，所以不等式()0f x >的解集是()()1,01,-⋃+∞.故选：B.8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，则不等式()(31)<-f a f a 的解集为（）A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】由函数解析式判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：因为33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，当0x <时()33f x x =-+函数单调递减，且()3033f x >-⨯+=，当0x ≥时()e 1x f x -=+函数单调递减，且()00e 123f =+=<，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调递减，所以不等式()(31)<-f a f a 等价于31a a >-，解得12a <． 即不等式的解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； 故选：C9．（2020·海南·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.10．（2023·全国·高三专题练习）定义在(0)+∞，上的函数()f x 满足()()110,2ln 2xf x f '+=＞，则不等式)(e 0x f x +> 的解集为（ ） A ．(02ln2)，B ．(0,ln2)C ．(ln21)，D ．(ln2)+∞， 【答案】D【解析】【分析】构造新函数()()ln ,(0)g x f x x x =+>，利用导数说明其单调性，将)(e 0x f x +>变形为)>(e (2)x g g ，利用函数的单调性即可求解.【详解】令()()ln ,(0)g x f x x x =+> ， 则()11()()xf x g x f x x x'+''=+=，由于()10xf x '+＞, 故()0g x '>,故()g x 在(0)+∞，单调递增， 而1(2)(2)ln2ln ln 202g f =+=+= ， 由)(e 0x f x +>，得)>(e (2)x g g ，∴e 2x > ，即ln2x > ,∴不等式)(e 0x f x +>的解集为(ln2)+∞，, 故选：D ．二、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）不等式组230,340.x x x ->⎧⎨-->⎩的解集为_________. 【答案】()4,+∞【解析】【分析】解一元二次不等式取交集即可.【详解】原不等式组化简为3034(4)(1)041x x x x x x x ->>⎧⎧⇒⇒>⎨⎨-+>><-⎩⎩或 故答案为：()4,+∞.12．（2019·浙江·高考真题）已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a =【解析】【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()222(2)()2(2)(2)2234{}2]6f t f t a t t t t a t t +-=•[++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤， 由折线函数，如图只需11133a -≤-≤，即2433a ≤≤，即a 的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.13．（2023·全国·高三专题练习）若函数f (x )＝ln x ＋e x －sin x ，则不等式f (x －1)≤f (1)的解集为________．【答案】(1，2]【解析】【分析】先利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性解不等式.【详解】解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴()1f x x'=＋e x －cos x . ∵x >0，∴e x >1，∴()f x '>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x －1)≤f (1)，∴0<x －1≤1，即1<x ≤2，则原不等式的解集为(1，2]．故答案为：(1，2]三、双空题14．（2019·北京·高考真题（理））李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】 130. 15.【解析】【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x 的最大值.【详解】(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8y y x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元. 所以x 的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）111()12x x x x -≤⎧⎪=⎨⎪⎩，，＞，则()()2f f ＝__，不等式()()32f x f -<的解集为__．【答案】12## 0.5 {x |x 72＜或x ＞5} 【解析】【分析】第一空先求出()2f 的值，再求()()2f f 的值；第二空将3x -分为大于1或小于等于1两种情况讨论，分别解出不等式，写出解集即可.【详解】解：f （2）211122-⎛⎫== ⎪⎝⎭，1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()()122f f =， 当x ﹣3＞1时，即x ＞4时，311122x --⎛⎫ ⎪⎝⎭＜，解得x ＞5， 当x ﹣3≤1时，即x ≤4时，x ﹣312＜，解得x 72＜， 综上所述不等式f （x ﹣3）＜f （2）的解集为752x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或 故答案为：12，752x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或． 四、解答题16．（2020·山东·高考真题）已知函数()225,02,0x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩. （1）求()1f f ⎡⎤⎣⎦的值；（2）求()13f a -<，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3；（2）35a -<<.【解析】【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；（2）先判断1a -的取值范围，再代入分段函数解析式，得到()13f a -<的具体不等式写法，解不等式即可.【详解】解：（1）因为10>，所以()12153f =⨯-=-，因为30-<，所以()()()()2133233f f f =-=-+⨯⎤⎦-⎣=⎡.（2）因为10a -≥， 则()1215f a a -=--， 因为()13f a -<，所以2153a --<， 即14a -<，解得35a -<<.17．（2021·全国·高考真题（理））已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;（2）若()f x a >-，求a 的取值范围．【答案】（1）(][),42,-∞-+∞.（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简()f x a >-，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6， 当4x =-或2x =时所对应的数轴上的点到13-，所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥， 所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞.[方法二]【最优解】：零点分段求解法当1a =时，()|1||3|f x x x =-++．当3x ≤-时，(1)(3)6-+--≥x x ，解得4x ≤-；当31x -<<时，(1)(3)6-++≥x x ，无解；当1≥x 时，(1)(3)6-++≥x x ，解得2x ≥．综上，|1||3|6-++≥x x 的解集为(,4][2,)-∞-+∞．（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+, 故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<， 解得32a >-. 所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. [方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值由||x a -是数轴上数x 表示的点到数a 表示的点的距离，得()|||3||3|f x x a x a =-++≥+，故|3|a a +>-，下同解法一.[方法三]：分类讨论+分段函数法当3a ≤-时，23,,()3,3,23,3,x a x a f x a a x x a x -+-<⎧⎪=--≤≤-⎨⎪-+>-⎩则min [()]3=--f x a ，此时3-->-a a ，无解．当3a >-时，23,3,()3,3,23,,x a x f x a x a x a x a -+-<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-+>⎩则min [()]3=+f x a ，此时，由3a a +>-得，32a >-． 综上，a 的取值范围为32a >-． [方法四]：函数图象法解不等式由方法一求得()min 3f x a =+后，构造两个函数|3|=+y a 和y a =-，即3,3,3,3a a y a a --<-⎧=⎨+≥-⎩和y a =-， 如图，两个函数的图像有且仅有一个交点33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭M ， 由图易知|3|a a +>-，则32a >-．【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得()3min f x a =+，利用不等式恒成立的意义得到关于a 的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得()f x 的最小值，最有简洁快速，为最优解法方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求()f x 最小值，要注意函数()f x 中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；方法四与方法一的不同在于得到函数()f x 的最小值后，构造关于a 的函数，利用数形结合思想求解关于a 的不等式.18.（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()2f x x ax =++，R a ∈．(1)若不等式()0f x 的解集为[1，2]，求不等式2()1f x x -的解集；(2)若对于任意的[1x ∈-，1]，不等式()2(1)4f x a x -+恒成立，求实数a 的取值范围；(3)已知2()(2)1g x ax a x =+++，若方程()()f x g x =在1(,3]2有解，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)(-∞，1][12，)∞+ (2)13a ≤ (3)[0，1）．【解析】【分析】（1）根据不等式的解集转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系求出a ，然后解一元二次不等式即可；（2）问题转化为222x a x --在[1x ∈-，1]恒成立，令22()2x h x x -=-，[1x ∈-，1]，根据函数的单调性求出a 的范围即可；（3）利用参数分离法进行转化求解即可．（1）解：若不等式()0f x 的解集为[1，2]，即1，2是方程220x ax ++=的两个根，则123a +=-=，即3a =-，则2()32f x x x =-+，由2()1f x x -得，22321x x x -+-即22310x x -+得(21)(1)0x x --，得1x 或12x ，即不等式的解集为(-∞，1][12，)∞+． （2）解:不等式()2(1)4f x a x -+恒成立，即222x a x --在[1x ∈-，1]恒成立，令22()2x h x x -=-，[1x ∈-，1]，则2242()(2)x x h x x -+'=-，令()0h x '=，解得：22x =，故()h x 在[1-，22)递增，在(221]递减，故()min h x h =（1）或1()h -，而h （1）1=，1(1)3h -=，故13a ． （3）解：由()()f x g x =得22(2)12ax a x x ax +++=++，2(1)210a x x ∴-+-=，即2(1)12a x x -=-，若方程()()f x g x =在1(2，3]有解，等价为2212121x a x x x --==-有解，设22121()(1)1h x x x x =-=--，1(2x ∈，3]，∴11[3x ∈，2)，即1()0h x -<，即110a --<，则01a <，即实数a 的取值范围是[0，1)．。
基本不等式运用中几种常见的解题方法
基本不等式运用方法专题类型一：【函数法】1、则2y =的最小值为2、则2y =的最小值为3、xx y 22sin 2sin +=的最小值为类型二：【换元法】1、若14<<-x ，则22222-+-x x x 有最_____值______2、已知0>>y x ，且1=xy ，则yx y x -+22的最小值为3、若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是4、若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4－23, 则2a +b +c 的最小值为类型三：【换双元法】1、若+∈R y x ,，且12=+y x ，yx -+-1111的最小值为2、若+∈R b a ,，且3=+b a ，则b a +++11的最大值是3、若+∈R y x ,，且1=+y x ，2121+++y x 的最大值为4、已知a ≥0，b ≥0，a ＋b ＝1，则21+a ＋21+b 的范围是________类型四：【拆项凑项搭配法】1、当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是2、函数)711(log 21+++=x x y （x > －1）的最大值是3、（2010年四川）设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是类型五：【等量替换构造基本型】 1、已知0,0>>y x ，且1=+y x ，则yx 94+的最小值为2、设x ，y 都是正数，且1x ＋2y ＝3，则2x ＋y 的最小值为3、已知x >0，y >0，x +2y +2xy=8，则x +2y 的最小值是4、已知c b a ,,都是正数，且,12=++c b a 则cb a 111++的最小值是5、若x ，y ∈R ＋，且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为6、若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是7、函数y ＝a 1－x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n 的最小值为_______8、已知函数)1,0(,1)2(log ≠>+-=a a x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线1-=+ny mx 上，其中0>mn ，则nm 13+的最大值为9、若直线20(0,0)ax by a b -+=>>和函数log (2)2(0c y x c =++>且1)c ≠的图象恒过同一个定点，则的最小值为10、已知两个正变量m yx y x y x ≥+=+41,4,则使不等式满足恒成立的实数m 的取值范围是类型六：【分离变量法】1、若不等式()y x a xy x +≤+22对一切正数y x ,恒成立，则正数a 的最小值为2、若,,x y R +∈a 的最小值是3、若不等式210x ax ++≥对一切102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，成立，则a 的最小值为4、已知不等式()2418a b m m ++>-对任意正数,a b 都成立，则实数m 的取值范围是_____类型七：【放缩法】1、若正实数x ，y 满足26xy x y =++ ，则xy 的最小值是2、若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是_______ ．3、设0>>b a ，)(162b a b a -+的最小值是4、已知：a >b >0,求2223196bab b a b a -+-的最小值是类型八：【代入消元法】1、已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值为2、设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，212x y z+-的最大值为第1节 基本不等式运用方法专题（课后作业）1、【函数法】若),0(,+∞∈y x ，且1=+y x ，xyxy 1+的最小值为 2、【换元法】已知两正数x,y 满足x+y =1,则z =11()()x y xy++的最小值为3、【换双元法】若正数a ，b 满足1a b +=，则11a ba b +++的最大值是 .3、【拆项凑项搭配法】 设2a > b > 0，则22224114b a b a -++的最小值是 4、【等量替换构造基本型】 若实数x,y 满足11122=+yx ，则222y x +的取值范围是 5、【等量替换构造基本型】已知函数)10(3)(1≠>-=+a a a x f x 且的反函数的图象恒过定点A ，点A 在直线01=++ny mx 上，若0,0>>n m ，则nm 21+的最小值为 6、【等量替换构造基本型】若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则14a b+的最小值是7、【分离变量法】若不等式x +≤a (x+y ) 对一切正数x 、y 恒成立，则正数a 的最小值为8、【分离变量法】对一切实数x ，不等式x 2+a |x |+1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是10、【放缩法】 已知x ＞y ＞0，求24()x y x y +-的最小值是基本不等式运用方法专题（参考答案）类型一：【函数法】1、则2y =的最小值为 223【方法】相关函数图象性质 2、则2y =的最小值为 223 3、xx y 22sin 2sin +=的最小值为 3类型二：【换元法】1、若14<<-x ，则22222-+-x x x 有最___大__值______1-2、已知0>>y x ，且1=xy ，则yx y x -+22的最小值为 22【解】一元化思想3、若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是4、若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4－23, 则2a +b +c 的最小值为 23－2类型三：【换双元法】1、若+∈R y x ,，且12=+y x ，yx -+-1111的最小值为 23+【解】令x m -=1, y n -=1, 则22=+y m223)11)(2(21111111+≥++=+=-+-n m n m n m y x当且仅当ab ＝1，a (a －b )＝1时等号成立，如取a ,b ＝2满足条件。
换元法在不等式中的重要应用
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１３２㊀换元法在不等式中的重要应用换元法在不等式中的重要应用Һ孙㊀宇㊀（宜兴硕博教育，江苏㊀宜兴㊀２１４２００）㊀㊀ʌ摘要ɔ 换元法 是高中数学学习中的最重要的思想方法之一，其在不等式中的应用是最为典型的，也是最巧妙㊁最广泛的．但是对于大部分学生来说，由于这类题的题干特别简单，因此解题思路反而打不开，不容易动笔求解．ʌ关键词ɔ换元法；不等式；思想方法一㊁对换元法的理解换元法 ，简单地说就是对题干中的未知元进行更换，从而使得代数式更加简单或者变换成我们熟知的一种形式（其中还可能会涉及消元法的使用）．一般情况下，对于换元法的使用有两种类别：一种是将多项式进行换元（换元后，代数式中含有一个未知元或两个未知元）；另一种是将函数进行换元（换元后，函数中只含有一个未知元）．在换元的过程中，要特别注意未知元的取值范围．在使用换元法后，一般代数式的形式就会更加简单㊁明了，就会变成 基本不等式 （ 勾函数 形式）或者 二次函数 形式．在不等式的证明中有很多重要的方法蕴含着高度的概括性㊁层次性㊁广泛性等，其中换元法最能显示出其强大的作用．二㊁换元法在不等式中的应用例１㊀若ａ＞０，ｂ＞０，且１２ａ＋ｂ＋１ｂ＋１＝１，则ａ＋２ｂ的最小值为．分析理解㊀题中的已知条件较为复杂，而求解的代数式很简洁，是一个多项式．对于这一类题型，看到已知条件中的 ＝１ ，基本都能够想到这一题和 １ 的代换有关．由于题设的条件比较复杂，因此我们可以进行二元换元法，将已知条件进行转化．设ｍ＝２ａ＋ｂ，ｎ＝ｂ＋１，{从而将ａ，ｂ进行换元，题设的条件就变成了１ｍ＋１ｎ＝１，求解的代数式就变成了ａ＋２ｂ＝１２（ｍ＋３ｎ）－３２，这样进行一个二元变换，我们求解时就能够一目了然了．当然，这一题还可以将１２ａ＋ｂ＋１ｂ＋１＝１进行通分消元，得到ａ＝ｂ－ｂ２＋１２ｂ，代入原式，我们发现ａ＋２ｂ＝３ｂ２＋ｂ＋１２ｂ，这样原式就变成了非齐次分式的形式，我们可以进行常规操作：分离常数，变成基本不等式（ 勾函数 ）形式求解．例２㊀已知正实数ｘ，ｙ满足ｘｙ＋２ｘ＋ｙ＝４，则ｘ＋ｙ的最小值为．分析理解㊀和例１相比较，这一题的题设条件更加明了，可以直接进行消元，由已知得ｙ＝４－２ｘｘ＋１，代入原式可以得到ｘ＋ｙ＝（ｘ＋１）＋６ｘ＋１－３．实际上，上述过程也是将原式变成了非齐次分式的形式，然后分离常数，最终变成了基本不等式（ 勾函数 ）形式（将ｘ＋１看作整体，相当于进行了换元：令ｔ＝ｘ＋１，ｔ＞１）求解．例３㊀设实数ｘ，ｙ满足ｘ２４－ｙ２＝１，则３ｘ２－２ｘｙ的最小值是．分析理解㊀和例１㊁例２相比较，这一题的题设条件比较明了，但是问题较为复杂．我们将其进行 １ 的变换，３ｘ２－２ｘｙ１＝３ｘ２－２ｘｙｘ２４－ｙ２，发现原式变成了一个齐次式分式，我们马上可以想到下一步应该进行 二元变量一元化 ，分子㊁分母同时除以ｘ２，则原式＝３－２ｙｘ１４－ｙｘ()２，令ｋ＝ｙｘɪ－１２，１２()，则原式＝４（３－２ｋ）１－４ｋ２，此时原式再次转化为非齐次分式的形式，我们再进行一次换元，令ｔ＝３－２ｋɪ（２，４），这样一步一步地进行换元，问题就会一步步简化，变成我们所熟悉的形式，从而求得结果．当然，这道题还可以用另外一种方法进行换元，观察到题设条件ｘ２４－ｙ２＝１＝ｘ２－ｙ()ｘ２＋ｙ()，可以令ｘ２＋ｙ＝ｔ，则ｘ２－ｙ＝１ｔ，从而ｘ＝ｔ＋１ｔ，ｙ＝１２ｔ－１ｔ()，ìîíïïïï则原式３ｘ２－２ｘｙ＝６＋２ｔ２＋４ｔ２，这样可以更加迅速地求得结果．例４㊀已知ａ，ｂɪＲ，ａ＋ｂ＝４，则１ａ２＋１＋１ｂ２＋１的最大值为．分析理解㊀我们注意到题目条件和问题均为对称形式，如果直接进行消元，会破坏其对称性，为此，我们用均值换元法来处理．令ａ＝２＋ｔ，ｂ＝２－ｔ，则ｆ（ｔ）＝１ｔ２＋４ｔ＋５＋１ｔ２－４ｔ＋５＝２（ｔ２＋５）（ｔ２＋５）２－１６ｔ２，令ｕ＝ｔ２＋５ȡ５，则ｇ（ｕ）＝２ｕｕ２－１６ｕ＋８０＝２ｕ＋８０ｕ－１６，此时代数式被转化成了 勾函数 模型，运用基本不等式就可以求出最终的结果．我们回过头来看这道题目，实际上观察到代数式的 对称性 是很重要的，而且均值换元不会破坏原式的对称性，且有效地进行了消元，从而简化了计算过程，使我们能够更加轻松㊁准确地得到答案．这一类 均值换元法 在不等式中有着广泛的应用．该㊀㊀㊀解题技巧与方法１３３㊀㊀方法要求已知条件及所求的代数式为变量的 对称式 ，这样通过均值消元法可以很好地保持原来的 对称性 ，从而方便求解．对例题进行推广．命题：已知ａ＞０，ｂ＞０，且ａ＋ｂ＝ｔ，求Ｓ＝１ａ２＋１＋１ｂ２＋１的最大值．观察到命题的对称性结构，可以令ａ＝ｔ２＋ｍ，ｂ＝ｔ２－ｍ，则ｆ（ｍ）＝１ａ２＋１＋１ｂ２＋１＝２ｍ２＋ｔ２４＋１()ｍ２＋ｔ２４＋１()２－ｔ２ｍ２．令ｕ＝ｍ２＋ｔ２４＋１ȡｔ２４＋１，则ｍ２＝ｕ－ｔ２４＋１()，从而ｆ（ｍ）＝２ｕｕ２－ｔ２ｕ－ｔ２４＋１()[]＝２ｕｕ２－ｔ２ｕ＋ｔ２４＋１()ｔ２＝２ｕ＋ｔ２４＋１()ｔ２ｕ－ｔ２ɤ２２ｔ２ｔ２４＋１()－ｔ２．等号在ｕ＝ｔ２４＋１㊃ｔ时取得，为此，需要满足ｔ２４＋１㊃ｔȡｔ２４＋１，即ｔȡ２３３，否则等号不成立；当０＜ｔ＜２３３时只能用单调性求解，函数ｇ（ｕ）＝ｕ＋ｔ２４＋１()ｔ２ｕ为 勾函数 ，所以ｕ取最小值时ｆ（ｍ）取得最大值，即ｍ＝０，ａ＝ｂ＝ｔ２．（１）若０＜ｔ＜２３３，则当ａ＝ｂ＝ｔ２时，Ｓ取得最大值Ｓｍａｘ＝８ｔ２＋４；（２）若ｔȡ２３３，则当ａ，ｂ为方程ｘ２－ｔｘ＋ｔ２＋２２－（ｔ２＋２）２４－１＝０的两个正实根时，Ｓ取得最大值Ｓｍａｘ＝２２（ｔ２＋２）２４－１－ｔ２．例５㊀若正实数ｘ，ｙ满足（２ｘｙ－１）２＝（５ｙ＋２）（ｙ－２），则ｘ＋１２ｙ的最大值为．分析理解㊀对于二元最值问题，我们常用换元法来进行消元，把它转化为常见的形式．对于本题，观察到题设条件和结论的特殊性，我们可以通过多种方式进行换元㊁消元，从而得到最终结果．方法一㊀由题设可知，等式两边同时除以ｙ２，得２ｘ－１ｙ()２＝５＋２ｙ()１－２ｙ()，则ｘ＝５＋２ｙ()１－２ｙ()＋１ｙ２，所以ｘ＋１２ｙ＝１２５＋２ｙ()１－２ｙ()＋１ｙ＝－１ｙ＋１()２＋９４＋１ｙ＋１()－１ɤ２－１ｙ＋１()２＋９４＋１ｙ＋１()２[]－１＝３２２－１，当且仅当－１ｙ＋１()２＋９４＝１ｙ＋１，即ｙ＝４３２－４＞２时等号成立，所以ｘ＋１２ｙɤ３２２－１．方法二㊀由题设条件及方法一可知２ｘ－１ｙ()２＝５＋２ｙ()１－２ｙ()，即２ｘ－１ｙ()２＝９－２ｙ＋２()２，则２ｘ－１ｙ()２＋２ｙ＋２()２＝９，所以９＝２ｘ－１ｙ()２＋２ｙ＋２()２ȡ１２２ｘ－１ｙ()＋２ｙ＋２()[]２，从而ｘ＋１２ｙɤ３２２－１．注意到方法一很巧妙地利用了题设条件的特殊性，即等式右侧是只关于ｙ的代数式，从而把ｘ用含有ｙ的代数式表示出来，再进一步代入所求代数式进行化简，将１ｙ＋１看作整体（本质上就是换元），进行不等式方面的运算．方法二在方法一的思路之上进行了进一步的不等式方面的常用变换，所以一定要熟练运用不等式链：ａｂɤａ＋ｂ２ɤａ２＋ｂ２２（ａ，ｂ＞０）和ａｂɤａ＋ｂ２()２ɤａ２＋ｂ２２（ａ，ｂɪＲ）．方法三㊀由题设条件，结合所求问题，将等式两边同时除以（２ｙ）２可得ｘ－１２ｙ()２＝５２＋１ｙ()１２－１ｙ()，所以１２－１ｙ()，ｘ－１２ｙ()，５２＋１ｙ()成等比数列，设公比为ｑ（ｑ＞１），将ｘ，１ｙ用ｑ表示，则ｘ＋１２ｙ＝３（ｑ－１）ｑ２＋１＋１２，此时代数式转化为一元非齐次的形式，令ｔ＝ｑ－１＞０，则原式＝３ｔ＋２ｔ＋２＋１２ɤ３２２－１，当且仅当ｔ＝２ｔ，即ｔ＝２时取等号．这一方法特别巧妙地利用题设关系构造出等比数列，利用公比进行统一换元㊁消元，从而简化了做题过程，提高了结果的准确率．我们综合分析三种方法的求解过程可知，解题方法的选择需要对题设条件㊁所求问题等进行综合观察，这对学生求解代数不等式问题的能力的要求比较高，需要学生有清晰的思路和理解方法，并能对不等式中重要的公式融会贯通，利用换元法进行消元，从而将二元最值问题转化为一元最值问题进行求解．三㊁综合分析通过以上几道例题我们可以看出，换元法在整个不等式问题的求解中占据着重要的位置，一般性的不等式的求解方法就是 化繁为简 ．在解决不等式问题的时候，我们一定要冷静思考，探究题设条件与问题之间的内在联系，从而得到解题的思路．换元法是其中必不可少的解题方法，而且如何换元是不等式题目的难点和突破点．ʌ参考文献ɔ［１］中华人民共和国教育部．普通高中课程方案（２０１７年版）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１８．。
换元法用法
换元法用法篇一：标题:换元法用法(创建与标题相符的正文并拓展)正文:换元法是一种数学方法,用于解决某些微积分问题。
它的核心思想是将原问题中的未知数替换成另一个未知数,从而得到一个新的问题。
在数学中,换元法通常用于求解微积分中的最值问题、极值问题和微分方程组等问题。
具体来说,换元法的步骤如下:1. 选择一个合适的未知数,并将其表示为一个新的变量。
2. 将原问题的表达式分解成关于该未知数的表达式。
3. 将原问题中的未知数用新变量表示,并代入新的表达式中。
4. 解出未知数的值,并得到原问题的解。
在实际应用中,换元法可以用于求解许多问题,例如求解函数的极值、求导、求解方程等等。
它的优点是简单易懂,能够快速地找到问题的关键部分,从而快速地得到答案。
除了数学应用外,换元法还可以在其他领域中得到应用,例如物理学、工程学、经济学等等。
在这些方法中,通常会将原问题中的变量抽象成符号或方程,从而得到一个新的问题,这种方法被称为符号计算或代数计算。
拓展:换元法不仅可以用于求解微积分问题,还可以用于其他领域的问题。
例如,在物理学中,换元法可以用于求解加速度和速度的关系,以及求解机械振动的周期等问题。
在工程学中,换元法可以用于求解电路中的电流和电压的关系,以及求解电磁波的传播速度等问题。
在经济学中,换元法可以用于求解市场供需关系的变化,以及求解最优价格和最优策略等问题。
换元法是一种简单而又有效的数学方法,它在各个领域中都有广泛的应用。
通过使用换元法,我们可以快速找到问题的关键部分,从而快速地得到答案。
篇二：标题:换元法用法(创建与标题相符的正文并拓展)正文:换元法是数学中的一个基本方法,用于解决一些线性方程组和不等式问题。
换元法的基本思想是将原方程组或不等式中的某些变量或式子进行更换,从而得到一个新的方程组或不等式,进而求解或验证原问题的解决方案。
以下是换元法的一些常见应用:1. 解线性方程组:将未知系数中的一个变量或式子进行更换,可以得到一个新的线性方程组,进而求解未知数。
换元法证明不等式PPT教学课件
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• 文章开头写我的两个梦和后面沿长城旅行有什 么关系？这两个梦之间本身有没有关系？
梦是理想与志向的代名词，开头写两个梦与后面的 长城万里行的内容具有理想与行动的内在联系!
有：第一个梦是说读万卷书是为了将来走人生之 路，第二个梦是说走万里路也是在读一本活生生 的书，不过是形式不同而已!从作者的感受来说, 万里长城就是“一本活生生的教科书”!
6、万里长城 我国古代伟大的工程之一。始建于春秋战国（西元前770～
476），今存者为明代所修建。西起嘉峪关，东到丹东鸭绿江畔 的虎山口。
长城是有史以来唯一在太空中可看到的三度空见建筑物。长
城东段经过山地或丘陵地，古称“用险制塞”，起伏蜿蜒，形式 雄峻；遥望我国山川的伟大形势，将令人叹服先民开疆拓土的艰 难，而激起无限的壮志雄心。
品读课文第三部分,回答问题；
1:作者为什么说大自然是无情的又是慷慨的?
无情的:在作者长城万里行的两年里，大自然让他充
分体验到了难以想象的艰难困苦，甚至面临着生死
考验。 慷慨的:大自然是活生生的教科书。万里长城之行让 作者领略到了万里长城,丝绸之路的文化灵魂，了解 了大西北文明的盛衰和当地的风土人情，并首次发 现了一组岩画，这些都具有特殊的文化意义和文物 价值，特别还使作者意识到了作为一个作家一个中 国人的社会感和使命感!
刘雨田拍摄了一万多张照片，写下了二百多万字的探险日 记……为人类自然探险填补了一个又一个空白。
世界八大奇迹
1、吉札金字塔 金字塔是古代埃及王自己修建的陵墓。埃及的吉札金字塔被古代世界七大奇
之一。在埃及的大小金字塔，大多都建築於埃及第三到第六王朝。些有4000多年 歷史的金字塔主要分在首都及尼河上游西岸吉等地。
2、宙斯神像 宙斯是希腊众神之神，为表崇拜而建的宙斯神像是世上最大的室
巧借换元法，妙解数学题
解题宝典在解题时，我们经常会碰到一些含有变量的问题，此类问题中的条件与结论之间没有必然的联系，很难直接求得问题的答案.此时，我们不妨引入新的变量，利用换元法进行处理.这样便可将问题合理转化，从而达到化难为易的效果.下面，我们结合实例，来分析一下运用换元法解题的技巧．一、单变量换元单变量换元是解答数学问题的常用方法.在碰到一些复杂的函数、向量、不等式问题时，我们可以借助单变量换元法来解题.通过引入新的变量或者三角函数将问题中的条件或结论联系起来，将问题转化为关于新变量的函数或者三角函数问题来求解.例1.设x ,y ∈R ，且9xy =(x +2y )2(y +2x )2，则x +y 的最小值为____．分析：本题可以运用单变量换元法来求解，首先引入参数k ，设y =kx (k >0)，将已知条件和所求目标式的关系式转化为关于k 的关系式，结合对勾函数的图象与性质来确定x +y 的最值．解：由题意知9xy =(x +2y )22xy ≥0，设y =kx (k >0)，则x =，那么x +y =(1+k )x =-32（k +1k ）+1k +1，令m =k +≥2，则x +y =－32m +1m，根据对勾函数f (m )=2m +1m（m ≥2）的图象可知，函数在区间[2，+∞）上单调递增，所以x +y =-32m +1m≥-23，当且仅当m =2，即k =1，x =y =-13时等号成立.结合题目条件选择合适的单变量是运用单变量换元法解题的关键.运用单变量换元法，能巧妙建立条件与结论之间的联系，提升解题的效率.二、双变量换元双变量换元法主要应用于求解含有双变量的最值问题.在解题时，可通过引入新的双变量，将问题进行合理转化，构造出两式的和或积的形式，然后利用基本不等式来确定最值．例2．（2021届浙江省衢州、丽水、湖州三地市第一次教学质量检测数学试卷，第17题）若实数x ,y 满足（2x +4x 2+1）（y +y 2+1）=4，则x +y 的最小值是_____．解：设m =2x +4x 2+1，n =y +y 2+1，(m ，n >0)则x =m 2-14m ，y =n 2-12n，由（2x +4x 2+1）（y +y 2+1=4，那么x +y =2m +7n 16≥=，当且仅当2m =7n 时等号成立，所以x +y 的最小值是.通过引入新的双变量m 、n ，将所求目标式转化，并求得mn 的值，通过恒等变形构造出两式的和，利用基本不等式来求得最值.三、三变量换元三变量换元法主要应用于解答含有多元的向量、函数、不等式问题.为了简化问题，我们可以利用三元变量换元法来解题，引入三个新的变量进行换元，建立条件与所求目标之间的联系，通过巧妙转化将问题转化为关于新元的向量、函数、不等式问题．例3．（2021届浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟期中联考高三数学学科试题，第17题）若平面向量a ，b ，c ，d 满足|a -b |=1，|b -c |=2，|c -d |=3，（a -c ）·（b -d ）=4，则|a -d |=_____．解：设x =a -b ，y =b -c ，z =c -d ，则|x |=1，|y |=2，|z |=3，由(a -c )⋅(b -d )=4可得(x +y )⋅(y +z )=4，展开并整理可得x ·y +y ·z +z ·x =0，而|a -d |2=|x +y +z |2=x 2+y 2+z 2+2(x ·y +y ·z +z ·x )=1+4+9+0=14，所以|a -d |=14.我们从题目条件中平面向量之间的关系切入，引入新的三个变量进行换元处理，这样便将向量问题转化为关于新的三个变量x 、y 、z 的向量运算问题．巧借单变量、双变量或三变量换元法解答相应的函数、平面向量、不等式、最值问题，不仅能转换解题的思路，还能提升解题的效率.同学们在解题时，要注意结合解题需求选择合适的变量和式子进行换元.只有变量的个数、换元的部分选择得当，才能使解题变得事半功倍.（作者单位：江苏省扬州市邗江区瓜洲中学）41。
基本不等式换元法例题
基本不等式换元法例题以下是一些基本不等式换元法的例题：例1. 已知 a > 0，b > 0，c > 0，求证：a + b + c ≥ 3(abc)^(1/3)。
证明：令t=(abc)1/3，则a=t3，b=t，c=1/t。
由基本不等式得a+b+c⩾33abc ，即a+b+c⩾3t。
当且仅当a=b=c时取等号，此时t=1，即(abc)1/3=1。
所以a+b+c⩾3(abc)1/3。
例2. 求函数f(x)=x2+2x+4的最小值。
解：令x2+2x+4=y，则y=(x+1)2+3⩾3。
当且仅当x=−1时，y取得最小值3。
所以函数f(x)=x2+2x+4的最小值为3。
例3. 求函数f(x)=x4−4x2+4的最小值。
解：令x4−4x2+4=y，则y=(x2−2)2⩾0。
当且仅当x=±2时，y取得最小值0。
所以函数f(x)=x4−4x2+4的最小值为0。
例4. 求函数f(x)=xx2+1的最小值。
解：令x=t>0，则f(t)=tt2+1=t+t1⩾2t⩾t1=2。
当且仅当t=1时，f(t)取得最小值2。
所以函数f(x)=xx2+1的最小值为2。
例5. 求函数f(x)=x3+6x2+10x+6的最小值。
解：令x3+6x2+10x+6=y，则y=x(x2+6x+10)+6⩾−18。
当且仅当x=0时，y取得最小值−18。
所以函数f(x)=x3+6x2+10x+6的最小值为−18。
例6. 求函数f(x)=x4−8x3+8x2−32x+18的最小值。
解：令x4−8x3+8x2−32x+18=y，则y=(x2−4x+4)2−32⩾−32。
当且仅当x=2时，y取得最小值−32。
所以函数f(x)=x4−8x3+8x2−32x+18的最小值为−32。
用换元法突破基本不等式问题的几种策略_孙西洋
b
=
y2 ，4a － b
=
x2 ． 故 a
=
x2
+ y2 4
=
x + 2y，
即 x2 + y2 － 4x － 8y = 0，亦即（ x － 2） 2 + （ y － 4） 2 = 20．
令 x － 2 = 2槡5 cos t，y － 4 = 2槡5 sin t，t ∈
[ ] 0，π2 ，则 a = x + 2y = 2 + 2槡5 cos t + 8 +
有一定的难度． 本文介绍运用换元法来处理
此类问题的几种策略，希望对读者有所帮助．
一、运用换元法，将问题化归为两种基本
模型来解
现行苏教版必修 5 教科书给出了两种重
要的模型（ P110 例题 3； 习题 10． 9 练习 16） ．
模型 1 已知正数 x、y 满足 ax + by = 1，
求
m x
+
n y
4 y
= 10，求 xy 的取值范围．
分析 问题给出的表达式中既有整式，
又有分式，而求的是 xy 的取值范围． 如果将分
母去掉，就会出现 x、y、xy 及 x2 y、xy2 五个量，如
果令 xy = t ＞ 0 作为变量的话，可以消去一个
变量，得到相应解法．
解
设 xy = t ＞ 0，则 y =
t x
．
解
令b +1
=
x，则 a + x
=
2，即
a 2
+
x 2
= 1． 所以，p =
a+
2 a
+ （ x － 1） 2 x
换元法在高中数学中的应用
７２
y２
x２
＋
＝ １,设 x ＝ ４c
o
s
θ,y ＝ ２s
i
n
θ,Biblioteka １６４P(４c
o
s
θ１ ,
２s
i
n
θ１ ),
Q(
４c
o
s
θ２ ,
２s
i
n
θ２ )
２s
i
n
θ１２s
i
n
θ２
１
则 kOPkOQ ＝
＝－ ,
４c
o
s
θ１４cos
θ２
４
解析:解 法 １:设 x ＝ Sc
Q,
O 为 坐 标 原 点,连
１６ ４
又当α－β＝２
kπ(
k∈Z)时,上 述 中 等 号 会 成 立. 即 ax
＋by 的最大值为 ６.
二、换元法在不等式中的应用
换元法在不等式中也有广泛应 用. 在 授 课 过 程 中,教 师
OP ,
OQ ,
kOPkOQ ＝－
１
１
２
的值.
＋
y ,求
Smax Smin
β.
于是 ax＋by＝６c
o
s
αcos
i
n
αs
i
n
α－β)≤６
β＋６s
β＝６cos(
数(方程、不等式)的问题.
三、换元法在解析几何中的应用
在解析几何的题目中,也会经常 用 到 换 元 法 的 思 想. 在
学习过程中,学生遇到解析几何试题时要 能 够 自 然 地 想 到 换
元法的应用.
x２ y２
不等式证明中的换元法
数学竞赛辅导资料 不等式证明中的换元法不等式的证明因其方法灵活多变，综合性强而成为高中数学的一个难点，在各类数学竞赛中，不等式的证明问题是一个热点。
所谓换元法，就是将所要证明的不等式中的字母作适当的代换，变换数学式的形式，以显化其内在结构的本质，从而达到简化证题的过程。
一、 均值换元法若题中有X a a a n =+++ 21的条件时，常可考虑作如下换元，设),,2,1(n i t n X a i i =+=，此时021=++n t t t ，由于nX 是n a a a ,,,21 的平均值，故称之为均值换元法。
例 1 已知e d c b a ,,,,是满足16,822222=++++=++++e d c b a e d c b a 是实数，求证：5160≤≤e二、 三角换元法三角换元是指将不等式中的字母换成角的三角函数形式,再运用三角知识解题。
例2 实数y x ,满足55422=+-y xy x ，求证：310131022≤+≤y x 。
三、 增量换元法若b a ≥，可设t b a +=，其中t 为增量，故这种换元叫做增量换元法。
例3 已知c b a >>，求证：ca cb b a -≥-+-411。
四、 整体换元法有些不等式的证明，若从局部入手困难，不妨把整体看作一个元来处理，这就是整体换元。
例4 求证：3tan sec tan sec 312222≤+-≤xx x x五、 分式换元法对于含有约束条件121=+++n a a a 的某些不等式，可考虑换元：),,,2,1(21n i a ni i =++=αααα由于把不等式中的字母换成了分式，故称之为分式换元法。
例5 已知+∈R x x x x 4321,,,，且1111111114321=+++++++x x x x ，求证：814321≥x x x x 。
六、 分母换元法一些分母复杂的分式不等式的证明，可考虑将分母换元，以使分母变得简洁些，进而把问题解决，故称此法为分母换元法。
换元法求基本不等式
换元法求基本不等式1. 引言基本不等式是数学中常用的一种不等式形式，它在解决问题、证明问题时起到了重要的作用。
而换元法则是求解基本不等式的一种有效方法，通过适当的变量替换，将原始的不等式转化为一个更易于处理的形式，从而得到最终的结果。
本文将详细介绍换元法求解基本不等式的步骤和相关技巧。
2. 换元法求解基本不等式的步骤换元法求解基本不等式可以分为以下几个步骤：步骤一：确定合适的变量替换首先需要根据具体问题确定一个合适的变量替换，这个替换后的变量通常具有某种特殊性质，能够使得原始不等式更加简化。
常见的替换包括但不限于：平方、倒数、对数、指数等。
步骤二：进行变量代换将选择好的变量代入原始不等式中，进行变量代换。
此时需要注意保持原始不等式中各项之间相对大小关系。
步骤三：化简计算根据选择好的变量替换和变量代换，对原始不等式进行化简计算。
这一步骤通常需要运用一些基本的数学运算法则，如加减乘除、取对数、指数运算等。
步骤四：得到最终结果经过化简计算后，得到一个新的不等式。
根据问题的要求，可以进一步对该不等式进行求解或进行其他操作。
3. 换元法求解基本不等式的技巧在使用换元法求解基本不等式时，可以根据具体问题选择合适的变量替换和变量代换方式。
以下是一些常用的技巧：把复杂的不等式转化为简单形式有时候，原始不等式非常复杂，很难直接求解。
这时可以通过合适的变量替换将其转化为一个更简单的形式。
例如，对于含有平方项的不等式，可以尝试令该平方项为一个新的变量。
利用特殊函数进行替换在某些情况下，特殊函数（如指数函数、对数函数）可以帮助我们更好地处理不等式。
通过选择适当的特殊函数进行替换，可以使原始不等式更易于处理。
利用对称性简化问题有时候，在一个问题中存在着对称性，即某些变量或表达式的值互为相等。
利用这种对称性可以简化问题，减少计算的复杂度。
引入辅助变量在某些情况下，引入一个辅助变量可以帮助我们更好地处理不等式。
通过引入辅助变量，可以将原始不等式转化为一个更易于求解的形式。
用换元法突破基本不等式问题的几种策略
用换元法突破基本不等式问题的几种策略基本不等式是高中数学的重点内容之一，是现行高考的重点和热点，是我们解决许多数学问题的重要工具．对运用基本不等式求较复杂的最值问题，很多学习者掌握起来有一定的难度．本文介绍运用换元法来处理此类问题的几种策略，希望对读者有所帮助．一、运用换元法，将问题化归为两种基本模型来解现行苏教版必修 5 教科书给出了两种重要的模型(P 110 例题 3；习题 10．9练习 16)． 模型1 已知正数x ，y 满足1ax by +=，求m n x y+的最小值．（其中a 、b 、m 、n 为正常数） 模型2 已知a ，b 为正的常数，正数x ，y 满足1a b x y+=，求mx ny +的最小值． 为什么教材的编写者给出这两种基本模型?笔者认为主要是这两种情况下，分式的分母相对简单，便于学习者掌控(合理地进行系数配凑)．例1 若0,0a b >>，且11121a b b +=++，则2a b +的最小值是________． 解法 1 令2,1a b x b y +=+=，则问题转化为已知正数x ，y 满足111x y +=，求1332222a b x y +=+-的最小值．运用模型2，()(1113133132344222222y x a b x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++-=++-≥+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当x =，即12a b ==． 解法2 设2211sin ,cos .0,212x x x a b b π⎛⎫==∈ ⎪++⎝⎭， 则22211tan ,1tan 2tan b x a x x⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，从而22111123tan 222tan a b x x ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭当2tan x． 变式1 已知a ，b 为正数，且1a b +=，则22231a b p a b ++=++的最小值是______． 解 令1b x +=，则2a x +=，即122ax +=．所以()22(1)312122()2233x x a p a a x x a a x a x a x a x -+⎛⎫⎛⎫=++=+++-=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当x =，即2,3a b ==-时等号成立．所以，p 的最小值是3+．二、通过换元，将陌生的问题转化为熟悉的问题例2 已知x ，y 为正实数，则44x y x y x y+++的最大值为_______． 分析 这个问题最大的难点在于分母都是多项式，不利于掌控，可以想到通过换元把分母转化为一个字母(单项式)．解 设4,x y a x y b +=+=，则40,0,,33a b b a a b x y -->>==．于是48148443333x y b a x y x y a b ⎛⎫+=-+≤ ⎪++⎝⎭， 当2a b =，即2x y =时等号成立． 故所求的最大值是43． 变式2 是否存在常数c ，使得不等式2222x y x y c x y x y x y x y +≤≤+++++对任意正数x ，y 恒成立？试证明你的结论．解 令2,2x y a x y b +=+=，则22,33b a a b x y --==． 一方面，22222333x y b a x y x y a b ⎛⎫+=+-≥ ⎪++⎝⎭， 当a b =，即x y =时等号成立，所以23c ≥； 令一方面，41422=2233333x y a b x y x y b a ⎛⎫+-+≤-= ⎪++⎝⎭， 当a b =，即x y =时等号成立，所以23c ≤． 综上，存在23c =，使得命题成立． 变式3 已知正实数a ，b 满足21a b +=，则2214a b ab++的最小值为_______． 分析 这个问题貌似与两种模型相似，但仔细分析发现又大相径庭．如果按照2a b +进行整理，再通过换元可以转化为利用函数的单调性求简单函数的最值问题．解 由21a b +=≥108ab <≤．令ab t =，则()22211114241414a b a b ab ab t ab ab ab t++=++-=--=+-． 易知1()14h t t t =+-在1(0,]8上是减函数，故18t =时，()h t 取得最小值172． 变式4 已知实数x ，y 满足1xy =，且20x y >>，则2242x y x y+-的最小值为_______． 解 设20x y a -=>，则224(2)44422x y x y xy t x y x y t+-+==+≥--， 当2t =时，即12,2x y ==时等号成立． 所以，所求表达式的最小值为4．变式5 设34a b c >>，493344m a b b c a c+≥---恒成立，求实数m 的最小值． 解 令3,34a b x b c y -=-=，则0,0x y >>，4a c x y -=+， 原不等式等价于49m x y x y+≥+, 从而()494913y x m x y x y x y ⎛⎫≤++=++ ⎪⎝⎭． 又4912y x x y+≥，当32y x =时等号成立． 所以，m 的最小值是25．变式6 已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1113,,a a a 成等比数列．若11a =，数列{}n a 的前n 项和是n S ，则2163n n S a ++的最小值是_______． 解 由23113a a a =，得2(12)112d d +=+，解得2d =． 故221,n n a n S n =-=． 所以2221621683221n n S n n a n n +++==+++． 令1t n =+，则2169243n n S t a t+=+-≥+， 当3t =，即2n =时等号成立．故所求的最小值是4．例3 已知正实数x ，y 满足24310x y x y+++=，求xy 的取值范围． 分析 问题给出的表达式中既有整式，又有分式，而求的是xy 的取值范围．如果将分母去掉，就会出现,,x y xy 及22,x y xy 五个量，如果令0xy t =>作为变量的话，可以消去一个变量，得到相应解法．解 设0xy t =>，则t y x =，条件变为23410t x x x x t +++=．故423101t x t x +⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭81,3t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 即xy 的取值范围是81,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 变式7 已知0,0x y >>，且满足18102y x x y +++=，则2x y +的最大值为______． 解 设2t x y =+，则18102t x y ++=，即有18102t x y +=-．结合柯西不等式，可得()218210182t x y t x y ⎛⎫⎛⎫++=-≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()18(2)0t t --≤，得到218t ≤≤，当且仅当3,12x y ==时等号成立．故所求的最大值为18．变式8 设实数11,2x y >>，不等式224211x y p y x ≤+--恒成立，求实数p 的最大值． 解 令21y a -=，1x b -=，则0a >，0b >，且22224(1)(1)211x y b a y x a b+++=+--228⎛≥=≥= ⎝， 当a b =，即2x y =时等号成立．所以，p 的最大值是8．三、换元转化为非基本不等式问题例4 若实数a ，b 满足a =a 的最大值是_________．解 0x ≥0y =≥，则22,4b y a b x =-=．故2224x y a x y +==+， 即22480x y x y +--=，亦即22(2)(2)20x y -+-=．令2,4,0,2x t y t t π⎡⎤-=-=∈⎢⎥⎣⎦，则2281010sin()20a x y t t t ϕ=+=+++=++≤， 当2t πϕ+=时等号成立．所以，a 的最大值是20．变式9 设,,a b c 为直角ABC ∆的三边长，其中c 为斜边长，求使得333a b c k abc++≥成立的最大k 的值．分析 因为ABC ∆为直角三角形，且c 为斜边，考虑三角换元将多元最值问题转化为一元最值问题．解 不妨设sin ,cos ,0,2a c x b c x x π⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，则 33333sin cos 1(sin cos )(1sin cos )1sin cos sin cos a b c x x x x x x u abc x x x x +++++-+===．令sin cos )4t x x x π=+=+∈，则21sin cos 2t x x -=，可得2()1u f t t t ==--．由函数()f t 在单调递减，得min ()2f t f ==于是，k 的最大值是2变式10 已知正实数a ，b 满足221a b +=，3321(1)a b m a b ++=++，求实数m 的最小值． 分析 问题中含有三个未知数a 、b 、m ，而且次数比较高，正面直接处理比较棘手．由221a b +=，可以考虑用三角换元来处理．解 设cos a x =，sin b x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则333sin cos 1(sin cos 1)x x m x x ++=++，再令sin cos )4t x x x π=+=+∈， 于是23111(1)2t t t m ⎛⎫--+=+ ⎪⎝⎭，整理得 21312(1)21t m t t -⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭．注意到31t +在[]1,2t ∈时为减函数，所以1122m ⎛≥-= ⎝，即m 的最小值是2． 基本不等式问题的解题方法很多，其中换元法是将复杂的基本不等式问题转化为简单问题或者熟悉问题的重要策略．笔者相信，只要学习者能认真总结提炼，就一定能从根本上把握基本不等式问题的解题技巧，做到游刃有余．。
浅谈高中数学不等式的解题技巧
浅谈高中数学不等式的解题技巧白 宇（莱芜市第四中学４８级１２班 山东 莱芜 ２７１１０４）【摘要】 高中数学不等式是数学知识学习中重要的组成部分，在平时学校考试和高考中所占的比例也越来越大，如果我们不能很好理解和掌握这部分知识，在考试中就会严重影响总成绩，故此，本文通过对自己在学习不等式和解答不等式的经验进行总结归纳，浅谈高中数学不等式的一些解题技巧和方法。
【关键词】 高中数学；不等式；解题技巧；方法【中图分类号】Ｇ４４１ 【文献标识码】Ｂ 【文章编号】１００３－９６１９（２０１９）０１－０１４９－０１ 引言高中数学是一门逻辑性较强且对逻辑性思维要求非常高的一门理科课程，不等式知识在数学学习中所占的内容也相对较多，以各种不同的题型出现在平时的习题和考试当中，比较有效的学习方式就是通过不断进行做题，以此来掌握和积累自己对于解答这类题型的方法和经验，提升自己对于不等式知识点的运用能力，只有通过运用不同的解题方法和技巧对不等式相关题型进行解答，这样才能够真正学好不等式及掌握相关的知识点。
１ 反证法解答不等式反证法是目前解答不等式问题运用比较广泛的一种方式，它是属于间接证明法当中的一种，当不等式不能从正面进行证明时，则可以从反面证明，可以简单概括为：先否定结论，然后得出矛盾，进而达到新的否定，反证法的基本思想其实就是“否定之否定”。
例如，以如下习题作为案例：“已知Ａ＋Ｂ＋Ｃ＞０，ＡＢＣ＞０，ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＞０，证明Ａ＞０，Ｂ＞０，Ｃ＞０”解题过程：证明：假设Ａ，Ｂ，Ｃ不都是正数，通过ＡＢＣ＞０可以得知，Ａ，Ｂ，Ｃ当中一定有两个是负数，一个是正数，那么我们就可以先假设Ａ＜０，Ｂ＜０，Ｃ＞０，则可以通过Ａ＋Ｂ＋Ｃ＞０，得知Ｃ＞－（Ａ＋Ｂ），因为（Ａ＋Ｂ）＜０，所以Ｃ（Ａ＋Ｂ）＜－（Ａ＋Ｂ）（Ａ＋Ｂ），ＡＢ＋Ｃ（Ａ＋Ｂ）＜－（Ａ＋Ｂ）（Ａ＋Ｂ）＋ＡＢ，即ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ＜－Ａ２＿Ｂ２－ＡＢ，因为Ａ２＞０，Ｂ２＞０，ＡＢ＞０，所以－Ａ２＿Ｂ２－ＡＢ＝－（Ａ２＋Ｂ２＋ＡＢ）＜０，即ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ＜０，这个与已知条件ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＞０相矛盾，所以假设不成立，所以Ａ＞０，Ｂ＞０，Ｃ＞０．在对这种不等式证明进行解答时，如果用正常的证明方法，解答证明的过程就比较麻烦和复杂，所以，在对习题进行一定分析之后，通过使用反证法的方式来进行习题的证明，反而使得整个证明过程相对比较简单和有效，同时还可以提高习题解答证明的效率［１］。
基本不等式消元法和换元法的区别
基本不等式消元法和换元法的区别篇一：哎呀呀，我是一名小学生，对于基本不等式消元法和换元法，这可真是让我头疼了好久呢！先来说说消元法吧。
比如说，有这样一道题：已知x + 2y = 3，求2x + 4y 的最小值。
这时候，我们就可以把2x + 4y 变成2(x + 2y)，然后因为x + 2y = 3，所以2(x + 2y) = 2×3 = 6，这不就轻松得出答案啦？消元法就像是把一个复杂的拼图里多余的部分去掉，只留下我们需要的关键部分，让问题变得简单明了，难道不是吗？再讲讲换元法。
举个例子，有个式子是x + 1/x ，我们可以令t = x + 1/x ，然后对t 进行处理。
这就好比给式子穿上了一件新衣服，换了个样子，但是本质还是一样的，只是处理起来可能更容易了，你说神奇不神奇？那消元法和换元法到底有啥区别呢？消元法是直接利用已知条件把一些项消除掉，简化式子；而换元法是给式子中的一部分或者整个式子换一个新的“名字”，用新的变量来处理问题。
在解题的时候，要是遇到那种有很多变量，但是又有一些条件能把一些变量用其他变量表示出来的，那就用消元法，把复杂的式子变得简单。
要是式子看起来很复杂，找不到直接的关系，那就试试换元法，说不定换个角度就能找到突破口啦！反正我觉得吧，这两种方法都是数学解题的好帮手，就看我们怎么巧妙地运用它们啦！篇二：哎呀呀，说起基本不等式消元法和换元法，这可真是让我这个小学生好好琢磨了一番呢！咱先来说说消元法吧。
就好像我们在搭积木，有时候积木太多太乱，我们就得把一些不需要的拿走，让剩下的更好搭建。
消元法也是这样，在一个式子里面，如果有好几个未知数，我们就想办法把其中一些通过等式关系给去掉，只留下我们关心的那几个。
比如说，有个式子是“x + y + z = 10，然后还有个条件是y = 2x”，那我们不就可以把y 用2x 代替，式子就变成了“x + 2x + z = 10”，这不就把未知数y 给消掉了嘛！这难道不好理解吗？再看看换元法，它就像是变魔术一样！假如式子里面有个很复杂的部分，比如说“x² + 2x + 1”，看起来好麻烦对不对？那我们就设“t = x² + 2x + 1”，这样式子一下子就变得简单多啦，变成了关于t 的式子，处理起来是不是轻松了好多？那这两种方法到底有啥区别呢？消元法是直接把一些未知数用等式关系去掉，就像是在战场上直接消灭敌人；而换元法呢，是把复杂的部分用一个新的字母代替，就像是给复杂的东西穿上了一件简单的外套。
浅谈不等式证明题的常用方法与技巧
课程篇”肉谈不等式证朗题的常用方出与技巧李阳刚(贵卅省长顺县民族高级中学，贵州长顺)摘要：一般来说，不等关系以及相等关系是数学中最为基本的数量关系。
不等式的内容在高中数学的教学内容中占据着重要的比重，它是高中数学非常重要的知识点，在日常生活、学习中不等式的证明方法以及相关的应用都会得到相应的体现。
在高中不等式的教学过程中，不等式的证明方法是丰富多样的。
主要介绍了一些能够有效证明常见不等式的解题思路和技巧，希望对学生解决不等式问题有一些帮助。
关键词：不等式证明；方法与技巧；教学策略不等关系是在客观世界中广泛存在的一种基本关系，其中，：各种类型的不等式在现代数学的各个领域中都应用得较为广泛。
］不等式.即利用不等号或者是“#”)来表示不等式关系的1式子。
在高中数学不等式的证明过程中，其证明方法都有相对应:的技巧和模式，利用绝对值来求解不等式、结合分段讨论的方法:求解不等式法、综合法、放缩法、比较法、换元法等都是证明和求：解不等式的简便方法。
因此，在数学的学习过程中,教师要引导学;生结合不等式题型的特点，合理地选用不等式证明方法和技巧，1通过简便的途径来有效地解决问题，提高解题效率。
以下我们就:来实际列举一些不等式证明的常见方法与技巧。
一、利用绝对值解不等式在高中数学的不等式解题过程中，处理绝对值样式的不等式的解题思路在于将绝对值不等式转化为非绝对值的不等式。
绝对:值本质上表示数轴上的点位于原点之间的距离，所以教师只有帮1助学生清晰地认知绝对值的含义，才能够帮助学生在理解的基础1上，透彻地掌握绝对值解不等式的解题思路，有效地证明不等式。
1例如，在证明“不等式|乂-3|-|乂+5卜2成立”的过程中，|x-3|:可以表示为数轴上的点到3的距离，那么相应的b+5|就表示为数轴上的点到点-5之间的距离。
那么，不等式b-3|-h+5卜2的■解则会体现在数轴中.所以，教师就可以引导学生：数轴上的点距［离3的长度与点到-5的长度之差能够大于2的所有点都满足这［个不等式的解，则有了以下证明。
基本不等式技巧——一览众山小——换元法
（5）一览众山小——换元法分母换元例1. 已知实数x y ，满足0x y >>，且2x y +≤，则213x y x y++-的值最小时，实数x =（ ） A．1 B．2C．3-D ．1解：利用换元法,设3x y m x y n +=⎧⎨-=⎩，即344m n x m ny +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，故21213t x y x y m n =+=++-，然后利用基本不等式求最值即可．设3x y m x y n +=⎧⎨-=⎩，解得344m n x m n y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ ，所以22m n x y ++=≤ ，即4m n +≤， 设21213t x y x y m n =+=++-，则()212433n m t m n m n m n ⎛⎫≥++=++≥+ ⎪⎝⎭t ≥当且仅当2n mm n=，即m时取等号，即13x y ==-， 则213x y x y++-的值最小时，实数1x =，选:A ． 例2. 对任意正数x ，y ，不等式333x yk x y x y+≤++恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B．⎫+∞⎪⎪⎣⎭C ．[1,)+∞D．⎫+∞⎪⎪⎣⎭解：利用基本不等式可求333x yx y x y+++的最大值，从而可求实数k 的取值范围. 令3,3A x y B x y =+=+，则()()113,388x A B y B A =-=-，故3313333282x y B A x y x y A B ⎛⎫+=-+≤= ⎪++⎝⎭B =时等号成立，故333x y x y x y +++k ≥ 选：B.注：复杂的分式型，可以把分母换元（双换元），达到化简的目的.比值换元例3.已 知 a >0,b >0, 则 6ab a 2+36b 2+aba 2+b 2 的最大值为__________解析 令 a b=x >0, 则6ab a 2+36b 2+aba 2+b 2= 6xx 2+36+x x 2+1=7x 3+42xx 4+37x 2+36.令 t =x +6x, 则 f (x )=7(x+6x )x 2+36x2+37=7t t 2+25=7t+25t⩽710当且仅当 t=x +6x=5 即 x =2 或 3 即 ab=2 或 3 时取 ′′=”.所以 6ab a 2+36b 2+aba 2+b2 的取大值为 710.评注: 观察到目标函数的结构是“齐次式”, 考虑利用换元法将目标函数调整为“单元” 结构, 是处理此类问题的常用手法. 求函数 f (x ) 的最大值的处理是需要解题经验的, 如果直接求导数运算量太大, 上述解法利用了 “ x ±ax”与‘’x 2+a 2x 2” 的关系使得整个运算相对柔和.例4. 222262 0,0,________9ab aba b a b a b>>+++已知则的最大值为 解：令t =ab则6ab a 2+9b 2+2aba 2+b 2=6(ab )(a b )2+9+2(ab )(a b )2+1=6t t 2+9+2tt 2+1 =6t(t 2+1)+2t(t 2+9)(t 2+9)(t 2+1)=8t(t 2+3)t 4+10t 2+9 =8t(t 2+3)(t 2+3)2+4t2 =8t 2+3t +4tt 2+3≤82√3+42√3=√3例5.已知y 2x−y+x 2y+y −x =4，求x 的最大值.解：令 y =kx 则由原式把 y 全部换成 x 可以得y 2x−y+x 2y +y −x =4⇒k 2x 2x−kx+x 2kx+kx −x =4⇒k 2x 1−k+x k+(k −1)x =4⇒x (k 21−k+1k+k −1)=4⇒x =4(k 21−k +1k +k−1)=4[k 3+1−k−k 3+2k 2−k k (1−k )]=4k (1−k )2k (k−1)+1=4[1k (1−k )−2] ∵x =4[1k (1−k )−2]⩾00<k (1−k )⩽14⇒1k (1−k )−2⩾2⇒x ⩽42=2,当 k=12即y x=12即y =12x此时y2y+4y2y+y−2y=4即y=1，x=2等号成立故x的最大值为2例6. 已知a,b,c∈R+且满足abc=1, 求12a+1+12b+1+12c+1的最小值。
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.. ... . . .用换元法解不等式【摘要】换元法是数学中的一个基本方法。
在不等式的证明过程中，按照所证不等式的结构特点，将不等式中的变量作适当的代换，可使不等式的结构明朗，从而使不等式变得容易证明，这种方法称为换元法。
换元的目的是把合命题化简、化熟，把复杂的、不熟悉的命题化为简单的、熟悉的命题。
换元法在许多实际问题的解决中可以起到化难为易、化繁为简的作用，有些问题直接证明较为困难，但若通过换元的思想与方法来解就很方便，换元法多用于条件不等式的证明中，换元法一般有增量换元、三角换元、代数换元等几种方法。
【关键词】 换元法 三角换元 代数换元做任何事情都要讲究方法。
方法对头，事半功倍；方法不当，事倍功半。
解答数学问题关键也在于掌握思考问题的方法，思维方确，问题就容易解决。
波利亚说过：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。
”换元法是数学中的一个基本方法之一。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量围的选取，一定要使新变量围对应于原变量的取值围，不能缩小也不能扩大。
下面通过几个例题介绍几种换元的思想和方法。
一、增量换元若一变量在某一常量附近变化时，可设这一变量为该常量加上另一变量。
例1 设()1,0,,∈z y x 并且它们的和为2 ，求证 341≤++≤zx yz xy . 分析与证明 由条件()1,0,,∈z y x 可令3211,1,1a z a y a x -=-=-=，且()1,0,,321∈a a a ，则1321=++a a a .()()()()()()133221111111a a a a a a zx yz xy --+--+--=++∴ ()()1332213212-3a a a a a a a a a +++++= 11133221>+++=a a a a a a又 ()1332213-1a a a a a a ++()()13322123213a a a a a a a a a ++-++==133221232221a a a a a a a a a ---++ ()()()[]021213223221≥++++-=a a a a a a ， 31133221≤++∴a a a a a a .1332211a a a a a a zx yx xy +++=++ ，343111=+≤++<∴zx yz xy .例 2 已知2,2>>b a ，求证 ab b a <+. 证 设n b m a +=+=2,2，显然0,0>>n m .则()()n m n m ab b a ++-+++=-+2222 mn n m n m ----++=2244 0<---=mn n m 故ab b a <+.注 增量换元的目的，在于从不等式b a ≥转化为x b a +=这个等式。
再应用这个不等式往不等转化，以达到证题的目的。
二、三角换元在解某些不等式，迭用适当的三角函数换元，把代数问题转化为三角问题，从而充分利用函数的性质解决问题。
例3 若1=++r q p ，且1,,0≤≤r q p ，求证：3≤++r q p .分析 由1=++r q p ，可令α2cos =p ，βα22cos sin =q ，βα22cos sin =r ，其中α，.. ... . . .⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈20πβ，.则βαα222cos sin cos +=++r q p βα22sin sin + βαβααsin sin cos sin cos ++= ()ββααsin cos sin cos ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=4sin sin 2cos πβααααsin 2cos +≤322tanarc sin 3≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=α 例4 已知:,1>a ,0>b ,1=-b a 求证:11110<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<b b a a a . 分析:由于,1>a ,0>b ,1=-b a 并且不等式中有,,b a因此我们联想三角函数平方关系:1tan sec 22=-θθ .经过对比,发现a 相当于θ2sec ， b 相当于θ2tan ，因而可令：,sec 2θ=a ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=20tan 2πθθb .证明:令,sec 2θ=a ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=20tan 2πθθb , 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b b a a a 111 =θθθθθtan 1tan sec 1sec sec 1222+- θsin =1<可见原不等式成立。
104sin 105-≤⎪⎭⎫⎝⎛+≤∴θπ原不等式成立。
从例3，例4可以看出，证明不等式时，我们可以结合已知条件或不等式的结构与三角函数的性质进行分析，利用三角函数换元，从而借助三角函数的性质来证明不等式三、代数换元对于那些具有一定结构特点的代数式，可以巧设某些代数式换元，则能化难为易，简洁明快地解决问题。
例5 解不等式03223222<+⋅-+x x .解：设t x =2，则原不等式可化为032122<+-t t ，解之得84<<t .即824<<x ，故32222<<x .根据指数函数的单调性，原不等式的解集为{}32<<x x . 例6 设a,b,c 是三角形的三边长，s 是三角形的半周长，求证： ()()()c s b s a s abc --->8 。
证明 令x z c z y b y x a +=+=+=,,，其中0,0,0>>>z y x ，则 ()z y x c b a s ++=++=21. 所以不等式等价于()()()xyz y x z x z y 8≥+++ 因为yz z y 2≥+，xz z x ≥+，xy y x ≥+. 上述三式相乘，得()()()xyz xy xz yz y x x z z y 8222=⋅⋅≥+++ 故原不等式得证。
四、均值换元使用均值换元法能达到减元的目的，使证明更加简捷直观有效。
例7 n 个正数,,,21n x x x 它们的和是1,求证: +++++ 32222121x x x x x x2112121≥+++--x x x x x x n n n n n ... ... . . .分析:就这个不等式而言,我们容易想到均值不等式，但是直接用均值不等 式却难以证明这个不等式，因此我们把分子变为两项，可令12112m x x x ++=, ,22322m x x x ++=,n n n m x x x ++=21（其中01=∑=ni i m ）. 证明:令,,2,223221211 m x x x m x x x ++=++=,21n nn m x x x ++=则 01=∑=ni im.+++++ 32222121x x x x x x 12121x x x x x x n n n n n +++-- ()()()121322232212121212121x x m x x x x m x x x x m x x n n n +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=()322221212113221444x x m x x m m m m x x x x x x n n ++++++++++++++= 12x x m n n+++ ≥()4221n x x x +++21=因而原不等式成立。
例8 设1232=++z y x ，求证：2432222≥++z y x . 分析 12=+++++z z z y y x ，故平均值为2.令3212,2,2t z t y t x +=+=+=，则032321=++t t t .()()()2322212222322232t t t z y x +++++=++∴()23222132********t t t t t t ++++++=24≥.注 选取平均数，引入新变元，证明过程的确自有它独特的魅力。
又证 z z y y x x 66321,44221,2221222≥+⋅≥+⋅≥+,三式相加：()()24322123221222=++≥+++z y x z y x ， 2432322≥++∴z y x ，等号当且仅当6321,4221,221222=⋅=⋅=z y x ，即2===z y x 时取得。
注 凑常数，决不是信手拈来，估计等号成立的条件，有的放矢地匹配。
再证 ()()()14432323212222=++≥++++z y x z y x2432222≥++∴z y x .例7例8说明，在证明不等式时，可以从不等式的形式出发，借助均值不等式进行换元。
五、几何换元在∆ABC 中，b CA a BC c AB ===,,，切圆交CA BC AB ,,分别于F E D ,,,如图，则可设x z c z y b y x a +=+=+=,,，其中0,0,0>>>z y x .几何换元法能达到利用等式反映出三角形任意两边之和大于第三边的不等关系的功效。
例9 已知3,,≥-++-++-+c b a cb c a b a c b a c b a 为三角形三边，求证. 证：设x z c z y b y x a +=+=+=,,其中 0,0,0>>>z y x ， 则cb a cb c a b a c b a -++-++-+y x z x z y z y x 222+++++=.. ... . . .⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x xyy z zyx z z x 21322221=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅+⋅≥y x x y y z z y x z z x 所以原不等式得证。
例10 已知c b a ,,是ABC ∆三边的长，求证：222222333a c c b b a a c c b b a ++≥++.分析:(如图)作ABC ∆的切圆,设F E D ,,为切点, 令,BD x =,CD y =,AE z =(其中+∈R z y x ,,), 则原不等式可转化为:z y x y y x x x z z z y 222222++≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+. 利用重要不等式:ab b a 2≥+可证该不等式,因此可以通过上述换元证明原不等式。